limiting distribution Andi Kresna Jaya andikresna@yahoo.com Jurusan Matematika July 5, 2014
Outline 1 Review 2 Motivasi 3 Konvergen dalam peluang 4 Konvergen dalam distribusi Back
Outline 1 Review 2 Motivasi 3 Konvergen dalam peluang 4 Konvergen dalam distribusi Back
Outline 1 Review 2 Motivasi 3 Konvergen dalam peluang 4 Konvergen dalam distribusi Back
Outline 1 Review 2 Motivasi 3 Konvergen dalam peluang 4 Konvergen dalam distribusi Back
Sasaran pembelajaran: Mampu menjelaskan kekonvergenan dalam distribusi dan kekonvergenan dalam peluang 1 Kemampuan memahami konsep kekonvergenan untuk barisan peubah acak 2 Ketepatan dalam memperoleh kekonvergenan dalam peluang 3 Ketepatan dalam memperoleh kekonvergenan dalam distribusi Metode: Kuliah dan Diskusi Text book: Hogg dan Craig, Introduction to Mathematical Statistics; Casella dan Berger, Statistical Inference
Opening Pertemuan Dua Kereta Api Sebuah kereta api berangkat dari Jakarta menuju Semarang pada jam 13.00 dengan kecepatan 50 km/jam. Tiga jam kemudian (jam 16.00), kereta api lain berangkat dari Semarang menuju Jakarta dengan kecepatan 25 km/jam. Jarak antara Jakarta - Semarang adalah 450 km. Pada jam berapa kedua kereta api ini akan
Motivation Pembahasan di sini difokuskan pada fungsi kepadatan peluang dari sebuah peubah acak (fungsi dari sampel acak) yang bergantung pada ukuran sampel n. Ketaksamaan Chebyshev memberikan arah pembuktian untuk menunjukkan kekonvergenan barisan peubah acak. P( X µ kσ) 1 1 P( X µ < kσ) 1 k2 k 2. Jika X 1, X 2,, X n adalah barisan peubah acak dan Y n = u(x 1, X 2,, X n ) merupakan fungsi dari peubah-peubah acak tersebut, mampukah kita mendapatkan secara eksak distribusi dari Y n. Jika tidak, dapatkah diperoleh pendekatan untuk distribusinya ketika n menjadi sangat besar limiting distributions.
Motivation Pembahasan di sini difokuskan pada fungsi kepadatan peluang dari sebuah peubah acak (fungsi dari sampel acak) yang bergantung pada ukuran sampel n. Ketaksamaan Chebyshev memberikan arah pembuktian untuk menunjukkan kekonvergenan barisan peubah acak. P( X µ kσ) 1 1 P( X µ < kσ) 1 k2 k 2. Jika X 1, X 2,, X n adalah barisan peubah acak dan Y n = u(x 1, X 2,, X n ) merupakan fungsi dari peubah-peubah acak tersebut, mampukah kita mendapatkan secara eksak distribusi dari Y n. Jika tidak, dapatkah diperoleh pendekatan untuk distribusinya ketika n menjadi sangat besar limiting distributions.
Motivation Pembahasan di sini difokuskan pada fungsi kepadatan peluang dari sebuah peubah acak (fungsi dari sampel acak) yang bergantung pada ukuran sampel n. Ketaksamaan Chebyshev memberikan arah pembuktian untuk menunjukkan kekonvergenan barisan peubah acak. P( X µ kσ) 1 1 P( X µ < kσ) 1 k2 k 2. Jika X 1, X 2,, X n adalah barisan peubah acak dan Y n = u(x 1, X 2,, X n ) merupakan fungsi dari peubah-peubah acak tersebut, mampukah kita mendapatkan secara eksak distribusi dari Y n. Jika tidak, dapatkah diperoleh pendekatan untuk distribusinya ketika n menjadi sangat besar limiting distributions.
Motivation Pembahasan di sini difokuskan pada fungsi kepadatan peluang dari sebuah peubah acak (fungsi dari sampel acak) yang bergantung pada ukuran sampel n. Ketaksamaan Chebyshev memberikan arah pembuktian untuk menunjukkan kekonvergenan barisan peubah acak. P( X µ kσ) 1 1 P( X µ < kσ) 1 k2 k 2. Jika X 1, X 2,, X n adalah barisan peubah acak dan Y n = u(x 1, X 2,, X n ) merupakan fungsi dari peubah-peubah acak tersebut, mampukah kita mendapatkan secara eksak distribusi dari Y n. Jika tidak, dapatkah diperoleh pendekatan untuk distribusinya ketika n menjadi sangat besar limiting distributions.
