ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ατομική κι ηλεκτρονική δομή των στερεών Περιοδικότητ κι κρυστλλική δομή Διδάσκων : Επίκουρη Κθηγήτρι Χριστίν Λέκκ
Άδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Creative Commons. Γι εκπιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειτι σε άλλου τύπου άδεις χρήσης, η άδει χρήσης νφέρετι ρητώς.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Περιοδικότητ κι κρυστλλική δομή Ατομική κι ηλεκτρονική δομή των στερεών Χ.Ε. Λέκκ Επίκουρος Κθηγήτρι cmsl.materials.uoi.gr/lekka Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών
Περιοδικότητ κι κρυστλλική δομή Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών
Περιοδικότητ: Μι συνάρτηση V(r) ορισμένη στον τρισδιάσττο χώρο είνι περιοδική εάν κι μόνο ν πρμένει νλλοίωτη στο μετσχημτισμό r r =r+r, όπου R n =n a +n a +n a, a, a, a είνι τρί μη συνεπίπεδ δινύσμτ κι n, n, n είνι οποιοιδήποτε κέριοι ριθμοί (θετικοί, ρνητικοί ή μηδενικοί). Η V(r) δηλδή είνι περιοδική τότε κι μόνο τότε, ότν γι κάθε r κι Rn ισχύει η σχέση : V(r) = V(r+R n ) Πλέγμ Bravais : Είνι το σύνολο των σημείων του χώρου που ορίζουν τ άκρ των δινυσμάτων R n κθώς οι κέριοι n, n, n πίρνουν όλες τις δυντές τιμές τους. Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών
Θεμελιώδης κυψελίδ : Είνι μι πεπερσμένη περιοχή του χώρου, η οποί εάν μεττοπισθεί κτά R n (όπου τ n, n, n πίρνουν όλες τις δυντές τιμές τους), γεμίζει κριβώς όλο το χώρο (χωρίς επικλύψεις ή κενά). Ο όγκος της, V ΘΚ, είνι δεδομένος κι ίσος με το ντίστροφο της συγκέντρωσης n B, των πλεγμτικών σημείων Bravais: V ΘΚ = /n B = (a xa ) a Κυψελίδ Wigner-Seitz : Είνι μι θεμελιώδης κυψελίδ, όπου η πόστση των σημείων της πό το σημείο 0 (ρχή των ξόνων) είνι μικρότερη ή ίση με την πόστσή τους πό οποιοδήποτε άλλο σημείο του πλέγμτος Bravais. H κυψελίδ WS είνι έν πολύεδρο που ορίζετι πό τ μεσοκάθετ επίπεδ στ δινύσμτ που ενώνουν την ρχή των ξόνων με τ γειτονικά σημεί του πλέγμτος Bravais. Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών 4
Τέσσερ ειδικά δισδιάσττ πλέγμτ Bravais κι οι ντίστοιχες κυψελίδες Wigner-Seitz: a a φ a φ a φ a a =, φ=90 ο, φ=90 ο =, φ=0 ο a φ a, φ Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών 5
Μονδιί κυψελίδ : Είνι μι πεπερσμένη περιοχή του χώρου, η οποί εάν μεττοπισθεί κτά έν υποσύνολο άπειρων δινυσμάτων Bravais γεμίζει κριβώς όλο το χώρο (χωρίς επικλύψεις ή κενά). Η μονδιί κυψελίδ επιλέγετι έτσι ώστε ν έχει εφ ενός μεν τον ελάχιστο όγκο, φ ετέρου δε τη πλήρη συμμετρί του πλέγμτος. Ο όγκος της μονδιίς κυψελίδς είνι μεγλύτερος (ή ίσος) πό τον όγκο της θεμελιώδους κυψελίδς. ws Μονδιί κυψελίδ Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών 6
