ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (2)

- 4 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ () ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ. Ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας ενός σώµατος που κινείται πάνω σε άξονα είναι η επιτάχυνσή του.. Η συνάρτηση f()= 006 έχει διαφορετική κλήση σε κάθε σηµείο της. 3. Υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f()= 007 στα οποία η C f έχει τον ίδιο ρυθµό µεταβολής. 4. Αν ψ=α+3βt-5, τότε, ο ρυθµός µεταβολής της µεταβλητής ψ ως προς εξαρτάται από τα τιµές του. 5. Αν f και g δύο συναρτήσεις ορισµένες στο R για τις οποίες ισχύει: f (006)=g (006), τότε, οι εφαπτόµενες των C f και C g στο σηµείο o =006 είναι παράλληλες. 6. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [α, β] και ισχύει f(α)=f(β), τότε, η C f έχει µία, τουλάχιστον, οριζόντια εφαπτοµένη. 7. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο α, β µε f (ξ)=0, τότε f(α)=f(β). (α, β) και υπάρχει ξ ( ) 8. Υπάρχουν συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει το συµπέρασµα του Θ. Rolle χωρίς να ισχύουν όλες οι προϋποθέσεις του. 9. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο [α, β] και f () 0γιακάθε ( α,β), τότε, δεν ισχύει f(α)=f(β). 0. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και άρτια, τότε υπάρχει σηµείο της C f στο οποίο η εφαπτόµενη είναι παράλληλη στον χ χ. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο [-, 0] και ισχύουν: f(-)=009, f(0)=006, τότε, υπάρχει εφαπτόµενη της C f που είναι παράλληλη προς την ευθεία ψ=-3. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

- 4 -. Αν για την συνάρτηση f ισχύει: f () 006 στο διάστηµα [α, β], τότε: f(β) f(α)+006(β-α). 3. Αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R, τότε, µεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της, υπάρχει µία, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f ()=0. 4. Αν για µία συνάρτηση f ισχύει το Θ. Rolle στο [α, β], τότε, ισχύει και το Θ.Μ.Τ. στο διάστηµα αυτό. 5. Αν µια συνάρτηση f δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ. Rolle στο [α, β], τότε, δεν ικανοποιεί και τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστηµα αυτό. 6. Αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο [α, β], τότε f(β)-f(α) (β-α)f () για κάθε α,β. 7. Αν η f έχει πεδίο ορισµού το * σταθερή στο R. ( ) * R και f ()=0 στο * R, τότε η f είναι 8. Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο διάστηµα (α, β] και είναι παραγωγίσιµη στο (α, β) µε f ()=0 για κάθε (α, β), τότε η f είναι σταθερή στο (α, β]. 9. Αν f ()=g () για κάθε R, τότε ισχύει πάντα f()=g(), για κάθε R., τότε: 0. Αν για την συνάρτηση f ισχύει f () 006 για κάθε [ 0,] f() f(0) 006.. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, ], παραγωγίσιµη στο (0, ) και f(0)=f()-=0, τότε f ( o )=0 για κάποιο o στο (0, ).. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιµη στο (α, β) και ισχύει f(α)<f(β), τότε, f ()>0 σε κάποιο υποδιάστηµα του (α, β). 3. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σύνολο =( α, ) (,β) µε f ()=0 για κάθε στο, τότε η f είναι σταθερή στο. 0 0 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

- 43-4. Αν f ()>0 για κάθε, τότε ηf είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα. 5. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f ()<0 για κάθε (α, β), τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, β]. 6. Αν f () 0 για κάθε R και η f είναι συνεχής στο R, τότε η f είναι γνησίως µονότονη. 7. Για την συνάρτηση f()=, 0 ισχύει f ()=- για κάθε 0. Τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R *. 8. Αν f () 0 για κάθε R, τότε η f είναι - συνάρτηση. 9. Αν f () = e ( + ), για κάθε R, τότε η εξίσωση f()=0 έχει το πολύ µία ρίζα. 30. Αν f ()>0 στο διάστηµα ( α,β) και f(α) f(β)>0, τότε η εξίσωση f()=0 έχει ακριβώς µία ρίζα στο (α, β). 3. Αν f ()<0 και g ()>0 στο (α, β), τότε, οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέµνονται το πολύ σε ένα σηµείο. 3. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β], f(α)f(β)<0 και f ()>0 στο (α, β), τότε, η εξίσωση f()=0 έχει µία µόνο ρίζα στο (α, β). 33. Έστω f µία συνάρτηση συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β). i) Αν f ()>0 στο (α, β), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β). ii) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, β], τότε µπορεί να είναι α, β. f () 0 για κάθε ( ) iii) Αν f ()<0 στο (α, β) και f(α)<0, τότε f()<0 στο (α, β). iv) Αν f()<0 στο [α, β], τότε είναι και f ()<0 στο (α, β). v) Αν f ()>0 στο (α, β) και f(α)>0, τότε f()>0 στο [α, β]. 34. Έστω f µία συνάρτηση συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) µε f ()>0 και f(α)=005, f(β)=007. Τότε, η εξίσωση f()=006 έχει ακριβώς µία ρίζα στο (α, β). *************** ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

