ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι: Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο και ισχύει: ( lim ( ( Η συνάρτηση g είναι ορισμένη στο αλλά lim g( g( (γ Η συνάρτηση h είναι ορισμένη στο αλλά δεν υπάρχει το όριό της Από τις τρεις γραφικές παραστάσεις του σχήματος μόνο η γραφική παράσταση της δε διακόπτεται στο Είναι επομένως φυσικό να ονομάσουμε συνεχή στο ΟΡΙΣΜΟΣ μόνο τη συνάρτηση Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέ- με ότι η είναι συνεχής στο όταν lim ( ( Για παράδειγμα η συνάρτηση ( είναι συνεχής στο αφού lim ( lim ( Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της όταν:
74 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ α Δεν υπάρχει το όριό της στο ή Υπάρχει το όριό της στο αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της στο σημείο Για παράδειγμα: αν Η συνάρτηση ( δεν είναι συνεχής στο αφού αν > ( lim ( lim( ενώ lim ( lim( οπότε δεν υπάρχει το όριο της στο Η συνάρτηση αν ( δεν είναι συνεχής στο αφού 3 αν ( ( lim ( lim lim( ενώ ( 3 Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της θα λέγεται απλά συνεχής συνάρτηση Για παράδειγμα: Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής αφού για κάθε ισχύει lim P( P( Κάθε ρητή συνάρτηση Q P είναι συνεχής αφού για κάθε του πεδίου ο- ρισμού της ισχύει P( P( lim Q( Q( Οι συναρτήσεις ( ημ και g( συν είναι συνεχείς αφού για κάθε ισχύει lim ημ ημ Τέλος αποδεικνύεται ότι: και lim συν συν Οι συναρτήσεις ( α και g( log < α είναι συνεχείς α
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 75 Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις Από τον ορισμό της συνέχειας στο παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις και g είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις: g c όπου c g και τις ιδιότητες των ορίων προκύπτει το τότε είναι συνεχείς στο g και ν με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το Για παράδειγμα: Οι συναρτήσεις ( εφ και g( σφ είναι συνεχείς ως πηλίκα συνεχών συναρτήσεων Η συνάρτηση ( 3 είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της 3 αφού η συνάρτηση g( 3 είναι συνεχής Η συνάρτηση ( ημ είναι συνεχής αφού είναι της μορφής ( g( όπου g( ημ η οποία είναι συνεχής συνάρτηση ως γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων ( και ( ημ Τέλος αποδεικνύεται ότι για τη σύνθεση συνεχών συναρτήσεων ισχύει το ακόλουθο θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο ( τότε η σύνθεσή τους go είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο Για παράδειγμα η συνάρτηση φ( ημ( είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων ( και g( ημ o g g ωημημ(
76 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Για ποια τιμή του α η συνάρτηση α αν ( ημ είναι συνεχής; αν > ΛΥΣΗ Στο διάστημα ( η έχει τύπο ( α και επομένως είναι συνεχής ως πολυωνυμική Στο διάστημα ( ημ η έχει τύπο ( και επομένως είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων Για να είναι η συνεχής αρκεί να είναι συνεχής και στο δηλαδή αρκεί lim ( ( Έχουμε όμως: lim ( lim( α α lim ( ημ lim ( α και Επομένως αρκεί α ή ισοδύναμα α Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα και ασικά θεωρήματα Πολλά από τα θεωρήματα της Ανάλυσης αναφέρονται σε συναρτήσεις οι οποίες είναι συνεχείς σε διαστήματα του πεδίου ορισμού τους Είναι επομένως απαραίτητο να γνωρίζουμε τι εννοούμε όταν λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής σ ένα διάστημα ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( α όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του ( α (Σχ 63α Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ α όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του ( α και επιπλέον lim ( ( α και lim ( ( (Σχ 63 α
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 77 63 ( a (α [ ] a ( Ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής ( α [ α Δυο ασικές ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων σε διαστήματα εκφράζονται από τα παρακάτω θεωρήματα: Θεώρημα του Bolzano Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης στο [ α Επειδή τα σημεία A( α (α και B( ( ρίσκονται εκατέρωθεν του ά- ξονα η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο Συγκεκριμένα ισχύει το παρακάτω θεώρημα του οποίου η απόδειξη παραλείπεται ΘΕΩΡΗΜΑ ( a (a Α(α(α 64 B(( Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ α Αν: η είναι συνεχής στο ( α ( < [ α και επιπλέον ισχύει τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ( α τέτοιο ώστε ( Δηλαδή υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης ( στο ανοικτό διάστημα ( α ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι: Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε Δ ή είναι αρνητική για κάθε Δ δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ (Σχ 65
