10. Το Φως ως Γεωμετρική Ακτίνα

10. Το Φως ως Γεωμετρική Ακτίν Ελένη Κλδούδη Φινόμεν στ οποί εμπλέκετι ηλεκτρομγνητική κτινοβολί μεσίων συχνοτήτων που περιλμβάνει τις επιμέρους περιοχές του υπέρυθρου με συχνότητες 10 12 4.3x10 14 Hz κι ενέργει 4x10-3 1.7 ev, κθώς κι περιοχή του ορτού φωτός με συχνότητες 4.3x10 14 5.7x10 14 Hz κι ενέργει 1.7 2.3 ev, δηλδή γύρω στο ορτό μέρος του φάσμτος, δεν εμφνίζουν συνήθως εύκολ ούτε την κυμτική ούτε τη σωμτιδική φύση του φωτός. Τέτοι φινόμεν είνι η νάκλση κι η διάθλση φωτεινών κτίνων κι η νάλυσή τους γίνετι κτά πράδοση θεωρώντς το φως ως μι γεωμετρική κτίν που διδίδετι ευθύγρμμ, χωρίς ν ενδιφέρει η φύση του φωτός κι τ η μικροσκοπική συμπεριφορά των φωτονίων. Αντίστοιχ, ο κλάδος της φυσικής που σχολείτι με το φως ως γεωμετρική κτίν ονομάζετι συνήθως κι γεωμετρική οπτική κι έχει ως ντικείμενο την μελέτη κι νάλυση διάφορων οπτικών συστημάτων όπως τ κάτοπτρ, η φωτογρφική μηχνή, ο οφθλμός, το μικροσκόπιο, το τηλεσκόπιο κλπ. Η βάση σε υτό τον τρόπο μελέτης του φωτός είνι η οπτική κτίν, η οποί ορίζετι ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων στ οποί βρίσκετι διδοχικά το φως στην πορεί του, μι νοητή τροχιά κτά μήκος της οποίς μετβιβάζετι η ενέργει του φωτός. Ωστόσο, η γεωμετρική οπτική δεν μπορεί ν εξηγήσει όλ τ φωτεινά φινόμεν, κι στις περιπτώσεις που δίνει ικνοποιητικές εξηγήσεις πιτούντι μι σειρά πό υποθέσεις. Κτ ρχήν, στη γεωμετρική οπτική δεχόμστε την ευθύγρμμη πορεί του φωτός σε έν οπτικά ομογενές μέσο. Επίσης, δεχόμστε ότι υτή η πορεί συνεχίζει ν είνι ευθύγρμμη κόμη κι ν στην πορεί της φωτεινής κτίνς πρεμβάλλοντι εμπόδι (ή οπές σε εμπόδι) που οι διστάσεις τους είνι πολύ μεγλύτερες πό το μήκος κύμτος του φωτός. Κι σε υτή την περίπτωση το φως συνεχίζει ν διδίδετι ευθύγρμμ, σ ν μη συνάντησε το εμπόδιο, εκτός πό μι μικρή πόστση μετά το εμπόδιο όπου εμφνίζοντι «νωμλίες» στη διάδοσή του (που στην ουσί οφείλοντι σε φινόμεν που ξεκινούν πό την κυμτική συμπεριφορά του φωτός, με τ οποί όμως δεν σχολείτι η γεωμετρική οπτική κι δεν μπορεί ν εξηγήσει). [Όπως έχουμε δει στο προηγούμενο κεφάλιο, στην περίπτωση που το μήκος κύμτος του φωτός είνι της τάξης μεγέθους του εμποδίου/οπής τότε εμφνίζοντι κυμτικά φινόμεν συμβολής που έχουν ως μκροσκοπικό ποτέλεσμ την φινόμενη λλγή της πορείς του φωτός λλά κι άλλ φωτεινά φινόμεν. Στην περίπτωση που τ εμπόδι/οπές είνι πολύ μικρότερ πό το μήκος κύμτος του φωτός, το φως διδίδετι σ ν μη τ έχει συνντήσει. Κι στις δύο υτές περιπτώσεις ουσιστικά έχουμε κυμτικά φινόμεν συμβολής που οδηγούν στην τελική υτή φινόμενη συμπεριφορά του φωτός (εξηγούντι πρκάτω).] Στη γεωμετρική οπτική κάθε υλικό μέσο χρκτηρίζετι πό την τχύτητ του φωτός σε υτό το μέσο κθώς κι πό έν συντελεστή που δίνει τη σχέση της τχύτητς του φωτός σε υτό το μέσο ως προς την τχύτητ του φωτός στο κενό. Ο συντελεστής ονομάζετι συντελεστής διάθλσης κι δίνετι πό τη σχέση: συντελεστής διάθλσης = η = τχύτητ φωτός στο κενό τχύτητ φωτός στο μέσο = c υ 1 [10-1] Είνι φνερό ότι ο συντελεστής διάθλσης ενός μέσου είνι ένς κθρός ριθμός (χωρίς μονάδες μέτρησης) κι είνι πάντ μεγλύτερος πό τη μονάδ μι κι η τχύτητ του φωτός στο κενό έχει την μέγιστη δυντή τιμή σε σχέση με όλ τ υπόλοιπ μέσ. Η τιμή του στον έρ είνι πολύ κοντά στην μονάδ (γι έρ με θερμοκρσί 0 ο C κι πίεση 1atm είνι η έρ=1,000293) κι σε προσεγγιστικούς πρκτικούς υπολογισμούς θεωρείτι ίσος με τη μονάδ. Μεγλύτερος δείκτης

