θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις Α = x 4 4x, Β = x 3 x 8x + 4 κι Α Β (Μονάδες 6,5) Θέμ 1ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ) 3x 1xy + xyω 1 = 3x(x 4y + 3ω 5) β) (x + 1) 3β(x + 1) + (x + 1) = (x + 1)( 3β + ) γ) 49x 16 = (7x + 4)(7x 4) δ) 8x 3 1 = (x 1) (4x + x + 1) ε) 8 + 7x 3 = ( + 3x) = ( + 3x) (4 + 6x + 9x ) στ) 4x 1x + y = (x 3) ζ) 16x + 4x + 9 = (4x + 3) η) x + (5 + 3)x + 5 3 = (x + 5) (x + 3) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (x 5) (x 3) ι) x + (5 3)x 5 3 = (x + 5) (x 3) Θέμ ο ) 3 0x = (x 4) = (x ) = (x x )(x + ) β) 7x 3 = 0x + x 3 ή 7x 3 0x x 3 = 0 ή 3 0x = 0 ή (x x )(x + ) = 0, άρ x = 0 ή x = ή x = Θέμ 3ο Α = x 4 4x = x (x ) = x (x + )(x ) Β = x 3 x 8x + 4 = x (x 1) 4(x 1) = (x 1)(x 1)(x + ) 13
Α Β = x (x + )(x ) (x 1)(x )(x + ) = = (x + )(x ) [x (x 1)] = (x + )(x )(x x + 1) = = (x + )(x )(x 1) Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους 133
Α.1.9 «Ρητές λγεβρικές πρστάσεις» ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισμός ρητής πράστσης Μι λγεβρική πράστση [ όπως π.χ. οι x3 + 1 x, x y 1 x + 1, 10y ω x + y, 1 xy ] που είνι κλάσμ κι οι όροι του είνι πολυώνυμ, λέγετι ρητή λγεβρική πράστση ή πλά ρητή πράστση.. Περιορισμοί Στην πράστση 4, το x δεν μπορεί ν πάρει την τιμή 3, φού γι x 3 x = 3 ο πρνομστής x 3 γίνετι ίσος με 0. Γενικά, σε μι (ρητή) πράστση οι μετβλητές της δεν μπορούν ν πάρουν τις τιμές εκείνες γι τις οποίες ο πρνομστής γίνετι ίσος με το 0 (φού δεν ορίζετι κλάσμ με πρνομστή το 0). Πρδείγμτ: Στην πράστση 3x x 6, το x δεν μπορεί ν πάρει την τιμή 0. Στην πράστση x x 10, το x δεν μπορεί ν πάρει την τιμή 10. Στην πράστση 3x, το y δεν μπορεί ν πάρει την τιμή 5. y 10 Στην πράστση t 10, το t δεν μπορεί ν πάρει την τιμή. + Σχόλιο Στη συνέχει, ότν γράφουμε μι ρητή πράστση, θ εννοούμε ότι οι μετβλητές της δεν πίρνουν τιμές που μηδενίζουν τον πρνομστή της. 3. Απλοποίηση Αν σε έν κλάσμ κι οι δύο όροι του (ριθμητής κι πρνομστής) είνι γινόμεν, κι στ γινόμεν υτά υπάρχει κοινός πράγοντς, τότε ο πράγοντς υτός μπορεί ν πλοποιηθεί (πρληφθεί) κι το κλάσμ ν πάρει πλούστερη μορφή. 134
Αυτό εξηγείτι ως εξής: β γ = β γ = 1 β γ = β γ. Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους... Πρδείγμτ: 3xy = 3y 5 x3 3 y = 5y 3x(x x + ) 3(x = + ) 4(x 3) 4(x 3) = 4x 3x + 1 6 (x + 1) 3(x + 1) = 3 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 04 Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες δεν ορίζοντι οι πρστάσεις: ) x β) x y γ) 4 β + δ) 3 x + 1 ε) x 3 (x )(x 5). Λ Υ Σ Η ) Το κλάσμ x δεν ορίζετι ότν ο πρνομστής είνι ίσος με 0, δηλδή ότν x = 