. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Κλασµατική εξίσωση : Ονοµάζουµε κλασµατική εξίσωση κάθε εξίσωση η οποία έχει τον άγνωστο σ έναν τουλάχιστον παρονοµαστή. ΣΧΟΛΙΟ ιαδικασία επίλυσης : i) Αναλύουµε τους παρονοµαστές σε γινόµενα παραγόντων ii) Βρίσκουµε το Ε. Κ. Π και βάζουµε περιορισµούς (Ε. Κ. Π 0) iii) Πολλαπλασιάζουµε όλους τους όρους µε το Ε. Κ. Π iν) Απλοποιούµε τους παρανοµαστές ν) Κάνουµε όλες τις πράξεις και λύνουµε την εξίσωση που θα βρούµε νi) Απορρίπτουµε τις λύσεις που δεν ικανοποιούν τους περιορισµούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες Η εξίσωση + = 0 έχει λύση την = Λ + 5+ 6 Οι εξισώσεις = 0 και 5 + 6 = 0 έχουν τις ίδιες λύσεις Λ 6 γ) Η εξίσωση + = + ορίζεται όταν και Λ + + δ) Η εξίσωση + = έχει ρίζα το Σ 5+ + + ε) Στην εξίσωση + = κάνοντας απαλοιφή παρονοµαστών βρίσκουµε + ( + ) + (+)( ) = Λ + + στ) Οι εξισώσεις = 5 και + + = 5( ) έχουν τις ίδιες λύσεις Λ Η εξίσωση δεν ορίζεται για = οπότε δεν µπορεί να έχει ρίζα το Άρα η πρόταση είναι λάθος
Όχι διότι η πρώτη γίνεται 5 + 6 = 0 και. Άρα η πρόταση είναι λάθος γ) Η εξίσωση ορίζεται όταν και και 0. Άρα η πρόταση είναι λάθος δ) Η εξίσωση για = γίνεται =. Άρα η πρόταση είναι σωστή ε) Η απαλοιφή των παρονοµαστών δίνει ( + ) + ( +)( ) = ( )( + ) Άρα η πρόταση είναι λάθος στ) Όχι διότι η πρώτη δεν ορίζεται για =, ενώ η δεύτερη έχει ρίζα το Άρα η πρόταση είναι λάθος. Στις παρακάτω ερωτήσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση 9 Η εξίσωση = 0 έχει λύσεις ( )(+ ) Α) το και το Β) το 0, το και το Γ) το 0 µόνο ) είναι αδύνατη Η εξίσωση + + = ορίζεται όταν Α) Β) Γ) και ) και γ) Η εξίσωση 5 + = + ορίζεται όταν Α) Β) Γ) και 0 ) και και Με και η εξίσωση γίνεται Εποµένως σωστό το Γ 9 = 0 ( )(+ ) ( 9) ( )(+ ) ( 9) = 0 ( )(+ ) ( )(+ ) = 0 άρα = 0 ( )(+ )
Πρέπει να ισχύουν + 0 και 0 δηλαδή και Εποµένως σωστό το Γ γ) Πρέπει να ισχύουν 0 και + 0 και και και Εποµένως σωστό το. Να λυθούν οι εξισώσεις + 6 + 5 = + 0 δηλαδή 5 = 7 Είναι = ( )( + ) Ε. Κ.Π = ( )( + ) 0 άρα ( )(+ ) 0 0 και + 0 και + 6 + 5 = ( )(+ ) + + 6 + 5 ( )(+) ( )(+ ) = ( )(+ ) ( )(+ ) + ( + 6) ( )( ) = ( + )( + 5) + 6 + + = + 5 + + 0 6 = 0 = Είναι = () = ( + )( ) Ε.Κ.Π.= 7( + )( ) 0 άρα + 0 και 0 και και τότε 5 = (+ )( ) 7 7( + )( ) 5 7( + )( ) = 7( + )( ) ( + )( ) 7 7 5 ( + )( ) = 7( + )( ) µετά από πράξεις τελικά έχουµε 50 675 + 5 = 0 7 + = 0
= 65 και ρίζες =, =. Η ρίζα = όµως απορρίπτεται αφού δεν ικανοποιεί τους περιορισµούς. Να λυθούν οι εξισώσεις 9 + + = 9 + 7 7 + + = + + 9 = 7 = (7 )(7 + ) Ε. Κ. Π = (7 )(7 + ) 0 άρα 7 0 και 7 + 0 7 και 7 9 + + = + (7 )(7+ ) + 7 7 9 (7 )( 7 + ) = (7 )( 7 + ) + + (7 )(7 + ) + (7 )(7+ ) + 7 7 = και ρίζες =, (9 ) = (7 )( + ) + (7 + )( + ) + 80 = 0 = 0 που είναι και οι δύο δεκτές Οι ρίζες του παρανοµαστή τριώνυµο είναι, Άρα = ( + )( ) Ε. Κ. Π = ( + )( ) 0 άρα + 0 και 0 και + + = + (+ )( ) ( + )( ) + + (+ )( ) = (+ )( ) + (+ )( ) ( )( + ) ( + )( + ) = 9 = 0 = Λύση που απορρίπτεται λόγω των περιορισµών, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.