διάθλσης ντιστοιχεί σε οπτικώς πυκνότερο μέσο κι ντίθετ μικρότερος δείκτης διάθλσης (πάντ μεγλύτερος πό την μονάδ) ντιστοιχεί σε οπτικώς ριότερο μέσο. Σχετικός δείκτης διάθλσης μετξύ δύο οπτικών μέσων είνι ο λόγος των επιμέρους δεικτών διάθλσης κι είνι ντιστρόφως νλόγως με τον λόγο των τχυτήτων του φωτός στ δύο μέσ: σχετικός δείκτης διάθλσης δύο μέσων = η 1,2 = η 1 η 2 = υ 2 υ 1 = λ 2 λ 1 [10-2] Κτά τη διάδοσή του το φως κρτά πάντ στθερή την συχνότητά (ν) του. Επομένως, κτά τη μετάβσή του πό έν οπτικό μέσο σε έν άλλο με διφορετική τχύτητ, το φως λλάζει το μήκος κύμτος (λ) έτσι ώστε ν ικνοποιείτι η βσική κυμτική εξίσωση: υ = λν [10-3] Αυτό έχει ως ποτέλεσμ, ο δείκτης διάθλσης ενός μέσου ν εξρτάτι άμεσ τόσο πό το μέσο λλά κι πό το μήκος κύμτος του φωτός σε υτό το μέσο. Έτσι, γι το ίδιο μέσο, κάθε συχνότητ του φωτός διθλάτι διφορετικά. Η βσική ρχή γι την πορεί του φωτός ως γεωμετρική κτίν είνι υτή του Pierre e ermat (1601-1665) που ορίζει ότι: πό όλες τις δυντές διδρομές που μπορεί ν κολουθήσει το φως γι ν φτάσει πό έν σημείο σε έν άλλο, κολουθεί εκείνη τη διδρομή που πιτεί τον ελάχιστο δυντό χρόνο κι είνι γνωστή κι ως ρχή του ελάχιστου οπτικού δρόμου (=ελάχιστος χρόνος). Προφνές ποτέλεσμ υτής της ρχής είνι ότι ότν το φως διδίδετι σε έν οπτικά ομογενές μέσο (δηλδή έν μέσο που σε κάθε σημείο του η τχύτητ διάδοσης του φωτός είνι ίδι), οι διδρομές διάδοσης είνι ευθύγρμμες. Επίσης, με βάση την ρχή του ermat μπορεί ν ποδειχθεί ποι θ είνι η πορεί του φωτός ότν συνντά διχωριστικές επιφάνειες μετξύ διφορετικών οπτικών μέσων (νάκλση κι διάθλση). 10.1. Ανάκλση Ότν φωτεινή κτίν που διδίδετι σε έν μέσο συνντήσει διχωριστική επιφάνει με έν άλλο μέσο, τότε μέρος της κτίνς νκλάτι πίσω στο ρχικό μέσο διάδοσης. Αν η διχωριστική επιφάνει είνι ρκετά λεί (δηλδή οι τέλειές της είνι μικρές σε σχέση με το μήκος κύμτος του προσπίπτοντος φωτός) οι κτίνες που πέφτουν πράλληλ μετξύ τους στην διχωριστική επιφάνει εξκολουθούν ν είνι πράλληλες μετξύ τους κι μετά την νάκλσή τους (κτοπτρική νάκλση). Αντίθετ, επιφάνειες που είνι τρχιές κι νώμλες (με τέλειες που είνι συγκρίσιμες με το μήκος κύμτος του προσπίπτοντος φωτός) νκλούν κτίνες που πέφτουν πράλληλ μετξύ τους με τέτοιο τρόπο ώστε μετά την νάκλση οι κτίνες ν κτευθύνοντι κνόνιστ προς όλες τις διευθύνσεις (Σχήμ 10-1). Η κνόνιστη υτή νάκλση ονομάζετι διάχυση, κι δεν θ μς πσχολήσει στην πρκάτω νάλυση, που επικεντρώνετι κι θεωρεί μόνο τις περιπτώσεις όπου το μήκος κύμτος του φωτός κι η υφή της διχωριστικής επιφάνεις οδηγούν σε κτοπτρική νάκλση (που θ νφέρετι πό δω κι πέρ πλά ως νάκλση). 166

A B Σχήμ 10-1. (Α) Κτοπτρική νάκλση φωτός πό επιφάνει με νωμλίες πολύ μικρών διστάσεων σε σύγκριση με το μήκος κύμτος του φωτός. (Β) Διάχυση φωτός πό επιφάνει με νωμλίες που έχουν διστάσεις συγκρίσιμες ή μεγλύτερες πό το μήκος κύμτος του φωτός. Επιφάνειες που νκλούν το φως κτοπτρικά ονομάζοντι κάτοπτρ. Από πειρμτικές πρτηρήσεις γνωρίζουμε ότι κτίν φωτός που προσπίπτει σε μι διχωριστική επιφάνει με κτεύθυνση ώστε ν δημιουργεί γωνί θ π με την κάθετη στην επιφάνει, νκλάτι σε διεύθυνση που σχημτίζει γωνί θ με την κάθετη γι τις οποίες ισχύει: θ π = θ (νόμος νάκλσης) [10-4] Η ισότητ της γωνίς πρόσπτωσης με υτή της νάκλσης (γνωστή κι ως νόμος νάκλσης) προκύπτει κι πό την ρχή του ermat. Αν θεωρήσουμε το σημείο Α στον δρόμο της οπτικής κτίνς πριν την νκλστική επιφάνει, τότε το φως θ κολουθήσει την πιο σύντομη χρονικά πορεί μέχρι το σημείο Β μετά την νκλστική επιφάνει (Σχήμ 10-2). Με δεδομένο ότι η κτίν διδίδετι σε όλη την διδρομή της στο ίδιο μέσο (με στθερή τχύτητ) ο ελάχιστος χρόνος (t) που θ χρειστεί γι ν δινύσει το διάστημ L=ΑΟ+ΟΒ ντιστοιχεί στην ελάχιστη δυντή πόστση ΟΑ+ΟΒ=L. Σύμφων με τ σύμβολ όπως φίνοντι στο Σχήμ 10-2 κι χρησιμοποιώντς τη γνωστή σχέση γι τ ορθογώνι τρίγων που ορίζει ότι το άθροισμ των τετργώνων των δύο κάθετων πλευρών ισούτι με το τετράγωνο της υποτείνουσς, έχουμε: L = OA + OB = x 2 + a 2 + β 2 + ( x) 2 [10-5] όπου ο συνολικός δρόμος της κτίνς L δίνετι ως συνάρτηση της άγνωστης ποσότητς x. Το ζητούμενο είνι η τιμή του x γι την οποί το L γίνετι ελάχιστο. Το ελάχιστο μις συνάρτησης είνι γι εκείνη την τιμή της μετβλητής της γι την οποί η πρώτη πράγωγος της συνάρτησης ως προς την μετβλητή μηδενίζετι. Επομένως, γι την τιμή του x όπου ο συνολικός δρόμος L ελχιστοποιείτι έχουμε: L x = 0 x ( x2 + a 2 + β 2 + ( x) 2 ) = 0 x ( x2 + a 2 ) + x ( β2 + ( x) 2 ) = 0 [10-6] 167

