17 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΤΞΗΣ ((ΩΜΤΡΙΙ --ΤΡΙΙΩΝΟΜΤΡΙΙ)) ΚΦΛΙΙΟ 1 οο εεωμεετίί. 1. 1 68. Τι ονομάζετι Τίγωνο κι ποι τ κύι στοιχεί του; Ονομάζετι τίγωνο το επίπεδο σχήμ που οίζετι πό τί μη συνευθεικά σημεί τ οποί συνδέοντι με ευθύγμμ τμήμτ. Τ κύι στοιχεί ενός τιγώνου είνι, οι πλευές του κι οι γωνίες του Πλευές του τιγώνου ονομάζοντι τ ευθύγμμ τμήμτ που συνδέουν τις κουφές του. ωνίες του τιγώνου ονομάζοντι οι γωνίες που οίζοντι πό τις πλευές του. 69. Ποι είνι τ είδη των τιγώνων ως πος τις πλευές, κι ως πος τις γωνίες τους; Έν τίγωνο που εξετάζετι ως πος τις πλευές του λέγετι: σκληνό, ν οι πλευές του είνι άνισες, ισοσκελές, ν δύο πλευές του είνι ίσες, ισόπλευο, ν κι οι τεις πλευές του είνι ίσες. Έν τίγωνο που εξετάζετι ως πος τις γωνίες του λέγετι: οξυγώνιο, ν όλες του οι γωνίες είνι οξείες, οθογώνιο, ν μί γωνί του είνι οθή, μβλυγώνιο, ν μί γωνί του είνι μβλεί. Ισογώνιο ν όλες οι γωνίες του είνι ίσες 70. Τι ονομάζετι διάμεσος, διχοτόμος, ύψος, τιγώνου. ιάμεσος ενός τιγώνου ονομάζετι το ευθύγμμο τμήμ που συνδέει μι κουφή του με το μέσο της πένντι πλευάς.κάθε τίγωνο έχει τεις διάμεσους που συμβολίζοντι μ, μ β, μ γ ντίστοιχ κι διέχοντι το ίδιο σημείο. ιχοτόμος μις γωνίς ενός τιγώνου ονομάζετι το ευθύγμμο τμήμ που συνδέει την κουφή σκληνό γ οξυγώνιο μβλυγώνιο >90 ισοσκελές δ δ β μ β μ Κ Ο Μ δ γ β ισόπλευο οθογώνιο μ γ ισογώνιο
18 της γωνίς με την πένντι πλευά κι διχοτομεί τη γωνί υτή. Κάθε τίγωνο έχει τεις διχοτόμους που συμβολίζοντι δ, δ β, δ γ ντίστοιχ κι διέχοντι πό το ίδιο σημείο. Ύψος ενός τιγώνου ονομάζετι το ευθύγμμο τμήμ που φένουμε πό μι κουφή του κάθετο πος την ευθεί της πένντι πλευάς. Κάθε τίγωνο έχει τί ύψη που συμβολίζοντι υ, υ β, υ γ ντίστοιχ κι διέχοντι το ίδιο σημείο. 71. Πότε δύο τίγων λέγοντι ίσ ; ύο τίγων λέγοντι ίσ, ότν έχουν τις γωνίες τους ίσες κι τις ομόλογες πλευές τους ( πλευές πένντι πό ίσες γωνίες ) ίσες μί πος μί. Έτσι ν τ τίγων κι είνι ίσ τότε: υ υ β Η υ γ ωνίες Ομόλογες πλευές 7. Πότε δύο τίγων είνι ίσ; ( Κιτήι ισότητς τιγώνων) Κιτήιο (Π. Π. Π.) ύο τίγων είνι ίσ, ότν οι τεις πλευές του ενός είνι ίσες με τις τεις πλευές του άλλου μί πος μί. Τ τίγων κι έχουν: οπότε είνι Κιτήιο ( Π.. Π. ) ύο τίγων είνι ίσ ότν οι δύο πλευές κι η πειεχόμενη σ υτές γωνί του ενός είνι ίσες με τις δύο πλευές κι την πειεχόμενη σ υτές γω- νί του άλλου ντίστοιχ. Τ τίγων κι έχουν:
