Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της όταν: α Δεν υπάρχει το όριό της στο ή β Υπάρχει το όριό της στο αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της στο σημείο Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της θα λέγεται απλά συνεχής συνάρτηση Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής αφού για κάθε R ισχύει P P P Κάθε ρητή συνάρτηση είναι συνεχής αφού για κάθε του πεδίου ορισμού της ισχύει Q P P Q Q Οι συναρτήσεις ημ και g συν είναι συνεχείς αφού για κάθε R ισχύει ημ ημ και συν συν Οι συναρτήσεις α και g log α είναι συνεχείς α Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις Από τον ορισμό της συνέχειας στο και τις ιδιότητες των ορίων προκύπτει το παρακάτω θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις και g είναι συνεχείς στο τότε είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις: g c όπου cr g g και ν με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το Για παράδειγμα οι συναρτήσεις συναρτήσεων εφ και g σφ είναι συνεχείς ως πηλίκα συνεχών ΘΕΩΡΗΜΑ Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο τότε η σύνθεσή τους go είναι συνεχής στο Για παράδειγμα η συνάρτηση συν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων και g συν ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα και βασικά θεωρήματα ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα α β όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του α β Σχα Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ α β] όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του α β και επιπλέον α α και β β g Σχβ g y= Φ=συνy=συν y y O a β α O [ ] a β β Θεώρημα του Bolzano Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης στο [ α β] Επειδή τα σημεία A α α και B β β βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο Συγκεκριμένα ισχύει το παρακάτω θεώρημα ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ α β] Αν: η είναι συνεχής στο [ α β] και επιπλέον ισχύει α β τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον α τέτοιο ώστε β Δηλαδή υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης στο ανοικτό διάστημα α β ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι: Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε Δ ή είναι αρνητική για κάθε Δ δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της y β O a a Ααα β Bββ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
y ρ + ρ ρ + ρ + ρ 5 Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της για τις διάφορες τιμές του Συγκεκριμένα ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής: α Βρίσκουμε τις ρίζες της β Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της στον αριθμό αυτό Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της στο αντίστοιχο διάστημα Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Το επόμενο θεώρημα αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano και είναι γνωστό ως θεώρημα ενδιάμεσων τιμών ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ α β] Αν η είναι συνεχής στο [ α β] και α β τότε για κάθε αριθμό η μεταξύ των α και β υπάρχει ένας τουλάχιστον α β τέτοιος ώστε η ΣΧΟΛΙΟ Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο διάστημα [ α β] τότε δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι: Η εικόνα Δ ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα ΘΕΩΡΗΜΑ Μέγιστης και ελάχιστης τιμής Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο [ α β] τότε η παίρνει στο [ α β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m Δηλαδή υπάρχουν [ α ] τέτοια ώστε β Μ m και M να ισχύει Μ m M για κάθε [ α β] m m [ ] O a ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ β 5 αν y
ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το [ αβ] είναι το κλειστό διάστημα [ m M] όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της Κατά συνέπεια: Aν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [αβ] τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα [αβ] Aν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα αβ τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα α Aν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [αβ] τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα [βα] Aν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα αβ τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα β α Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να μελετηθούν ως προς την συνέχεια στο χ = οι συναρτήσεις: i = ii = ημχ - συνχ ημχ iii = - iv = 9 5 Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη στο με τις ιδιότητες : Είναι συνεχής στο χ = και για κάθε χ χ ισχύει + = + Nα δείξετε ότι η είναι συνεχής στο Να προσδιορίσετε το α ώστε η συνάρτηση με = αχ - π π να είναι συνεχής στο χ =π ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 6
ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 7 Να εξετασθει αν είναι συνεχεις στο χ = οι συναρτησεις ι ιι ιιι 5 6 5 5 Να μελετηθουν ως προς την συνεχεια οι συναρτησεις ι ιι 6 7 ιιι 7 7 6 Αν η συνάρτηση ορισμένη στο είναι συνεχής στο = και = να δείξετε ότι η συνάρτηση g= ημ είναι συνεχής στο = 7 Να μελετηθουν ως προς την συνεχεια οι συναρτησεις ι ιι ιιι
8 Για την συνάρτηση : ισχύει 5 += για κάθε Δείξτε ότι η είναι συνεχή ς στο = 9 Έστω η συνάρτηση ορισμένη στο Αν για κάθε χr ισχύει ημχ - χ χ ημχ χ και η είναι συνεχής στο χ =να βρεθεί το Να βρεθουν οι αβγ R ώστε να είναι συνεχης η Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο = και ισχύει - -- - για κάθε να υπολογίσετε την τιμή Δίνεται η συνάρτηση : που είναι συνεχής στο = και για την οποία ισχύει +ημχγια κάθε Να υπολογίσετε την τιμή Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη στο για την οποία ισχύουν: = και Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο = Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη στο για την οποία ισχύουν: = και 5 i Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο = ii Να βρείτε τα όρια: α και β 5 5 Δίνεται η περιττή συνάρτηση : που είναι συνεχής στο = με i Να υπολογίσετε την τιμή ii Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο =- iii Να βρείτε το όριο 5 6 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο με = και για κάθε ισχύει 5-= τότε: i Nα προσδιορίσετε την τιμή ii Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο = ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8
ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9 7 Να βρεθει ο τυπος της συνεχους συναρτησης : R R που ικανοποιει τη σχεση ---=ημχ-6 R 8 Αν και η συνεχης στο R να βρεθει το π 9 Η συναρτηση είναι συνεχης στο R και 7 8 να βρεθει το Αν η συνεχης συναρτηση R R : ικανοποιει τη σχεση R να βρεθει το Aν να βρεθει ο πραγματικος αριθμος α ώστε η συναρτηση 7 g να είναι συνεχης στο Αν η για τη συναρτηση ισχυει R k k k και να βρεθει το αν η είναι συνεχης στο = Aν k να βρεθουν οι κ λ R ώστε η συναρτηση g να είναι συνεχης στο = Δινεται η συναρτηση R R : για την οποια ισχυει η σχεση R Aν η είναι συνεχης στο = να δειχθει ότι είναι συνεχης στο R 5 Η συναρτηση : R R ικανοποιει τη σχεση αβ=βα Αν ειναι συνεχης στο = να δειχθει ότι είναι συνεχης στο R ΟΡΙΑ ΜΕ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
Ι Αν a+β =a+ β και a να δειξετε ότι Αποδειξη Αν τοτε χ - τοτε χ - θετω h= + a Και εχω h Aρα h h h h h h ΙΙ Αν aβ = a+ β και a να δειξετε ότι Αποδειξη Αν τοτε τοτε Θετω h = h h h h h h και εχω 6 Αν η είναι συνεχης στο R και 5 6 να βρεθει το 7 Αν η είναι συνεχης στο και 5 να βρεθει το 8 Αν για κάθε χ ψ R ισχυει να δειχθει ότι η είναι συνεχης στο R 9 Αν για την ορισμενη στο R συναρτηση ισχυει να δειξετε ότι είναι - και συνεχης Αν η είναι περιττη και συνεχης στο να δειχθει ότι είναι συνεχης και στο Να βρεθει ο τυπος της συνεχους συναρτησης στο R όταν ισχυει Αν g g να δειχθει ότι οι συναρτησεις g είναι συνεχης στο R Aν για τη συναρτηση ισχυουν R και 6 η είναι συνεχης στο να δειχθει ότι είναι συνεχης και στο ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ και
