a = PP x = A.sin α vyjadruje okamžitú hodnotu sínusového priebehu

Striedavý prúd Viliam Kopecký Použitá literatúra: - štúdijné texty a učebnice uverejnené na webe, - štúdijné texty, videa a vedomostné databázy spoločnosti MARKAB s.r.o., Žilina Vznik a veličiny striedavého prúdu (kap. 7.) Na následujúcom obrázku si všimnite úsečku A, ktorá je medzi bodmi O a P (A=OP). Nechajme úsečku A otáčať okolo bodu O proti smeru pohybu hodinových ručičiek bod P bude opisovať kružnicu a uhol α sa bude meniť od 0 do 360. Úsečka a (od bodu P do bodu P x ) a = PP x = A.sin α vyjadruje okamžitú hodnotu sínusového priebehu Pri zväčšovaní uhla α od 0 do 90, bude sa úsečka a zväčšovať od nuluvej hodnoty až po maximálnu hodnotu A (amplitúda). Pri ďalšom zväčšovaní uhla α (od 90 po 80 ), úsečka a sa bide zmenšovať až na nulu ale stále bude mať kladnú hodnotu. Pri ďalšom zväčšovaní uhla α od 80 až po 360 sa bude úsečka v záporných hodnotách najprv zväčšovať a potom (od 270 ) zmenšovať. Sínusoida - nad vodorovnou osou je kladná polvlna, - pod vodorovnou osou je záporná polvlna, - obidve polvlny znázorňujú jeden kmit, - T je perióda je to čas potrebný na prebehnutie jedného kmitu. V pravej časti obrázku je v rozvinutí vynesená závislosť úsečky a od uhla α. Je to grafické znázornenie veličiny sínusového priebehu, ktorý je daný rovnicou a = A.sin α. Na vodorovnej osi sú uvedené hodnoty uhla α v stupňoch a zvislo sú vynesené príslušné okamžité hodnoty úsečky a spojením jednotlivých bodov dostaneme krivku, ktorú nazývame sinusoida. Sínusový priebeh má i striedavý prúd. Perióda T je čas, kedy striedavý prúd prejde všetkými hodnotami. Pre slučku je to čas otočenia o 360. Frekvencia f je počet periód T za sekundu. f =. T Jednotkou frekvencie je Hertz (Hz). Napríklad pri frekvencii 50 Hz je v sekunde 50 periód. Hz Hertz je frekvencia periodického (opakujúceho sa) deja, ktorého jedna perióda trvá jednu sekundu. U motorov sa tiež udávajú otáčky, jednotka otáčky za minútu, ot/min = RPM. RPM - Revolutions per minute anglická zkratka pro jednotku úhlové rychlosti, otáčky za minutu 2 Uhlová rýchlosť ω je uhol otočenia, ktorý sa zmení za určitý čas. ω= = 2. π. f. T Jednotkou uhlovej rýchlosti je radián za sekundu, rad/s. Uhlová rýchlosť sa používa pri výpočtoch iných veličín, ako je napríklad reaktancia. Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz = 50 ot / s = 50. 60 ot /min = 3 000 ot / min = 3 000 RPM Striedavý prúd Strana

Vznik sínusového napätia a prúdu (kap. 7.2) V jednosmerných obvodoch preteká elektrický prúd cez prvky tak, že sa zmysel napätia a teda ani smer prúdu s časom nemení. V súčasnosti sa však v elektrotechnických zariadeniach častejšie používajú také zdroje elektrickej energie, v ktorých sa smer napätia s časom mení. Tým sa mení aj smer prúdu v elektrickom obvode a takýmto obvodom hovoríme striedavé elektrické obvody. Vzhľadom na účinky striedavého prúdu a najčastejšie aplikácie je však obyčajne želateľné, aby to bol priebeh harmonický. Obrazom tejto veličiny (napätia, prúdu) je sínusoida a analyticky možno okamžitú hodnotu napätia u a prúdu i vyjadriť výrazmi u Um sin ωt, resp. i I sin 2 n m ωt mechanická uhlová frekvencia: ω 60 Pre vysvetlenie vzniku striedavého napätia budeme uvažovať najjednoduchší generátor obdĺžnikový závit, ktorý sa otáča v homogénnom magnetickom poli konštantnými otáčkami n. Mechanická uhlová frekvencia je daná výrazom Jednoduchý generátor striedavého napätia Závit sa otáča uhlovou frekvenciou ω okolo osi kolmej na indukčné čiary. Začiatok a koniec závitu sú pripojené na krúžky klzného kontaktu. Pomocou kief je vyvedené napätie na svorky generátora. Predpokladajme, že v čase t = 0 je plocha závitu kolmá na smer magnetického poľa. Magnetický tok prechádzajúci cievkou je teda B S H m m 0 m S. Za čas t sa cievka pootočí o uhol ωt, takže cievkou bude prechádzať magnetický tok sin B m S sin ωt m Pri pohybe cievky sa mení magnetický tok prechádzajúci plochou závitu a v aktívnych stranách sa indukuje napätie, ktorého okamžitá hodnota je d d( m sin ωt) u φmωcos ωt dt dt. a ako vidieť časový priebeh napätia je harmonický. Časovým diagramom napätia je sínusoida. Striedavé napätie sínusového priebehu získavame v elektrárňach v generátoroch v alternátoroch. Alternátory sa skladajú zo statora a rotora. V rotore je viac pólov (striedajú sa severné a južné póly), ktoré pri otáčaní rotora vytvárajú v cievkach statora v ktorých sa indukuje striedavé napätie. Striedavé napätie sa odvádza z pevných svoriek statora. Frekvencia indukovaného napätia závisí od počtu pólových dvojíc. Ak pod vinutím statora prebehne jedna pólová dvojica (sever juh), bude sa statore indukovať napätie jednej periódy. Pri počte p pólových dvojíc bude počet periód p. Ak rotor urobí n otáčok za minútu, prebehne vinutie pod cievkami n n -krát za sekundu a počet periód za sekundu bude tiež -krát väčší. 60 60 Striedavý prúd Strana 2

