+ Διδάσκων: Δρ. Κ. Δεμέστιχας e-mail: cdemestichas@uowm.gr Συστήματα Επικοινωνιών Ι Συναρτήσεις συσχέτισης/αυτοσυσχέτισης Φίλτρα Μετασχηματισμός Hilbert
+ Περιεχόμενα n Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης n Συνάρτηση συσχέτισης n Απόκριση γραμμικών συστημάτων n Φίλτρα n Μετασχηματισμός Hilbert
+ Βιβλιογραφία n Simon Haykin, Συστήματα Επικοινωνίας, εκδόσεις Παπασωτηρίου, 1995, Αθήνα. n Φ. Κωνσταντίνου, Χ. Καψάλης και Π. Κωττής, «Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες», εκδόσεις Παπασωτηρίου, 1995, Αθήνα. n Proakis J. and Salehi M., Communication Systems Engineering, 2 nd Edition, Prentice Hall, 2002, New Jersey. n Ιστοσελίδα του μαθήματος: n https://eclass.uowm.gr/courses/icte291/ n E-mail επικοινωνίας: n cdemestichas@uowm.gr
+ Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενεργειακών σημάτων n Παρέχει ένα μέτρο ομοιότητας μεταξύ του σήματος x t και μιας καθυστερημένης εκδοχής του μιγαδικού συζυγούς του 2 q R x 1t2 x1t2x*1t t2 dt L q n Ιδιότητες: του σήματος x t q 1 R x 102 ƒx1t2ƒ 2 dt L q n Για τ=0, η τιμή στη συνάρτησης αυτοσυσχέτισης ισούται με την ενέργεια n R $ τ = R $ τ συζυγής συμμετρία n R $ τ R $ 0 μέγιστη τιμή της R x (τ) στην αρχή των αξόνων n R $ τ Ψ. f η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και η πυκνότητα ενεργειακού φάσματος είναι ζευγάρι M/T Fourier (Ψ. f = G(f) 3 )
+ Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης περιοδικών σημάτων n Ορίζεται ως η μέση χρονική τιμή περιοδικού σήματος x 45 = 5 3 R $7 5 = 1 Τ : ; x 45 t x 45 t τ dt > = 5 3 τ n Ιδιότητες: n R (0) =? A5 B $7 x 5 = 45 t 3 dt 5 > A 5, δηλ. για τ=0, η τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης B ισούται με τη μέση ισχύ του σήματος x 45 τ n R $7 5 τ = R $ 7 5 τ συζυγής συμμετρία n R τ R $7 5 $ τ 0 μέγιστη τιμή της R 7 5 $ 7 τ στην αρχή των αξόνων 5 n R τ S $7 5 $ 7 f η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και η πυκνότητα φάσματος ισχύος 5 είναι ζευγάρι M/T Fourier n R $7 5 τ = R $ 7 5 τ ± nt :, n = 1,2,, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι περιοδική με την ίδια περίοδο T :
+ Συνάρτηση συσχέτισης ενεργειακών σημάτων n Παρέχει ένα μέτρο ομοιότητας μεταξύ ενός σήματος x t και μιας καθυστερημένης εκδοχής ενός δεύτερου σήματος y t n Ιδιότητες: n Αν L q q n Συζυγής συμμετρία τα x t, y t είναι ορθογώνια n Προσοχή! Η συσχέτιση nlike convolution, δεν είναι γενικά cor αντιμεταθετική, δηλ.: n R $L τ = x τ * y ( τ) n R $L τ Χ f Υ (f) x1t2y*1t2 dt 0 q R xy 1t2 x1t2y*1t t2 dt L 2 1 q R xy 1t2 R yx 1 t2 R xy 1t2 R yx 1t2. acterize the cross
+ Συνάρτηση συσχέτισης περιοδικών σημάτων n Για περιοδικά σήματα x t, y t με ίδια περίοδο T 0 η συνάρτηση συσχέτισης λαμβάνει τη μορφή n R $L τ =? = 5 A5 B > A 5 B x t y t τ dt
+ Μετάδοση σημάτων μέσω γραμμικών συστημάτων n Ορισμοί: n Σύστημα: ένας νόμος μέσω του οποίου συνδέεται η έξοδος (απόκριση) με την είσοδο του x t (διέγερση). Ως σύστημα ορίζεται επίσης και ο φυσικός μηχανισμός υλοποίησης του νόμου n Φίλτρο: μια διάταξη επιλογής συχνότητας για περιορισμό του φάσματος σε μια ζώνη συχνοτήτων n Τηλεπικοινωνιακός δίαυλος: το μέσο μετάδοσης που συνδέει τον πομπό και το δέκτη ενός συστήματος επικοινωνίας n Χρονικά αμετάβλητο σύστημα: η οποιαδήποτε χρονική ολίσθηση t 0 στο σήμα εισόδου προκαλεί την ίδια χρονική ολίσθηση στο σήμα εξόδου n y t t 0 = Γ(x t t 0 ) n Γραμμικό σύστημα: είναι εκείνο για το οποίο ισχύει η σχέση n Γ α? x? t + α 3 x 3 t όπου y? t = Γ x? t = α? y? t + α 3 y 3 t, y 3 t = Γ x 3 t