Αν 5 να δειχθει ότι η είναι συνεχης στο 5 Θεωρούμε συνάρτηση για την οποία ισχύουν τα: ι y y y R ιι α Να βρείτε την τιμή β Αν η είναι συνεχής στο o = τότε να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο R 6 Να μελετηθει ως προς τη συνεχεια η συναρτηση να υπολογισθουν τα ορια 7 7 και 7 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση ημ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 8 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο R a> a τότε να δείξετε ότι υπάρχει a a : a Εδώ αξίζει να είστε παρατηρητικοί 9 Αν η είναι συνεχής στο [] και να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ[ ώστε να ισχύει: 5 ξ + ξ = ξ Έστω συνεχής στο Δ = [α β] Να δειχθεί ότι: Η συνάρτηση α+β-χ είναι συνεχής στο Δ Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξδ ώστε να ισχύει: α+β-ξ = ξ Έστω συνεχής στο Δ = [α β] και γ > Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξδ ώστε να ισχύει: ξ = Αν για τον μιγαδικό αριθμό z = α+βi ισχύει: z z να αποδείξετε ότι: z i Rez = ii Με δεδομένη τη σχέση του ερωτήματος i αν επιπλέον =α> =β και α>β να ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
iii αποδείξετε ότι: υπάρχει τέτοιο ώστε = Αν η είναι συνεχής στο [] και = να αποδειχθεί ότι υπάρχουν αβ [] με β - α = τέτοια ώστε α= β Έστω : συνεχής συνάρτηση με + + = Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση χ = έχει μια τουλάχιστον ρίζα 5 Δίνονται οι συναρτήσεις = + β + γ και g = - + β + γ με γ Αν ρ είναι ρίζα της και ρ είναι ρίζα της g με ρ <ρ να αποδειχθεί ότι η εξίσωση χ +g έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο ρ ρ 6 Έστω αβ με α < β Να αποδειχθεί ότι για κάθε γαβ υπάρχει μοναδικό ξ ώστε γ = ξ β + -ξα 7 Έστω g συναρτήσεις με ΠΟ το Δ Εάν για κάθε χδ η είναι συνεχής και -g = c c τότε νδο: Αν ρ ρ δύο ετερόσημες ρίζες της = η εξίσωση g = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [ρ ρ ] 8 Έστω = + συνπ και g = ln- Να αποδειχθεί ότι υπάρχει α ώστε α= gκ e e 8 e 9 Οι αριθμοί α α α ανήκουν στο διάστημα [] Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ωστε 5 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα ab και επιπλέον ισχύει: τότε να δείξετε ότι υπάρχει στο ab τέτοιο ώστε = Και αυτή η άσκηση μπορεί να είναι θεώρημα im im a b 5 Οι συναρτήσεις g : [] [] είναι συνεχείς Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ώστε τα διανύσματα v og go και v να είναι παράλληλα 5 Να αποδείξτε ότι : ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
i η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο - ii η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο 6 6 5 Δίνονται οι συναρτήσεις = e -α -και g = lnα+ + α όπου α i Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση χ = αχ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [αα+] ii Αν ξ είναι μια ρίζα της εξίσωσης χ = αχ στο διάστημα [αα+] τότε να δείξετε ότι: g 5 Αν g είναι συνεχεις στο R ώστε ++ += g+g+ +g να δειχθει ότι υπαρχει ξ τετοιο ώστε ξ =gξ 55 Οι συναρτησεις g εχουν πεδιο ορισμου και τιμων το [ α] ειναι συνεχεις σε αυτό Αν είναι φθινουσα και g g να δειχθει ότι υπαρχει ξ[α] τετοιο ώστε ξ =g ξ= ξ 56 Εστω συναρτηση συνεχης στο [αβ] και οι μιγαδικοι αριθμοι z= a + ia w= β + i β με αβ Αν w +z = w-z δειξτε ότι η εξισωση = εχει μια τουλαχιστον ριζα στο [αβ] 57 Αν συνεχης στο [ αβ] χ χ χ ν [αβ] και κ κ κ ν R + να δειξετε ότι υπαρχει ξαβ ώστε k k k k k k 58 Για μια συνεχή συνάρτηση στο [] ισχύει = και = Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ που ανήκει στο ώστε: ξ = 5 5 5 5 59 Έστω =a +b +c+d a> d< a+c<b+d Δείξτε ότι η έχει δυο αρνητικές και μία θετική ρίζα ακριβώς ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
6 Αν a> n N* τότε να δείξετε ότι η εξίσωση : n =a έχει μοναδική θετική λύση Πώς θα ονομάζατε αυτή την λύση; 6 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [5] με = και 5 = να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της έχει τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με την ευθεία ε: ψ-χ= 6 Οι συναρτήσεις g [] είναι συνεχείς και ισχύει og = go για κάθε χ Έστω επίσης ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο [] και και g Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ωστε ξ = ξ και gξ = ξ 6 Για μια συνεχή συνάρτηση ισχύει ότι: 6 i Να δειχθεί ότι 6 k 6 ii Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον k ] ωστε k = k 6 6 8 6 Για μια συνάρτηση συνεχή στο ισχύει