pn Z uvedeného vyplýva, že frekvencia indukovaného napätia sa vypočíta výrazom f = 60 kde f je frekvencia v Hz (Hertz), p počet pólových dvojíc, n počet otáčok rotora za minútu (ot. min - ) Kontrolné otázky. Čo je perióda pri striedavom prúde? 2. Vysvetlite vznik sínusového priebehu striedavého napätia a prúdu. 3. Od čoho závisí frekvencia striedavého napätia a prúdu? Príklad03: Aké otáčky má šesťpólový alternátor, ak frekvencia odoberaného napätia je 50 Hz? p = 3 (tri dvojice), f = 50 Hz pn 60.f 60.50 f = z toho: n = = = 000 min - 60 p 3 Alternátor má 000 ot. /min. (000 ot. min - ) Charakteristické hodnoty striedavých veličín (kap. 7.3) Efektívna hodnota striedavého napätia U ef (alebo len U) alebo prúdu I ef (alebo len I) je myslená hodnota jednosmerného prúdu, ktorý v rezistore za rovnaký čas vyvolá rovnaké tepelné účinky ako uvažovaný striedavý prúd. U ef = U max = 0,7. Umax I ef = 2 I max 2 = 0,7. Imax Z toho: U max = 2. U ef =,4. U ef I max = 2. I ef =,4. I ef Kontrolné otázky. Čo je efektívna hodnota striedavého napätia a prúdu? 2. Vyjadrite (napíšte vzorec) pre výpočet efektývnych hodnôt striedavého napätia a prúdu. Príklad04: V sieti je efektívne napätie 230 V. Vypočítajte jeho maximálnu hodnotu. Umax = Uef. 2 = 230 V.,4 = 30 V Striedavý prúd Strana 3

. Rezistor, kondenzátor a cievka v obvode striedavého prúdu Reaktancia Reaktancia je imaginárna časť impedancie elektrotechnickej súčiastky. Reaktancia indukčného charakteru sa nazýva indukčná reaktancia alebo induktancia, reaktancia kapacitného charakteru je kapacitná reaktancia alebo kapacitancia. Označuje sa písmenom X, základná jednotka je ohm, značka Ω. Ďalšie jednotky sú rovnaké ako pre elektrický odpor. Kapacitná reaktancia Kapacitná reaktancia je nepriamo úmerná frekvencii signálu a kapacite. Indukčná reaktancia Indukčná reaktancia je priamo úmerná frekvencii signálu a indukčnosti. Rezistor Na rezistore napätie a prúd nie sú posunuté (sú vo fáze) Cievka Na cievke je prúd posunutý za napätím o +90 Kondenzátor Na kondenzátore je prúd pred napätím o -90 Rezistor v elektrickom obvode striedvého prúdu (kap. 7.5) Rezistor okamžité hodnoty striedavého prúdu prechádzajúce rezistorom sledujú presne zmeny svorkového napätia. Pri maximálnej hodnote napätia, je i hodnota prúdu maximálna; pre u = 0 V je rovnako i prúd i = 0 A. O takomto prúde a napätí hovoríme, že sú vo fáze. Platí tu Ohmov zákon: I = R U ako pri jednosmernom prúde V obvode s rezistorom sa všetká elektrická energia premieňa na teplo. Striedavý prúd Strana 4