- 44 - ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ «ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΉΣ». Ένα σηµείο Μ κινείται πάνω στην ευθεία ε: -5ψ-4=0. Αν η τετµηµένη του αυξάνεται µε ρυθµό 3/ m/sec, τότε, η τεταγµένη του µεταβάλλεται µε ρυθµό: Α: /3 m/sec, B: 3/ m/sec, Γ: 3/5 m/sec, : -3/5 m/sec, E: -m/sec.. Έστω συνάρτηση f ορισµένη στο [α β] έτσι, ώστε η ευθεία ΑΒ µε Α( α,f(α)) και Β(β, f(β)) να είναι παράλληλη στον χ χ. Για να ισχύει το Θ. Rolle για την f στο [α β], πρέπει ακόµα η f να είναι: Α: συνεχής στο [α, β], Β: παραγωγίσιµη στο (α, β), Γ: παραγωγίσιµη στο [α, β] : συνεχής στο (α, β). 3. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [α β] και παραγωγίσιµη στο (α, β). Τότε, από το Θ.Μ.Τ. υπάρχει ξ ( α, β ) τέτοιο, ώστε: Α: f (ξ)=0, Β: f(ξ)= f(β)-f(α), Γ: f(β)-f(α)=f (ξ)( β-α ), β-α f(β)+f(α) : f (ξ)=. β+α 4. Ποια από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιεί το Θ.Μ.Τ. στο δοσµένο διάστηµα;, 0 +, Α: f()=, [-, ], Β: f()=, [0, ], +,>0,> -,αν Γ: f()=, [-, ].,αν = 5. Ποια από τις παρακάτω συναρτήσεις ικανοποιεί το Θ.Μ.Τ. στο δοσµένο διάστηµα; π π 3 +, 0 Α: f()=ηµ, -,, Β:f()=, [-, ], -,>0 Γ: e, f()=, [0, 3]. ln,> 6. Aν f και g συναρτήσεις ορισµένες στο [α, β] µε f ()-g ()=0 στο [α, β] και f(α)+=g(α), τότε: Α: f()=g()+, Β: f()=g()-, Γ: f()+g()=-, : άλλο. 7. Aν f και g συναρτήσεις ορισµένες στο [α, β] µε f ()=g ()+ στο [α, β] και f(α)=g(α)+α, τότε: Α: f()=g()+, Β: f()-g()=+, Γ: f()=g()+α, : f()=g()++α 8. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο διάστηµα (0, 4) και ισχύει f()=3. Αν f ()=0 για κάθε (0, 4), τότε: Α: f()=3 στο (0, 4), Β: f()= στο (0, 4), Γ: f ()=3, :f()=0 στο (0, 4). ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