οπτικό μέσο με υ 1 κι η 1 Α θ π θ π θ Β β x Ο -x Σχήμ 10-2. Φωτεινή κτίν διδίδετι ευθύγρμμ σε ομογενές οπτικό μέσο κι νκλάτι σε κτοπτρική επιφάνει. Η νκλώμενη κτίν έχει διεύθυνση τέτοι ώστε η γωνί πρόσπτωσης ν είνι ίση με τη γωνί νάκλσης. Αν χρησιμοποιήσουμε τους γνωστούς κνόνες πργώγισης σύνθετων συνρτήσεων κθώς κι τις γνωστές πργώγους ειδικών συνρτήσεων: x ( u) = 1 2 u u x [10-7] κι θέσουμε u = x 2 + a 2 [10-8] ο πρώτος όρος του θροίσμτος στην εξίσωση [10-6] γίνετι: x ( x2 + a 2 ) = x x 2 + a 2 [10-9] Προμοίως, ο δεύτερος όρος του θροίσμτος στην εξίσωση [10-6] γίνετι: x ( β2 + ( x) 2 x ) = [10-10] β 2 + ( x) 2 Χρησιμοποιώντς τον ορισμό του ημιτόνου γωνίς ορθογωνίου τριγώνου, πό την εξίσωση [10-6] κι τις εξισώσεις [10-9] κι [10-10] κτλήγουμε: L x = 0 x x 2 + a = x ημθ 2 π = ημθ θ π = θ [10-11] β 2 + ( x) 2 168

10.2. Διάθλση Ότν φωτεινή κτίν συνντήσει διχωριστική επιφάνει μετξύ δύο ημιδιάφνων μέσων με διφορετική ωστόσο οπτική πυκνότητ, έν μέρος της φωτεινής κτίνς νκλάτι όπως νλύθηκε πρπάνω στο ρχικό μέσο (με τχύτητ διάδοσης φωτός κι συντελεστή διάθλσης υ 1 κι η 1 ντίστοιχ) κι έν μέρος της κτίνς συνεχίζει την πορεί του στο δεύτερο μέσο (με τχύτητ διάδοσης φωτός κι συντελεστή διάθλσης υ 2 κι η 2 ντίστοιχ), σχημτίζοντς την κτίν διάθλσης. Ωστόσο, η γωνί που σχημτίζει η διθλώμενη κτίν με την κάθετο στην διχωριστική επιφάνει είνι στη γενική περίπτωση διφορετική πό την γωνί που σχημτίζει η κτίν πρόσπτωσης κι δίνετι πό τον γνωστό νόμο του Snell: ημθ δ = υ 2 υ 1 ημθ π ημθ π ημθ δ = υ 1 υ 2 ημθ π ημθ δ = η 2 η 1 [10-12] Α θ π θ π οπτικό μέσο με υ 1 κι η 1 οπτικό μέσο με υ 2 κι η 2 x Ο θ δ Β-x β B Σχήμ 10-3. Φωτεινή κτίν διδίδετι ευθύγρμμ σε ομογενές οπτικό μέσο κι διθλάτι σε διχωριστική επιφάνει συνεχίζοντς τη διάδοση σε δεύτερο ομογενές οπτικό μέσο. Ο πρπάνω νόμος της διάθλσης προκύπτει με νάλογο τρόπο όπως υτός της νάκλσης πό την ρχή του ελάχιστου οπτικού δρόμου. Αν θεωρήσουμε τ δύο σημεί Α κι Β πριν κι μετά την διάθλση ντίστοιχ, τότε ο χρόνος πό το Α στο Β είνι: t = AO + OB = x2 + a 2 υ 1 υ c + 2 η 1 β 2 + ( x) 2 c η 2 [10-13] Το ζητούμενο είνι η τιμή του x γι την οποί ο πρπάνω χρόνος γίνετι ελάχιστος. Το ελάχιστο μις συνάρτησης είνι γι εκείνη την τιμή της μετβλητής της γι την οποί η πρώτη πράγωγος της συνάρτησης ως προς την μετβλητή μηδενίζετι. Επομένως, γι την τιμή του x όπου ο συνολικός χρόνος ελχιστοποιείτι έχουμε: x t = 0 [10-14] 169