78 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 65 (> a a (< (α Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της ( 66 ρ ρ ρ 3 ρ 4 ρ 5 Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της για τις διάφορες τιμές του Συγκεκριμένα ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής: α Βρίσκουμε τις ρίζες της Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες επιλέγουμε έναν αριθμό και ρίσκουμε το πρόσημο της στον αριθμό αυτό Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της στο αντίστοιχο διάστημα Για παράδειγμα έστω ότι θέλουμε να ρούμε το πρόσημο της συνάρτησης ( ημ συν [ π] Αρχικά υπολογίζουμε τις ρίζες της ( στο [ π] Έχουμε π ημ συν ημ συν εφ ή 4 Έτσι οι ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της στα διαστήματα 5π 4 π π 5π 4 4 4 5π και π 4 Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της σε κάθε διάστημα Διάστημα Επιλεγμένος αριθμός π π 5π 4 4 4 π 5π π 4 π
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 79 ( Πρόσημο Επομένως στα διαστήματα π 5π είναι ( > 4 4 π 5π π 4 4 είναι ( < ενώ στο διάστημα Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Το επόμενο θεώρημα αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano και είναι γνωστό ως θεώρημα ενδιάμεσων τιμών ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση [ α Αν: η είναι συνεχής στο ( α ( η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ α και τότε για κάθε αριθμό η μεταξύ των (α και ( υπάρχει ένας τουλάχιστον ( α τέτοιος ώστε ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι θεωρήσουμε τη συνάρτηση η g είναι συνεχής στο g( α g( < αφού g ( α ( α η < και g ( ( η > η ( ( α < ( Τότε θα ισχύει ( α < η < ( (Σχ 67 Αν g( ( η [ α παρατηρούμε ότι: [ α και Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει ( α τέτοιο ώστε g ( η οπότε ( η ( ( η (a Α(α (α a 67 B( ( η
8 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΟ Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο διάστημα [ α τότε όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές ( η 68 η (a Με τη οήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι: a Η εικόνα (Δ ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα 69 ( a (α ( a ( Μ [ a (γ m Μ m [ ] a (δ Στην ειδική περίπτωση που το Δ είναι ένα κλειστό διάστημα παρακάτω θεώρημα [ α ισχύει το ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέγιστης και ελάχιστης τιμής Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο [ α τότε η παίρνει στο [ α μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m (Σχ 69δ
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 Δηλαδή υπάρχουν ισχύει [ α ] τέτοια ώστε αν m και M να ( ( ΣΧΟΛΙΟ m ( M για κάθε [ α Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το [ α είναι το κλειστό διάστημα [ m M] όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της Για παράδειγμα η συνάρτηση ( ημ [ π] έχει σύνολο τιμών το [ ] αφού είναι συνεχής στο [ π] με m και M 3π/ π/ π π 7 Τέλος αποδεικνύεται ότι: Aν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( α τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ( Α Β (Σχ 7α όπου Α lim ( και B lim ( α Αν όμως η είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο ( α τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ( B A (Σχ 7 7 B Α A Β ( a (α ( a ( Για παράδειγμα Το σύνολο τιμών της ( ln ( e η οποία είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής συνάρτηση (Σχ 7 είναι το διάστημα ( αφού