+ Απόκριση στο πεδίο του χρόνου n Έστω h(t) η κρουστική απόκριση 2 του συστήματος, η απόκριση δηλαδή του συστήματος (με μηδενικές αρχικές συνθήκες) σε μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ(t) n Η απόκριση y t του συστήματος στη διέγερση x t προκύπτει: n x(t) q y1t2 x1t2h1t t2 dt L q Κρουστική απόκριση h(t) q h1t2x1t t2 dt L q y(t) = h t x(t) χρόνος απόκρισης χρόνος διέγερσης χρόνος μνήμης του συστήματος
5 6 + Αιτιατότητα και Ευστάθεια n Ένα σύστημα ονομάζεται αιτιατό εάν δεν αποκρίνεται πριν την εφαρμογή της διέγερσης n Αναγκαία και ικανή συνθήκη: h1t2 0, t 0 n Ένα σύστημα ονομάζεται ευσταθές εάν το σήμα εξόδου είναι φραγμένο για όλα τα φραγμένα σήματα εισόδου ƒx1t2ƒ M για κάθε t n Αναγκαία και ικανή συνθήκη: L q q ƒh1t2ƒ dt ` L 1
+ Απόκριση στο πεδίο της συχνότητας n Θεωρώντας διέγερση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος με κρουστική απόκριση 1h(t), 2μια μιγαδική εκθετική είσοδο μοναδιαίου πλάτους και συχνότητας 1f2 x1t2 exp1j2pft2 q η απόκριση L 1 y(t) 2 προκύπτει 3 2 1 1 ως 24 2 3 4 y1t2 h1t2 exp3j2pf1t t24 dt q L q 1 3 1 1 q 2 exp1j2pft2 h1t2 exp1 j2pft2 dt L 1 L n Η συνάρτηση μεταφοράς H(f) του συστήματος ορίζεται ως: 1 q q H1f2 h1t2 exp1 j2pft2 dt L q L 1
+ Απόκριση στο πεδίο της συχνότητας 2 1 n Συνεπώς για την απόκριση του συστήματος έχουμε: y1t2 H1f2 exp1j2pft2 n Εναλλακτικά έχουμε: e response of a linear time H1f2 y1t2 x1t2 ` x1t2 exp1j2pft2 n Γενικά για οποιαδήποτε είσοδο ισχύει y 1 t 2 = x t y(t) L 1 Y1f2 2 H1f2X1f2 2
+ Απόκριση στο πεδίο της συχνότητας n Η συνάρτηση μεταφοράς H(f) είναι μια χαρακτηριστική ιδιότητα ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος 2 3 1 2 ƒh1f2ƒ ƒh1 f2ƒ 1 n Αν η κρουστική απόκριση h(t) έχει πραγματικές τιμές τότε n Ορίζουμε ως κέρδος του συστήματος f2ƒ of a linear system τη συνάρτηση 1 απόκριση πλάτους a1f2 lnƒh1f2ƒ H1f2 ƒh1f2ƒ exp3jb1f24 litude 1 response or magnitude b1f2 b1 f2 γωνία φάσης (μονάδες: Neper, όπου 1 Neper = 8.69dB) 2 1
+ Εύρος ζώνης συστήματος (bandwidth) - Βαθυπερατό σύστημα n Στην περίπτωση βαθυπερατού συστήματος το εύρος ζώνης ορίζεται ως μια περιοχή συχνοτήτων στην οποία η απόκριση πλάτους Η(f) είναι? = 3 φορές της τιμής της σε μηδενική συχνότητα 3 3 n εναλλακτικά η συχνότητα στην οποία το κέρδος είναι 3dB μικρότερο από την τιμή σε μηδενική συχνότητα H(f ) Ισχύς σε db = 10log?: ( Ισχύς ) H(0) H(0) /2 10log?: H(f ghi ) H(0) ή H(f ghi ) H(0) 3 = 3 = B 0 B f
+ Εύρος ζώνης συστήματος (bandwidth) - Ζωνοπερατό σύστημα / n Στην περίπτωση ζωνοπερατού συστήματος το εύρος ζώνης ορίζεται ως η συχνότητα στην οποία η απόκριση πλάτους Η(f) παραμένει εντός?3 = 3 3 φορών της τιμής της στο μέσο της ζώνης συχνοτήτων H(f ) H(f c ) H(f c ) /2 f c B f c + B f c 0 (b) f c B f c f c + B f
+ Πυκνότητες 2 ενεργειακών φασμάτων n Από τη σχέση προκύπτει: όπου 1 c ƒ 2 x 1f2 ƒx1f2ƒ 2 l is transmitted 1 th 2 Y1f2 H1f2X1f2 ƒ c y 1f2 ƒh1f2ƒ 2 c x 1f2 c y 1f2 ƒy1f2ƒ 2. h a 1 linear 2 1time-in και and ƒ 1 οι πυκνότητες ενεργειακών φασμάτων εισόδου και εξόδου αντίστοιχα n Συνεπώς, η σχέση ανάμεσα στις πυκνότητες ενεργειακών φασμάτων εισόδου και εξόδου καθορίζεται μόνο από την απόκριση πλάτους του φίλτρου