Cievka v elektrickom obvode striedavého prúdu (kap. 7.9) Cievka v obvode so striedavým prúdom: - napäte predbieha prúd o 2 - magnetický tok Φ je vo fáze s prúdom, U U - prúd prechádzajúci cievkou I = = ωl X L ωl označujeme ako X L - indukčná reaktancia prúd prechádzajúci cievkou U I = = ωl U X L z toho U = I. X L X L = U U je napätie na cievke (UL ) I prevrátená hodnota indukčnej reaktancie B L = jednotkou je Siemens (S). sa nazýva jalová vodivosť (indukčná susceptancia) a jej X L Vlastná indukčnosť cievky (kap. 7.7.) Ak pripojíme cievku s N závitmi na zdroj striedavého napätia U, prechádza ňou striedavý prúd I, ktorý v nej vyvoláva striedavý magnetický tok Φ. V závitoch cievky sa bude indukovať napätie. Indukované napätie, podľa Faradayovho zákona je úmerné počtu závitov N a rovnomerné zmene magnetického toku za určitý čas (ΔΦ / Δt). Indukované napätie pôsobí vždy proti zmene, ktorá ho vyvoláva (pri zvyšovaní prúdu indukované napätie pôsobí proti svorkovému napätiu a opačne) napätie indukované magnetickým tokomm Φ je úmerné zmene striedavého prúdu. --- jedná sa o vlastnú indukciu, ktorú nazývame indukčnosť. Cievka, ktorou prechádza striedavý prúd, má indukčnosť jeden henry (H), ak sa v nej indukuje napätie jedného voltu pri rovnakej zmene prúdu jeden ampér za sekundu. I Pre indukované napätie platí vzťah: u = L t Indukčnosť cievky L je schopnosť cievky uchovať energiu magnetického poľa. Jednotka je Henry, H. Indukčnosť sa využíva v zapaľovacích cievkach, kedy po prerušení prúdu vzniká vysoké napätie. Príklad05: Aká veľká je indukčnosť cievky L, v ktorej sa pri rovnomernej zmene prúdu z 8 A na 3 A za 2 sekundy indukuje napätie 5 V? u = 5 V, t = 2 s, I = 8 A, I 2 = 3 A I z výrazu u = L vypočítame L L = t u = ΔI Δt 5 = 2 H Cievka má indukčnosť 2 H. 8-3 2 Striedavý prúd Strana 5

Vzájomná indukčnosť (kap. 7.7.2) Na obrázku sú dve cievky. Jedna má N závitov a prechádza ňou striedavý prúd I, ktorý v nej vyvolá magnetický to Φ. Časť tohto toku veľkosti Φ 2 zasahuje do druhej cievky. Druhá cievka má N 2 závitov. Prúd I je striedavý, teda časovo premenný, je preto časovo premenný i magnetický tok Φ a teda i jeho časť veľkosti Φ 2. To znamená, že v druhej cievke s počtom závitov N 2 sa indukuje napätie veľkosti I u 2 = M t kde M je vzájomná indukčnosť (jednotka je henry) Rovnakým spôsobom môže na cievku s počtom závitov N pôsobiť I i cievka s počtom závitov N 2. U = M 2 t Dve cievky majú vzájomnú indukčnosť jeden henry, ak sa v jednej (pasívnej) cievke indukuje napätie jedného voltu pri rovnomernej zmene prúdu v druhej (aktívnej) cievke o jeden ampér za jednu sekundu. Ak sú dve cievky na spoločnom jadre z feromagnetického materiálu, možno predpokladať, že sa magnetický tok bude uzatvárať iba v jadre, vtedy vzájomná indukčnosť bude závisieť iba od vlastnej indukčnosti jednotlivých cievok (L, L 2 ). Potom platí: L - M je geometrický priemer indukčnosti L a L 2. M = L 2 Ale ak vzniknú rozptylové magnetické toky, vzájomná indukčnosť je menšia, vteda platí L kde ϰ - je činiteľ väzby (veľkosť 0 až ) tesná väzba, 0 voľná väzba Kontrolné otázky M = ϰ L 2. Čo je reaktancia a ako sa vyjadruje kapacitná reaktancia a indukčná reaktancia? 2. Ako prebieha napätie a prúd v obvode so striedavým napätím v ktorom je cievka? 3. Ako prebieha napätie a prúd v obvode so striedavým napätím v ktorom je kondenzátor? Príklad06: Dve cievky majú vzájomnú indukčnosť 50 mh. Určte napätie v druhej cievke, ak sa v prvej cievke zväčší prúd rovnomerne z 2 A na 8 A za 5 ms. M = 50 mh = 50.0-3 H = 5. 0-2 H, I = 8 A 2 A = 6 A, t = 5 ms = 5.0-3 s I u 2 = M = 5. 0-2 6 3 t 5.0 = 60 V Sériové zapojenie cievok v elektrickom obvode striedavého prúdu (kap. 7.8.) Ak magnetický tok Φ jednej cievky nezasahuje do magnetického toku druhej cievky (vzájomná indukčnosť M=0 H), potom celková indukčnosť L je L = L + L 2 - cievky sa správajú ako jedná cievka s indukčnosťou L (obdoba rezistorov zapojených do série) Ak magnetické toky Φ vyvolané v obidvoch cievkach majú rovnaký smer a vzájomne sa pretínajú (vzájomná indukčnosť M >0 H), potom celková indukčnosť L je: L = L + L 2 + 2M L kde M je geometrický priemer L a L 2 M = L 2 Striedavý prúd Strana 6