Convergence in probability Definisi 1 Misalkan {X n } adalah barisan peubah acak dan X adalah sebuah peubah acak yang terdefinisi pada suatu ruang sampel. X n konvergen dalam peluang ke X jika untuk setiap ɛ > 0 berlaku atau lim P( X n X ɛ) = 0, n lim P( X n X < ɛ) = 1. n Notasi untuk menyatakan X n konvergen dalam peluang ke X adalah X n p X. Cara yang paling sederhana untuk menunjukkan kekonvergenan dalam peluang barisan peubah acak ke peubah acak tertentu adalah dengan menggunakan teorema Chebyshev.
Convergence in probability Definisi 1 Misalkan {X n } adalah barisan peubah acak dan X adalah sebuah peubah acak yang terdefinisi pada suatu ruang sampel. X n konvergen dalam peluang ke X jika untuk setiap ɛ > 0 berlaku atau lim P( X n X ɛ) = 0, n lim P( X n X < ɛ) = 1. n Notasi untuk menyatakan X n konvergen dalam peluang ke X adalah X n p X. Cara yang paling sederhana untuk menunjukkan kekonvergenan dalam peluang barisan peubah acak ke peubah acak tertentu adalah dengan menggunakan teorema Chebyshev.
example 1 Misalkan X n adalah mean sampel dari sebuah distribusi yang meannya µ dan variansinya σ 2 > 0. Maka X n berdistribusi dengan mean µ dan variansinya σ 2 /n. Untuk setiap ɛ > 0, pilih k = ɛ n/σ, maka P ( X n µ ɛ ) ( = P X n µ kσ ) n Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, P ( X n µ ɛ ) 1 k 2 = σ2 ɛ 2 n Jika n maka P ( X n µ ɛ ) = 0. Hal ini berarti X p µ
example 1 Misalkan X n adalah mean sampel dari sebuah distribusi yang meannya µ dan variansinya σ 2 > 0. Maka X n berdistribusi dengan mean µ dan variansinya σ 2 /n. Untuk setiap ɛ > 0, pilih k = ɛ n/σ, maka P ( X n µ ɛ ) ( = P X n µ kσ ) n Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, P ( X n µ ɛ ) 1 k 2 = σ2 ɛ 2 n Jika n maka P ( X n µ ɛ ) = 0. Hal ini berarti X p µ
example 1 Misalkan X n adalah mean sampel dari sebuah distribusi yang meannya µ dan variansinya σ 2 > 0. Maka X n berdistribusi dengan mean µ dan variansinya σ 2 /n. Untuk setiap ɛ > 0, pilih k = ɛ n/σ, maka P ( X n µ ɛ ) ( = P X n µ kσ ) n Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, P ( X n µ ɛ ) 1 k 2 = σ2 ɛ 2 n Jika n maka P ( X n µ ɛ ) = 0. Hal ini berarti X p µ
example 1 Misalkan X n adalah mean sampel dari sebuah distribusi yang meannya µ dan variansinya σ 2 > 0. Maka X n berdistribusi dengan mean µ dan variansinya σ 2 /n. Untuk setiap ɛ > 0, pilih k = ɛ n/σ, maka P ( X n µ ɛ ) ( = P X n µ kσ ) n Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, P ( X n µ ɛ ) 1 k 2 = σ2 ɛ 2 n Jika n maka P ( X n µ ɛ ) = 0. Hal ini berarti X p µ
example 1 Misalkan X n adalah mean sampel dari sebuah distribusi yang meannya µ dan variansinya σ 2 > 0. Maka X n berdistribusi dengan mean µ dan variansinya σ 2 /n. Untuk setiap ɛ > 0, pilih k = ɛ n/σ, maka P ( X n µ ɛ ) ( = P X n µ kσ ) n Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, P ( X n µ ɛ ) 1 k 2 = σ2 ɛ 2 n Jika n maka P ( X n µ ɛ ) = 0. Hal ini berarti X p µ
Teorema 1 {X n } adalah barisan peubah acak yang iid dengan mean µ dan variansi σ 2 <. Teorema 2 X n = 1 n n p X i X n µ. i=1 X n p X dan Yn p Y Xn + Y n p X + Y. Teorema 3 X n p X dan a adalah konstan Xn + Y n p X + Y. Teorema 4 X n p a dan g adalah fungsi real yang kontinu di a g(x n ) p g(a).