x ( x2 + a 2 c + η 1 η 1 x c x 2 + a 2 = η 1 ημθ π = η 2 ημθ δ β 2 + ( x) 2 c η 2 ) = 0 η 2 ( x) c β 2 + ( x) 2 Σύμφων με τον πρπάνω νόμο, κτίν που προσπίπτει κάθετ σε διχωριστική επιφάνει μετά τη διάθλσή της στο δεύτερο οπτικό μέσο συνεχίζει την διάδοσή της στην ρχική της διεύθυνση, χωρίς λλγή της πορείς της. Σε περιπτώσεις που η προσπίπτουσ φωτεινή κτίν ποτελείτι πό συνιστώσες κτίνες με διάφορες συχνότητες, η διάθλση είνι διφορετική γι κάθε συνιστώσ κι το ποτέλεσμ είνι η νάλυση του φωτός στις χρωμτικές του συνιστώσες. Το φινόμενο οφείλετι στο φινόμενο του δισκεδσμού, της εξάρτησης δηλδή της τχύτητς διάδοσης του φωτός σε έν μέσο (εκτός πό το κενό) πό την συχνότητ του φωτός. Στην περίπτωση του κνονικού δισκεδσμού, μεγλύτερη συχνότητ φωτός συνεπάγετι μικρότερη τχύτητ διάδοσης σε έν μέσο, άρ ο δείκτης διάθλσης του φωτός σε υτό το μέσο είνι μεγλύτερος γι μεγλύτερες συχνότητες φωτός. Το ποτέλεσμ είνι, φως μεγλύτερης συχνότητς ν διθλάτι περισσότερο, δηλδή ν λλάζει περισσότερο την πορεί του. Σε υτό το φινόμενο βσίζετι η νάλυση λευκού φωτός στις επιμέρους συχνότητες που το ποτελούν με ειδικές διτάξεις που ονομάζοντι πρίσμτ. Το πρίσμ είνι στην ουσί έν υλικό με δείκτη διάθλσης που εξρτάτι έντον πό την συχνότητ του φωτός κι πρεμβάλλετι στην πορεί λευκού φωτός, εκτρέποντς (στην περίπτωση που χρκτηρίζετι πό κνονικό δισκεδσμό) πό την πορεί τους περισσότερο φως μεγλύτερης συχνότητς. Έτσι στην περίπτωση του ορτού φάσμτος του φωτός, εκτρέπετι περισσότερο το ιώδες (που βρίσκετι στο πάνω όριο συχνοτήτων του ορτού φάσμτος), λιγότερο το μπλέ, το πράσινο, το κίτρινο, το πορτοκλί κι κόμ λιγότερο το κόκκινο (που βρίσκετι στο κτώτερο όριο συχνοτήτων του ορτού φάσμτος). 10.3. Ολική νάκλση Γι φωτεινή κτίν που διδίδετι πό οπτικά ριότερο μέσο σε οπτικά πυκνότερο μέσο (π.χ. πό έρ με η=1 σε γυλί με η=1,5) η γωνί διάθλσης είνι πάντ μικρότερη πό την γωνί πρόσπτωσης. Αντίθετ, γι φωτεινή κτίν που διδίδετι πό οπτικά πυκνότερο μέσο σε οπτικά ριότερο μέσο (π.χ. πό γυλί με η=1,5 σε έρ με η=1) η γωνί διάθλσης είνι πάντ μεγλύτερη πό την γωνί πρόσπτωσης. Μάλιστ, σε υτή την περίπτωση διάδοσης πό οπτικά πυκνότερο προς οπτικά ριότερο μέσο, υπάρχει μι ορική γωνί πρόσπτωσης γι την οποί η γωνί διάθλσης πίρνει την μέγιστη δυντή τιμή, ίση με 90 ο. Γι την ορική υτή γωνί ισχύει: ημθ ορικό = η 2 η 1 2 [10-15] Γι πράδειγμ, ν το πρώτο μέσο είνι έρς κι το δεύτερο γυλί, η ορική γωνί είνι περίπου 41 ο. Φωτεινή κτίν που προσπίπτει σε διχωριστική επιφάνει με οπτικά ριότερο μέσο με την ορική γωνί διάθλσης, εν μέρει νκλάτι κι εν μέρει διθλάτι, με κτίν διάθλση πράλληλη με την διχωριστική επιφάνει. Αν η πρόσπτωση γίνει με γωνί μεγλύτερη της ορικής, η κτίν δεν διθλάτι κθόλου, κι έχουμε το φινόμενο της ολικής νάκλσης. Βσικές εφρμογές του φινομένου της ολικής νάκλσης ποτελούν τ πρίσμτ γι λλγή της πορείς του φωτός κι οι οπτικές ίνες γι διάδοση του φωτός χωρίς μεγάλες σχετικά πώλειες σε μεγάλες ποστάσεις. 170