Ak prúd v jednej cievke tečie opačným smerom ako prúd v druhej cievke, magnetické toky Φ potom pôsobia proti sebe (vzájomná indukčnosť M >0 H). Výsledná indukčnosť oboch cievok potom je L = L + L 2-2M Príklad07: Aká veľká je celková indukčnosť dvoch cievok zapojených sériovo, ktorých indukčnosť le L = 2 H a L 2 = 3,5 H, činný odpor cievok je zanedbateľný, ich vzájomná indukčnosť M > 0 H a ich magnetický tok má súhlasný smer, L = 2 H, L 2 = 3,5 H celková indukčnosť L = L + L 2 + 2M L = (2. 3) = 2,449 H po dosadení, celková indukčnosť L = 2 + 3,5 + 2. 2,449 = 0,398 H M = L 2 Chyba 3 3,5 Paralelné zapojenie cievok (kap. 7.8.2) Kontrolné úlohy Ak je činný odpor obidvoch cievok zanedbatelný, vtedy je na obidvoch cievkach napätie rovnaké. Cievky sa vzájomne neovplyvňujú - vzájomná indukčnosť M=0 H. Pre dve takéto cievky, pre výslednú indukčnosť plaťí vzťah: LL2 L = rovnako ako pre dva paralelne zapojené rezistory L L 2 Činný odpor majú zanedbateľný, vzájomná indukčnosť M >0 H; magnetické toky majú súhlasný smer. Výsledná indukčnosť oboch cievok sa vypočíta zo vzťahu: = L L M L M + 2 kde kde M je geometrický priemer L a L 2 M = L L 2 Činný odpor majú zanedbateľný. Cievky sú viazané vzájomnou indukčnosťou M> 0. Magnetické toky pôsobia proti sebe. Výsledná indukčnosť oboch cievok sa vypočíta zo vzťahu: = L L + M L 2 M. Ako vyjadrujeme (napíšte vzorec a vysvetlite) vzájomnú indukčnosť dvoch cievok ak sú zapojené v sérii? 2. Ako vyjadrujeme (napíšte vzorec a vysvetlite) vzájomnú indukčnosť dvoch cievok ak sú zapojené vparalelne? Príklad08: Vypočítajte vzájomnú indukčnosť dvoch cievok, ktoré sú zapojené paralelne, ich magnetický tok má súhlasný smer, činný odpor majú zanedbateľný, poričom indukčnosť prvej cievky je L = 2 mh a indukčnosť druhej cievky je L 2 = 3,5 mh. L = 2 mh = 2. 0-3 H, L 2 = 3,5 mh = 3,5. 0-3 H, = L L + M L, M = 2 M L L 2 6 7.0 M= = 2,645.0-3 H Striedavý prúd Strana 7

= 3 3 L 2.0 2,645.0 2,645.0 + = + 3 3 3 3 3,5.0 4,645.0 6,45.0 = 0,25.03 + 0,63.0 3 = 0,378.0 3 Teda = 0,378.0 3 a z toho vzájomná indukčnosť cievok je L = = 2,646. 0-3 H = 2,646 mh 6 L 0,378.0 Kondenzátor v obvode striedavého prúdu (kap. 7.) Na obrázku vľavo je schéma obvodu s ideálnym kondenzátorom má dokonalé nevodivé dielektrikum a má iba kapacitu. Po pripojení obvodu na striedavé sínusové napätie, kondenzátor sa bude striedavo nabíjať a vybíjať. Jeho okamžitý náboj sa v každom okamihu zmení. Každý okamžitý náboj je daný vzťahom q = uc Ako vidíme na obrázku vpravo, v pravej štvrtine periódy T, kde napätie u stúpa, sa kondenzátor nabíja z nuly na maximum; v druhej štvrtine periódy T kondenzátor sa vybíja. V tretej a štvrtej štvrtine periódy T sa dej opakuje, ale prúd prechádza opačne.prívodmi ku kondenzátoru prechádza striedavý orúd. Na kondenzátore je prúd pred napätím o -90 (prúd má nulovú hodnotu vtedy, keď je napätie maximálne. Striedavý prúd v obvode s kondenzátorom je tým väčší, čím väčšia je kapacita kondenzátora, čím vyššia je frekvencia svorkového napätia (teda čím rýchlejšie sa stieda nabíjanie a vybíjanie kondenzátora) a čím vyššia je maximálna hodnota (amplitúda) svorkového napätia. Maximálna hodnota nabíjacieho prúdu teda je: I m = ωu m C Pre efektívnu hodnotu prúdu, ktorý prechádza obvodom, platí I 2 = ωu 2 C >>> I = ωuc Ohmov zákon pre obvod cievky je I L = U = BL U môžeme písať pre kondenzátor I C = B C U X L Výraz ωc = B C je jalová kapacitná vodivosť alebo kapacitná susceptancia. Prevrátená hodnota jalovej kapacitnej vodivosti je kapacitná reaktancia X C = Po dosadení I C = U X C Jednotkou kapacitnej reaktancie X C je ohm (Ω). = ωc B C Príklad09: Aká veľká je kapacita kondenzátora zapojeného v obvode, ak obvodom prechádza, po pripojení na napätie 230 V s frekvenciou 50 Hz, prúd,46 A? U = 230 V, f = 50 Hz, I =,46 A, I C = U >> XC = X C U, ω = 2πf, XC = I C = ω.c B C 230 ω = 2. 3,4. 50 = 34, X C = = 57 Ω, XC =,46 ω.c >>> C = ω.x C = 34.57 = 49298 = 2.0-5 F Striedavý prúd Strana 8