- 45-9. Αν f ()=, 0, τότε: ln( ), < 0 Α:f()=ln, Β: f() = ln + c, Γ :f() =, ln, > 0 ln +c,<0 : f()=, Ε: f()=ln. ln +c,>0 0. Αν µια µη σταθερή συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο (α, β) και f(α)=f(β) 0, τότε: Α: για κάθε (α,β) ισχύει f () 0, Β: υπάρχει (α,β), ώστε f ()=0, Γ: για κάθε (α,β) ισχύει f ()=0.. Από τις παρακάτω συναρτήσεις δεν είναι γνησίως µονότονη στο πεδίο ορισµού της η : 4 Α: f()=ln, B: f()= ln, Γ: f()= +, :f()=α, 0<.. Aν η f είναι µία συνάρτηση παραγωγίσιµη στο Rµε f ()>0 για κάθε R, τότε η ανίσωση f( )<f(4) αληθεύει για κάθε στο διάστηµα:,, +. Α: [-, ], Β: (-, ), Γ: [-4, 4], : ( ) ( ) 3. Aν η f είναι µία συνάρτηση παραγωγίσιµη στο Rµε f ()<0 για κάθε R, τότε η ανίσωση f(e )>f() αληθεύει για κάθε στο διάστηµα:,0, Β : 0, +, Γ :,, :, +. Α: ( ) ( ) ( ) ( ) 4. Αν ισχύει ( ) f () + 3f () + < 0 για κάθε R, τότε η συνάρτηση f είναι: Α: γνησίως αύξουσα, Β: γνησίως φθίνουσα, Γ : δεν είναι γν. µονότονη. 5. Για µία συνάρτηση f ισχύει f ()<0 για κάθε στο [, 5], f()= και f(5)=8. Tότε η εξίσωση f()=0 έχει στο διάστηµα (, 5): Α: τουλάχιστον δύο λύσεις, Β: καµία λύση, Γ: ακριβώς µία λύση. 6. Αν f ()<0 για κάθε [-α, α], α>0, και f(0)=0, τότε: Α: f(α)>0, Β: f(-α)>0, Γ: f(-α)=α, : f(α)=-α. 7. Αν ισχύει f(0)=0 και f ()>0 στο διάστηµα [0, ], τότε η εξίσωση f()=f()+f(): Α: έχει µοναδική λύση στο (0, ), Β: έχει τουλάχιστον δύο λύσεις στο (0, ), Γ: είναι αδύνατη στο (0, ), : έχει τουλάχιστον µία λύση στο (0, ). 8. Αν ισχύει f ()>0 για κάθε [, ] και f()=α, f()=β, τότε η εξίσωση f()- α=β: Α: έχει µοναδική λύση στο (α, β), Β:έχει τουλάχιστον δύο λύσεις στο (α, β), Γ: είναι αδύνατη στο (α, β) : έχει τουλάχιστον µία λύση στο (α, β). ************** ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

- 46 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ.. Η αντίδραση ψ ενός ασθενούς σε ένα φάρµακο συνδέεται µε την ποσότητα του χορηγουµένου φαρµάκου και την διάρκεια t της θεραπείας µε τη σχέση: t ψ=ηµt +e i) µεταβάλλεται η ποσότητα του φαρµάκου. ii) µεταβάλλεται η διάρκεια της θεραπείας t.. Να βρείτε τον ρυθµό µεταβολής του ψ όταν: ( i.ψ ( ) =ηµt ( ) ( )) +t e t, ii.ψ t =t συνt +e t. ίνονται οι παραγωγίσιµες συναρτήσεις, ψ: [0, + ) Rµε µεταβλητή το χρόνο t για τις οποίες ισχύει (t)+e ψ(t) =t, t 0. Aν την χρονική στιγµή t o = είναι ()=ψ()=-3, να βρείτε την ψ (). 0 ψ ()= e 3. ίνονται οι παραγωγίσιµες συναρτήσεις, ψ, θ: [0, + ) Rµε µεταβλητή το ψ(t) χρόνο t για τις οποίες ισχύει εφθ(t)=, (t) 0 για κάθε t R. Αν την (t) χρονική στιγµή t o = είναι ()= ()=3, να βρείτε την θ (). ( θ ()=0) 4. ίνεται η συνάρτηση f()=ln. i. Να βρείτε το σηµείο τοµής Α της εφαπτοµένης ε της C f στο Μ(α, f(α)) µε τον άξονα χ χ. ii. Ένα κινητό Μ κινείται κατά µήκος της C f. Αν ο ρυθµός µεταβολής της τετµηµένης α(t) του Μ δίνεται από τον τύπο α (t)=α(t), να βρείτε: α) το ρυθµό µεταβολής της τετµηµένης του σηµείου τοµής Α της εφαπτοµένης της C f στο Μ µε τον άξονα χ χ, τη χρονική στιγµή που το Μ έχει τετµηµένη e. β) Το ρυθµό µεταβολής της γωνίας θ που σχηµατίζει η εφαπτόµενη µε το άξονα χ χ την ίδια χρονική στιγµή µε το α. ερώτηµα. e i. Α(α-αlnα, 0), ii. α. (t o )=-e, β. θ (t o )= rad/sec. e + 5. Έστω µία συνάρτηση f παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα. Να δείξετε ότι: α. Μεταξύ δυο διαδοχικών ριζών της f στο, υπάρχει µια τουλάχιστον ρίζα της f. β. Μεταξύ δυο διαδοχικών ριζών της f στο, υπάρχει µια το πολύ ρίζα της f. 6. Έστω µία συνάρτηση f παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα µε f () 0, για κάθε. Να αποδείξετε ότι η f είναι -. 7. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο και δεν είναι -, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον ξ τέτοιο, ώστε: f (ξ)=0. 8. Έστω µία συνάρτηση f συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιµη στο [α, β] µε f () 0 για κάθε (α, β). Να αποδείξετε ότι f(α) f(β). ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

