================================================= Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 79 21 251 Ασκήσεις σε µελέτη συνάρτησης ================================================= f( x ) = x 3 3 + 4 Υπολογίζουµε την πρώτη παράγωγο: f ' ( x ) = 3 6 x Βρίσκουµε τα διαστήµατα µονοτονίας: Στο τριώνυµο είναι: a= 3 β= -6 γ= = β 2 4 aγ => = 36 άρα οι ρίζες είναι: β + -,2 = 2 a = = 2 1
Γνωρίζουµε ότι το τριώνυµο είναι ετερόσηµο του συντελεστή α µόνον όταν το x βρίσκεται µεταξύ των ριζών του τριωνύµου. Στην προκειµένη περίπτωση έχουµε α =3 > άρα το τριώνυµο είναι αρνητικό και η συνάρτηση είναι φθίνουσα όταν < x < 2 και επίσης το τριώνυµο είναι θετικό και η συνάρτηση είναι αύξουσα όταν x < ή x > 2 Βρίσκουµε τα τοπικά ακρότατα: f ' ( x ) = = = 2 Υπολογίζουµε την δεύτερη παράγωγο: f '' ( x ) = 6 x 6 f '' ( ) = -6 < άρα έχουµε τοπικό µέγιστο όταν x = το οποίο είναι ίσο µε f ( ) = 4 f '' ( 2 ) = 6 > άρα έχουµε τοπικό ελάχιστο όταν x = 2 το οποίο είναι ίσο µε f (2 ) = Βρίσκουµε τα διαστήµατα που στρέφει τα κοίλα άνω ή κάτω: Στρέφει τα κοίλα άνω όταν f '' ( x ) > 2
< 6 x 6 1< t x > 1 Στρέφει τα κοίλα κάτω όταν f '' ( x ) < 6 x< 6 t< 1 x < 1 Βρίσκουµε τα σηµεία καµπής: f '' ( x ) = 6 x 6= x= 1 x= 1 3
Βρίσκουµε τις ρίζες της συνάρτησης: f( x) = x 3 3 + 4= Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου 4 δηλαδή οι αριθµοί, +- 1, +- 2, +- 4 οκιµάζοντας βρίσκουµε: f( -1) = άρα το πολυώνυµο έχει παράγοντα τον όρο x+ 1, και κάνοντας την διαίρεση βρίσκουµε: x 3 3 + 4 x+ 1 = ( x 2) 2 = 4 x+ 4 οπότε τελικά οι ρίζες είναι: = -1. = 2. x 3 = 2. Επίσης έχουµε: lim x ( ) ( x 3 3 + 4 ) = lim x ( x 3 3 + 4 ) = 4
Οπότε έχουµε την γραφική παράσταση: ================================================= Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 79 21 251 Ασκήσεις σε µελέτη συνάρτησης ================================================= f( x ) = x 3 6 + 9 x 4 5
Υπολογίζουµε την πρώτη παράγωγο: f ' ( x ) = 3 12 x+ 9 Βρίσκουµε τα διαστήµατα µονοτονίας: Στο τριώνυµο είναι: a= 3 β= -12 γ= 9 = β 2 4 aγ => = 36 άρα οι ρίζες είναι: β + -,2 = 2 a = 1 = 3 Γνωρίζουµε ότι το τριώνυµο είναι ετερόσηµο του συντελεστή α µόνον όταν το x βρίσκεται µεταξύ των ριζών του τριωνύµου. Στην προκειµένη περίπτωση έχουµε α =3 > άρα το τριώνυµο είναι αρνητικό και η συνάρτηση είναι φθίνουσα όταν 1 < x < 3 και επίσης το τριώνυµο είναι θετικό και η συνάρτηση είναι αύξουσα όταν x < 1 ή x > 3 6
Βρίσκουµε τα τοπικά ακρότατα: f ' ( x ) = = 1 = 3 Υπολογίζουµε την δεύτερη παράγωγο: f '' ( x ) = 6 x 12 f '' ( 1 ) = -6 < άρα έχουµε τοπικό µέγιστο όταν x = 1 το οποίο είναι ίσο µε f (1 ) = f '' ( 3 ) = 6 > άρα έχουµε τοπικό ελάχιστο όταν x = 3 το οποίο είναι ίσο µε f (3 ) = -4 Βρίσκουµε τα διαστήµατα που στρέφει τα κοίλα άνω ή κάτω: Στρέφει τα κοίλα άνω όταν f '' ( x ) > < 6 x 12 2< t 7