C = 2.0-5 F = 20.0-6 F = 20 μf kapacita kondenzátora je 20 μf Sériové zapojenie kondenzátorov (kap. 7.2.) = + + +... + C C C2 C3 Cn Pre dva kondenzátory: C = CC 2 C C 2 jednotka Farad mf, μf Paralelné zapojenie kondenzátorov C = C + C 2 + C 3 +... + C n jednotka Farad mf, μf Sériovo-paralelné zapojenie kondenzátorov (kap. 7.2.3) Kontrolné úlohy Postup riešenia: - najprv vypočítať výsledok paralelne zapojených kondenzátorov C 2 a C 3 výsledok bude C 23 C 23 = C 2 + C 3 - potom vypočítať sériové zapojenie robiť po dvojiciach CC 23 C 23C4 C +23 = a výsledok C +23+4 = C C C C 23. Ako vypočítame celkovú kapacitu kondenzátorov, keď sú zapojené zapojené v sérii? 2. Ako vypočítame celkovú kapacitu kondenzátorov, keď sú zapojené zapojené paralelne? Príklad0: Vypočítajte kapacitu C obvodu podľa obrázku. Kapacita jednotlivých kondenzátorov je následovná: C = 4 μf, C 2 = 0 μf a C x = 25 μf. 23 C = 4 μf = 4.0-6 F, C 2 = 0 μf = 0.0-6 F, C x = 25 μf = 25.0-6 F Najprv vyriešime paralelné spojenie: C 2 = C + C 2 = 4.0-6 F + 0.0-6 F C 2 = 4. 0-6 F A nakoniec vypočítame sériové spojenie v sérii C 2 a C X C = C C 2 2.C C X X 4.0 4.0.25.0 25.0-6 6 350.0 39.0-2 = = -6 6-6 4 = 8,97. 0-6 F = cca 9 μf Striedavý prúd Strana 9

Zložené obvody striedavého prúdu (kap. 7.4) Skutočná cievka v elektrickom obvode (kap. 7.4.) Každá cievka má, okrem indukčnosti i činný odpor, lebo je navinutá z drôtu, ktorý činný odpor má. - na rezistore je napätie vo fáze s prúdom (nie sú voči sebe posunuté), - na cieke napätie predbieha prúd o + 90, - teda v obvode na obrázku napätie predbieha prúd o + 90 Vľavo je fázorový diagram obvodu nakresleného hore. Otáčanie okolo bodu 0 sa robí proti smeru pohybu hodinových ručičiek, - na osi x je nakreslený fázor (ako úsečka) prúdu I (tento prúd sa bude vzťahovať k napätiu na rezistore i k napätiu na cievke), - fázor napätia na rezistore U R nie je od fázora prúdu I nijako posunutý (prúd a napätie na rezistore sú vo fáze), - fázor napätia U L na cievke je od fázora prúdfu I otočený v smere ω o + 90 - napätie na cievke predbieha prúd o + 90 Výsledné napätie na skutočnej cievke (v sérii je rezistor a cievka) vypočítame jednoducho z fázorového diagramu (spodný obrázok) podľa Pytagorovej vety: U 2 = U L 2 + U R 2 2 2 z toho U = U L U R Z predošlých kapitol: U R = I.R U L = I.X L X L je indukčná reaktancia 2 2 2 2 2 2 Po dosadení : U = I.X I.R = I. X R 2 2 výraz R L L X je impedancia Z - jednotkou impedancie je Ohm (Ω) L Potom U = I. Z Prevrátená hodnota impedancie je admitancia Y = Z - jednotkou admitancie je Siemens (S) Z fázorového diagramu vidíme, že napätie na skutočnej cievke predbieha prúd o uhol φ. Tento uhol Φ určíme pomocou goniometrických funkcií výsledkom je vytvorenie trojuholníka odporov : 2 2 Impedancia Z = R X (Pytagorová veta) L Striedavý prúd Strana 0

Sériové zapojenie cievky a kondenzátora (kap. 7.4.3) Na obrázku je schéma sériového zapojenia ideálnej cievky (neuvažujeme jej odpor) s indukčnosťou L a ideálny kondenzátor s kapacitou C X. Uvažujme: U L > U C potom U = U L - U C ak by bolo U C > U L potom by platilo U = U C - U L Ak dosadíme U L = I. X L a U C = I. X C, výsledkom je : U = I. (X L X C ) Výsledná reaktancia takéhoto obvodu je X = X L X C Výsledná jalová vodivosť je B = X Prúd prechádzajúci obvodom je I = U X Príklad: Cievka s indukčnosťou 2,7 mh a kondenzátor s kapacitou 200 μf, podľa schémy na obrázku, sú zapojené v sérii a prechádza nimi striedavý prúd 5 A. Určte na aké napätie s frekvenciou 50 Hz sú pripojené. Uvažujte ideálnu cievku a ideálny kondenzátor. L = 2,7 mh = 0,027 H, C = 200 μf = 200. 0-6 F, I = 5 A, f = 50 Hz Indukčná reaktancia: X L = ω.l = 2πf.L = 2. 3,4. 50. 0,027 = 4 Ω Kapacitná reaktancia: X C = = = 6 Ω ω.c -6 2.3,4.50.200.0 Úbytok napätia na cievke: U L = I. X L =5. 4 = 20 V Úbytok napätia na kondenzátore: U C = I.X C = 5. 6 = 80 V vidíme, že U c > U L U c > U L potom napätie zdroja: U = U C U L = 80 20 = 60 V a X = X C X L = 6-4 = 2 Ω Sériové zapojenie rezistora, cievky a kondenzátora - kap. 7.4.4 Paralelné zapojenie rezistora a cievky - kap. 7.4.5 Paralelné zapojenie rezistora a kondenzátora - kap. 7.4.6 Paralelné zapojenie cievky a kondenzátora kap. 7.4.7 Paralelné zapojenie rezistora, cievky a kondenzátora kap. 7.4.8 Kontrolné otázky. Ako vypočítame (napíšte vzorec a vysvetlite) výslednú reaktanciu obvodu striedavého prúdu v ktorm sú sériovo zapojené kondenzátor a cievka? 2. Ako vypočítame (napíšte vzorec a vysvetlite) výslednú reaktanciu obvodu striedavého prúdu v ktorm sú paralelne zapojené kondenzátor a cievka? podľa kap. 7.4.7 učebnice Striedavý prúd Strana

