Kalkulus 1 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia
Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada beberapa macam sistem koordinat, yaitu: 1 Sistem koordinat cartesius 2 Sistem koordinat kutub (polar) 3 Sistem koordinat tabung 4 Sistem koordinat bola
Cartesius
Letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan titik (x, y).
Rumus Jarak Misalkan terdapat dua titik P dan Q, dengan koordinat (x 1, y 1 ) dan (x 2, y 2 ) secara berurutan, maka jarak antara P dan Q adalah Rumus Jarak d(p, Q) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2
Contoh 1 Hitung jarak antara 1 P (4, 2) dan Q( 2, 1) 2 P ( 1, 3) dan Q(3, 2)
Contoh 1 Hitung jarak antara 1 P (4, 2) dan Q( 2, 1) 2 P ( 1, 3) dan Q(3, 2) Solusi: 1 d(p, Q) = ( 2 4) 2 + ( 1 2) 2 = 36 + 9 = 45 = 3 5 2 d(p, Q) = (3 ( 1)) 2 + ( 2 3) 2 = 16 + 25 = 41
Persamaan Lingkaran Sebuah lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berada pada suatu jarak (jari-jari) dari suatu titik tetap (pusat). Misalkan (x, y) menyatakan sebarang titik pada lingkaran. Menurut rumus jarak, diperoleh persamaan lingkaran Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) r = (x a) 2 + (y b) 2 r 2 = (x a) 2 + (y b) 2
Contoh 2 Carilah persamaan lingkaran berjari-jari 5 dengan pusat ( 2, 1). Tentukan juga koordinat y dari dua titik pada lingkaran tersebut jika koordinat x-nya adalah 2.
Contoh 3 Carilah pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran x 2 2x + y 2 + 6y = 6
Contoh 3 Carilah pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran x 2 2x + y 2 + 6y = 6 Solusi: x 2 2x + 1 + y 2 + 6y + 9 = 6 + 1 + 9 (x 1) 2 + (y + 3) 2 = 4 Jadi, jari-jari lingkaran tsb adalah 2 dengan pusat (1, 3).
Carilah pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan berikut: 1 x 2 + 2x + 10 + y 2 6y 10 = 0 2 4x 2 + 16x + 15 + 4y 2 + 6y = 0 3 x 2 + 16x + 105 16 + 4y2 + 3y = 0
Garis Lurus Bentuk umum persamaan garis lurus ax + by + c = 0 atau y = mx + d dengan m = a b dan d = c d, dengan a dan b tidak semuanya nol. Besaran m disebut gradien garis yang menyatakan kemiringan.
Dari bentuk umum tersebut diperoleh: 1 Bila garis sejajar sumbu y, persamaannya x = a 2 Bila garis sejajar sumbu x, persamaannya y = b 3 Bila garis tidak sejajar salah satu sumbu, persamaannya y = mx + d 4 Bila garis melalui (0, 0), persamaannya ax + by = 0 5 Bila garis melalui (x 1, y 1 ) dan bergradien m, persamaannya y y 1 = m(x x 1 ) 6 Bila garis melalui (x 1, y 1 ) dan (x 2, y 2 ), persamaannya y y 1 y 2 y 1 = x x 1 x 2 x 1
Misalkan terdapat dua garis lurus k : ax + by + c = 0 dan l : px + qy + r = 0, maka 1 k dan l sejajar (k l), jika a p = b q c r dan berimpit (k l), jika a p = b q = c r 2 k dan l berpotongan, jika a p b q dan berpotongan tegak lurus, jika a p = b q
Jarak Titik ke Garis Jarak titik A(x 0, y 0 ) ke garis dengan persamaan k : ax + by + c = 0, adalah d(a, k) = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2
Contoh 4 Tentukan jarak dari titik (4, 1) terhadap garis 2x 2y + 4 = 0
Menggambar Grafik Untuk menggambarkan grafik fungsi secara manual, kita dapat melakukan tiga langkah berikut: 1 Dapatkan koordinat dari beberapa titik yang memenuhi persamaan/fungsi 2 Gambarkan titik-titik tersebut di sumbu koordinat 3 Hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva halus
Contoh 5 Gambarlah grafik y = x 2 + x 6
(Polar) Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real (r, θ), dengan r menyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub), sedangkan θ adalah besar sudut antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu x-positif.
Hubungan Antara Koordinat Kartesius dengan Koordinat Kutub x = r cos θ, y = r sin θ tan θ = y x sin θ = y r cos θ = x r
Contoh 6 1 Tentukan koordinat kartesius dari P ( 5, π ) 6 dan tentukan koordinat kutub dari Q(3, 3) 2 Tentukan persamaan kutub dari x 4y + 2 = 0 3 Tentukan persamaan kartesius dari r = 4 cos θ