Βιομαθηματικά BIO-156 Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 216 lika@biology.uoc.gr
Παράδειγμα Υποθετικός πληθυσμός βακτηρίων Ας υποθέσουμε ότι ένας πληθυσμός βακτηρίων αυξάνει με το χρόνο σύμφωνα με τη συνάρτηση N(t)=2 t, t (συνεχείς μεταβολές) 6 αριθμός βακτηρίων ( 1 ) 35 3 25 2 15 1 5 1 2 3 4 5 6 χρόνος (ώρες) Πως μπορούμε να περιγράψουμε πλήρως την αύξηση του πληθυσμού;
Έλεγχος πληθυσμού κάθε μία ώρα t Ν(t) ΔN=N(t)-N(t-1) 1-1 2 1 2 4 2 3 8 4 4 16 8 Αν ο πληθυσμός αυξανόταν κάθε μία ώρα, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα μετασχηματισμού Nt1 2N t για να περιγράψουμε τις μεταβολές του πληθυσμού. Όμως το μέγεθος του πληθυσμού αλλάζει συνεχώς (σε κάθε δεδομένη χρονική στιγμή).
Έλεγχος πληθυσμού κάθε μισή ώρα t N (t) N N( t) N( t,5) N N( t) N( t t ) t t 1, - -,5 1,4142,4142,8284 1, 2,,5858 1,7116 1,5 2,8284,8284 1,6568 2, 4, 1,7116 2,3431 2,5 5,6569 1,6569 3,3137 3, 8, 2,3431 4,6863 Μέσος ρυθμός αύξησης μεταξύ t=1 και t=1,5 είναι 1,6568 εκατομμύρια βακτήρια ανά ώρα.
Έλεγχος πληθυσμού κάθε,1 ώρες. Οι μετρήσεις κοντά στο 1 t N (t) N N( t) N( t,1 ) N N( t) N( t t ) t t,9 1,8661,125 1,2496 1, 2,,1339 1,3393 1,1 2,1434,1434 1,4355 1,2 2,2974,1538 1,5385 Μεταβολές στο χρονικό διάστημα (1, 1+Δt) t N N t,1,139 1,3911,1,139 1,3868,1,139 1,3863 Καθώς το Δt μικραίνει, η μεταβολή του πληθυσμού, ΔΝ, μικραίνει, αλλά ο μέσος ρυθμός μεταβολής, ΔΝ/ Δt, πλησιάζει την τιμή 1,3863. Αυτή την τιμή θα N την ονομάζουμε στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής ( ). t t
Μέσος και στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής Η κλίση της ε1 είναι ο μέσος ρυθμός μεταβολής Η κλίση της ε2 είναι ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής
Όρια συναρτήσεων Ορισμός του ορίου: Έστω ένας πραγματικός αριθμός και f μια συνάρτηση, ορισμένη τουλάχιστον σε ένα σύνολο της μορφής (a, ) (, b). Λέμε ότι το όριο της f () είναι L όταν το τείνει στο και συμβολίζουμε με f ( ) L όταν για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε με < - < δ να ισχύει f ()- L < ε
Όρια συναρτήσεων Αν το f ( ) L και L είναι πεπερασμένος αριθμός, λέμε ότι η f() συγκλίνει στο L. Αν το όριο δεν υπάρχει τότε λέμε ότι αποκλίνει. Συμβολισμός: f() L καθώς
Θεωρήματα για τα όρια 1. Αν f ( ) L και f ( ) M τότε L=M (μοναδικότητα του ορίου)
Πλευρικά όρια Αριστερό όριο: Έστω ένας πραγματικός αριθμός και f μια συνάρτηση, ορισμένη τουλάχιστον σε ένα σύνολο της μορφής (a, ). Λέμε ότι το όριο της f () είναι L όταν το τείνει στο από αριστερά και συμβολίζουμε με f ( ) L όταν για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε με -δ < < να ισχύει f ()- L <ε Δεξιό όριο: Έστω ένας πραγματικός αριθμός και f μια συνάρτηση, ορισμένη τουλάχιστον σε ένα σύνολο της μορφής (a, ). Λέμε ότι το όριο της f () είναι L όταν το τείνει στο από δεξιά και συμβολίζουμε με f ( ) L όταν για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε με < < +δ να ισχύει f ()- L <ε
Παράδειγμα Για τη συνάρτηση και Επειδή τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα, δεν υπάρχει L f ) ( L f ) ( L f ) ( και 1, 1, ) ( f 1 ) ( f 1 ) ( f ) ( f, Το όριο υπάρχει αν και μόνο αν
Τα σαν όρια συναρτήσεων Αν ένας πραγματικός αριθμός και f μια συνάρτηση, ορισμένη τουλάχιστον σε ένα σύνολο της μορφής (a, ) (, b), θα λέμε ότι f ( ) [ ] όταν για κάθε Μ R υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε με < - < δ να ισχύει f () > Μ [αντίστοιχα f () < Μ] Παρόμοια ορίζονται και τα πλευρικά όρια.
