ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 7 169 ( ) 9 ( ) (1 ). Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι: ( ). 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. 11 169 ( ) β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ( ) (18 ). Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: f ( ) k a 1, a, k 0. Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση έχει περίοδο T καθώς και ότι η μέγιστη τιμή της είναι το. α. Να δείξετε ότι k=4 και α=. β. Να βρείτε για ποιες τιμές του χ η συνάρτηση παίρνει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της, την οποία και να προσδιορίσετε. f ( ) f f f ( ) γ. Να δείξετε ότι : δ. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f για,0 4. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) 1 g( ) 1. α. Αν Τ 1 και Τ είναι οι περίοδοί τους, να αποδείξετε ότι Τ 1 +Τ =π καθώς και ότι g(4 ) f(8 ) 1. β. Να λύσετε την εξίσωση f ( ) g( ), 0,. γ. Να χαράξετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις τους για 0,. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 1 6. α. Να αποδείξετε ότι: f ( ) f β. Να βρείτε την τιμή του ημχ για την οποία ισχύει f()=0. γ. Να βρείτε σε ποια σημεία του διαστήματος [0,π] η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον οριζόντιο άξονα. 1
6. Α. Να λύσετε και να διερευνήσετε το σύστημα: a 1 a 1 y a a 1 1 a y 1 Β. Να βρείτε αν υπάρχει τιμή του α για την οποία το σύστημα έχει λύση το ζευγάρι (-,). Κάντε ανάλογο έλεγχο για το ζευγάρι (,-1). 7. Έστω D, D, D y οι ορίζουσες ενός συστήματος το οποίο γνωρίζουμε ότι έχει μοναδική λύση ( o, y o ). Ισχύουν επίσης οι σχέσεις: D 4D D y D D D y ( ) ( y ) Να υπολογίσετε τη λύση ( o,y o ) καθώς και τη γωνία ω. 8. Δίνονται τα πολυώνυμα o o P a a Q a ( ) ( ) ( 1) α. Αν το (χ+1) είναι παράγοντας του Ρ(χ), να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q() με το (χ - ). β. Να βρείτε τα α,β ώστε το πολυώνυμο: πολυώνυμο. H( ) P( ) Q( ), να είναι το μηδενικό γ. Να βρείτε την τιμή του α για την οποία το πολυώνυμο: K( ) Q( ), έχει παράγοντα τον όρο (χ-α+1). 9. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: 1 ln a f( ) ln a α. Να περιορίσετε κατάλληλα το α, ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο ορισμού το R. β. Να βρείτε για ποιες τιμές του α η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα. γ. Αν a e, να λύσετε την ανίσωση: f f 10. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: f ( ) ln( e ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β. Να συγκρίνετε τους αριθμούς: f(ln 4), f (ln ) γ. Να λύσετε την ανίσωση: f ( ) ln ln( e ) 11. Έστω ότι το πολυώνυμο: ( ) ( 4 6) ln P( ) (ln a) ln a a 1 έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα. α. Να υπολογίσετε τα α και β. β. Για α=e και β=1, να λύσετε την ανίσωση: P( e ) e 1. Δίνεται το πολυώνυμο: P k e e k 4 ( ) ln 1 1 1, [0, ], 0. α. Αν το πολυώνυμο είναι ου βαθμού και έχει παράγοντα την ποσότητα (χ-1), να υπολογίσετε τις τιμές των k και θ. β. Για τις τιμές των k και θ που υπολογίσατε στο (α) ερώτημα, να λύσετε την ανίσωση : P ( ) 0 1 γ. Να λύσετε την ανίσωση: e ( e 1) e e 0
1. Αν για το πολυώνυμο Ρ() γνωρίζουμε ότι είναι τουλάχιστον δευτέρου βαθμού και πως διαιρούμενο με (+1) αφήνει υπόλοιπο ( ), ενώ διαιρούμενο με (+) αφήνει υπόλοιπο (-1), να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() με το πολυώνυμο ( ++). 4 14. Έστω το πολυώνυμο P( ) a a 1, a,. Αν γνωρίζετε ότι έχει παράγοντα το (χ +), να υπολογίσετε τα α,β και να λύσετε την εξίσωση Ρ()=0. 4 1. Δίνεται το πολυώνυμο P( ) 7 a 1, a,. Το πολυώνυμο έχει παράγοντα το ( -1). Να βρείτε τις τιμές των α,β και να λύσετε την ανίσωση P()>0. 16. Δίνονται τα πολυώνυμα: P( ) a, Q( ). Αν το P() έχει παράγοντα το Q(), να βρείτε τις τιμές των α,β και να λύσετε την ανίσωση P()<0. 17. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i. 1 7 1 ii. 10 iii. 1 iv. 1 1 v. 1 4 18. Να λύσετε την ανίσωση: 1. 19. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) log. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να δείξετε ότι: i. Είναι περιττή ii. Να λυθεί η εξίσωση: f()-f(-)=. 0. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) (ln a ),. α. Για ποιες τιμές του α ορίζεται η συνάρτηση; β. Για ποιες τιμές του α, η συνάρτηση γίνεται γνήσια φθίνουσα; γ. Για a e, να λυθεί η ανίσωση: f(ln ) f(1). 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις και ανισώσεις: 1 1 1 1 i. 4 ii. 4 4 iii. 69 1 6 6 4 0. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις και ανισώσεις: i ii log. 10. ln 6ln 11ln 6 0 iii iv ln ln.. log(1 ) log( ) log( 10 1). Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: 4 f( ). Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Στη 9 συνέχεια, να λύσετε την εξίσωση: f ( ) 4. log y log 4. Να λύσετε τα συστήματα: y y0 log log( y). Να λύσετε τις ανισώσεις : 1 6 1 1 1. 1.. 8 1 18 7 4 1 1
6. Να λύσετε τις εξισώσεις: ln ln ln 1. ln( e ) ln. 4 0. e 4. log. 1 96 7. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: f( ) ln( 6) 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες.. Να βρείτε για ποιες τιμές του χ η γραφική της είναι κάτω από τον χχ. 8. Δίνεται η συνάρτηση : f( ) ln 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.. Να αποδείξετε ότι f()+f(-)=0. Να λύσετε την εξίσωση f( e 1) 0. 9. Ε. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.. Να λυθεί η ανίσωση: 0. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: f (ln ) 0 1 1 f( ) 10 9 9 1 f( ) 1 ln a Α. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η f να έχει πεδίο ορισμού όλο το R. Β. Να βρείτε για ποιες τιμές του α, η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα. Γ. Για 1 a e, να λύσετε την ανίσωση: f (ln ) f (ln ) 1. Να υπολογίσετε τις τιμές των α, β, γ όπου: ln ln10ln Α. a e 10, e, 10 log 1log Β. Για τις τιμές των α, β, γ που βρήκατε παραπάνω να λύσετε την ανίσωση:. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ln a ln ln 6 0 ln ii) e iii) e. Α. Να βρείτε τις τιμές του α, για τις οποίες ορίζεται σε όλο το η συνάρτηση f()= (α -α). Β. Για ποιες από αυτές τις τιμές η συνάρτηση είναι α) γνησίως αύξουσα β) γνησίως φθίνουσα 1 7 Γ. Για a, να λυθεί η ανίσωση: f( 1) 64 ln e 1 a 4. Έστω η συνάρτηση f( ) a 1 4
α) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το β) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η συνάρτηση f είναι: i) γνησίως φθίνουσα στο ii) γνησίως αύξουσα στο 1 γ) Για, να λύσετε την ανίσωση: f ( ) 7 f ( ) 0. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: f ( ) a ln( e ), a. Η γραφική της παράσταση περνά από το σημείο Α(ln,1). a. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να αποδείξετε ότι α=1. γ. Να συγκρίνετε τα f(ln), f(ln8). δ. Να λύσετε την εξίσωση f()=0. 6. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: f ( ) ln(9 e ). α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να αποδείξετε ότι f(1)<0. γ. Να λύσετε την ανίσωση: f ( ) ln. 7. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: f( ) ln. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να αποδείξετε ότι: f()+f(-)=0. γ. Να λύσετε την εξίσωση: f ( ) f ( ) ln( 1). 8. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ( ln ),. α. Να βρείτε για ποιες τιμές του α ορίζεται η συνάρτηση. β. Να βρείτε για ποιες τιμές του α η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα. γ. Για e, να λύσετε την ανίσωση: f( ) f(9 ). 9. Αν για τις γωνίες α και β γνωρίζουμε ότι: 4 1, ό 0, τότε: 1 α. Να υπολογίσετε τα ημ(α+β) και εφ(α+β) β. Να υπολογίσετε τα συν(α-β) και σφ(α-β). 1 40. α. Να αποδείξετε ότι: 4 β. Να υπολογίσετε την εφ7 ο. 41. Αν για την γωνία α γνωρίζουμε ότι:, ό να υπολογίσετε : α. Τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του τόξου α. β. Να υπολογίσετε τα ημα και συν4α.