x > 2 Στρέφει τα κοίλα κάτω όταν f '' ( x ) < 6 x< 12 t< 2 x < 2 Βρίσκουµε τα σηµεία καµπής: f '' ( x ) = 6 x 12= x= 2 x= 2 Βρίσκουµε τις ρίζες της συνάρτησης: f( x) = 8
x 3 6 + 9 x 4= Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου -4 δηλαδή οι αριθµοί, +- 1, +- 2, +- 4 οκιµάζοντας βρίσκουµε: f( 1) = άρα το πολυώνυµο έχει παράγοντα τον όρο x 1, και κάνοντας την διαίρεση βρίσκουµε: x 3 6 + 9 x 4 x 1 = ( x 1 ) ( x 4) = 5 x+ 4 οπότε τελικά οι ρίζες είναι: = 1. = 1. x 3 = 4. Επίσης έχουµε: lim x ( ) ( x 3 6 + 9 x 4 ) = lim x ( x 3 6 + 9 x 4 ) = Οπότε έχουµε την γραφική παράσταση: 9
================================================= Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 79 21 251 Ασκήσεις σε µελέτη συνάρτησης ================================================= f( x ) = x 3 3 x 2 Υπολογίζουµε την πρώτη παράγωγο: 1
f ' ( x ) = 3 3 Βρίσκουµε τα διαστήµατα µονοτονίας: Στο τριώνυµο είναι: a= 3 β= γ= -3 = β 2 4 aγ => = 36 άρα οι ρίζες είναι: β + -,2 = 2 a = -1 = 1 Γνωρίζουµε ότι το τριώνυµο είναι ετερόσηµο του συντελεστή α µόνον όταν το x βρίσκεται µεταξύ των ριζών του τριωνύµου. Στην προκειµένη περίπτωση έχουµε α =3 > άρα το τριώνυµο είναι αρνητικό και η συνάρτηση είναι φθίνουσα όταν -1 < x < 1 και επίσης το τριώνυµο είναι θετικό και η συνάρτηση είναι αύξουσα όταν x < -1 ή x > 1 Βρίσκουµε τα τοπικά ακρότατα: 11
f ' ( x ) = = -1 = 1 Υπολογίζουµε την δεύτερη παράγωγο: f '' ( x ) = 6 x f '' ( -1 ) = -6 < άρα έχουµε τοπικό µέγιστο όταν x = -1 το οποίο είναι ίσο µε f (-1 ) = f '' ( 1 ) = 6 > άρα έχουµε τοπικό ελάχιστο όταν x = 1 το οποίο είναι ίσο µε f (1 ) = -4 Βρίσκουµε τα διαστήµατα που στρέφει τα κοίλα άνω ή κάτω: Στρέφει τα κοίλα άνω όταν f '' ( x ) > < 6 x < t x > Στρέφει τα κοίλα κάτω όταν f '' ( x ) < 12
6 x< t< x < Βρίσκουµε τα σηµεία καµπής: f '' ( x ) = 6 x= x= x= Βρίσκουµε τις ρίζες της συνάρτησης: f( x) = x 3 3 x 2= Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου -2 13
δηλαδή οι αριθµοί, +- 1, +- 2 οκιµάζοντας βρίσκουµε: f( -1) = άρα το πολυώνυµο έχει παράγοντα τον όρο x+ 1, και κάνοντας την διαίρεση βρίσκουµε: x 3 3 x 2 x+ 1 = = ( x+ 1 ) ( x 2) x 2 οπότε τελικά οι ρίζες είναι: = -1. = -1. x 3 = 2. Επίσης έχουµε: lim x ( ) ( x 3 3 x 2) = lim x ( x 3 3 x 2) = Οπότε έχουµε την γραφική παράσταση: 14
================================================= Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 79 21 251 Ασκήσεις σε µελέτη συνάρτησης ================================================= f( x ) = x 3 + 3 Υπολογίζουµε την πρώτη παράγωγο: 15
f ' ( x ) = 3 + 6 x Βρίσκουµε τα διαστήµατα µονοτονίας: Στο τριώνυµο είναι: a= 3 β= 6 γ= = β 2 4 aγ => = 36 άρα οι ρίζες είναι: β + -,2 = 2 a = -2 = Γνωρίζουµε ότι το τριώνυµο είναι ετερόσηµο του συντελεστή α µόνον όταν το x βρίσκεται µεταξύ των ριζών του τριωνύµου. Στην προκειµένη περίπτωση έχουµε α =3 > άρα το τριώνυµο είναι αρνητικό και η συνάρτηση είναι φθίνουσα όταν -2 < x < και επίσης το τριώνυµο είναι θετικό και η συνάρτηση είναι αύξουσα όταν x < -2 ή x > Βρίσκουµε τα τοπικά ακρότατα: 16