Περιοδική κρυστλλική δομή : Αν σε όλ τ σημεί ενός πλέγμτος Bravais τοποθετηθεί το ίδιο κριβώς άτομο, θ προκύψει μι πλή περιοδική κρυστλλική δομή. Σύνθετες δομές προκύπτουν εάν σε κάθε σημείο ενός πλέγμτος Bravais τοποθετήσουμε κτά τον ίδιο κριβώς τρόπο την ίδι ομάδ τόμων. Η ομάδ των τόμων γι την οποί κνέν πό τ δινύσμτ που συνδέουν δύο άτομ της ομάδς δεν έχει την ιδιότητ ν φήνει την κρυστλλική δομή μεττοπιστικά νλλοίωτη ονομάζετι βάση. Περιοδική κρυστλλική δομή = πλέγμ Bravais + βάση R n n n n Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών 7
Ένς κρύστλλος μπορεί ν οριστεί πό το πλέγμ Bravais κι τη βάση R n n n n SC BCC FCC Diamond Θεμελιώδη κυψελίδ με δινύσμτ (,0,0) (0,,0) (0,0,) (/, -/, -/) (/,/,-/) (/,/,/) (/, /, 0) (/, 0, /) (0, /,.) (/, /, 0) (/, 0, /) (0, /,.),, d NN 4 Vpuc 4 4 Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών 8
Αντίστροφο πλέγμ Η νάγκη ορισμού του ντίστροφου πλέγμτος προκύπτει πό το θεώρημ Bloch, σύμφων με το οποίο μεττόπιση κτά οποιοδήποτε πλεγμτικό διάνυσμ Rn πολλπλσιάζει τη λύση (που περιγράφει την ηλεκτρονική ή την ιοντική κίνηση) με το πράγοντ exp(iqr n ). O πράγοντς υτός μένει μετάβλητος εάν η κρυστλλική ορμή (διηρημένη με το ħ), q, λλάξει πό q σε q όπου q = q + Gm κι το Gm ικνοποιεί τη σχέση: G m R n = π p, p κέριος γι κάθε Rn Το σύνολο των δινυσμάτων Gm που ικνοποιούν τη πρπάνω σχέση γι κάθε διάνυσμ του πλέγμτος Bravais, R n =n a +n a +n a, ονομάζετι ντίστροφο πλέγμ (του {R n }). To ρχικό πλέγμ {R n }, το ονομάζουμε ευθύ. Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών 9
Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών 0 π b, π b, π b ij j i δ π b Αντίστροφο πλέγμ Το ντίστροφο πλέγμ ενός πλέγμτος Bravais {R n } είνι επίσης έν πλέγμ Bravais, τ δινύσμτ του οποίου έχουν τη μορφή G m =m b +m b +m b, όπου m, m, m οποιοιδήποτε κέριοι. Τ δινύσμτ του ντίστροφου πλέγμτος b j σχετίζοντι με τ δινύσμτ i του ευθέως πλέγμτος μέσω της σχέσης: δ ij = 0, ij, i=j Συνάρτηση δέλτ
Εύρεση των δινυσμάτων του ντίστροφου πλέγμτος b, b, b μέσω των δινυσμάτων του ευθέως πλέγμτος,, Υπολογισμός του b - χρήσιμες μθημτικές σχέσεις xxˆ yŷ zẑ xxˆ yŷ zẑ b π xxˆ yŷ zẑ Πρώτ υπολογίζω το εξωτερικό γινόμενο : xˆ ŷ ẑ y z x z x y x y z xˆ ŷ zˆ y z x x z y x y z y z z y x z z x x y xˆ ŷ ẑ A A x xˆ A y ŷ A ẑ Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών z y x
Υπολογισμός του b - χρήσιμες μθημτικές σχέσεις - Μετά βρίσκω τον όγκο (εσωτερικό γινόμενο στο προνομστή) : Vol A x y z x y xˆ ŷ ẑa xˆ A ŷ A ẑ z όμως xˆ xˆ ŷŷ ẑẑ κι xˆ ŷ ŷẑ xˆẑ 0 b π A Τελικά : Αντίστοιχ υπολογίζουμε τ b xax yay za κι b z Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών
Πράδειγμ : Δίδοντι τ θεμελιώδη δινύσμτ του πλού κυβικού πλέγμτος: xˆ, ŷ, ẑ Ν βρεθούν τ δινύσμτ του ντίστροφου πλέγμτος b,b,b : Τ, κι γράφοντι: xˆ xˆ ŷ 0xˆ ẑ 0xˆ 0ŷ 0ẑ ŷ 0ẑ 0ŷ ẑ Οι σχέσεις γι τ δινύσμτ του ντίστροφου πλέγμτος είνι : b π, b π, b π Λύση: Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών
Λύση: Α. Υπολογισμός b : Α) Πρώτ υπολογίζω το εξωτερικό γινόμενο x : xˆ ŷ ẑ 0 0 0 xˆ 0 0 ŷ 0 0ẑ xˆ 0 0 Α) Μετά βρίσκω τον όγκο (εσωτερικό γινόμενο στο προνομστή) : xˆ Vol xˆ xˆ 0ŷ 0ẑ xˆ xˆ xˆ 0ŷ xˆ 0ẑ xˆ όμως xˆ ŷ xˆ xˆ ŷẑ xˆẑ 0 ŷŷ ẑẑ Vol Α) Αρ το b ισούτι με : xˆ b π π π Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών xˆ 4
Λύση: Β. Υπολογισμός b : Β) Πρώτ υπολογίζω το εξωτερικό γινόμενο x : xˆ ŷ ẑ 0 0 0 0 xˆ 0 ŷ 0 0 0 0ẑ ŷ Β) Ο όγκος βρέθηκε στη προηγούμενη διφάνει ίσος με : ŷ π Β) Αρ το b ισούτι με : b π π ŷ Γ. Υπολογισμός b : Γ) Πρώτ υπολογίζω το εξωτερικό γινόμενο x : xˆ ŷ ẑ 0 0 0 0 xˆ 0 0 ŷ 0 ẑ 0 0 ẑ Γ) Ο όγκος ισούτι με : ẑ π Γ) Αρ το b ισούτι με : b π π ẑ Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών 5
Προσδιορισμός κρυστλλικής δομής - Περίθλση - Σε κρυστλλικά υλικά, γι κθορισμέν μήκη κύμτος κι διευθύνσεις προσπτώσεως, πρτηρήθηκν μέγιστες εντάσεις σκεδζόμενης κτινοβολίς. Ο Bragg εξήγησε τις πρτηρήσεις υτές με τη θεωρί ότι ο κρύστλλος ποτελείτι πό πράλληλ επίπεδ ιόντων που πέχουν πόστση d. Οι συνθήκες γι τη πργωγή μεγίστων εντάσεων πό τη σκεδζόμενη κτινοβολί είνι: ) η γωνί πρόσπτωσης θ ν είνι ίση με τη γωνί σκέδσης θ. β) Η διφορά δρόμου των κτίνων που συμβάλλουν εποικοδομητικά πό διδοχικά επίπεδ είνι κέριο πολ/σιο του μήκους κύμτος λ: Δ= nλ, n=,,... Όμως Δ=ΒΑ+ΑΓ=dsinθ+dsinθ=dsinθ d q Β θ A θ Γ q ' Νόμος του Bragg: nλ=dsinθ λ μήκος κύμτος, n κέριος, θ γωνί προσπίπτουσς δέσμης κι d ενδοτομική πόστση Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών 6
Προσδιορισμός κρυστλλικής δομής - Περίθλση - Η εποικοδομητική συμβολή θ συμβεί εφόσον η μετβολή του κυμτνύσμτος είνι έν άνυσμ (μεττοπίσεως) του ντίστροφου πλέγμτος G: q θ θ q ' dsinθ dsin θ' dqˆ -dqˆ' nλ π π q qˆ, q' qˆ' λ λ Ελστική σκέδση λ=λ d Β θ A Γ R π nλ λ q -q' π n q -q' G επίπεδ Bragg qg G Όλ τ νύσμτ q των οποίων η προβολή στο G είνι το μισό G Επίπεδ Bragg: είνι τ επίπεδ τ μεσοκάθετ στ δινύσμτ Gm του ντίστροφου πλέγμτος. Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών 7