4. α. Να αποδείξετε ότι: 1 β. Να αποδείξετε ότι: 1 1 γ. Αν 0<χ<π/, να λυθεί η εξίσωση: 1 1 0 1 4. α. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 1 ο. β. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 10 ο. 6
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1 1 169 1..,,.... 60 1 1 1 1 169..,,.... 60 1 1. 4.. 6.., k 1... k 4. ma 6 min ή, min f. f( ) f( ) f 6. 4,, g(4 ) f(8 ) 1 0 1. ( ) 1 4 4 7 ή, έ,,. ( ), ( ). ί 1 1,,. ή. 0,... ή 1 1 y. D (a 1)(a ), D (a )(a ), D a, ά :, έ ά ύ 1 ί ύ, ώ 1 ί, y. 1 1. Ό, ί ύ. 1 1, y ή 4 8 7. 0 o 8. 1. 0,. a. a 1 ή a 4 9.. έ 1, e e, e. a 1, e., 1, 10.. ln,. f(ln 4) ln 4, f(ln) ln ln ln10. ln(e e ) ln e 6 11.... ln ή ln, ή ln.. e e 0 e 1 0 a. k e, 1 0,. 1 e 0, e 0,1 1.. e 1 0 7 11 6 6 7
1. () a,, P() 1 0 ά. 14. 1. a 11, 7, 1 7 1 0, 1 1, 4, 1 a 7,, 1 0, 1, 16. 17. 1 7 i. ii. 4 6 iii. 6 iv., v., 18. (,1] (, ) 19. a., f( ) f(). 0 a. a e,e e,. a e,e. e 0. 1. i. [0,] ii. 1 iii. 1 ή 1. i. 100, 10 ii. e, e, e iii. 1, e iv., ln. A (,0] [1 /, ),, ί ί ή. f ln ln 4.. 6. 1 i. 100, y 10 1 1 1 i. 1 1 0 ii. y, 1 1 0 iii. ώ, 1 0 ln ln 1 ln i. ii. 0, iii. e, iv. 0 v. ln 1 ln e ln ln6 ln7 ln6 ln7 7. i. A, ii. A,0 iii., f ln ln ln ln i. A, ii. έ iii. 0 8. f 1 i. A,0 ii.,1 f e 9. 8
0. A. a 1, e e,e B. a 1, e. f(), ln ln 0 1, e 1. A. a,, B. ln e e.. 1 1 1 i. e ή ii. ή e iii. e ή e e e 1 1 1 1 i. a,,0 0,, 1 1 1 ii. f ή ύ a,, iii. 4 4 1 a. a 1,0 0,. f a 1,0. 0 1 4. a. ln,. 1 a ln1, a 1. f(ln) 1 ln f(ln8) 1 ln 6. 1. ln, ή. e 6. a. ύ 9 e, A. ύ ί 0 9 e 1 f ln. 9 e e ln 1. A,. 0 7. f 8. 9. a 0,1 1, e. 0,1. 0 9. 16 16. ( ), ( ). ( ), ( ). 6 6 6 6 40. 7 41. 4 7 4 117 7.,,.., 4 7 1 6 4. Στην τελευταία εξίσωση θέτω ψ=εφχ και προκύπτει μόνη δεκτή ρίζα η χ=π/4. 9