19 οπότε είνι Κιτήιο (Π...) ύο τίγων είνι ίσ, ότν η μί πλευά κι οι ποσκείμενες σ υτήν γωνίες του ενός είνι ίσες με την μί πλευά κι τις ποσκείμενες σ υτήν γωνίες του άλλου ντίστοιχ. Τ τίγων κι έχουν: οπότε είνι 73. Πότε δύο οθογώνι τίγων είνι ίσ; ( Κιτήι ισότητς οθογωνίων τιγώνων ) ύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν οι δύο κάθετες πλευές του ενός είνι ίσες με τις δύο κάθετες πλευές του άλλου. Τ τίγων κι έχουν : o 90 οπότε είνι ύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν η υποτείνουσ κι μί κάθετη πλευά του ενός είνι ίσες με την υποτείνουσ κι μι κάθετη πλευά του άλλου. Τ τίγων κι έχουν : o 90 οπότε είνι ύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν η μί κάθετη πλευά κι η ποσκείμενη της οξεί γωνί του ενός είνι ίσες με τη μί κάθετη πλευά κι την ποσκείμενη της οξεί γωνί του άλλου. Τ τίγων κι έχουν:
0 1 o 90 οπότε είνι ύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν η μί κάθετη πλευά κι η πένντι της οξεί γωνί του ενός είνι ίσες με την μί κάθετη πλευά κι την πένντι της οξεί γωνί του άλλου. Τ τίγων κι έχουν: o 90 οπότε είν ύο οθογώνι τίγων είνι ίσ, ότν η υποτείνουσ κι μί οξεί γωνί του ενός είνι ίσες με την υποτείνουσ κι μί οξεί γωνί του άλλου. Τ τίγων κι έχουν: o 90 οπότε είνι 74. Ποι είνι η χκτηιστική ιδιότητ των σημείων της μεσοκθέτου ευθυγάμμου τμήμτος ; Κάθε σημείο της μεσοκθέτου ευθυγάμμου τμήμτος ισπέχει πό τ άκ του. Κάθε σημείο που ισπέχει πό τ άκ ενός ευθυγάμμου τμήμτος είνι σημείο της μεσοκθέτου του ευθυγάμμου τμήμτος. 75. Ποι είνι η χκτηιστική ιδιότητ των σημείων της διχοτόμου μις γωνίς; Κάθε σημείο της διχοτόμου μις γωνίς ισπέχει πό τις πλευές της γωνίς. Κάθε σημείο που ισπέχει πό τις πλευές μις γωνίς είνι σημείο της διχοτόμου της. 76. Ν ποδείξετε ότι ν πό το μέσο μις πλευάς ενός τιγώνου φέουμε πάλληλη πος μί άλλη πλευά του, υτή διέχετι κι πό το μέσο της τίτης πλευάς.
1 πόδειξη Θεωούμε τίγωνο κι το σημείο Μ μέσο της πλευάς του. πό το Μ φέουμε πάλληλη πος την που τέμνει την στο σημείο Ν. Θ δείξουμε ότι Ν Ν. πό το σημείο φένουμε μι βοηθητική ευθεί ε //. Οι πάλληλες ευθείες ε, ΜΝ κι οίζουν ίσ τμήμτ στην, ά θ οίζουν ίσ τμήμτ κι στην. πομένως Ν Ν.. 1. 77. Τι ονομάζετι λόγος δύο ευθυγάμμων τμημάτων κι με τι ισούτι; Λόγος ενός ευθύγμμου τμήμτος πος το ευθύγμμο τμήμ, που συμβολίζετι, ονομάζετι ο ιθμός λ γι τον οποίο ισχύει λ. Ο λόγος δύο ευθυγάμμων τμημάτων ισούτι με το λόγο των μηκών τους εφόσον έχουν μετηθεί με την ίδι μονάδ μέτησης. 78. Πότε τ ευθύγμμ τμήμτ, γ είνι νάλογ πος τ ευθύγμμ τμήμτ β, δ; Τ ευθύγμμ τμήμτ, γ είνι νάλογ πος τ ευθύγμμ τμήμτ β κι δ ότν ισχύει β γ δ ε M N Η ισότητ β γ δ ονομάζετι νλογί με όους τ ευθύγμμ τμήμτ, β, γ, δ. Τ ευθύγμμ τμήμτ, δ ονομάζοντι άκοι όοι, ενώ τ ευθύγμμ τμήμτ β, γ ο- νομάζοντι μέσοι όοι της νλογίς. 