aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ Α Α. Σελ 5 Α. Σελ 73 Α3. Σελ 5 Α4. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ε) Λ ΘΕΜΑ Β B. Θέτω z yi στην εξίσωση και έχουμε: z z z i 4 i yi yi yi i 4 i y i 4 i y i 4 i y 4 i Συνεπώς πρέπει να ισχύει: y 4 () και () Από τη () έχουμε: Αντικαθιστώντας στη () έχουμε: y 4 y Συνεπώς οι λύσεις της εξίσωσης είναι: z i και z i B. Υπολογίζω πρώτα την παράσταση i i : i i i i i i i i i i 39 i Συνεπώς i Συνεπώς w 3i 39 493 3 i i i i Επιμέλεια-Χριστοδούλου Γεώργιος Pag
Β3. ος τρόπος: Αντικαθιστώ στη δοθείσα σχέση: u 3i 4 i i i u ( 3 i) 4 4i i i u ( 3 i) 3 4i u ( 3 i) 5 u ( 3 i) 5 Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών αριθμών u είναι κύκλος με κέντρο Κ(,3) και ακτίνα ρ = 5. ος τρόπος: Θέτω u yi και αντικαθιστώ στη δοθείσα σχέση: yi 3i 4 i i i yi 3i 4 4i i i y 3 i 3 4i y 3 5 y 3 5 ΘΕΜΑ Γ Γ. Η h ( ) είναι παραγωγίσιμη στο ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων: h ( ) ln για κάθε. Συνεπώς η h είναι γνησίως αύξουσα στο, συνεπώς είναι «-». Ομοίως η h ( ) είναι παραγωγίσιμη στο ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων: h ( ) για κάθε. (Επομένως η h είναι γνησίως φθίνουσα) Άρα η h είναι κοίλη στο. Επιμέλεια-Χριστοδούλου Γεώργιος Pag
Γ. Παρατηρώ πως: h() ln ln ln ln Συνεπώς η ανίσωση γίνεται: h( h ( )) h( h ( )) ln ln h h h( h ( )) h() h ( ) h ( ) h ( ) h () Γ3. Υπολογίζω την οριζόντια ασύμπτωτη: Πρέπει lim h ( ). Έχουμε: lim ( ) lim ln( h ) που είναι απροσδιόριστη μορφή. Όμως: ln( ) ln ln( ) ln Υπολογίζω το lim lim lim D. L. H. Άρα lim ln Συνεπώς y = η οριζόντια ασύμπτωτη. Υπολογίζω την πλάγια ασύμπτωτη, έστω y. h ( ) Πρέπει lim και lim h( ). Εχουμε: ln( ) ln( ) lim lim Υπολογίζω το Άρα ln( ) lim lim ln( ) ln( ) lim. Συνεπώς: h h lim ( ) lim ( ) lim ln( ) lim ln( ) Συνεπώς η πλάγια ασύμπτωτη είναι η y. Επιμέλεια-Χριστοδούλου Γεώργιος Pag 3
Γ4. Το ζητούμενο εμβαδό περικλείεται από την C, τον άξονα, την ευθεία =. Συνεπώς πρέπει να βρω το σημείο τομής της φ() με τον. ( ) h( ) ln ή (αδύνατον) ή h( ) ln h ( ) ln Συνεπώς: h ( ) ln Έχουμε: E h( ) h() ( ) d E h( ) ln d E ln( ) ln d E ln ln d E ln d ln διότι και. Άρα: E ln d ln d ln d ' ln ln ln d d ln d ln d ln d ln ln d ln ln ln ln( ) ln.. ' Επιμέλεια-Χριστοδούλου Γεώργιος Pag 4
ΘΕΜΑ Δ Δ. Για να είναι συνεχής η f( ) στο πρέπει: Έχουμε: lim f ( ) f () lim f ( ) lim lim f (), άρα συνεχής στο. D. L. H. Η f είναι παραγωγίσιμη στο * : f ( ). Θεωρώ την ( ) g η οποία είναι παραγωγίσιμη στο. Ισχύει: g ( ). Μελετώ την g ως προς τη μονοτονία: g ( ) και δημιουργώ τον πίνακα: H g() παρουσιάζει ολικό ακρότατο στο με g() =. Από τον ορισμό έχουμε: g( ) g() g( ) για κάθε και g() > για. Άρα f () > για. Συνεπώς εφόσον η f συνεχής στο, θα είναι και γνησίως αύξουσα στο. Δ.a Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f. Εφόσον η f είναι γνησίως αύξουσα τότε: f ( ) lim f ( ), lim f ( ) lim f( ) lim lim f ( ) lim lim D. L. H. Συνεπώς το σύνολο τιμών της f() είναι το (, ), δηλαδή f( ) για κάθε. Επιμέλεια-Χριστοδούλου Γεώργιος Pag 5
Παρατηρώ για έχουμε προφανή λύση. Θα αποδείξω πως είναι και η μοναδική. Έστω πως η f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( u) du έχει άνισες λύσεις.τότε ισχύει: f ( u) du f ( u) du, δηλαδή: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( u) du f ( u) du f ( u) du f ( u) du f ( u) du f ( u) du f ( u) du Και επειδή f( ), θα ισχύει: f ( ) f ( ), άτοπο, καθώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο και άρα -, δηλ f ( ) f ( ). Συνεπώς η εξίσωση έχει μια μοναδική λύση την. Δ.β Η f είναι παραγωγίσιμη στο διότι: f ( ) f () lim lim lim lim lim D. L. H. D. L. H. Έστω (t) και y(t) η τετμημένη και η τεταγμένη αντίστοιχα. Ζητείται το σημείο Μ τέτοιο ώστε y (t) = (t) δηλαδή y (t) = (t) (). Ισχύει: y(t) = f((t)) η οποία είναι παραγωγίσιμη ώς σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Άρα: Αντικαθιστώ στην (): Επιμέλεια-Χριστοδούλου Γεώργιος Pag 6
διότι f γνησίως αύξουσα και άρα -. Συνεπώς y(t) =. Άρα το ζητούμενο σημείο Μ(,). Δ3. Αντικαθιστώ την f στην g: g( ) g( ) H g είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων: g ( ) ( ) g ( ) Δύο προφανείς λύσεις είναι = και =. Θεωρώ την h( ), η οποία είναι παραγωγίσιμη για κάθε > : h ( ). Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα. Επίσης η h() είναι συνεχής στο [,] και ισχύει: h() h() h() h() Άρα από θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) τέτοιο ώστε f( ). Δημιουργώ πίνακα προσήμων: Συνεπώς η g παρουσιάζει τοπικά ελάχιστα στις θέσεις = και = ενώ τοπικό μέγιστο στη θέση. Επιμέλεια-Χριστοδούλου Γεώργιος Pag 7