Σχδίαση μ τη χρήση Η/Υ ΕΦΑΑΙΟ 12 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΔΡ ΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΟΣ, ΕΠΙΟΥΡΟΣ ΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΗΣΗΣ ΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΑΡΙΣΑΣ
Γωνίς πιπέδων: Η γωνία δυο τμνόμνων πιπέδων ορίζται όπως και η γωνία δυο τμνόμνων υθιών. Δίδρη γωνία: Ονομάζται κάθ ζύγος ημιπιπέδων τα οποία έχουν την ίδια αρχική υθία. Άρα, μια δίδρη δ γωνία ίναι η ένωση δύο ημιπιπέδων μ κοινή αρχική υθία, θί αν αυτά θωρηθούν θ ως σύνολα σημίων. Η αρχική υθία ονομάζται ακμή της δίδρης γωνίας Τα δυο ημιπίπδα ονομάζονται έδρς της δίδρης γωνίας. Στο σχήμα, τα δύο ημιπίπδα Ρ1, Ρ2 ίναι οι έδρς της γωνίας, νώ η υθία ίναι η ακμή της γωνίας. P1 P2
Γωνίς πιπέδων: Μια δίδρη γωνία χωρίζι το χώρο σ δυο μέρη. Έστω μια δίδρη γωνία. Θωρούμ το σύνολο των σημίων που βρίσκονται προς το μέρος του πιπέδου της έδρας, στο οποίο βρίσκται το σημίο, καθώς και το σύνολο των σημίων που βρίσκονται προς το μέρος του πιπέδου της έδρας, στο οποίο ανήκι το σημίο. Η τομή των δύο συνόλων ονομάζται σωτρικό της δίδρης γωνίας. Το σύνολο των σημίων των δρών και του σωτρικού μιας δίδρης γωνίας ονομάζται κυρτή δίδρη γωνία. άθ σημίο που δν ίναι σημίο της κυρτής δίδρης γωνίας ονομάζται ξωτρικό σημίο της δίδρης γωνίας. Το σύνολο των ξωτρικών σημίων ονομάζται ξωτρικό της δίδρης γωνίας. Η ένωση των συνόλων των σημίων της δίδρης γωνίας και του ξωτρικού της ονομάζται μη κυρτή δίδρη γωνία. P1 P2
Γωνίς πιπέδων: Αν οι έδρς μιας δίδρης γωνίας ταυτίζονται τότ ονομάζται μηδνική δίδρη γωνία ( =0). (Σχ.-1) Αν οι έδρς μιας δίδρης γωνίας ίναι αντικίμνς τότ η δίδρη γωνία αποτλίται από τα σημία του πιπέδου τους, που βρίσκονται προς το ένα ή το άλλο μέρος του. (Σχ.-2) Έστω η κυρτή δίδρη δ γωνία (Σχ.-3). Θωρούμ ένα τυχαίο σημίο Μ της ακμής και δύο ημιυθίς θί ΜΜ1 (του Ρ1) και ΜΜ2 (του Ρ2) κάθτς μταξύ τους. Η κυρτή πίπδη γωνία Μ1ΜΜ2 ονομάζται αντίστοιχη πίπδη γωνία της δίδρης. Η μη κυρτή πίπδη γωνία Μ1ΜΜ2 ονομάζται αντίστοιχη πίπδη γωνία της μη κυρτής δίδρης γωνίας. Μ P2 P1=Ρ2 Μ1 P1 P2 Μ2 P1
Γωνίς πιπέδων: Δύο δίδρς γωνίς ονομάζονται προσκίμνς ή φξής αν έχουν την ίδια ακμή, μια έδρα κοινή και τις μη κοινές έδρς κατέρωθν του πιπέδου της κοινής έδρας (Σχ.-1). Οι αντίστοιχς πίπδς γωνίς δύο προσκίμνων δίδρων γωνιών ίναι γωνίς φξής. Αν οι μη κοινές έδρς δύο προσκίμνων διέδρων ίναι αντικίμνς, τότ οι δίδρς δ γωνίς ονομάζονται παραπληρωματικές (Σχ.-2). Δυο δίδρς γωνίς ονομάζονται αντικίμνς ή παραπληρωματικές αν έχουν κοινή ακμή και οι έδρς κάθ μιας ίναι αντίστοιχα αντικίμνς των δρών της άλλης. P2 P3 Ν Μ P1 P4