ισοσκελές ορθογώνιο πρίσμ πό γυλί θ ορική =41 ο (γυλί-έρς) 45 ο 45 ο 45 ο 45 ο Σχήμ 10-4. Εκτροπή πορείς φωτός που διδίδετι στον έρ ή στο κενό (η=1) πό γυάλινο ισοσκελές-ορθογώνιο πρίσμ (η=1,5 θ ορική=41 ο γι επιφάνει με τον έρ ή το κενό) κτά 90 ο ή κι 180 ο ντίστοιχ. Τ πρίσμτ δεν είνι πρά διτάξεις πό υλικό διφνές κι οπτικά πυκνότερο του έρ (π.χ. γυλί), που πρεμβάλλοντι με τέτοιο τρόπο στην πορεί του φωτός, ώστε το φως ν προσπίπτει συνήθως κάθετ στο πρίσμ ώστε ν εισέρχετι χωρίς εκτροπή της πορείς, ν προσπίπτει στην επιφάνει εξόδου με γωνί μεγλύτερη υτής της ορικής, ώστε ν υφίσττι ολική νάκλση κι ν εξέρχετι κάθετ πό επόμενη επιφάνει εξόδου ώστε ν μην εκτρέπετι. Στο Σχήμ 10-2 φίνοντι δύο πρδείγμτ χρήσης ενός πλού πρίσμτος (ισοσκελές ορθογώνιο) γι την λλγή της πορείς του φωτός κτά 90 ο κι 180 ο ντίστοιχ. Το ίδιο φινόμενο χρησιμοποιείτι γι τη διάδοση του φωτός μέσ σε ίνες που ποτελούντι πό συμπγές υλικό οπτικά πυκνότερο πό τον έρ (π.χ. γυλί ή κτάλληλο διφνές πλστικό). Κτά τη διάδοση του φωτός μέσ σε τέτοιες ίνες, πρόσπτωση στ τοιχώμτ με γωνί μεγλύτερη πό την ορική νγκάζει σε ολική νάκλση έτσι ώστε ν γίνετι δυντή η μετάδοση του φωτός όχι μόνο σε πόλυτη ευθεί. Πρόμοιες ίνες ονομάζοντι κι οπτικές ίνες κι χρησιμοποιούντι σήμερ ευρέως σε μι μεγάλη ποικιλί εφρμογών που φορούν τη μετφορά φωτός. 10.4. Είδωλ, κάτοπτρ κι φκοί Από τον βσικό νόμο της νάκλσης προκύπτει ότι κτίνες που πέφτουν πράλληλες σε επίπεδη κτοπτρική επιφάνει μετά την νάκλση συνεχίζουν την πορεί τους πράλληλ. Επίσης, κτίνες που ξεκινούν πό δεδομένο σημείο Α κι πέφτουν σε επίπεδη κτοπτρική επιφάνει ποκλίνοντς, μετά την νάκλση συνεχίζουν την πορεί τους κι πάλι ως ποκλίνουσες κτίνες (Σχήμ 10-5). Σε πρτηρητή, οι νκλώμενες κτίνες φίνοντι ν προέρχοντι πό σημείο πίσω πό το κάτοπτρο, εκεί όπου συγκλίνουν οι νκλώμενες κτίνες (δικεκομμένες γρμμές στο Σχήμ 10-5). Η νοητή υτή εικόν του ντικειμένου ονομάζετι είδωλο. Στην περίπτωση που το είδωλο σχημτίζετι πό τις νοητές προεκτάσεις των φωτεινών κτίνων, το είδωλο ονομάζετι φντστικό. Στο επίπεδο κάτοπτρο, πλή γεωμετρί νδεικνύει ότι το είδωλο ενός ντικειμένου σχημτίζετι σε ίση πόστση πό το κάτοπτρο όση κι το ντικείμενο, είνι συμμετρικό ως προς την επιφάνει του κτόπτρου κι οι διστάσεις του είνι ίσες με υτές του ντικειμένου. Είδωλ μπορεί ν σχημτιστούν κι εξιτίς διάθλσης, ότν φωτεινές κτίνες διέρχοντι μέσ πό διχωριστική επιφάνει δύο διφνών υλικών που έχουν διφορετικό δείκτη διάθλσης. Υλικά με διφορετικό δείκτη διάθλσης πό τον έρ που περιορίζοντι πό δύο επιφάνειες κι ότν πρεμβάλλοντι στην πορεί φωτεινών κτίνων προκλούν (εξιτίς διπλής διάθλσης στην πρόσθι επιφάνει εισόδου κι στην οπίσθι επιφάνει εξόδου) την σύγκλιση ή την πόκλιση κτίνων φωτός ονομάζοντι φκοί. 171

A B 1 2 1 2 Σχήμ 10-5. Σχημτισμός ειδώλου σε επίπεδο κάτοπτρο στην περίπτωση σημεικής πηγής (Α) κι υλικού ντικειμένου (Β). Συγκλίνων φκός είνι ο φκός που νγκάζει φωτεινές κτίνες ότν προσπίπτουν πράλληλες στην πρόσθι επιφάνει ν συγκλίνουν σε συγκεκριμένο σημείο μετά την έξοδό τους πό την οπίσθι επιφάνει, σχημτίζοντς στο σημείο σύγκλισης είδωλο (το οποίο ονομάζετι κι πργμτικό, ότν προέρχετι πό σύγκλιση των φωτεινών κτίνων κι όχι των προεκτάσεών τους). Οι συγκλίνοντες φκοί είνι διτάξεις που έχουν τουλάχιστο την μί κι συχνά κι τις δύο επιφάνειες σφιρικές κι μεγλύτερο πάχος στη μέση πό ότι στ άκρ (Σχήμ 10-6). Αποκλίνων φκός είνι ο φκός που νγκάζει φωτεινές κτίνες ότν προσπίπτουν πράλληλες στην πρόσθι επιφάνει ν ποκλίνουν μετά την έξοδό τους πό την οπίσθι επιφάνει, σχημτίζοντς έτσι με τις νοερές προεκτάσεις τους φντστικό είδωλο σε σημείο πριν τον φκό. Οι ποκλίνοντες φκοί είνι διτάξεις που έχουν τουλάχιστο την μί κι συχνά κι τις δύο επιφάνειες σφιρικές κι μεγλύτερο πάχος στ άκρ πό ότι στη μέση (Σχήμ 10-7). πρόσπτωση μφίκυρτος επιπεδόκυρτος συγκλίνων μηνίσκος σύμβολο Σχήμ 10-6. Μερικά χρκτηριστικά πρδείγμτ πό συγκλίνοντες φκούς. πρόσπτωση ν μφίκοιλος επιπεδόκοιλος ποκλίνων μηνίσκος ν σύμβολο Σχήμ 10-7. Μερικά χρκτηριστικά πρδείγμτ πό ποκλίνοντες φκούς. 172