Rezonancia (kap. 7.8) V elektrických obvodoch, ktoré okrem rezistorov obsahujú aj cievky a kondenzátory, nastáva pri určitej frekvencii stav, keď indukčná a kapacitná reaktancia sa navzájom rovnajú a keď zdrojové napätie zaťažuje iba rezistor. Tomuto stavu hovoríme rezonancia. Vyznačuje sa tým, že svorkové napätie zdroja a prúd z neho odoberaný sú vo fáze (napätie nepredbieha prúd ani prúd nepredbieha napätie). V paralelnom RLC obvode tečie minimálny prúd. V sériovom RLC obvode tečie maximálny prúd I = U / R. Rezonančné obvody: Fázory - základná informácia Fázor je vektor striedavého prúdu alebo napätia vyjadrený v polárnych súradniciach, teda veľkosťou a uhlom. Fázory sa používajú pri výpočtoch zložitých obvodov striedavého prúdu obsahujúce veľa kondenzátorov, cievok a rezistorov. Počítajú sa výsledné napätia a impednacie. Sčítať môžeme fázory iba pre napätie alebo prúdy s rovnakou frekvenciou. Fázový posun ϕ je uhol medzi dvoma fázormi. Príklad: Skladanie fázovo posunutých napätí: Výkon v obvode striedavého prúdu Činný a jalový výkon Výkon striedavého prúdu P = U.I - tento vzťah platí len vtedy ak sú napätie a prúd vo fáze Činný výkon P = U. I. cos φ [W] z toho U = P I.cos Jalový výkon Q = U. I. sin φ [var] dosadíme za U.I zo vzorca pre S Q = S. sin φ Zdanlivý výkon S = U. I [VA] dosadíme za U S = P. I = I.cos P cos Striedavý prúd Strana 2

Trojuholník výkonov striedavého prúdu (na riešenie použite Pytagorovú vetu z matematiky o trojuholníku) S zdanlivý výkon Q jalový výkon P činný výkon Činný výkon P je užitočný výkon - teplo na ohrievači, svetlo na žiarovke, pohyb motora. Meriame ho wattmetrom. Výkon je maximálny, ak má záťaž čisto odporový charakter, φ = 0. cos φ sa nazýva účinník. Tieto údaje sú často uvedené na elektrospotrebičoch. Jalový výkon Q vzniká pri pripojení kapacitnej alebo indukčnej záťaže. Tento výkon si vymieňa zdroj a zátaž. Takýto výkon nevykonává prácu. Zdanlivý výkon S vypočítame z nameraných hodnôt prúdu a napätia. Udáva hornú medzu výkonu. S jalovým výkonom Q sa stretávame pri elektromotoroch. Tento výkon zbytočne zaťažuje vedenia. Veľkoodberatelia majú za povinnosť kompenzovať jalový výkon (indukčná zátaž) pridaním paralelných kondenzátorov. Elektrická práca Elektrickú prácu striedavého prúdu určíme, ak výkon násobíme časom W = P.t = U.I.cos φ. t Elektrickú prácu meriame elektromerom. Jednotkou elektrickej práce je joule (J), ale častejšie sa udáva v jednotke watt sekunda (W.s). joul = watt sekunda Väčšie jednotky, ktoré sa v praxi používajú sú watt hodina (W.h) alebo kilowatt hodina (kw.h). Kontrolné otázky. Vysvetlite čo v praxi znamuná zdanlivý výkon, činný výkon a jalový výkon. 2. Ako vyjadrujeme (napíšte vzorec a vysvetlite) elektrickú prácu. Píklad2: Jednofázový asynchrónny motor s výkonom P = 2 kw odoberá prúd I = 0 A pri striedavom napätí U = 230 V, f = 50 Hz. Vypočítajte zdanlivý výkon, jalový výkon, účinník, činný prúd a jalový prúd! Postup : Použijeme vzťahy pre určenie jednofázového výkonu. Riešenie : Zdanlivý výkon S = U* I = 230 V* 0 A = 2300 VA = 2,3 kva Jalový výkon (podľa trojuholníka výkonov - podľa Pytagorovej vety o pravouhlom trojuholníku) Q 2 = S 2 - P 2 = (2,3 kva) 2 - (2 kw) 2 = 5,29 + 4 =,29 kvar 2 Po odmocnení Q =,35 kvar Účinník cos φ = P/S = 2 kw/2,3 kva = 0,869 z tabuliek tomuto cosinusu odpovedá sinus 0,494 Činný prúd I P = I. cos φ = 0 A. 0,869 = 8,69 A Jalový prúd I Q = I. sinf φ = 0 A. 0,494 = 4,94 A Striedavý prúd Strana 3