5 5. Να λυθούν οι εξισώσεις + + = + = + + Είναι = ( )( + ) Ε. Κ.Π = ( )( + ) 0 άρα ( )(+ ) 0 0 και + 0 και + + = ( )(+ ) + + + ( )( + ) ( )(+ ) = ( )(+ ) ( )(+ ) + + ( )( ) = ( + )( + ) µετά από πράξεις η εξίσωση γίνεται 0 = 0 Εποµένως η εξίσωση αληθεύει για όλες τις τιµές του εκτός των και λόγω των περιορισµών. Ε.Κ.Π.= ( )( + ) 0 άρα ( )(+ ) 0 0 και + 0 και (+ )( ) (+ )( ) = (+ )( ) (+ )( ) + + ( )(+ ) ( )( ) ( + ) = ( ) + = + + = 0 = 7 < 0 άρα η εξίσωση είναι αδύνατη
6 6. Να λυθούν οι εξισώσεις 7+ 9 9 9 + = 9 6+ 9 5 5 7 0 + 6 6+ 8 + = Είναι 9 = ( )( + ) Και 6 + 9 = ( ) Ε.Κ.Π.= ( ) ( + ) 0 άρα 0 και + 0 και 7+ 9 9 9 + = ( )(+ ) ( ) 7+ 9 9 9 ( ) (+ ) + ( ) (+ ) = ( ) (+ ) ( )(+ ) ( ) ( ) (7 + 9) + ( + )(9 ) = 9( )( + ) = 0 = 5 και ρίζες =, = που είναι δεκτές και οι δύο Οι παρανοµαστές σε γινόµενο + 6 = ( )( + ) = ( )( + ) 6 + 8 = ( ) ( ) Ε.Κ.Π.= ( )( + ) ( ) 0 άρα 0 και + 0 και 0 και και 5 5 7 0 + = (+ )( ) ( )( + ) ( )( ) 5 5 (+ )( )( ) + (+ )( )( ) = (+ )( ) ( )( + ) 7 0 (+ )( )( ) ( )( ) 5( ) + ( )( 5) = ( + )( 7 0) 0 = 0 άρα = ρίζα που είναι δεκτή
7 7. Α Β Γ Στο διπλανό σχήµα βλέπουµε τη διαδροµή km 5km ενός ποδηλάτη. Ο ποδηλάτης, από το σηµείο Α στο σηµείο Β, κινείται µε ταχύτητα km/h µικρότερη από την ταχύτητα µε την οποία κινείται από το σηµείο Β στο Γ. Κατά την επιστροφή από το Γ στο Α κινήθηκε µε ταχύτητα ίση µε το ηµιάθροισµα των προηγούµενων ταχυτήτων. Να βρείτε την ταχύτητα µε την οποία κινήθηκε κατά περίπτωση ο ποδηλάτης, αν ο χρόνος µετάβασης είναι ίσος µε τον χρόνο επιστροφής. Έστω ότι ο ποδηλάτης από το σηµείο Β στο σηµείο Γ κινήθηκε µε ταχύτητα km/h Τότε από το Α στο Β κινήθηκε µε ταχύτητα ( ) km/h και από το Γ στο Α µε + ταχύτητα = ( ) = = ( ) km/h Από τύπο της φυσικής, το διάστηµα S που διανύεται σε χρόνο t µε σταθερή ταχύτητα υ είναι S = υt, οπότε t = S υ Με βάση τα δεδοµένα του προβλήµατος, ο χρόνος µετάβασης από το Α στο Β ήταν t = από το Β στο Γ t = 5 και 9 από το Γ στο Α t = Αλλά t + t = t, οπότε έχουµε την εξίσωση + 5 = 9 Ε.Κ.Π.= ( )( ) 0 άρα 0 και και ( )( ) + ( )( ) 5 = ( )( ) 9 ( ) + 5 ( )( ) = 9( ) = 0 ρίζα δεκτή Εποµένως ο ποδηλάτης κινήθηκε από το Α στο Β µε ταχύτητα 8km / h, από το Β στο Γ µε ταχύτητα 0 km / h και από το Γ στο Α µε ταχύτητα 9 km / h