ν O ο Σχήμ 10-8. Σύγκλιση κι πόκλιση πράλληλων φωτεινών κτίνων πό συγκλίνοντες (ριστερά) κι ποκλίνοντες (δεξιά) φκούς κι ορισμός ορισμένων σχετικών εννοιών. ν Η σύγκλιση κι η πόκλιση πράλληλων κτίνων πό συγκλίνοντες κι ποκλίνοντες φκούς ντίστοιχ φίνετι Σχήμ 10-8. Γι τη μελέτη συστημάτων φκών, ορίζουμε τις πρκάτω έννοιες: οπτικό κέντρο ονομάζετι το κεντρικό σημείο (Ο) κάθε φκού κύριος οπτικός άξονς ονομάζετι η κάθετη στον φκό στο οπτικό κέντρο του φκού δευτερεύοντς οπτικός άξονς ονομάζετι κάθε άλλη ευθεί (εκτός της κάθετης) που διέρχετι πό το οπτικό κέντρο ενός φκού κύρι εστί () είνι το σημείο που συγκλίνουν οι κτίνες που προσπίπτουν πράλληλ με τον οπτικό άξον στον φκό κι δικρίνετι σε πρόσθι κι οπίσθι σε σχέση με τον φκό κι την επιφάνει πρόσπτωσης των φωτεινών κτίνων εστική πόστση () ονομάζετι η πόστση της κύρις εστίς πό το οπτικό κέντρο του φκού. Η εστική πόστση του φκού εξρτάτι πό το δείκτη διάθλσης (κι επομένως το υλικό) του φκού κθώς κι πό την κμπυλότητ των επιφνειών του. Συγκεκριμέν, στην περίπτωση που το πάχος του φκού είνι πολύ μικρό σε σχέση με την εστική του πόστση (λεπτός φκός), η εστική πόστση συνδέετι με τον δείκτη διάθλσης η κι τις κμπυλότητες R 1 κι R 2 των δύο επιφνειών του φκού με τη σχέση: 1 = (η 1)( 1 R 1 + 1 R 1 ) [10-16] 10.5. Είδωλο σε Συγκλίνοντ Φκό Η μελέτη της συμπεριφοράς φωτεινών κτίνων που διέρχοντι πό φκούς μπορεί ν γίνει κολουθώντς μερικούς πλούς κι βσικούς κνόνες. Γι την περίπτωση συγκλίνοντ φκού, οι κνόνες υτοί συνοψίζοντι γρφικά στο Σχήμ 10-9, κι είνι οι εξής: κτίνες που προσπίπτουν πράλληλ στον οπτικό άξον διέρχοντι πό την κύρι εστί του φκού κτίνες που διέρχοντι πό το οπτικό κέντρο (πράλληλες με δευτερεύοντ άξον) δεν εκτρέποντι λλά συνεχίζουν την πορεί τους όπως πριν συνντήσουν τον φκό κτίνες που διέρχοντι πό την πρόσθι εστί του φκού κι προσπίπτουν ποκλίνουσες στην πρόσθι επιφάνει του φκού, εξέρχοντι πράλληλες με τον οπτικό άξον 173

φωτεινή πηγή στον κύριο οπτικό άξον κι σε πόστση πό τον φκό, όπου >, σχημτίζει πργμτικό είδωλο πίσω πό τον φκό πάνω στον οπτικό άξον κι σε πόστση β πό τον φκό, γι την οποί ισχύει η σχέση: 1 a + 1 β = 1 [10-17] φωτεινή πηγή στον κύριο οπτικό άξον κι σε πόστση πό τον φκό, όπου <, σχημτίζει φντστικό είδωλο μπροστά πό τον φκό πάνω στον οπτικό άξον κι σε πόστση β πό τον φκό, γι την οποί ισχύει η σχέση [10-17]. O κτίνες που διέρχοντι πό το οπτικό κέντρο δεν εκτρέποντι O κτίνες πράλληλες στον οπτικό άξον διέρχοντι πό την κύρι εστί O κτίνες που διέρχοντι πό την εμπρόσθι εστί εξέρχοντι πράλληλ στον οπτικό άξον Σχήμ 10-9. Βσικοί κνόνες γι τη μελέτη συμπεριφοράς φωτεινών κτίνων ότν συνντούν συγκλίνοντες φκούς. β β O A A > Α A < Σχήμ 10-10. Σχημτισμός ειδώλου φωτεινής πηγής που βρίσκετι πάνω στον οπτικό άξον συγκλίνοντ φκού γι διφορετικές θέσεις σε σχέση με την πρόσθι εστί. 174

Με βάση τους πρπάνω κνόνες, γι σημεική φωτεινή πηγή που βρίσκετι πάνω στον οπτικό άξον (Σχήμ 10-10) το είδωλό της θ βρίσκετι επίσης πάνω στον οπτικό άξον (κι οι τρεις ευθείες που νφέροντι πρπάνω είνι πράλληλες κι συμπίπτουν με τον οπτικό άξον). Η πόστση β του ειδώλου μπορεί ν προσδιοριστεί πό την σχέση [10-17] κι είνι: β = [10-18] Όπως φίνετι στο Σχήμ 10-11, κολουθώντς τους πρπάνω κνόνες σε υτή την περίπτωση το είδωλο είνι πργμτικό, σχημτίζετι πίσω πό τον φκό, είνι νεστρμμένο σε σχέση με το ντικείμενο, βρίσκετι σε πόστση β πό τον φκό κι το ύψος του έχει διάστση που δίνετι πό τη σχέση: β = [10-19] κι μεγέθυνση: H ειδώλου m = = β Η ντικειμένου = [10-20] β Hντικειμένου A O B Hειδώλου Σχήμ 10-11. Είδωλο ντικειμένου σε συγκλίνοντ φκό ότν το ντικείμενο βρίσκετι πιο μκριά πό την πρόσθι εστί του φκού. Είνι φνερό ότι γι μεγάλες ποστάσεις ντικειμένου πό τον φκό ώστε >2 το μέγεθος του ειδώλου είνι μικρότερο πό υτό του ντικειμένου, οπότε έχουμε σμίκρυνση. Αντίθετ, γι μικρές ποστάσεις <2 (λλά, >) το μέγεθος του ειδώλου είνι μεγλύτερο πό του ντικειμένου, οπότε έχουμε μεγέθυνση. Αντίστοιχ, ότν το ντικείμενο βρίσκετι σε πόστση μικρότερη πό την εστική πόστση του φκού (<) όπως φίνετι στο Σχήμ 10-12, το είδωλο σχημτίζετι φντστικό κι μπροστά πό 175