ότι: και ημ- - Να δειχθεί ότι η C τέμνει τη γραφική παράσταση της παραβολής ψ = - + σε σημείο με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα 65 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [] με 6 και ακόμη + = 8 να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ που ξ = ξ +ξ 66 Έστω : συνεχής συνάρτηση Αν αβ είναι ρίζες της εξίσωσης χ -χ+ = να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ[αβ] τέτοιο ώστε να ισχύει: 67 Έστω : συνεχής συνάρτηση και οι μιγαδικοί αριθμοί z = α+βi z = α+iα z = β+iβαν ισχύει z z izz i Rez z τουλάχιστον κοινό σημείο με τον άξονα χ χ να δειχθεί ότι η C έχει ένα ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ
68 Αν συνεχής στο R και = 9=/9 υπολογίστε το 69 Η είναι συνεχής στο R και im im n περιττός Δείξτε ότι υπάρχει n n R : 7 Να δείξετε ότι η εξίσωση a 5 +b +c +d +e+= με > a+b+c+d+e+= 5a+b+c+d+ e > έχει μια τουλάχιστον λύση στο 7 iέστω συνάρτηση που δεν είναι γνήσια μονότονη σε κάποιο διάστημα Δ Εξηγήστε γιατί υπάρχουν a<b<c στο Δ τέτοια ώστε να μην ισχύει καμιά από τις ανισότητες: a<b<c a>b>c Υποθέστε μια διάταξη για τα abc και αποδείξτε ότι αν η είναι συνεχής και - στο Δ τότε είναι και γνήσια μονότονη Πρόκειται για βασικό θεώρημα το οποίο σας προτείνεται να αποδείξετε ii Με την βοήθεια του προηγούμενου ερωτήματος δείξτε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση στο R ώστε =- iiiaν συνεχής συνάρτηση στο R και a+b=c+d με abcd διαδοχικούς όρους μη σταθερής αριθμητικής προόδου τότε η δεν μπορεί να είναι αντιστρέψιμη 7 Έστω συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει + χ = 5χ για κάθε χδ = 5 Να αποδείξετε ότι η Δεν έχει ρίζες στο Δ Έχει σταθερό πρόσημο στο Δ Να βρεθεί ο τύπος της στο Δ αν επιπλέον είναι γνωστό ότι = - 7 Έστω : [ συνεχής συνάρτηση Αν για κάθε τιμή του α> η εξίσωση a έχει τουλάχιστον μια λύση τότε δείξτε ότι για οποιαδήποτε συγκεκριμένη τιμή του α η εξίσωση a έχει άπειρες λύσεις 7 Έστω w συνεχής στο R και να δείξετε ότι η w δεν έχει ρίζα v : R R: v Αν η συνάρτηση v έχει ρίζα τότε w 75 Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις : με την ιδιότητα = e ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5
76 Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις : με την ιδιότητα: = 77 Έστω συνεχής συνάρτηση στο διάστημα Δ = αβ γνησίως φθίνουσα στο αγ] και γνησίως αύξουσα στο [γβ όπου γαβαν γ = - και και να βρεθεί: β Το σύνολο τιμών της Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης = Δ 78 Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις : με την ιδιότητα: ημ = 79 Δίνεται η συνάρτηση = e + + Να δείξετε ότι: η είναι γνησίως αύξουσα Να βρείτε το σύνολο τιμών της Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση χ = έχει μια μόνο ρίζα 8 Αν για τον μιγαδικό αριθμό z = + i ισχύει z = για κάθε χd να αποδείξετε ότι: Το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της είναι υποσύνολο του διαστήματος [-] η διατηρεί συαθερό πρόσημο αν D = - 8 Δίνεται η συνάρτηση = Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως μονότονη Να βρείτε το σύνολο τιμών της Να λύσετε την ανίσωση > 8 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις g: [ με g = και [-g] = [ +g] α Να βρείτε το β Αν για κάθε χ[] είναι να δείξετε ότι: Η εξίσωση - + + = - έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο g > για κάθε χ[] ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 6
8 Έστω συνεχής συνάρτηση στο [] για την οποία ισχύουν: Ι για κάθε χ[] Ιι > ιιι = Να αποδείξετε ότι: α > για κάθε χ[] β Η συνάρτηση g = - έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο γ Η συνάρτηση δεν είναι αντιστρέψιμη 8 αν : R R και ισχύεi R να δείξετε ότι: Υπάρχει R : Αν επιπλέον συνεχής στο R υπάρχει R : 85 Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις g : R R με g=e για κάθε R με > και g> Nα δείξετε ότι : α > για κάθε β Υπάρχει τέτοιο ώστε g = 86 Για την συνεχή συνάρτηση ισχύει ότι: +β +γ= - +6- για κάθε με βγ και β <γ Αν η είναι γνησίως στο αύξουσα να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης = στο διάστημα ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 7