f ' ( x ) = = -2 = Υπολογίζουµε την δεύτερη παράγωγο: f '' ( x ) = 6 x+ 6 f '' ( -2 ) = -6 < άρα έχουµε τοπικό µέγιστο όταν x = -2 το οποίο είναι ίσο µε f (-2 ) = 4 f '' ( ) = 6 > άρα έχουµε τοπικό ελάχιστο όταν x = το οποίο είναι ίσο µε f ( ) = Βρίσκουµε τα διαστήµατα που στρέφει τα κοίλα άνω ή κάτω: Στρέφει τα κοίλα άνω όταν f '' ( x ) > < 6 x+ 6-1< t x > -1 Στρέφει τα κοίλα κάτω όταν f '' ( x ) < 17
6 x< -6 t< -1 x < -1 Βρίσκουµε τα σηµεία καµπής: f '' ( x ) = 6 x+ 6= x= -1 x= -1 Βρίσκουµε τις ρίζες της συνάρτησης: f( x) = x 3 + 3 = Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου 18
δηλαδή οι αριθµοί οκιµάζοντας βρίσκουµε: f( -3) = άρα το πολυώνυµο έχει παράγοντα τον όρο x+ 3, και κάνοντας την διαίρεση βρίσκουµε: x 3 + 3 x+ 3 = = οπότε τελικά οι ρίζες είναι: = -3. =. x 3 =. Επίσης έχουµε: lim x ( ) ( x 3 + 3 ) = lim x ( x 3 + 3 ) = Οπότε έχουµε την γραφική παράσταση: 19
================================================= Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 79 21 251 Ασκήσεις σε µελέτη συνάρτησης ================================================= f( x ) = x 3 + 15 + 72 x+ 112 Υπολογίζουµε την πρώτη παράγωγο: 2
f ' ( x ) = 3 + 3 x+ 72 Βρίσκουµε τα διαστήµατα µονοτονίας: Στο τριώνυµο είναι: a= 3 β= 3 γ= 72 = β 2 4 aγ => = 36 άρα οι ρίζες είναι: β + -,2 = 2 a = -6 = -4 Γνωρίζουµε ότι το τριώνυµο είναι ετερόσηµο του συντελεστή α µόνον όταν το x βρίσκεται µεταξύ των ριζών του τριωνύµου. Στην προκειµένη περίπτωση έχουµε α =3 > άρα το τριώνυµο είναι αρνητικό και η συνάρτηση είναι φθίνουσα όταν -6 < x < -4 και επίσης το τριώνυµο είναι θετικό και η συνάρτηση είναι αύξουσα όταν x < -6 ή x > -4 Βρίσκουµε τα τοπικά ακρότατα: 21
f ' ( x ) = = -6 = -4 Υπολογίζουµε την δεύτερη παράγωγο: f '' ( x ) = 6 x+ 3 f '' ( -6 ) = -6 < άρα έχουµε τοπικό µέγιστο όταν x = -6 το οποίο είναι ίσο µε f (-6 ) = 4 f '' ( -4 ) = 6 > άρα έχουµε τοπικό ελάχιστο όταν x = -4 το οποίο είναι ίσο µε f (-4 ) = Βρίσκουµε τα διαστήµατα που στρέφει τα κοίλα άνω ή κάτω: Στρέφει τα κοίλα άνω όταν f '' ( x ) > < 6 x+ 3-5< t x > -5 Στρέφει τα κοίλα κάτω όταν f '' ( x ) < 22
6 x< -3 t< -5 x < -5 Βρίσκουµε τα σηµεία καµπής: f '' ( x ) = 6 x+ 3= x= -5 x= -5 Βρίσκουµε τις ρίζες της συνάρτησης: f( x) = x 3 + 15 + 72 x+ 112= Οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου 112 23
δηλαδή οι αριθµοί, +- 1, +- 2, +- 4, +- 7, +- 8, +- 14, +- 16, +- 28, +- 56, +- 112 οκιµάζοντας βρίσκουµε: f( -7) = άρα το πολυώνυµο έχει παράγοντα τον όρο x+ 7, και κάνοντας την διαίρεση βρίσκουµε: x 3 + 15 + 72 x+ 112 = ( x+ 4) 2 x+ 7 = + 8 x+ 16 οπότε τελικά οι ρίζες είναι: = -7. = -4. x 3 = -4. Επίσης έχουµε: lim x ( ) ( x 3 + 15 + 72 x+ 112 ) = lim x ( x 3 + 15 + 72 x+ 112 ) = Οπότε έχουµε την γραφική παράσταση: 24
25