Trojuholník výkonov striedavého prúdu - použiť Pytagorovú vetu: S zdanlivý výkon Q jalový výkon P činný výkon S 2 = P 2 + Q 2 Príklad3: Elektromotor má na štítku údaje: 4 kw, cos φ = 0,9. Určte činný, jalový a zdanlivý výkon. Z tabuliek: pre cosφ = 0,9 odpovedá uhol v stupňoch 25,84, tomu je sinus 0,436 Činný výkon: P = 4 kw P = U. I. cos φ [W] Zdanlivý výkon: S = U. I [VA] Zdanlivý výkon: S = U. I po dosadení za U: S = P 4 kw = cos 0, 9 = 4,44 kw účinník: cos φ = 0,9... fázový posun φ = 25,84 (z tabuliek) Jalový výkon: Q = S. sin φ = 4,44 kw. sin 25,84 = 4,44 kw. 0,436 =,94 kw Príklad 4: Firma má elektromotor 230 V, 0 kw, cos φ = 0,85. Vypočítajte veľkosť kondenzátora potrebného pre kompenzovanie jalového výkonu. Z tabuliek pre cosφ=0,85 odpovedá uhol 3,79 a tomu odpovedá sinus = 0,523 cos φ = 0,85... φ = 3,79... sin φ = 0,523 P = 0 kw U = 230 V P zdanlivý výkon S = cos = 0 kw / 0,85 =,76 kw S = U. I S z toho I S = S / U = (,76. 0 3 ) / 230 = (,76. 0 2 ) / 23 = 0,5. 0 2 = 5 A jalový výkon Q = U. I S. sin φ = S. sin φ =,76 kw. 0,523 = 6,5 kw činný prúd I P = I S. cos φ = 5. 0,85 = 43 A jalový prúd I Q = I S. sin φ = 5. 0,523 = 26,6 A indukčná reaktancia X L = U / I Q = 230 V / 26,6 A = 8,6 Ω Chceme aby X L = X C vtedy by bol cos φ = (cievka je o +90 pred prúdom a kondenzátor by to mal rovnakým uhlom (-90 ) kompenzovať opačným smerom) Kapacitná reaktancia X C = / ωc = / 2πf.C ak má byť X L = X C potom: 8,6 = / 2πf.C = / 2. 3,4. 50.C z toho C = / 2. 3,4. 50. 8,6 = / 2700 = 3,70. 0-4 F = 370 μf Striedavý prúd Strana 4

Trojfázová sústava Trojfázová sústava má tri rovnako veľké napätia sínusového priebehu U U, U V, U W, ktorých časové priebehy sú navzájom posunuté o 20, teda o /3 periódy. Časový priebeh trjfázového napätia Generátor sa skladá z nehybnej časti, nazvanej stator, a z otočnej časti, nazvanej rotor: Vnútri statora sú uložené v drážkach cievky vinutí troch fáz (je to trojfázové vinutie). Na obrázku sú začiatky vinutí označené U, V, W a konce vinutí U2, V2, W2. Tieto cievky sú na statore navzájom posunuté o 20. V dutine statora sa otáča rotor, ktorý je dvojpólový cievka na rotore je napájaná jednosmerným prúdom, takže polarita pólov sa nemení. Ak sa otáča rotor, otáča sa i jeho magnetické pole, ktoré pretína vodiče vinutí na statore a indukuje v nich striedavé sinusové napätie v trojfázovom vinutí sa indukujú tri samostatné napätia U U, U V, U W navzájom posunuté o 20. Na hornom obrázku je vidieť, že algebraický súčet okamžitých hodnôt všetkých troch napútí sa v ktoromkoľvek okamihu rovná nule, čo umožňuje spájať trojfázové vinutia generátorov alebo transformátorov do hviezdy alebo do trojuholníka je to výhodné z hľadiska prenosu elektrickej energie (na tri fázy nemusíme použiť šesť vodičov ale len štyri vodiče). Zapojenia Hviezda (zapojenie do hviezdy) V praxi používaná schéma zapojenia do hviezdy Značenie vodičov: Značenie napätí: L, L2, L3 - fázové vodiče U f - fázové napätie (medzi fázou a neutrálnym vodičom) N - neutrálny vodič U z - združené napätie (medzi fázami navzájiom) Striedavý prúd Strana 5

Medzi ktoroukoľvek fázou a neutrálnym vodičom je fázové napätie U f. Medzi fázami navzájom je združené napätie U z. Fázami tečie fázový prúd I f. U z = 3. U f =,73. U f z toho U f = U z = Uz. 0,55,73 U nás je normalizované striedavé (AC) napätie 3 x 230 V / 400 V teda U f = 230 V a U z = 400 V Trojfázový zdroj (transfprmátor) do hviezdy -- trojfázové spotrebiče môžu byť zapojené do hviezdy i do trojuholníka: Zdroj do hviezdy Trojfázový spotrebič do hviezdy Trojfázový spotrebič do trojuholníka Jednofázový spúotrebič Príklad5: Fázové napätie je 230 V. Vypočítajte združené napätie. U z =,73. U f =,73. 230 V = 400 V Trojuholník (zapojenie do trojuholníka) V zapojení do trojuholníka môžeme namerať iba združené napätie U z. Striedavý prúd Strana 6