0. β) Το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν y = 0, δηλδή ότν y =. γ) Το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν β + = 0, δηλδή ότν β =. δ) Το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν 3 + 1 = 0, δηλδή ότν 3 = 1, δηλδή = 1 3. ε) Το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν (x )(x 5) = 0. Η σχέση (x )(x 5) = 0 ισχύει ότν x = 0 ή x 5 = 0, δηλδή ότν x = ή x = 5. Επομένως, το κλάσμ υτό δεν ορίζετι ότν x =, x = 5. 05. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες ορίζοντι οι πρστάσεις: ) x 10 6 y 10 β) 3y γ) x (x + 1) δ) + 10 x(x ) ε) 1 x y x. Λ Υ Σ Η Η πράστση που έχουμε κάθε φορά ορίζετι ν: 135
) x 6 0, δηλδή x 6 β) 3y 0, δηλδή y 3 γ) (x + 1) 0, δηλδή x + 1 0, δηλδή x 1 δ) x(x x ) 0, δηλδή x 0 κι x 0, δηλδή x 0 κι x. ε) y x 0, δηλδή y x. 06 Ν βρείτε τις τιμές του x γι τις οποίες δεν ορίζετι η ριθμητική τιμή, σε κθεμί πό τις πρστάσεις: ) 1 + 3 x x 5 β) x 4 γ) (x x 1 4) : ( x 1 ) Λ Υ Σ Η ) Στην πράστσή μς, υπάρχουν πρνομστές οι x κι x 5. Επομένως, η πράστσή μς δεν ορίζετι ότν x = 0 ή x 5 = 0, δηλδή ότν x = ή x = 5. β) Στην πράστσή μς, υπάρχουν οι πρνομστές, οι x κι κι x 1. Επομένως, η πράστσή μς δεν ορίζετι ότν x = 0 ή x 1 = 0, δηλδή ότν x = 0 ή x = 1, δηλδή ότν x = 0 ή x =. γ) Η πράστση (x 4) : ( x 1 ) είνι ένς άλλος τρόπος γρφής της πράστσης x 4 x Επομένως, ισχύουν όσ κριβώς είπμε στο β, 1. κι έτσι η πράστση υτή δεν ορίζετι ότν x = 0, κθώς κι ότν x =. 07 Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 8x6 1x 5 β) 10 γ) 10x y (x δ) 6 3 + 1)5 1y 8(x + 1) ) 8x6 1x = 4 x x 4 3 4 x = x4 3 Λ Υ Σ Η β) 5 10 = 5 6 5 = 1 4 4 136
γ) 10x y 1y = 5 x x y 3 3 5 x y y = x 3y Οι πργμτικοi ριθμοi κι οι πρaξεις τους (x δ) + 1)5 = (x + 1) (x + 1) 3 (x = + 1)3. 8(x + 1) 4 (x + 1) 4 08 Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) β + β + β xy y β) 5y 5(x ) + (x )y γ) y 5 δ) x 8x + 16 x 16 5y + x στ) y x xy x στ) 4 y 4 x 4 x y + y 4 Λ Υ Σ Η ) β ( + β)( β) = + β + β ( + β) = β + β β) xy y y(x = 1) 5y 5y = x 1 5y 5(x ) + (x )y (x )(5 + y) (x )(5 + y) γ) = = y 5 y 5 (y + 5)(y 5) = x y 5 δ) x 8x + 16 = x 4 x + 4 x 16 x 4 = (x 4) (x + 4)(x 4) = x x + 4 4 5y + x ε) y 5(x y) + (x y) (x y)(5 + = = ) = 5 + x xy x(x y) x(x y) x x στ) 4 y 4 x 4 x y + y = (x ) (y ) 4 (x ) x y + (x ) = = (x + y )(x y ) (x y ) = x + y x y 09 Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) x + y x y β) x y y x x y γ) 3y 3x Λ Υ Σ Η ) x + y x y = x + y 1 (x + y) = (x + y) 1 (x + y) = 1 1 = 1 β) x y y x = x y (x y) = 1. 137