8 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ lim ( και lim ( e 7 73 e Το σύνολο τιμών της ( ( η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής συνάρτηση (Σχ 73 είναι το διάστημα ( αφού lim ( και lim ( Ανάλογα συμπεράσματα έχουμε και όταν μια συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε διαστήματα της μορφής [ α [ α και ( α ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να δειχτεί ότι η εξίσωση συν 4 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( π π ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση ( συν 4 [ ππ] Τότε: Η είναι συνεχής στο [ π π] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων Είναι ( π (π < αφού ( π π συνπ 4 π 5 < και ( π π συνπ 4 π 3 > Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ( ππ τέτοιο ώστε ( οπότε συν 4 και συνεπώς συν 4 Άρα η εξίσωση συν 4 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( ππ
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 83 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δυο συναρτήσεων Να ρείτε τα σημεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς 3 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο τις παρακάτω συναρτήσεις: i αν < 4 ( 3 ii < 3 ( αν iii 3 ( αν 3 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συνρτήσεις και μετά να χαράξετε τη γραφική τους παράσταση αν i > ( ii 5 6 5 ( iii iv < ln ( > ( e 3 35 3
84 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις i 3 ( ii > ημ < ( συν 5 Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς: i ( ημ(συν ii ( ln( iii ( ημ iv ( e ημ v ( ln(ln 6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ημ έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα ( π 7 Για κάθε μία από τις παρακάτω πολυωνυμικές συναρτήσεις να ρείτε έναν ακέραιο α τέτοιον ώστε στο διάστημα ( α α η εξίσωση ( να έχει μία τουλάχιστον ρίζα 3 5 i ( ii ( 4 3 iii ( 4 iv ( 8 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α ( μ( ν ( λ( ν γ( λ( μ όπου α γ > και λ < μ < ν έχει δυο ρίζες άνισες μια στο διάστημα ( λ μ και μια στο ( μ ν 9 Να ρείτε το πρόσημα της συνάρτησης για όλες τις πραγματικές τιμές του όταν: 3 i ( ii 4 ( 9 iii ( εφ 3 ( π π iv ( ημ συν [ π] Να ρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων i ( ln [ e] ii ( ( iii ( ημ π iv ( e ( ] 6
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 85 B ΟΜΑΔΑΣ ( κ( κ Αν ( να προσδιορίσετε το κ ώστε η κ 5 > να είναι συνεχής στο α < Αν ( 5 να ρείτε τις τιμές των α > τις οποίες η να είναι συνεχής στο α για 3 i Έστω μία συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο Να ρείτε το ( αν για κάθε * ισχύει ( συν ii Ομοίως να ρείτε το g( για τη συνάρτηση g που είναι συνεχής στο και για κάθε ισχύει g( ημ 4 Αν οι συναρτήσεις g είναι ορισμένες και συνεχείς στο [] και πληρούν τις σχέσεις ( < g( και ( > g( να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( τέτοιο ώστε ( ξ g( ξ 5 Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις: 4 6 α έχουν μια τουλάχιστον ρίζα στο ( e ln 6 Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g έχουν ένα ακριώς κοινό σημείο i ( e και g( ii ( ln και g( 7 i Έστω μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [ ] για την οποία ισχύει ( για κάθε [ ] α Να ρείτε τις ρίζες της εξίσωσης ( Να αποδείξετε ότι η διατηρεί το πρόσημό της στο διάστημα (
86 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ γ Ποιος μπορεί να είναι ο τύπος της και ποια η γραφική της παράσταση; ii Με ανάλογο τρόπο να ρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης στο σύνολο για την οποία ισχύει ( για κάθε 8 Δίνεται το τετράγωνο ΟΑΒΓ του διπλανού σχήματος και μία Γ( Β( συνεχής στο [] συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση ρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο αυτό i Να ρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων του τετραγώνου και Ο( Α( ii Να αποδείξετε με το θεώρημα του Bolzano ότι η τέμνει και τις δύο διαγώνιες 9 Στο διπλανό σχήμα η καμπύλη C είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που είναι συνεχής στο [α και το Μ ( είναι ένα σημείο του επιπέδου i Να ρείτε τον τύπο της απόστασης d ( ( M M του σημείου M ( από το σημείο M ( ( της C για κάθε [ α Μ ( Μ(( Α(α(α C a B( ( ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση d είναι συνεχής στο [ α και στη συνέχεια ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της C που απέχει από το λιγότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και έ- M να τουλάχιστον σημείο της που απέχει από το M περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της C