Προβολές: Η γραφική παράσταση του τρισδιάστατου χώρου σ πίπδο, γίνται φικτή μέσω των προβολών του. Για την φαρμογή των προβολών ίναι απαραίτητος ο καθορισμός της θέσης και των σχέσων τριών στοιχίων: Του αντικιμένου της προβολής Του παρατηρητή και Του πιπέδου της προβολής Ανάλογα μ τη θέση του παρατηρητή έχουμ δυο συστήματα προβολών (οπτικής απικόνισης): Την κντρική ή κωνική ή προοπτική προβολή, κατά την οποία το κέντρο προβολής ίναι το μάτι του παρατηρητή, που βρίσκται σ ορισμένη θέση σ σχέση ημ το αντικίμνο και το σκοπύι μ κωνική δέσμη οπτικών ακτίνων ορίζοντας Επίπδο προβολής Οπτικές ακτίνς συγκλίνουσς στο μάτι του παρατηρητή παρατηρητής αντικίμνο
Προβολές: Είδη προβολής (συνέχια): Την παράλληλη προβολή, κατά την οποία δχόμαστ ότι ο παρατηρητής βρίσκται στο άπιρο και σκοπύι μ δέσμη παράλληλων ακτίνων το αντικίμνο προβολής. Πολλά πίπδα προβολής αντικίμνο Παρατηρητής στο άπιρο Οπτικές ακτίνς παράλληλς μταξύ τους και κάθτς στα πίπδα προβολής
Προβολές: Είδη προβολής (συνέχια): ανάλογα μ το πλήθος των πιπέδων προβολής που χρησιμοποιούνται κατά την παράλληλη προβολή, έχουμ: την ορθογραφική προβολή ή ορθή παράλληλη προβολή (προηγούμνο σχήμα) και την αξονομτρική προβολή που μ τη σιρά της αναλόγως της γωνίας που σχηματίζουν οι οπτικές ακτίνς μ το πίπδο προβολής διακρίνται σ: Ορθή παράλληλη αξονομτρική προβολή και Πλάγια αξονομτρική προβολή. αντικίμνο Παρατηρητής στο άπιρο αντικίμνο Παρατηρητής στο άπιρο Οπτικές ακτίνς παράλληλς μταξύ τους και κάθτς στο πίπδο προβολής Ένα πίπδο προβολής Οπτικές ακτίνς παράλληλς μταξύ τους και πλάγις στο πίπδο προβολής Ένα πίπδο προβολής
Ορθή παράλληλη προβολή: ατά την ορθή παράλληλη προβολή αναλύουμ το ξωτρικό πρίβλημα και το σωτρικό του στρού σώματος σ πιμέρους τμήματα (πίπδς πιφάνις), τα οποία προβάλλουμ ορθά σ πολλά πίπδα προβολής. Ως πίπδα προβολής χρησιμοποιούμ συνήθως τα πίπδα που σχηματίζονται από το τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων x, ψ και z. Θωρούμ ότι οι άξονς αυτοί σχηματίζουν ανά δύο τα πίπδα Π1, Π2 και Π3 που ονομάζονται προβολικά πίπδα (Σχ.-1). Αν θωρήσοτμ ότι το σύστημα αυτό στρέφται πρί κατακόρυφο άξονα κατά 180 o τότ έχουμ τη δυνατότητα χρήσης άλλων τριών πιπέδων προβολής, των Π1, Π2 και Π3 (δηλαδή αυτών που σχηματίζουν οι Ο x, Ο ψ και Ο z (Σχ.-2). z (z) Π 2 Π 3 Π 2 Π 3 x' y' O (O) x O (x) Π 1 Π 1 y (y) z'
Ορθή παράλληλη προβολή σημίου: Έστω σημίο (μ συντταγμένς Kx, Kψ και Kz) στο σωτρικό της τρισορθογώνιας γωνίας Oxψz. Οι ορθές προβολές του στα πίπδα προβολής Π1, Π2 και Π3 ίναι αντίστοιχα τα σημία K1, K2 και 3. Για να διυκολύνουμ τη σχδίαση, κμταλλυόμαστ τις δυνατότητς κατάκλισης των πιπέδων Π1, Π2 και Π3. Αν δχθούμ το πίπδο του χαρτιού σχδίασης οριζόντιο, τότ τα πίπδα Π1, Π2, Π3 πρέπι να στραφούν έτσι ώστ να ίναι παράλληλα προς αυτό ή να ταυτιστούν μ αυτό. z Π 2 2 3 O Π 3 x Π 1 1 y