- 47-4, < 9. ίνεται η συνάρτηση f() =. 8 + 0 9, α. Nα αποδείξετε ότι για την f ισχύουν οι υποθέσεις του Θ. Rolle στο διάστηµα [0, ] και να βρεθεί το ξ του θεωρήµατος. β. Να βρείτε σηµείο του άξονα χ χ στο οποίο ο χ χ τέµνει την γραφική παράσταση της f. (ξ=5/4) ηµ, 0 0. ίνεται η συνάρτηση f()=. 0,=0 α. Nα αποδείξετε ότι για την f ισχύουν οι υποθέσεις του Θ. Rolle στο 0,. π β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 0, π τέτοιο, ώστε σφ =ξ. ξ. Nα βρείτε τις τιµές των α, β, γ R, ώστε να ισχύει το Θ. Rolle για τις παρακάτω συναρτήσεις στα αντίστοιχα διαστήµατα: -α, +α+β α) f()= στο [-3,3], β) f()=. β+γ,> -γ+ >. Έστω µια συνάρτηση f συνεχής στο [0, α], παραγωγίσιµη στο (0, α) και f()>0 για κάθε [0, α]. Να f(α)=ef(0) και για την συνάρτηση g()=lnf()-α, [0, α] ισχύουν οι υποθέσει του Θ. Rolle στο [0, α], τότε: i. Να βρείτε την τιµή του α. ii. Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0, α) τέτοιο, ώστε: f (ξ)=f(ξ). 3. ίνεται η συνάρτηση f()=(-)ln(+). Nα αποδείξετε ότι: i. H εξίσωση f ()=0 έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (0, ). ii. H εξίσωση (+) + =e - έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (0, ). 4. ίνεται η συνάρτηση f()=( +)συν. i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (-, ) και µια τουλάχιστον στο διάστηµα (, ). ii. Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση (+)συν=( +)ηµ έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (-, ). 5. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3-6 =0-4 έχει τουλάχιστον µία ρίζα στο διάστηµα (0, ). 6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3-6+α=0, α R έχει µία, το πολύ, ρίζα στο διάστηµα (-, ). 7. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 +3 -α-β=0, α, β R έχει το πολύ δύο άνισες ρίζες. 8. α) ίνεται ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β). Αν η εξίσωση f ()=0 έχει ακριβώς µία ρίζα στο (α, β), να αποδείξετε ότι η ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

- 48 - εξίσωση f()=0 έχει το πολύ δύο ρίζες στο [α, β]. β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση -ηµ-συν=0 έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστηµα [-π, π]. 9. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e +=e, έχει µοναδική ρίζα το 0. 0. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 004 +ln(α +)=004, α R, έχει δύο το πολύ ρίζες στο διάστηµα (0, 005).. ίνεται η παραγωγίσιµη στο R συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f()=5f(5). Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, 5) τέτοιο, ώστε: ξf (ξ)+f(ξ)=0.. ίνεται η παραγωγίσιµη στο [α, β] συνάρτηση f µε f(α)=f(β)=0. Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε: f (ξ)=f(ξ). 3. ίνεται η παραγωγίσιµη στο [, ] συνάρτηση f για την οποία ισχύει: 3 f() e f() = 0. Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε: f (ξ)+3f(ξ)=0. 4. ίνεται η παραγωγίσιµη στο [-, ] συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f(-)=f(). Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (-, ) τέτοιο, ώστε: f (ξ)+ξf(ξ)=0 5. ίνονται οι συναρτήσεις f, g : R Rοι οποίες είναι παραγωγίσιµες και ισχύει: f ()g() f()g () για κάθε RΝα. αποδείξετε ότι µεταξύ δύο ριζών της f υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα της g. 6. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία ε: ψ=3 τέµνει την γραφική παράσταση της f στα σηµεία Α(, f( )) και A(, f( )) µε <, να 6ξ αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε: f (ξ)=. + 7. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θ.Μ.Τ. f()= 3 + 4 : α) στο διάστηµα [, 4] β) στο διάστηµα [0, ]. 3 + 4 για την συνάρτηση 8. ίνεται η παραγωγίσιµη στο [α, β] συνάρτηση f µε f(α)=3β και f(β)=3α. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (α, β) τέτοια, ώστε: f (ξ )+f (ξ )=-6. 9. ίνεται η παραγωγίσιµη στο [α, β] συνάρτηση f µε f(α)=f(β). Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ και ξ (α, β) τέτοια, ώστε: f (ξ )+3f (ξ )=0. 30. Έστω συνάρτηση f ορισµένη στο [α, β] µε f(α)=α και f(β)=β. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ, ξ 3 (α, β)τέτοια, ώστε: f (ξ )+3f (ξ )+5f (ξ 3 )=0. 3. ίνεται η συνάρτηση f : R R η οποία είναι παραγωγίσιµη στο [-, 0] µε f(0)=- και f(-)=0. Nα αποδείξετε ότι: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