x y (x y) (x y) γ) = = 3y 3x 3(y x) 3(x y) = 3 = 3 Σχόλιο: Θυμίζουμε ότι μι διφορά β μπορεί ν γρφεί κι ως β = + β = ( β). ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 10. Ότν σε μι λγεβρική πράστση εμφνίζοντι έν ή περισσότερ κλάσμτ, τότε, γι ν ορίζετι η πράστση υτή, πρέπει όλοι οι πρνομστές που εμφνίζοντι σε υτή ν είνι 0. Γι πράδειγμ, γι ν ορίζετι η πράστση x x 10 5 + 1 6 x 3 πρέπει: x 5 0 κι x 0 κι 6 x = 3 0. 11. Τονίζουμε ότι, γι ν γίνει πλοποίηση σ' έν κλάσμ, πρέπει κι ο ριθμητής κι ο πρνομστής ν είνι γινόμεν, κι στ γινόμεν υτά ν υπάρχει κοινός ( = ο ίδιος) πράγοντς, ο οποίος κι πλοποιείτι (πρλείπετι). Αν ο ένς (τουλάχιστον) πό τους όρους του κλάσμτος δεν είνι γινόμενο, τότε στο κλάσμ υτό δεν μπορεί ν γίνει πλοποίηση. Έτσι: στο κλάσμ β + γ δεν μπορεί ν γίνει πλοποίηση του (ο ριθμητής δ δεν είνι γινόμενο το είνι πράγοντς του όρου β, λλά δεν είνι πράγοντς σε όλο τον ριθμητή). β στο κλάσμ δεν μπορεί ν γίνει πλοποίηση του (ο πρνομστής δεν είνι γ + δ γινόμενο). β + γ το κλάσμ δεν είνι ίσο με β + γ, ούτε με β + γ. δ δ δ β + γ (β + γ) Ισχύει όμως = = β + γ δ δ δ. Γενικά, γι ν πλοποιήσουμε έν κλάσμ, πρέπει τώρ ν πργοντοποιήσουμε κι τους δύο όρους του. ( + β) Στο κλάσμ μπορεί ν γίνει πλοποίηση του + β, φού κι ο + β ριθμητής κι ο πρνομστής μπορούν ν γρφούν σε μορφή γινομένου, έτσι ώστε το + β ν ποτελεί πράγοντ κι των δύο όρων. 138
Συγκεκριμέν, έχουμε: ( + β) ( + β) = + β 1 ( + β) = 1 =. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Ν συμπληρώσετε τον πίνκ ντιστοιχίζοντς σε κάθε πράστση της στήλης Α τις τιμές της μετβλητής της πό τη στήλη Β, γι τις οποίες ορίζετι. Στήλη Α. 4x 1 β. x x + γ. x + 3 (x )(x + ) (x δ. 3) x 3 Στήλη Β 1. x 3. x κι x 3. x 0 4. Οποιοσδήποτε ριθμός 5. x 6. x 4 7. x β γ δ 13. Ν συμπληρώσετε τον πίνκ ντιστοιχίζοντς σε κάθε πράστση της στήλης Α τις τιμές της μετβλητής της πό τη στήλη Β, γι τις οποίες δεν ορίζετι. Στήλη Α. x β. 3x x + 1 3 γ. x x 1 5(x δ. 1) x 1 Στήλη Β 1. x = 0. x = 3. x = 1 4. x = 3 5. x = 1 6. x = 5 7. x = 1 ή x = 1 β γ δ 139
14. Σε κθεμί πό τις πρκάτω ισότητες, ν σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (Λνθσμένη). ) x + x = x Σ Λ x(x β) x + ) = x x + Σ Λ (x + 3)(x γ) + 5) = x + 5 (x + 3) Σ Λ δ) ( β ) + β = β Σ Λ x + 3(x ε) ) = x + 3 5(x ) 5 Σ Λ ( β)3 στ) ( β) = 3 Σ Λ ( β) ζ) = ( + β) Σ Λ ( β) 15. Ν συμπληρώσετε τ κενά στις ισότητες: ) x(...) = 5 ( + 3β) (...) β) x 1 ( 3β) (...) = x(x γ) x + )...1 = x + δ) x 4...1 = x + ε) 3(...) 4( β) = 3 4( β) στ) ( β ) ( β) = 3(...) 3( + β) (x ζ) + 1)...1 = 3(...) η) x + 1 (x + ) = 3 x + Ασκήσεις κι προβλήμτ γι λύση 16. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες ορίζοντι οι πρστάσεις: ) 1 1 3 β) y + 5 y 7 γ) ω 3 (ω ) δ) β ( + 3) ε) 7x + 1 x(x x 1) στ) 6x + 5 (x 1)(x + ) 140
17. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες ορίζοντι οι πρστάσεις: ) x + 13 x β) x + 7 x γ) x3 + 5 x + 3 δ) x 8 x(x + 4) ε) x + 4 (x )(x + 3) στ) x + y x y 18. Ν βρείτε τις τιμές μετβλητών γι τις οποίες δεν ορίζοντι οι πρστάσεις: ) x β) y x 3 γ) 3 x 1 5β δ) x + 3 ε) β 5 3 στ) + 0 (x 3)(3x + 4) ζ) 1 x x 1 19. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες δεν ορίζοντι οι πρστάσεις: ) x 1 β) x γ) 3x + 1 δ) x y 1 3 ε) x + y (x 3) στ) 3x 1 (x 1)(1 4x) ζ) x x 0. Ν βρείτε τις τιμές των μετβλητών γι τις οποίες δεν ορίζοντι οι πρστάσεις: ) 0 y β) γ) 4x 4x 1 δ) 3x ε) 1 1 (x 1)(3x + 7) στ) x/x 1 ζ) 1 x 1 x 1. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 3x β) 7ω 8ω 3 10β γ) 40β δ) x5 5(x ε) + 1)3 3(β + ) 3 5 στ) 16x 10(x + 1) 6(β + ) 3. Ν πλοποιηθούν οι πρστάσεις: ) 60x 90x β) 6β β 3 γ γ) 45 x 3 y 30 5 xy 4 141
4 4β δ) 3β 3 ε) 8x xy 4xy y στ) x4 x x 3 + x 3. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 6 3 β) 4 γ) x + 3 x + 6x + 9 δ) x + 4x + 4 x + x ε) y 3 16 8y + y στ) 3x 4 3y 4 x + xy + y 4. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) 10 x 4 β) ( + β) ( β) β + β γ) β + β β + β 5. Ν γίνουν οι πλοποιήσεις: _ ) 5 β 3 γ 6 β 3 γ 4 β 3 γ 4 4 β 3 γ β) x x 1 + 3 5 x x _ 1 6. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ( 3) + 4( 3) ) 9 μ γ) 18ν μ + 1μν + 18ν β + x β) βx β β δ) 4 4β + 4γ β β + βγ ε) x + 4x + 3 x + + 6 στ) 0 5. 7. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) β β β β + β β) β x γ) 3 + x y + x ω x y + xy 3 + xy ω x(x x + 1) + (x δ) + 1) ε) + 1 στ) x + 6 x 3 + 8 9 x 3x + 8. Ν πλοποιηθούν οι πρστάσεις: ) x 9 (x β) 3y) y) x + 4x + 3 9y 4x γ) 33 β + 3β 3 6 β 6 3 β 6β δ) x3 x + x x 3x + ε) ( + β) β 4 β στ) 4 γ β 4 γ 3 3 β + β β 3 3 14
9. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) (x 1) (x + ) β) x y + xy x x 3 y + x y + xy γ) x β + β 3 β x + βx 30. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: ) x 5 x + _ 0 _ β) x x 1 + 3 x _ 3 3 31. Ν πλοποιήσετε τ κλάσμτ: ) 6xy3 + 6x 3 y + 1x y, β) 4 x β 4 x 3xy 3 3x 3 y 3 + β + β + β 3 3. Ν πλοποιήσετε τ κλάσμτ: ) 4 + 8 + 1 +... + 400 4x + 8x + 1x +... + 400y β) 3 + 6 + 9 +... + 300 3x + 6x + 9x +... + 300x 143