8 8. Ένα ποταµόπλοιο κάνει τη διαδροµή ΑΒ = km και την αντίστροφη αυτής ΒΑ συνολικά σε 5h. Από το Α στο Β κινείται παράλληλα µε την ροή των νερών του ποταµού που η ταχύτητα τους είναι km/ h, ενώ από το Β στο Α κόντρα στην ροή. Να βρείτε την ταχύτητα του ποταµόπλοιου. Είναι φανερό πως αν km / h είναι η ταχύτητα του ποταµόπλοιου, τότε από το Α στο Β κινείται µε ταχύτητα ( + ) km/h, ενώ από το Β στο Α µε ταχύτητα ( ) km/h. Ο χρόνος µετάβασης είναι t = και ο χρόνος επιστροφής είναι t = + Με βάση το πρόβληµα είναι t + t = 5. Άρα έχουµε την εξίσωση + = 5 + Ε Κ Π = ( )( + ) 0 άρα και ( )( + ) + ( )( + ) + ( ) + ( + ) = 5( ) 5 8 0 = 0 = 70 και ρίζες = 0, = 5 δεκτή είναι η = 0 km/h = 5( )( + ) 9. Ένας έµπορος αγόρασε ένα πλήθος CD και έδωσε 000. Πούλησε µερικά και εισέπραξε 800 κερδίζοντας από κάθε CD. Επειδή του έµειναν 00 CD ακόµα, αναγκάστηκε να τα πουλήσει στην τιµή που τα είχε αγοράσει. Να βρείτε πόσο είχε αγοράσει το κάθε CD ο έµπορος Έστω ότι το κάθε CD ο έµπορος το αγόρασε. (Προφανώς είναι > 0) Τότε το πλήθος των CD που αγόρασε ήταν 000 Το πλήθος των CD που πούλησε ήταν 800 + Επειδή µετά την πώληση του έµεινα 00, έχουµε την εξίσωση 000 800 + = 00 ( + ) 000 ( + ) 800 =00 ( + ) + 000( + ) 800 = 00 + 00 9 90 = 0 = και ρίζες = 5, = 6 δεκτή είναι η = 5 ηλαδή ο έµπορος αγόρασε το κάθε CD 5
9 0. Να βρείτε τρεις διαδοχικούς ακεραίους έτσι, ώστε το πηλίκο του πρώτου προς τον δεύτερο αυξηµένο κατά το πηλίκο του δεύτερου προς τον τρίτο να είναι ίσο µε 7 6 Έστω, +, + οι τρεις διαδοχικοί ακέραιοι. Σύµφωνα µε το πρόβληµα έχουµε την εξίσωση + + + + = 7 6 ΕΚΠ = 6( + )( + ) 0 άρα και + 6( + )( + ) + 6( + )( + ) + + = 6( + )( + ) 7 6 6( + ) + 6 ( + ) = 7( + )( + ) 5 + 8 = 0 = 69 και ρίζες =, = 8 5 Από αυτές η = 8 5 απορρίπτεται αφού δεν είναι ακέραιος αριθµός Για = οι τρείς ακέραιοι είναι,,