- 49 - α. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (-, 0), τέτοιο, ώστε: f(ξ)=+ξ. + 4ξ β. υπάρχουν ρ, ρ (-, 0), ώστε: f (ρ ) f (ρ ) =. ξ 3. Έστω η συνάρτηση f :[,e] R, παραγωγίσιµη και τέτοια ώστε: f()= και f(e)=e. Να αποδείξετε ότι: α. υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, e), τέτοιο, ώστε: f(ξ)=+e-ξ. β. υπάρχουν ρ, ρ (, e ) µε ρ <ρ τέτοια, ώστε: f (ρ ) f (ρ ) =. 33. ίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [, 4] και παραγωγίσιµη στο (, 4) µε f(4)=f(). α. Να βρεθεί η τιµή του λ R, ώστε να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle για την συνάρτηση g()=3f()+λ. β. Για την τιµή αυτή του λ, να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει µία τουλάχιστον εφαπτόµενη που είναι κάθετη στην ευθεία ε: 3-λψ+=0. 34. Να λυθούν οι εξισώσεις: α. 5-4 =7-6, β. 3 +4 = +5. 35. Έστω µια συνάρτηση f, παραγωγίσιµη στο R και τέτοια ώστε f ()<0 στο R. Να αποδείξετε ότι για κάθε α R ισχύει: f(+)+f(+)>f()+f(+3). 36. Aν α>β>0, να αποδείξετε ότι: ( α β) α+β ln >ln. 37. ίνεται η συνάρτηση f, παραγωγίσιµη στο Rγια την οποία ισχύει: f(0)=0 και f ()=, 0. + 0. Nα αποδείξετε ότι: f() ( +) ( +) για κάθε 38. ίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο [0, + ) για την οποία ισχύει f ()=e + για κάθε 0. Aν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των + αξόνων, να αποδείξετε ότι: e f() e, για κάθε [0, + ). 39. Να βρεθεί ο τύπος της παραγωγίσιµης στο R συνάρτησης f, για την οποία ισχύει: f(+ψ)=f()+f(ψ)-ψ- για κάθε, ψ στο R και η γραφική της παράσταση έχει στο σηµείο Α(0, f(0)) εφαπτόµενη παράλληλη προς την ευθεία -ψ+007=0. 40. Να βρεθεί ο τύπος της περιττής και παραγωγίσιµης στο R συνάρτησης f, για την οποία ισχύει: f()+f ()=6 5 +4 3 + για κάθε στο R και f()=3. 4. Να βρεθεί ο τύπος της παραγωγίσιµης στο (0, + ) συνάρτησης f, για την οποία ισχύει: π α. f()+f ()=συν και f =, β. f () -f()= + 3 και f()=3. π e f() + ln = και η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα χ χ στο γ. ( ) σηµείο µε τετµηµένη. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