A.1.10.A. Πολλπλσισμός Διίρεση ρητών πρστάσεων 01 Πολλπλσισμός Ο πολλπλσισμός μετξύ δύο ρητών πρστάσεων γίνετι όπως κι ο πολλπλσισμός κλσμάτων, σύμφων με τον τύπο β γ δ = γ β δ... Πράδειγμ 3 x x + 3 (x = + ) x 4 x (x 4) = 3x + 6 x 3 4x Επίσης, ο πολλπλσισμός μις πολυωνυμικής με μι ρητή πράστση γίνετι σύμφων με τους τύπους λ β = λ β κι β μ = μ β... Πρδείγμτ 3x 4x x 10 = 3x 4x x 10 = x 1x3 10 x 3x 1 x = 3x x x 1 = x 6x3 1 0 Διίρεση Η διίρεση δυο ρητών πρστάσεων γίνετι όπως κι η διίρεση κλσμάτων, σύμφων με τον τύπο β : γ δ = β δ γ = δ β γ... Πρδείγμτ 3x : 4y 5β = 3x 5β 3x 5β = 4y 4y = 15βx 8y 3 x 1 : x + 10 = 3 x 1 x + 10 3 ( = + 10) = 1 + 30 (x 1) x x x Επίσης, ισχύουν: β : λ = β : λ 1 = β 1 λ = 1 β λ = βλ μ : β = μ 1 : β = μ 1 β = μ β 1 = μβ 144... Πρδείγμτ xy 3 : 5 β 4 = xy 3 : 5 β 4 1 = xy 3 1 5 β = xy 1 4 3 5 β = xy 4 15 3 β 4
3x + y x : = 3x + y x : 1 = 3x + y x 1 = 3x + y (x ) 3x + y = 3 10x 3x y : β = 3x y 3 1 3 β = 3x y 3 1 β = 15 y β Σχόλιο: Συνήθως, μετά τον πολλπλσισμό ή τη διίρεση δύο ρητών πρστάσεων γράφουμε το ποτέλεσμ σε όσο γίνετι πλούστερη μορφή, κάνοντς όλες τις δυντές πλοποιήσεις. 03 Σύνθετ κλάσμτ Έν κλάσμ του οποίου ο ένς τουλάχιστον όρος είνι επίσης κλάσμ, λέγετι σύνθετο κλάσμ. β Έν σύνθετο κλάσμ έχει τη μορφή γ δ ή β γ ή γ δ Έν σύνθετο κλάσμ μεττρέπετι σε πλό ως εξής: β γ δ = δ = γινόμενο των «άκρων» όρων,δ β γ γινόμενο των «μέσων» όρων β,γ β Αυτό ισχύει διότι γ δ = β : γ δ = β δ γ = δ β γ Επομένως, έχουμε: β γ = β γ 1 = 1 β γ = βγ κι γ δ = 1 γ δ = δ 1 γ = 1 δ γ = δ γ... Πρδείγμτ 3 7β 3β y = y = 7β 3 6y 3 β = 3 β = 1 3 β = 6β 3 β = 1 3 β = β 3 = 10xβ 3 145
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 04 Ν κάνετε τις πράξεις: ) 10 x ( x 10 5 ) β) x 4y x + xy x + y x + y Λ Υ Σ Η ) 10 x ( x 10 5 ) = 10 x 10 = 10 x 5 = 5 x x 5 x 10 x x 8 5 = x 8 β) x 4y x + y x + xy x + y = x (y) ( x + y) (x + y)(x y)(x + y) = = x(x + y) x + y x(x + y)(x + y) (x = y) x x = 4y x 05 Ν κάνετε τις διιρέσεις: ) 6 x y : 3 4 x + y β) x 3 xy 3 16 x y + x 3 Λ Υ Σ Η ) 6 x y : 3 x + y = 6 x y x + y 6(x + y) = 3 3(x y ) = 3 (x + y) 3(x + y)(x y) = = (x y) = y x 4 x β) 3 xy ( = 4) (x y + x 3 ) 3 16 x y + x x 3 xy ) ( 3 16) = ( 4)x (y + x) x(x y )( 16) = 3 = ( 4)x (y + x) x(x + y)(x y)( + 4)( 4) = x (x y)( + 4) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 6. Γι κθεμί πό τις πρκάτω ισότητες ν σημειώσετε το Σ(σωστή) ή το Λ (Λνθσμένη). 146
) x y = x y Σ Λ β) x y = x y Σ Λ γ) 4x : xy 3 = 15 y Σ Λ δ) : xy 3 = y 3 Σ Λ ε) γ β δ β = γ δ Σ Λ στ) 3 x 1 = 3x 1 Σ Λ ζ) x + β 3( + β) = 3 Σ Λ x η) x y + ω : x y + ω = 1 Σ Λ 7. Ν συμπληρώσετε τις ισότητες: )... y = 13 y β)... β δ = β δ γ) 5 β :... δ = δ β δ) x + y x ω......1 = 1 ε) x y x + ω :......1 = 1 στ) β : + β...1 = β + β 8. Ν συμπληρώσετε τον πίνκ ντιστοιχίζοντς κάθε πράστση της στήλης Α στο ποτέλεσμά της πό τη στήλη Β. Στήλη Α. 1 y y x β. 16x 1 5y 4x γ. 10x y : 1 x δ. y : x y Στήλη Β 1. 4 5y. y x 3. y x 4. 1 xy 5. 6y 6. 6y β γ δ 147