τον φκό, δεν είνι νεστρμμένο, κι βρίσκετι σε πόστση β πό τον φκό κι το ύψος του έχει διάστση που δίνετι πό τη σχέση: H ειδώλου m = = β Η ντικειμένου = a [10-21] Σε υτή την περίπτωση το μέγεθος του ειδώλου είνι πάντ μεγλύτερο πό του ντικειμένου, οπότε έχουμε πάντ μεγέθυνση. β < B A O Σχήμ 10-12. Είδωλο ντικειμένου σε συγκλίνοντ φκό ότν το ντικείμενο βρίσκετι νάμεσ στην πρόσθι εστί του φκού κι τον φκό. 10.6. Γεωμετρική οπτική της όρσης Το νθρώπινο μάτι μπορεί ν προσομοιστεί με έν πλό σύστημ ενός συγκλίνοντ φκού. Το νθρώπινο μάτι είνι έν πολύπλοκο οπτικό σύστημ, όπου διάφορ τμήμτά του έχουν διθλστική ικνότητ κι λειτουργούν ως φκοί. Στο Σχήμ 10-13 φίνετι μι πλουστευμένη νπράστση του νθρώπινου μτιού. Γι πράδειγμ, ο κερτοειδής χιτώνς (ο εξώτερος διάφνος φλοιός του μτιού) έχει δείκτη διάθλσης η=1,376, το υδτοειδές υγρό έχει δείκτη διάθλσης όσο περίπου το νερό (η=1,33) ενώ ο φκός έχει δείκτη διάθλσης πό 1,39 έως 1,41. Ο μφιβληστροειδής χιτώνς είνι η επιφάνει όπου βρίσκοντι τ κύττρ που είνι ευίσθητ στο φως (κάθε κύττρο διεγείρετι πό έν φωτόνιο) κι μετά τη διέγερσή τους μετφέρουν το οπτικό ερέθισμ μέσω του οπτικού νεύρου στον εγκέφλο γι επεξεργσί. Επομένως, το μάτι μπορεί ν θεωρηθεί ως έν οπτικό σύστημ που σχημτίζει έν είδωλο του πργμτικού κόσμου πάνω στον μφιβληστροειδή. Πρόλο που το μάτι είνι έν πολύπλοκο οπτικό σύστημ, γι τις νάγκες της πρώτης προσέγγισης στην εξήγηση της όρσης που επιχειρούμε εδώ, μπορούμε ν το προσομοιάσουμε ως έν πλό οπτικό σύστημ ενός συγκλίνοντ φκού (που ντιστοιχεί στον φκό του μτιού μζί με όλο το υπόλοιπο σύστημ υγρών κι κερτοειδή χιτών που προσθέτουν στη διθλστική ικνότητ του φκού), όπως φίνετι στο Σχήμ 26. Η μέση διάστση ενός μτιού ενήλικ είνι συνολικά (πό τον κερτοειδή στον μφιβληστροειδή) περίπου 24 mm. Σε μι προσέγγιση του μτιού ως οπτικό σύστημ, μπορούμε ν θεωρήσουμε ότι το οπτικό κέντρο είνι σε πόστση περίπου 17 mm πό τον μφιβληστροειδή. Η εστική πόστση του οπτικού συστήμτος του μτιού είνι μετβλητή. Ότν το μάτι είνι ήρεμο κι κοιτά στο άπειρο, η εστική πόστση είνι περίπου όση κι η πόστση του φκού πό τον μφιβληστροειδή χιτών, δηλδή γύρω 17mm, κι σε υτή την περίπτωση το είδωλο σχημτίζετι 176