Teorema 5 X n p X dan Yn p Y Xn Y n p X Y. Definisi 2 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi yang fungsi peluang kumulatif F (x, θ), θ Ω. T n adalah fungsi dari sampel acak (statistik), T n adalah penaksir konsisten untuk θ jika T n p θ.
Example 2 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari sebuah distribusi dengam mean µ dan variansi σ 2. Misalkan variansi sampelnya Sn 2 = 1 n ( ) 2 Xi X n n 1 maka S 2 n = ( n 1 n 1 n i=1 n i=1 X 2 i X 2 n ) p σ 2 Variansi sampel adalah penaksir konsisten untuk σ 2.
Example 2 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari sebuah distribusi dengam mean µ dan variansi σ 2. Misalkan variansi sampelnya Sn 2 = 1 n ( ) 2 Xi X n n 1 maka S 2 n = ( n 1 n 1 n i=1 n i=1 X 2 i X 2 n ) p σ 2 Variansi sampel adalah penaksir konsisten untuk σ 2.
Example 2 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari sebuah distribusi dengam mean µ dan variansi σ 2. Misalkan variansi sampelnya Sn 2 = 1 n ( ) 2 Xi X n n 1 maka S 2 n = ( n 1 n 1 n i=1 n i=1 X 2 i X 2 n ) p σ 2 Variansi sampel adalah penaksir konsisten untuk σ 2.
Convergence in distribution Perhatikan bahwa X 1, X 2,, X n adalah barisan peubah acak dan Y n = u(x 1, X 2,, X n ) adalah sebuah fungsi peubah acak dengan fungsi peluang kumulatif F n (y) sehingga untuk n = 1, 2, F n (y) = P(Y n y) lim F n(y) = F (y) n Jika F (y) adalah fungsi kontinu, maka Y n dikatakan konvergen dalam distribusi ke Y. Y n D Y
Convergence in distribution Perhatikan bahwa X 1, X 2,, X n adalah barisan peubah acak dan Y n = u(x 1, X 2,, X n ) adalah sebuah fungsi peubah acak dengan fungsi peluang kumulatif F n (y) sehingga untuk n = 1, 2, F n (y) = P(Y n y) lim F n(y) = F (y) n Jika F (y) adalah fungsi kontinu, maka Y n dikatakan konvergen dalam distribusi ke Y. Y n D Y
Definisi 3 Misalkan {X n } adalah barisan sampel acak dan X adalah sebuah peubah acak. Misalkan F Xn dan F X merupakan fungsi peluang kumulatif dari X n dan X. Misalkan C(F X ) adalah himpunan semua titik sehingga F X kontinu. X n konvergen dalam distribusi ke X jika lim F X n n (x) = F X (x), x C(F X ). Misalkan X n adalah sampel acak yang semuanya mempunyai massa 1/n dan misalkan X adalah peubah acak yang massanya 0. Massa untuk X n konvergen ke 0. Untuk titik diskontinu dari F X, perhatikan bahwa lim F Xn (0) = 0 1 = F X (0). Untuk titik kontinu dari F X, berlaku lim F Xn (x) = F X (x). X n D X.
Definisi 3 Misalkan {X n } adalah barisan sampel acak dan X adalah sebuah peubah acak. Misalkan F Xn dan F X merupakan fungsi peluang kumulatif dari X n dan X. Misalkan C(F X ) adalah himpunan semua titik sehingga F X kontinu. X n konvergen dalam distribusi ke X jika lim F X n n (x) = F X (x), x C(F X ). Misalkan X n adalah sampel acak yang semuanya mempunyai massa 1/n dan misalkan X adalah peubah acak yang massanya 0. Massa untuk X n konvergen ke 0. Untuk titik diskontinu dari F X, perhatikan bahwa lim F Xn (0) = 0 1 = F X (0). Untuk titik kontinu dari F X, berlaku lim F Xn (x) = F X (x). X n D X.