- 50-4. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, για την οποία ισχύει: α. f (e )=3-e και f()=e, β. f ( )=6 + και f(0)=-5. 43. Aπό τις παραγωγίσιµες στο (0, π) συναρτήσεις που ικανοποιούν την σχέση f ()ηµ=f()συν+ηµ, να βρείτε εκείνη, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σηµείο π π Μ,. 44. ίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη στο R για την οποία ισχύει: f(0)=f (0)=0 και [ ] f() f () = f () f () για κάθε R. f ()+ f () e Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g()= ( ) βρεθεί ο τύπος της f. - είναι σταθερή και να 45. Να βρείτε συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, όταν για κάθε και ψ R ισχύει: α. f(+ψ)=f()+f(ψ)+ψ και f(0)=. β. f(+ψ)=f()συνψ+f(ψ)συν και f (0)=. γ. f(ψ)=f() f(ψ) και f ()=, f() 0, 0. 46. ίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη στο R για την οποία ισχύει: f()+f ()+f ()=0 για κάθε R. αν η γραφική παράσταση της f δέχεται οριζόντια εφαπτόµενη στο σηµείο Μ(0, ), να δείξετε ότι: f() = e. 47. Έστω η παραγωγίσιµη στο (0, + ) συνάρτηση f για την οποία ισχύει: Να αποδείξετε ότι f ()=e (-) για κάθε >0 και f()=e. f()= e, >0. 48. ίνονται οι συναρτήσεις f, g: R R για τις οποίες ισχύει: f(0)=0, g(0)=, f ()=g() και g ()=-f() για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: α. Οι f και g είναι δύο φορές παραγωγίσιµες στο R. β. f ()+g ()=. γ. f()=ηµ και g()=συν. 49. Έστω η συνάρτηση f :[0, + ) Rη οποία είναι συνεχής και ισχύουν: + f ()= f(), >0 και f()=e. είξτε ότι f()= e, για κάθε [0, + ). 50. ίνεται η συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει: f ()+f (-)= µε f ()=- και f()=. α. Να βρεθεί ο τύπος της f. β. Να αποδείξετε ότι f()+ 0. 5. Έστω οι συναρτήσεις f και g:r R για τις οποίες ισχύει: f ()=g ()+6 για κάθε R και f()=g(), f ()=4, g ()=0. Nα βρείτε τις τιµές του για τις οποίες η C f είναι πάνω από την C g. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

- 5-5. Αν f()+f(-)=e +e - - για κάθε R, να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της f. 53. Aν f είναι συνάρτηση παραγωγίσιµη στο [0,3] µε f ()>0 και f()=-, f()=. Aν f() g()=, 0 3, να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία. +f () 54. α. Να µελετήσετε την µονοτονία της συνάρτησης f()=e + 5. ( λ ) ( ) β. Να λύσετε την εξίσωση: -λ 6-λ 5 e -e = 6-λ - λ -λ 5,λ R. ( ) ( ) 55. Αν α, β Rκαι ισχύει: α+e α +e α = β+e β +e β, να αποδείξετε ότι: α=β. π α -β 56. α. Αν α, β 0, και ισχύει : =συνα+συνβ, να αποδείξετε ότι: α=β. + π+3 π+3 =συν -συν +. 8 3 β. Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ( ) ( ) 57. α. Να αποδείξετε ότι για κάθε >0 ισχύει: ln. β. Να µελετήσετε ως προς την µονοτονία την συνάρτηση µε τύπο: lnα-α f() =, 0<α, R. α + lnα ( ) ln ( ) 58. ίνεται η συνάρτηση µε τύπο: f()=, >. ln - α. Να µελετήσετε ως προς την µονοτονία την συνάρτηση g()=, >0. β. Να αποδείξετε ότι για >, είναι: >(-) -. γ. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. δ. Αν <α<β, να αποδείξετε ότι: (α-) lnβ <(β-) lnα. 59. ίνονται οι συναρτήσεις f, g:[, + ) R για τις οποίες ισχύει: ( f ()-g ()) <f() για κάθε και f()=g(). Nα αποδείξετε ότι: f()<g() για κάθε >. 60. ίνεται η συνάρτηση f:[0, + ) R η οποία είναι παραγωγίσιµη στο (0, + ). Αν f(0)=, f ()> και f ()>0 για κάθε >0, να αποδείξετε ότι: +<f()<f ()+, για κάθε >0. 6. ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει: f 3 ()+f()=e - για κάθε R. α. Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία. β. Να λύσετε την ανίσωση: f(ηµ )>f( ). 6. ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση f :R R µε f()>0 για κάθε R. για την οποία ισχύει: f 3 ()+lnf()+e f() = 3 + +-, R.. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. β. Να λύσετε την εξίσωση: f(ln)=f(- ). ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667

- 5-63. Έστω η συνάρτηση f :[α, β] R η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιµη µε f()-f(α) f ()>0 για κάθε (α, β). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g()= είναι -α γνησίως αύξουσα στο (α,β). ********** ******* **** * ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 405043-697330667