Ζώνες Brillouin Πρώτη ζώνη Brilluoin: είνι η θεμελιώδης κυψελίδ Wigner-Seitz του ντίστροφου πλέγμτος. Μπορεί δηλδή ν ορισθεί ως το σύνολο των σημείων στο χώρο k που των οποίων η πόστση πό την ρχή (k=0) είνι μικρότερη (ή ίση) πό την πόστση τους πό οποιοδήποτε άλλο σημείο Gm0 (δεν δισχίζουμε κνέν επίπεδο Bragg). Zώνες Brilluoin: η ν-οστή ζώνη Brilluoin ορίζετι ως το σύνολο των σημείων στο χώρο k που μπορούμε ν τ φτάσουμε δισχίζοντς κτ ελάχιστο ν- επίπεδ Bragg. H ν-οστή ΖΒ είνι εν γένει μη-συνεκτική, ποτελείτι δηλδή πό περιοχές που χωρίζοντι μετξύ τους πό περιοχές άλλων ζωνών Brilluoin. H ξί των ΖΒ προκύπτει πό το νλλοίωτο της λύσης κάτω πό το μετσχημτισμό k k =k+gm περιορίζοντς δηλδή το k σε μί μόνο ΖΒ (συνήθως την η) βρίσκουμε όλες τις λύσεις. Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών 8
Ζώνες Brillouin Πράδειγμ : Ν βρεθεί κι ν πεικονισθεί η πρώτη ζώνη του Brillouin γι το τετργωνικό πλέγμ με δινύσμτ b π x ˆ κι b π y ˆ Επίπεδ Bragg: G kg k x n k y n (n a n ) π b n Γ π b Α π/ Β Κ n π n b n n Γ π n b π Tετργωνικό πλέγμ π n ζώνη του Brillouin η κι n ζώνη του Brillouin n, n κι η ζώνη του Brillouin Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών 9
η ζώνη Brillouin Η πρώτη ζώνη του Brillouin γι το πλό κυβικό (sc), το πλό χωροκεντρωμένο (bcc) κι το πλό ενδοκεντρωμένο (fcc) στις οποίες φίνοντι τ k-σημεί υψηλής συμμετρίς sc bcc fcc πλό κυβικό πλό χωροκεντρωμένο πλό ενδοκεντρωμένο Τ γράμμτ Γ, Μ, Χ, κ.τ.λ ορίζουν κτευθύνσεις στο χώρο π.χ. η ΓΗ ντιστοιχεί στην [00]. Γι την σωστή περιγρφή του υλικού είνι η μελέτη όλων των κρυστλλογρφικών διευθύνσεων όπως περιγράφοντι πό τ πρπάνω σημεί υψηλής συμμετρίς. Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών 0
Εργστήριο Υπολογιστικής Επιστήμης Υλικών
Τέλος Ενότητς
Χρημτοδότηση Το πρόν εκπιδευτικό υλικό έχει νπτυχθεί στ πλίσι του εκπιδευτικού έργου του διδάσκοντ. Το έργο «Ανοικτά Ακδημϊκά Μθήμτ στο Πνεπιστήμιο Ιωννίνων» έχει χρημτοδοτήσει μόνο τη νδιμόρφωση του εκπιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείτι στο πλίσιο του Επιχειρησικού Προγράμμτος «Εκπίδευση κι Δι Βίου Μάθηση» κι συγχρημτοδοτείτι πό την Ευρωπϊκή Ένωση (Ευρωπϊκό Κοινωνικό Τμείο) κι πό εθνικούς πόρους.
Σημειώμτ
Σημείωμ Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το πρόν έργο ποτελεί την έκδοση.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση.0 διθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=0.
Σημείωμ Ανφοράς Copyright Πνεπιστήμιο Ιωννίνων, Διδάσκων : Επίκουρη Κθηγήτρι Χριστίν Λέκκ. «Ατομική κι ηλεκτρονική δομή των στερεών. Περιοδικότητ κι κρυστλλική δομή». Έκδοση:.0. Ιωάννιν 04. Διθέσιμο πό τη δικτυκή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=0.
Σημείωμ Αδειοδότησης Το πρόν υλικό διτίθετι με τους όρους της άδεις χρήσης Creative Commons Ανφορά Δημιουργού - Πρόμοι Δινομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [] ή μετγενέστερη. [] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/.