Definisi 3 Misalkan {X n } adalah barisan sampel acak dan X adalah sebuah peubah acak. Misalkan F Xn dan F X merupakan fungsi peluang kumulatif dari X n dan X. Misalkan C(F X ) adalah himpunan semua titik sehingga F X kontinu. X n konvergen dalam distribusi ke X jika lim F X n n (x) = F X (x), x C(F X ). Misalkan X n adalah sampel acak yang semuanya mempunyai massa 1/n dan misalkan X adalah peubah acak yang massanya 0. Massa untuk X n konvergen ke 0. Untuk titik diskontinu dari F X, perhatikan bahwa lim F Xn (0) = 0 1 = F X (0). Untuk titik kontinu dari F X, berlaku lim F Xn (x) = F X (x). X n D X.
Definisi 3 Misalkan {X n } adalah barisan sampel acak dan X adalah sebuah peubah acak. Misalkan F Xn dan F X merupakan fungsi peluang kumulatif dari X n dan X. Misalkan C(F X ) adalah himpunan semua titik sehingga F X kontinu. X n konvergen dalam distribusi ke X jika lim F X n n (x) = F X (x), x C(F X ). Misalkan X n adalah sampel acak yang semuanya mempunyai massa 1/n dan misalkan X adalah peubah acak yang massanya 0. Massa untuk X n konvergen ke 0. Untuk titik diskontinu dari F X, perhatikan bahwa lim F Xn (0) = 0 1 = F X (0). Untuk titik kontinu dari F X, berlaku lim F Xn (x) = F X (x). X n D X.
Example 3 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, 1). Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Perhatikan bahwa fkp distribusi seragam adalah f (x) = 1, 0 < x < 1 dan fungsi kumulatifnya, F (x) = x, 0 < x < 1. Misalkan F n (x) = P(X (n) x) adalah fungsi peluang kumulatif untuk X (n), maka n F n (x) = P(X i x) = i=1 n F (x) i=1 = x n, 0 < x < 1.
Example 3 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, 1). Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Perhatikan bahwa fkp distribusi seragam adalah f (x) = 1, 0 < x < 1 dan fungsi kumulatifnya, F (x) = x, 0 < x < 1. Misalkan F n (x) = P(X (n) x) adalah fungsi peluang kumulatif untuk X (n), maka n F n (x) = P(X i x) = i=1 n F (x) i=1 = x n, 0 < x < 1.
Example 3 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, 1). Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Perhatikan bahwa fkp distribusi seragam adalah f (x) = 1, 0 < x < 1 dan fungsi kumulatifnya, F (x) = x, 0 < x < 1. Misalkan F n (x) = P(X (n) x) adalah fungsi peluang kumulatif untuk X (n), maka n F n (x) = P(X i x) = i=1 n F (x) i=1 = x n, 0 < x < 1.
Example 3 Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, 1). Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Perhatikan bahwa fkp distribusi seragam adalah f (x) = 1, 0 < x < 1 dan fungsi kumulatifnya, F (x) = x, 0 < x < 1. Misalkan F n (x) = P(X (n) x) adalah fungsi peluang kumulatif untuk X (n), maka n F n (x) = P(X i x) = i=1 n F (x) i=1 = x n, 0 < x < 1.
Example 3 Maka dari hasil tersebut diperoleh lim n(x) n = 0, x < 1 lim n(x) n = 1, x 1. Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Ini berarti X (n) D X yang mempunyai fungsi distribusi F (x) = 0 untuk x < 1 dan F (x) = 1 ketika x 1. Degenerate Distribution (distribusi peluang yang hanya ditentukan oleh satu nilai) Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, θ). Tentukan distribusi limit untuk Z n = n(θ X (n) ), di mana X (n) adalah statistik terurut ke-n dari sampel acak distribusi Unif (0, θ).
Example 3 Maka dari hasil tersebut diperoleh lim n(x) n = 0, x < 1 lim n(x) n = 1, x 1. Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Ini berarti X (n) D X yang mempunyai fungsi distribusi F (x) = 0 untuk x < 1 dan F (x) = 1 ketika x 1. Degenerate Distribution (distribusi peluang yang hanya ditentukan oleh satu nilai) Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, θ). Tentukan distribusi limit untuk Z n = n(θ X (n) ), di mana X (n) adalah statistik terurut ke-n dari sampel acak distribusi Unif (0, θ).
Example 3 Maka dari hasil tersebut diperoleh lim n(x) n = 0, x < 1 lim n(x) n = 1, x 1. Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Ini berarti X (n) D X yang mempunyai fungsi distribusi F (x) = 0 untuk x < 1 dan F (x) = 1 ketika x 1. Degenerate Distribution (distribusi peluang yang hanya ditentukan oleh satu nilai) Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, θ). Tentukan distribusi limit untuk Z n = n(θ X (n) ), di mana X (n) adalah statistik terurut ke-n dari sampel acak distribusi Unif (0, θ).