+ Πυκνότητες φασμάτων ισχύος n Στην περίπτωση σημάτων ισχύος αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο ότι S L f = H(f) 3 S $ f
+ Μετάδοση χωρίς παραμόρφωση n Εννοούμε ότι ένα σήμα μεταδίδεται χωρίς παραμόρφωση όταν y t = Kx(t t : ) n Λαμβάνοντας το Μ/Τ Fourier έχουμε: Υ f = KX f exp( j2πft : )à Η f = s(t) u t = Κexp( j2πft :) ή γενικότερα Η f = s(t) u t = Κexp( j2πft : ± nπ) n Οι συνθήκες που πρέπει να ισχύουν για μετάδοση χωρίς παραμόρφωση: n Η f = Κ (απόκριση πλάτους σταθερή για όλες τις συχνότητες) n β f = 2πft : ± nπ (φάση γραμμική σε σχέση με τη συχνότητα μηδενιζόμενη σε πολλαπλάσια του π) n Στην πράξη πάντα υπάρχει κάποια παραμόρφωση (δίαυλος με διασπορά
+ Φίλτρα n Χρησιμοποιούνται για τον περιορισμό του φάσματος σε συγκεκριμένη ζώνη συχνοτήτων n Χαρακτηρίζονται από: n ζώνη διέλευσης n ζώνη αποκλεισμού n Διακρίνονται σε: n βαθυπερατά n υψιπερατά n ζωνοπερατά n ζωνοφρακτικά 2 =0 Βαθυπερατό φίλτρο
+ Φίλτρα / H(f ) Υψιπερατό φίλτρο H(f c ) H(f c ) /2 f c B f c + B f c 0 (b) f c B f c f c + B f Ζωνοπερατό φίλτρο Ζωνοφρακτικό φίλτρο
+ Το ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο 3 4 H1f2 b exp1 j2pft 02, B f B 3 12 24 0, ƒf ƒ B b h1t2 L B h(t) 2B B exp3j2pf1t t 0 24 df sin32pb1t t 1 02 024 2B sinc32b1t t 0 24 p1t t 0 2 plitude of 2 centered o 2B sinc32b1t 3 4 t 24 Κρουστική απόκριση ιδανικού 3 1 βαθυπερατού 24 φίλτρου 3 4 sinc x = sin (πx) πx arg[h(f )] B 0 B Slope = 2 t 0 f 0 t 0 t Δρ. Κωνσταντίνος B Δεμέστιχας 1
+ Απόκριση ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου σε παλμό 1.2 1.0 Β=5/Τ 1.2 1.0 Β=10/Τ 0.8 0.8 y(t) 0.6 0.4 y(t) 0.6 0.4 0.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Time t (s) y(t) 0.2 0 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 Time t (s) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Β=20/Τ 0.2 0 0.2 1.0 0 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Time t (s) y(t) 1.0 1 0.8 2 0.6 0.4 0.2 0 0.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Time t (s) (d) Β=100/Τ
+ Μετασχηματισμός Hilbert n Προκύπτει από τη μετατόπιση 1των 2 γωνιών φάσης όλων των συνιστωσών ενός σήματος κατά ±90 μοίρες n χρήσιμος για τον υπολογισμού του περιεχομένου συχνότητας ενός σήματος 1 n Ορίζεται ως: gn1t2 1 p L q q g1t2 t t dt και αντίστροφα g1t2 1 p L q q gn1t2 t t dt n Από τον ορισμό προκύπτει ότι g 1t 2= g t? L
+ Μ/Τ Fourier του μετασχηματισμένου κατά Hilbert σήματος n Ο Μ/Τ Fourier του? ( ) 1, f < 0 προσήμου sgn(f)= 0, f = 0 1, f > 0 είναι jsgn(f), όπου sgn(f) η συνάρτηση 1 sgn(f) -1 f n Συνεπώς ο Μ/Τ Fourier του Hilbert είναι G f = jsgn f G f n Η συνάρτηση jsgn f προκαλεί μετατόπιση φάσης -90 0 για όλες τις θετικές συχνότητες και +90 0 για όλες τις αρνητικές συχνότητες
+ M/T Hilbert γνωστών σημάτων n Ο Μ/Τ Hilbert μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε σήμα μετασχηματίζεται κατά Fourier (ικανοποίηση συνθηκών Dirichlet) n Μετασχηματίζει σήματα στο ίδιο πεδίο
+ Ιδιότητες Μ/Τ Hilbert n Ένα σήμα g t και ο μετασχηματισμός Hilbert g t αυτού έχουν την ίδια πυκνότητα φάσματος n Ένα σήμα g t και ο μετασχηματισμός Hilbert g t αυτού έχουν την ίδια συνάρτηση αυτοσυσχέτισης n Ένα σήμα g t και ο μετασχηματισμός Hilbert g t αυτού είναι ορθογώνια n Ο μετασχηματισμός Hilbert του g t είναι ο -g t