I Vodičmi tečie združený prúd. I z = 3. I f =,73. I f z toho I f = z,73 Trojfázový zdroj (transformátor) do trojuholníka -- trojfázové spotrebiče môžu byť zapojené do hviezdy i do trojuholníka: Sieť IT Zdroj do trojuholníka Trojfázový spotrebič do hviezdy Trojfázový spotrebič do trojuholníka Jednofázový spúotrebič Výkon v 3-fázovej sústave Výkon v trojfázovej sústave je daný súčtom výkonov jednotlivých fáz: P = P U + P v + P W Činný výkon v jednej fáze, napr. P U = 3. U f. cos φ Uhols φ je fázový posun medzi fázovým napätím U f a fázovým prúdom I f Pri súmernom zaťažení všetkých troch fáz, činný výkon je: P = 3. U f. I f. cos φ V praxi, v trojfázovej sústave, spravidla počítame pomocou združených napätí a združených prúdov. Ak je zdroj (transformátor) zapojený do hviezdy, je fázové napätie U f = 3 U a fázový prúd If = I, kde U a I sú združené hodnoty 3 Potom činný výkon prenášaný trojfázovou sústavou je P = 3. U. I. cos φ = 3 U.I. cos φ 3 Ak je zdroj (transformátor) zapojený do trojuholníka, Je fázové napätie U f = U a fázový prúd I f = I Potom činný výkon je P = 3. U.. cos φ 3 I 3 Striedavý prúd Strana 7

Výkon v trojfázovej sústave pri súmernom zaťažení fáz určíme vždy zo vzťahu P = 3 UI cos φ keď sú fázy spojené do hviezdy alebo do trojuholníka, ak dosadíme do vzorca združené hodnoty napätia a prúdu. Účinník (cos φ): - pri súmernom zaťažení fáz je to cos uhla fázového posunu medzi napätím a prúdom P - pri nesúmernom zaťaženín fáz, účinník sa vypočíta zo vťahu: cos φ = S Zdanlivý výkon S = 3 UI Jalový výkon Q = 3 UI sin φ ELEKTRICKÁ PRÁCA trojfázovej sústavy pri súmernom zaťažení fáz: W = P.t = 3 UI cos φ t Kontrolné otázky. Vysvetlite ako vzniká trojfázová sústava striedavého prúdu. 2. Nakreslite zapojenie zdroja striedavej rozvodnej siete do trojuholníka a do hviezdy. 3. Ktoré je fázové napätie a ktoré združené napätie? 4. Ako vypočítame činný výkon ak je transformátor zapojený do hviezdy a ak je zapojený do trojuholníka? 5. Ak je trojfázová sústava zťažená rovnomerne (všetky fázy sú zaťažené rovnako) ako vtedy vypočítame výkon trojfázovej sústavy? 6. Ak je zdroj (transformátor) trojfázovej sústavy zapojený do trojuholníka môžu sa k takémuto elektrickému rozvodu pripájať trojfázové spotrebiče zapojené do hviezdy? Príklad6: Aká je impedancia a odpor vinutia jednej fázy trojfázového elektromotora zapojeného do trojuholníka pri napätí 3 x 400V, ak v prívodnom vodiči L nameriame prúd I = 6A? Udávaný účinník na štítku motora cos φ = 0,8. Ako sa zmení prúd a napätie vo fázovom vinutí, ak sa motor prepne do hviezdy? Aké sú jednotlivé výkony elektromora v zapojení do trojuholníka a do hviezdy? Postup : Použijeme vzťahy pre trojfázovú sústavu. Riešenie : V zapojení do trojuholníka platí U f = U = 400 V. I Prúd jednej fázy I f = z 6 = = 3,464 A,73,73 Impedancia vinutia jednej fázy Z f = U f / I f = 400 V/ 3,464 A = 5,47 Ω R = Z. cos φ ak bude cos φ = 2 tak sa popčíta len s čistým odporom cosφ = R/ Z z toho odpor vinutia: R = Z * cos φ = 5,47 Ω *0,8 = 92,37 Ω Zdanlivý výkon motora S =,73 * 400 V * 6 A = 452 VA = 4,52 kva Činný výkon motora P = S *cosφ= 4,52 kva * 0,8 = 3,32 kw Jalový výkon motora Q = S * sin φ = 4,52 kva * 0,6 = 2,49 kvar --- V zapojení do hviezdy platí U z = 3. U f =,73. U f >> U f = Striedavý prúd Strana 8 U z,73 = Uz. 0,55 >> U f = U * 0,577 = 230 V

Prúd jednej fázy I f = U f / Z f = 230 V / 5,47 Ω =,99 A Zdanlivý výkon motora S =,73 * 400 V *,99 A = 377 VA =,377 kva Činný výkon motora P = S *cosφ =,377 kva * 0,8 =,0 kw Jalový výkon motora Q = S * sinφ =,377 kva * 0,6 = 0,862 kvar Pri prepnutí vinutia z trojuholníka do hviezdy klesne každý výkon 3- krát! Striedavý prúd Strana 9