Example 3 Maka dari hasil tersebut diperoleh lim n(x) n = 0, x < 1 lim n(x) n = 1, x 1. Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Ini berarti X (n) D X yang mempunyai fungsi distribusi F (x) = 0 untuk x < 1 dan F (x) = 1 ketika x 1. Degenerate Distribution (distribusi peluang yang hanya ditentukan oleh satu nilai) Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, θ). Tentukan distribusi limit untuk Z n = n(θ X (n) ), di mana X (n) adalah statistik terurut ke-n dari sampel acak distribusi Unif (0, θ).
Example 3 Maka dari hasil tersebut diperoleh lim n(x) n = 0, x < 1 lim n(x) n = 1, x 1. Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Ini berarti X (n) D X yang mempunyai fungsi distribusi F (x) = 0 untuk x < 1 dan F (x) = 1 ketika x 1. Degenerate Distribution (distribusi peluang yang hanya ditentukan oleh satu nilai) Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, θ). Tentukan distribusi limit untuk Z n = n(θ X (n) ), di mana X (n) adalah statistik terurut ke-n dari sampel acak distribusi Unif (0, θ).
Example 3 Maka dari hasil tersebut diperoleh lim n(x) n = 0, x < 1 lim n(x) n = 1, x 1. Tentukan distribusi limit untuk X (n), statistik terurut ke-n. Ini berarti X (n) D X yang mempunyai fungsi distribusi F (x) = 0 untuk x < 1 dan F (x) = 1 ketika x 1. Degenerate Distribution (distribusi peluang yang hanya ditentukan oleh satu nilai) Misalkan X 1, X 2,, X n adalah sampel acak dari distribusi seragam, Unif (0, θ). Tentukan distribusi limit untuk Z n = n(θ X (n) ), di mana X (n) adalah statistik terurut ke-n dari sampel acak distribusi Unif (0, θ).
Perhatikan bahwa f (x) = 1/θ, 0 < x < θ dan P(X x) = x/θ, 0 < x < θ. Maka n P(X (n) x) = P(X x) i=1 ( x ) n =, 0 < x < θ. θ Maka fungsi distribusi untuk Z n adalah G n (z) = P(Z n z) = P(n(θ X (n) ) z) ( = P X (n) > θ z ) ( n = 1 P X (n) θ z ) ( n = 1 1 z ) n nθ
Perhatikan bahwa f (x) = 1/θ, 0 < x < θ dan P(X x) = x/θ, 0 < x < θ. Maka n P(X (n) x) = P(X x) i=1 ( x ) n =, 0 < x < θ. θ Maka fungsi distribusi untuk Z n adalah G n (z) = P(Z n z) = P(n(θ X (n) ) z) ( = P X (n) > θ z ) ( n = 1 P X (n) θ z ) ( n = 1 1 z ) n nθ
Example 4 Misalkan sampel acak X 1, X 2,, X n sehingga X n mempunyai fkp dan nol untuk yang lain. Maka untuk < x < f n (x) = 1, x = 2 + 1 n, lim f n(x) = 0. n f n (x) konvergen ke f (x) = 0 yang bukan merupakan sebuah fkp. Walaupun demikian diperoleh fungsi distribusinya F n (x) = 0 untuk x < 2 + 1 n F n (x) = 1 untuk x 2 + 1 n.
Example 4 Misalkan sampel acak X 1, X 2,, X n sehingga X n mempunyai fkp dan nol untuk yang lain. Maka untuk < x < f n (x) = 1, x = 2 + 1 n, lim f n(x) = 0. n f n (x) konvergen ke f (x) = 0 yang bukan merupakan sebuah fkp. Walaupun demikian diperoleh fungsi distribusinya F n (x) = 0 untuk x < 2 + 1 n F n (x) = 1 untuk x 2 + 1 n.
Example 4 Misalkan sampel acak X 1, X 2,, X n sehingga X n mempunyai fkp dan nol untuk yang lain. Maka untuk < x < f n (x) = 1, x = 2 + 1 n, lim f n(x) = 0. n f n (x) konvergen ke f (x) = 0 yang bukan merupakan sebuah fkp. Walaupun demikian diperoleh fungsi distribusinya F n (x) = 0 untuk x < 2 + 1 n F n (x) = 1 untuk x 2 + 1 n.