πάνω στην οπίσθι εστί του φκού. Αυτό προκύπτει πό τη σχέση [10-19], όπου = (άπειρο) κι β=17mm. ντικείμενο συγκλίνοντς φκός είδωλο στον μφιβληστροειδή β=17mm Σχήμ 10-13..Απλουστευμένη νπράστση του νθρώπινου μτιού ως οπτικό σύστημ ενός συγκλίνοντ φκού. Ν σημειωθεί ότι το ζητούμενο σε κάθε περίπτωση είνι ν δημιουργηθεί το είδωλο πάνω στον μφιβληστροειδή χιτών (όπου νιχνεύετι το φως κι δημιουργείτι το οπτικό ερέθισμ). Άρ η πόστση β είνι δεδομένη (περίπου 17 mm). Επομένως, η εστική πόστση του μτιού θ πρέπει ν μετβάλλετι, νάλογ με την πόστση του ντικειμένου που θέλει ν δει, ώστε ν ισχύει πάντ η σχέση [31]. Στην πράξη υτό γίνετι με τη σύσπση των κτάλληλων προσωπικών μυών (διδικσί που ονομάζετι προσρμογή του οφθλμού). Ωστόσο, υπάρχει έν όριο στη μετβολή της εστικής πόστσης του μτιού. Στον υγιή νέο ενήλικ, η εστική πόστση μπορεί ν μικρύνει μέχρι κι =~15,9mm. Αυτό ντιστοιχεί σε μι πόστση ντικειμένου πό το μάτι =25cm. Αντικείμενο που τοποθετείτι πιο κοντά στο μάτι πό τ 25cm, δε δίνει είδωλο πάνω στον μφιβληστροειδή κι επομένως δεν δικρίνετι κθρά. Αυτή η πόστση ονομάζετι κι ελάχιστη πόστση ευκρινούς όρσης. Η ελάχιστη πόστση ευκρινούς όρσης διφέρει πό άτομο σε άτομο κι κυρίως διφέρει με την ηλικί. Έτσι, στην ηλικί των 10 ετών, η ελάχιστη πόστση ευκρινούς όρσης είνι γύρω στ 18 cm, στην ηλικί των 20 ετών (κι γι ρκετά χρόνι) πίρνει την τυπική τιμή των 25 cm, ενώ υξάνετι με την πάροδο των ετών. 10.7. Aρχή λειτουργίς οπτικού μικροσκοπίου Το οπτικό μικροσκόπιο στην πιο πλή κι βσική του μορφή είνι έν σύστημ δύο ομοξονικών (συμπίπτουν οι οπτικοί τους άξονες) συγκλινόντων φκών. Ο φκός μπροστά στον οποίο βρίσκετι το ντικείμενο ονομάζετι ντικειμενικός, ενώ ο φκός μετά τον οποίο βρίσκετι το νθρώπινο μάτι ή άλλη νιχνευτική συσκευή, ονομάζετι προσοφθάλμιος. Οι δύο φκοί βρίσκοντι σε ειδική διάτξη ώστε ν ισχύουν τ πρκάτω. Η εστική πόστση του ντικειμενικού φκού είνι μικρότερη πό την εστική πόστση του προσοφθάλμιου π (συνήθεις τιμές είνι < 1 cm κι π μερικά cm). Οι δύο φκοί πέχουν μετξύ τους πόστση L που είνι πρκτικά πολύ μεγλύτερη πό τις δύο εστικές ποστάσεις. Το ντικείμενο τοποθετείτι λίγο πιο μκριά πό την πρόσθι εστί του ντικειμενικού φκού σε πόστση πό την πρόσθι εστί του φκού. Ο ντικειμενικός φκός σχημτίζει πργμτικό είδωλο, νεστρμμένο πίσω πό τον ντικειμενικό φκό κι νάμεσ στην πρόσθι εστί του προσοφθάλμιου κι τον προσοφθάλμιο φκό, σε πόστση β πό τον ντικειμενικό θεωρούμε ότι β L μι κι η πόστση των δύο φκών είνι κτά πολύ μεγλύτερη πό την εστική πόστση του προσοφθάλμιου. 177

ντικειμενικός φκός προσοφθάλμιος φκός L ντικείμενο a a π 2 1 ο είδωλο 2 ο είδωλο Σχήμ 10-14. Βσικές ρχές μικροσκοπίου δύο ομοξονικών συγκλινόντων φκών. Το είδωλο έχει μεγέθυνση m που δίνετι πό τη σχέση: m = β = L a [10-22] Tο είδωλο του ντικειμενικού λειτουργεί ως ντικείμενο γι τον προσοφθάλμιο, κι βρίσκετι σε πόστση πιο μικρή πό την εστική. O προσοφθάλμιος σχημτίζει φντστικό είδωλο του ειδώλου του ντικειμενικού, μπροστά πό τον προσοφθάλμιο, χωρίς νστροφή, σε πόστση ~25 cm πό τον προσοφθάλμιο (κι επομένως τον οφθλμό) η οποί είνι η κλύτερη πόστση ευκρινούς όρσης γι το νθρώπινο μάτι γι ν πετύχουμε την πόστση υτή γι το είδωλο του προσοφθάλμιου κνονίζουμε την εστική του πόστση ώστε: 1 L β + 1 25 = 1 π [10-23] Θεωρώντς ότι το ντικείμενο γι τον προσοφθάλμιο είνι πολύ κοντά στην εστί, επομένως σε πόστση ~ π πό τον προσοφθάλμιο, τότε η μεγέθυνση του ειδώλου που σχημτίστηκε πό τον ντικειμενικό είνι: m π = 25 π [10-24] Αυτό το τελικό είδωλο σε σχέση με το ρχικό ντικείμενο είνι φντστικό, όχι νεστρμμένο κι με διπλή μεγέθυνση που δίνετι πό τη σχέση: 178

m συνολική = m m π = 25L a π [10-25] Βιβλιογρφί 1. Crowell B, Light an Matter Series, ullerton & www.lightanmatter.com 2. eynman RP, Leighton RB, Sans M, The eynman Lectures in Physics, Aison-Wesley, Reaing MA 1963, 1977. τόμος 1, κεφ. 33, σελ. 33-6 3. eynman RP, QED: The Strange Theory o Light an Matter, Princeton University Press, 1985 4. Hewitt PG, Οι Έννοιες της Φυσικής, Πνεπιστημικές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2004 5. Serway RA, Physics or Scientists & Engineers with Moern Physics, Sauners College Publishing, Philaelphia, 1983 6. Serway RA, Physics or Scientists & Engineers, 3 r E., Sauners College Publishing, Philaelphia, 1990 πόδοση στ ελληνικά: Λ.Κ. Ρεσβάνης, Βιβλιοπωλείο Κορφιάτη, Αθήν, 1990. Τόμος ΙΙΙ 7. Ανγνωστόπουλος Α, Δόνη Ε, Κρκώστς Θ, Κομνηνού Φ, Κεφάλι Φυσικής, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσλονίκη, 1998 8. Ασημέλλης Γ, Μθήμτ Οπτικής, Copy City, Θεσσλονίκη, 2005 9. Προυκάκης Χ, Ιτρική Φυσική. Τόμος ΙΙ Μηχνική, Κυμτική Κεφ. 11, Εκδόσεις Πρισιάνου, Αθήν, 2004 179