Όριο συνάρτησης όταν Ορίζουμε f ( ) L R όταν για κάθε ε > υπάρχει Μ R τέτοιο ώστε για κάθε > Μ να ισχύει f ()- L < ε Ορίζουμε f ( ) L R όταν για κάθε ε > υπάρχει Μ R τέτοιο ώστε για κάθε < Μ να ισχύει f ()- L < ε Τα θεωρήματα που αναφέραμε ισχύουν και για όρια
Το όριο ρητών και εκθετικών συναρτήσεων καθώς Αν f() είναι μια συνάρτηση της μορφής f() = p()/q(), όπου p() είναι ένα πολυώνυμο βαθμού n και q() είναι ένα πολυώνυμο βαθμού m, τότε f ( ) p( ) q( ), L, δεν υπάρχει αν αν αν n m n m n m Η ίδια συμπεριφορά ισχύει για - e
Λογιστική καμπύλη (logistic curve) N( t) 1 K 1 e rt t Ν(t) μέγεθος του πληθυσμού τη χρονική στιγμή t, r και Κ θετικές σταθερές και Ν()=Ν >. K N, N( t) t 1 t K N K 1 e rt K επειδή t e t Ανεξάρτητα από την αρχική τιμή N, N( t) K. Το Κ ονομάζεται φέρουσα ικανότητα (carrying capacity). t
Συνέχεια συναρτήσεων Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Δ και Δ. Η f είναι συνεχής στο αν και μόνο αν f ( ) f ( ) Ορισμός: (Από τον ορισμό του ορίου ) Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής στο αν για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για κάθε Δ με < - < δ να ισχύει f ()- f ( ) < ε Ορισμός: Μια συνάρτηση είναι συνεχής όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της.
Έλεγχος για τη συνέχεια μιας συνάρτησης στο = Ελέγχουμε αν 1. f() ορίζεται στο = 2. f ( ) υπάρχει 3. f ( ) f ( )
Είδη ασυνέχειας
Μονόπλευρη συνέχεια Μια f συνάρτηση λέγεται συνεχής στο από αριστερά αν και μόνο αν συνεχής στο από δεξιά αν και μόνο αν f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Συνέχεια σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] Για μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] διακρίνουμε τις περιπτώσεις: συνεχής σε κάθε σημείο του ανοικτού διαστήματος (α,β) συνεχής στο α από δεξιά συνεχής στο β από αριστερά
Μονόπλευρη συνέχεια Floor function f() =, ο μεγαλύτερος ακέραιος k ακέραιος f(k) =k k k f ( ) f ( ) k k 1 Ceiling function f() =, ο μικρότερος ακέραιος k ακέραιος f(k) =k k k f ( ) f ( ) k 1 k
Συνδυασμός συνεχών συναρτήσεων Έστω ότι α είναι μια σταθερά και οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο =. Τότε οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς: 1. a f 2. f+g 3. f g 4. f / g, αν g( ) Αν g() είναι συνεχής στο = με g( )=c και η f() είναι συνεχής στο =c, τότε η είναι συνεχής στο =. ( f g)( ) ( f g)( ) f [ g( )] f [ g( )] f [ g( )] f ( c)
Βασικές συνεχείς συναρτήσεις Πολυωνυμικές συναρτήσεις Ρητές συναρτήσεις Εκθετικές συναρτήσεις a, a, a 1 Λογαριθμικές συναρτήσεις log, a, a 1 a Συναρτήσεις δύναμης Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] και c ένας αριθμός μεταξύ των f(α) και f(β) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός ξ μεταξύ α και β τέτοιος ώστε f(ξ)=c Θεώρημα του Bolzano Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] και f(α) f(β) <, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός ξ μεταξύ α και β τέτοιος ώστε f(ξ)= Θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], τότε υπάρχουν σημεία και στο [α,β] τέτοια ώστε f ( ) f ( ) f ( )
Προτεινόμενη Βιβλιογραφία C. Neuhauser Calculus for biology and medicine Pearson/Prentice Hall, 24 Chapter 3: Limits and Continuity F. R. Adler. Modeling the dynamics of life: calculus and probability for life scientists. Brooks/Cole, 1998. Chapter 2: Limits and Derivatives 2.1-2.3 M. R. Cullen Mathematics for the biosciences. Techbooks, 1983 Sections: 6, 7