Example 4 Misalkan sampel acak X 1, X 2,, X n sehingga X n mempunyai fkp dan nol untuk yang lain. Maka untuk < x < f n (x) = 1, x = 2 + 1 n, lim f n(x) = 0. n f n (x) konvergen ke f (x) = 0 yang bukan merupakan sebuah fkp. Walaupun demikian diperoleh fungsi distribusinya F n (x) = 0 untuk x < 2 + 1 n F n (x) = 1 untuk x 2 + 1 n.
Example 4 Misalkan sampel acak X 1, X 2,, X n sehingga X n mempunyai fkp dan nol untuk yang lain. Maka untuk < x < f n (x) = 1, x = 2 + 1 n, lim f n(x) = 0. n f n (x) konvergen ke f (x) = 0 yang bukan merupakan sebuah fkp. Walaupun demikian diperoleh fungsi distribusinya F n (x) = 0 untuk x < 2 + 1 n F n (x) = 1 untuk x 2 + 1 n.
Example 4 Misalkan sampel acak X 1, X 2,, X n sehingga X n mempunyai fkp dan nol untuk yang lain. Maka untuk < x < f n (x) = 1, x = 2 + 1 n, lim f n(x) = 0. n f n (x) konvergen ke f (x) = 0 yang bukan merupakan sebuah fkp. Walaupun demikian diperoleh fungsi distribusinya F n (x) = 0 untuk x < 2 + 1 n F n (x) = 1 untuk x 2 + 1 n.
Example 5 Misalkan X 1, X 2,, X n sampel acak dari distribusi N(µ, σ 2 ), tunjukkan bahwa Z n = n i=1 X i tidak mempunyai limit distribusi. Z n berdistribusi N(nµ, nσ 2 ), maka fungsi distribusinya ( Zn nµ F n (z) = P(Z n z) = P σ z nµ ) n σ n ( ) z nµ = Φ σ n di mana Φ adalah fungsi distribusi dari distribusi N(0, 1). Jika µ < 0, maka F n (z) 1 untuk < z <. Jika µ = 0, maka F n (z) 0.5 untuk < z <. Jika µ > 0, maka F n (z) 0 untuk < z <.
Example 5 Misalkan X 1, X 2,, X n sampel acak dari distribusi N(µ, σ 2 ), tunjukkan bahwa Z n = n i=1 X i tidak mempunyai limit distribusi. Z n berdistribusi N(nµ, nσ 2 ), maka fungsi distribusinya ( Zn nµ F n (z) = P(Z n z) = P σ z nµ ) n σ n ( ) z nµ = Φ σ n di mana Φ adalah fungsi distribusi dari distribusi N(0, 1). Jika µ < 0, maka F n (z) 1 untuk < z <. Jika µ = 0, maka F n (z) 0.5 untuk < z <. Jika µ > 0, maka F n (z) 0 untuk < z <.
Example 5 Misalkan X 1, X 2,, X n sampel acak dari distribusi N(µ, σ 2 ), tunjukkan bahwa Z n = n i=1 X i tidak mempunyai limit distribusi. Z n berdistribusi N(nµ, nσ 2 ), maka fungsi distribusinya ( Zn nµ F n (z) = P(Z n z) = P σ z nµ ) n σ n ( ) z nµ = Φ σ n di mana Φ adalah fungsi distribusi dari distribusi N(0, 1). Jika µ < 0, maka F n (z) 1 untuk < z <. Jika µ = 0, maka F n (z) 0.5 untuk < z <. Jika µ > 0, maka F n (z) 0 untuk < z <.
Example 5 Misalkan X 1, X 2,, X n sampel acak dari distribusi N(µ, σ 2 ), tunjukkan bahwa Z n = n i=1 X i tidak mempunyai limit distribusi. Z n berdistribusi N(nµ, nσ 2 ), maka fungsi distribusinya ( Zn nµ F n (z) = P(Z n z) = P σ z nµ ) n σ n ( ) z nµ = Φ σ n di mana Φ adalah fungsi distribusi dari distribusi N(0, 1). Jika µ < 0, maka F n (z) 1 untuk < z <. Jika µ = 0, maka F n (z) 0.5 untuk < z <. Jika µ > 0, maka F n (z) 0 untuk < z <.
Closing