79. Ποιες είνι οι σημντικότεες ιδιότητες των νλογιών ; Σε μι νλογί με όους τ ευθύγμμ τμήμτ, β, γ, δ εφμόζουμε τις ιδιότητες των νλογιών που ισχύουν κι στους ιθμούς χησιμοποιώντς τ μήκη των ευθυγάμμων τμημάτων. Οι σημντικότεες πό τις ιδιότητες υτές είνι: Σε κάθε νλογί το γινόμενο των ά- κων όων είνι ίσο με το γινόμενο των μέσων όων. Σε κάθε νλογί μποούμε ν ενλλάξουμε τους μέσους ή τους άκους όους κι ν ποκύψει πάλι νλογί. Λόγοι ίσοι μετξύ τους είνι κι ίσοι με το λόγο που έχει ιθμητή το άθοισμ ν ν ν β γ δ τότε δ βγ β γ δ τότε γ β δ β γ δ ή δ β γ τότε β γ δ + γ β + δ
. 1. 3 των ιθμητών κι πονομστή το ά- θοισμ των πονομστών. 80. Ν διτυπώσετε το θεώημ του Θλή κι τις πότση που ποκύπτουν πό υτό γι έν τίγωνο. Ότν πάλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τ τμήμτ που οίζοντι στη μι είνι νάλογ πος τ ντίστοιχ τμήμτ της άλλης. ηλδή ν ε 1 // ε // ε 3 τότε. 1. 4 Κάθε πάλληλη πος μι πλευά τιγώνου χωίζει τις άλλες πλευές του, σε ίσους λόγους. ηλδή ν // τότε ντίστοφ: ν μι ευθεί που τέμνει δύο πλευές τιγώνου τις χωίζει σε ίσους λόγους, είνι πάλληλη πος την τίτη πλευά. ηλδή ν τότε // 81. Τι ονομάζετι ομοιόθετο ενός σημείου με κέντο ομοιοθεσίς δοσμένο σημείο Ο κι λόγο ομοιοθεσίς τον ιθμό λ ; Ονομάζετι ομοιόθετο ενός σημείου με κέντο ομοιοθεσίς δοσμένο σημείο Ο κι λόγο ομοιοθεσίς τον ιθμό λ το σημείο της ημιευθείς Ο γι το οποίο ισχύει Ο λο. 8. Ποιες είνι οι ιδιότητες δύο ομοιόθετων πολυγώνων Π κι Π ; ύο ομοιόθετ πολύγων έχουν τις πλευές τους νάλογες κι τις ντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Οι νάλογες πλευές δύο ομοιόθετων πολυγώνων που δε βίσκοντι στην ίδι ευθεί είνι πάλληλες. ν το πολύγωνο Π είνι ομοιόθετο του Π με λόγο λ τότε το Π είνι:. 1. 4 μεγέθυνση του Π, ότν λ > 1 σμίκυνση του Π, ότν 0 < λ < 1 κι ίσο με το Π, ότν λ 1. 83. Πότε δύο πολύγων λέγοντι όμοι; ε 1 ε ε 3 δ ζ
3 ύο πολύγων λέγοντι όμοι, ότν το έν είνι μεγέθυνση ή σμίκυνση του άλλου. υτό σημίνει ότι έχουν τις γωνίες τους ίσες μί πος μί κι τις ομόλογες(ντίστοιχες ) πλευές τους νάλογες. Έτσι τ πολύγων κι ΟΚΛΜΝ που έχουν, Ο, Κ, Λ, Μ, Ν κι λ ΟΚ ΚΛ ΛΜ ΜΝ ΝΟ είνι όμοι. Το λ ονομάζετι λόγος ομοιότητς. 84. Ποιες ποτάσεις ποκύπτουν πό τον οισμό της ομοιότητ δύο πολυγώνων; πό τον οισμό της ομοιότητς δύο πολυγώνων ποκύπτουν οι επόμενες ποτάσεις. ύο κνονικά πολύγων με τον ίδιο ιθμό πλευών είνι όμοι μετξύ τους. ύο ίσ πολύγων είνι κι όμοι, με λόγο ομοιότητς 1. Κάθε πολύγωνο είνι όμοιο με τον ευτό του. ύο πολύγων όμοι πος τίτο είνι κι όμοι μετξύ τους. 85. Πότε δύο τίγων λέγοντι όμοι; ύο τίγων λέγοντι όμοι ότν έχουν τις γωνίες τους ίσες μί πος μί κι τις ομόλογες (ντίστοιχες ) πλευές τους νάλογες. ηλδή Ο Ν Μ Κ Λ ν, τότε,, κι Ο λόγος των ντιστοίχων (ομολόγων) πλευών τους ονομάζετι λόγος ομοιότητς κι συμβολί- ζετι με λ. 86. Πότε δύο τίγων είνι όμοι; (Κιτήιο ομοιότητς τιγώνων) ύο τίγων είνι όμοι, ότν δύο γωνίες του ενός είνι ίσες με δύο γωνίες του άλλου μί πος μί. ν δηλδή τ τίγων κι έχουν,, τότε,,. 1. 5 κι επομένως κι 87. Με τι ισούτι ο λόγος των εμβδών δύο ομοίων σχημάτων;
4 Ο λόγος των εμβδών δύο ομοίων σχημάτων είνι ίσος με το τετάγωνο του λόγου ομοιότητς τους. ΚΦΛΙΙΟ 1 οο Τιιγωννομεετίί.. 1 88. Πως οίζοντι οι τιγωνομετικοί ιθμοί μις οποισδήποτε γωνίς; Έστω ω (0 ω 180 )η γωνί που πάγετι πό τον ημιάξον Ο, ότν υτός στφεί κτά τη θετική φοά. ν πάουμε έν οποιοδήποτε σημείο Μ(, ) με OM ω κι ΟΜ + τότε οίζουμε: ημω συνω M(, ) ω εφω Ο Το ημω κι συνω πίνουν τιμές πό το 1 έως το +1. ίνι δηλδή 1 ημω 1 κι 1 συνω 1 Η εφω πίνει οποιδήποτε τιμή. ν το Μ(, ) βίσκετι στο 1 ο τεττημόιο, τότε ημω 0, συνω0, εφω0 ν το Μ(, ) βίσκετι στο ο τεττημόιο, τότε ημω 0, συνω0, εφω0 89. Ποιοι οι τιγωνομετικοί ιθμοί μις γωνίς ω 0 ή ω 90 ή ω 180; ν το Μ είνι σημείο του ημιάξον Ο π.χ. το Μ(1,0), τότε ω OM 0 κι ΟΜ1 οπότε έχουμε: ημ0 0 1 0 συν0 1 1 1 εφ0 0 1 0 O M(1,0) ν το Μ είνι σημείο του ημιάξον Ο π.χ. το Μ(0, 1), τότε ω OM 90 κι ΟΜ1 οπότε έχουμε: ημ90 1 1 1 M(0,1) O ω
5 συν90 0 1 0 εφ90 δεν οίζετι, φού 0 ν το Μ είνι σημείο του ημιάξον Ο π.χ. το σημείο Μ( 1, 0), τότε ω OM 180 κι ΟΜ 1 οπότε έχουμε: ημ180 0 1 0 συν180 1 1 1 εφ180 0 1 0 M(-1, 0) O v 90. Ποιες σχέσεις συνδέουν τους τιγωνομετικούς ιθμούς δύο ππληωμτικών γωνιών; ι δύο ππληωμτικές γωνίες ω κι 180 - ω ιοχύουν: ημ(180 ω) ημω συν(180 ω) συνω εφ(180 ω) εφω 91. Ν ποδείξετε ότι γι μι οποιδήποτε γωνί ω ισχύουν οι τύποι:. ημ ω +συν ημω ω 1 κι β. εφω συνω πόδειξη. ημ ω +συν ω + Ο + Μ + + ΟΜ Ο + Ο + 1 πόδειξη β. M(, ) () Ο () ω ημω εφω συνω 9. Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε τον νόμο των ημιτόνων. () M(, ) () ω Ο
6 Σε κάθε τίγωνο ισχύει: β γ ημ ημ ημγ πόδειξη Θεωούμε τίγωνο κι το ύψος του ( ) Στο οθογώνιο τίγωνο ( 90) έχουμε: ημ β οπότε β ημ (1) Στο οθογώνιο τίγωνο ( 90) έχουμε: β γ ημ οπότε ημ () πό τις σχέσεις ( 1 ), ( ) ποκύπτει: βημ ημ οπότε β ημ ημ (3) Όμοι ποδεικνύουμε ότι γ ημ ημ (4) πό τις σχέσεις (3), (4) ποκύπτει β γ ημ ημ ημ 93. Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε τον νόμο των συνημιτόνων. Σε κάθε τίγωνο ισχύουν οι σχέσεις β + γ βγσυν β γ + γσυν γ + β βσυν πόδειξη Θεωούμε τίγωνο κι το ύψος του ( ) Θ δείξουμε ότι β + γ βγσυν. Στο οθογώνιο τίγωνο ( 90) έχουμε: συν β οπότε β συν (1) β κι πό το θεώημ του Πυθγό: + β () γ Στο οθογώνιο τίγωνο ( 90 ) πό το θεώημ του Πυθγό έχουμε: + + ( γ )
7 + γ γ + ( ) β + γ (1) γ β + γ γβσυν Με νάλογο τόπο ποδεικνύετι ότι: β γ + γσυν κι γ + β βσυν