ΣΗΜΑΤΑ.2 ΣΗΜΑΤΑ Ένα σήµα (sigal ) είναι µια συνάρτηση που παριστάνει ένα φυσικό µέγεθος. Ένα σήµα συνεχούς χρόνου (coiuous-ime sigal ) είναι µια συνάρτηση x() της οποίας το πεδίο ορισµού αποτελείται από όλα τα σηµεία µέσα σε ένα διάστηµα. Ένα σήµα διακριτού χρόνου (discree-ime sigal ) είναι µία συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισµού είναι ένα σύνολο ακέραιων. Ένα σήµα διακριτού χρόνου συνεπώς, είναι µία ακολουθία αριθµών. Μία τέτοια ακολουθία θα γράφεται εδώ κυρίως µε το συµβολισµό x [ ]. Οι αγκύλες θα σηµαίνουν ότι η ανεξάρτητη µεταβλητή παίρνει µόνο ακέραιες τιµές. Ένα σήµα διακριτού χρόνου x[ ] συνήθως παράγεται µε δειγµατοληψία ενός σήµατος συνεχούς χρόνου x(). Αν τα δείγµατα είναι ισαπέχοντα, τότε x [ ] = xt ( ) (.) (Σχ..7). Η σταθερή Τ είναι το διάστηµα δειγµατοληψίας. x ( ) x [ ] Τ - 2-2 Ó ÇÌÁ.7 Ένα συχνά χρησιµοποιούµενο σήµα συνεχούς χρόνου είναι η βηµατική συνάρτηση U ()= < (Σχ..8α). Τα δείγµατά της U[ ] = UT ( ) αποτελούν το σήµα διακριτού χρόνου U [ ]= < γνωστό ως βηµατική ακολουθία (Σχ..8 b). U ( ) U[ ] (á) - 2-2 (b) Ó ÇÌÁ.8 //25 -. -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τάσεις, ρεύµατα ή άλλα φυσικά µεγέθη συνήθως παριστάνονται µε σήµατα συνεχούς χρόνου. Παριστάνονται επίσης µε σήµατα διακριτού χρόνου αν ορίζονται µόνο σε ένα σύνολο από διακριτές τιµές του. Σήµατα διακριτού χρόνου χρησιµοποιούνται στην αριθµητική επεξεργασία σηµάτων συνεχούς χρόνου. Παρακάτω δίνουµε δύο απλές επεξηγήσεις. Παράδειγµα. (α) Θα εκφράσουµε τα δείγµατα y [ ] = yt ( ) της παραγώγου y () = x () ενός σήµατος x () συναρτήσει των δειγµάτων του x [ ] = xt ( ) της x (). Αν το Τ είναι αρκετά µικρό, τότε Με = T, αυτό δίνει x () x ( T ) x () T y [ ] T { x [ ] x [ ]} Τα παραπάνω µπορούν να εκφραστούν και µέσω της πρώτης διαφοράς Äx[ ] = x [ ] x [ ] της ακολουθίας x(). Αντικαθιστώντας στην (.2) παίρνουµε (.2) y [ ] Ä T x [ ] (β) Θα εκφράσουµε τα δείγµατα y[ ] = y( T ) του ολοκληρώµατος (.3) y () = xôdô () ενός σήµατος x() ως συνάρτηση των δειγµάτων x[ ] = x( T ) του x(). Προσεγγίζοντας το ολοκλήρωµα µε ένα άθροισµα, συµπεραίνουµε για = T ότι Οπότε, T yt ( ) = x( τ) dτ T{ xt ( ) + x( 2 T) +... + xt ( )} y [ ] Txk [ ] k = Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Ιδιαίτερο ενδιαφέρον στη µελέτη των γραµµικών συστηµάτων παρουσιάζει η κατηγορία των ηµίτονων και συνηµίτονων: á cosù b si ù r cos( ù + ö) Αυτές οι συναρτήσεις είναι περιοδικές µε περίοδο 2ð/ù και συχνότητα f = ù / 2 ð. Το άθροισµα δύο ηµιτονοειδών συναρτήσεων µε την ίδια συχνότητα είναι επίσης ένα ηµιτονοειδές σήµα ácos ù + bsiù = rcos( ù + ö) (.5) Αυτό απορρέει άµεσα από την τριγωνοµετρική ταυτότητα r cos( ù + ö) = r cosù cosö r siù si ö (.4) -.2 - //25
ΣΗΜΑΤΑ Πράγµατι, αν δηλαδή αν r cos ö = á r si ö = b 2 2 b r= a + b aϕ = a τότε τα δύο µέλη της (.5) είναι ίσα. Στο Σχ..9 φαίνεται το σήµα f ( ) = cosù και το σήµα διακριτού χρόνου f [ ] = f ( T ) = cos Tù = cos( ð/ 5 ) που λαµβάνεται µε δειγµατοληψία τηςf () κάθε T =ð/5 ù δευτερόλεπτα. f ( ) = cos ù f [ ] = cos ð 5 Ó ÇÌÁ.9 Μιγαδικά Σήµατα Τα σήµατα που παριστάνουν φυσικές ποσότητες είναι πάντοτε πραγµατικά. Όµως σε πολλές περιπτώσεις βολεύει να θεωρήσουµε και µιγαδικά σήµατα και να χρησιµοποιήσουµε τα πραγµατικά ή τα φανταστικά τους µέρη για να παραστήσουµε φυσικές ποσότητες. Ένα σηµαντικό παράδειγµα ενός τέτοιου µιγαδικού σήµατος είναι η µιγαδική εκθετική συνάρτηση e jù. Αυτή η συνάρτηση µπορεί να οριστεί µε τη µορφή της δυναµοσειράς της 2 jù ( jù) ( jù) e = + jù + +... + +... 2! Το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος της παραπάνω σειράς ισούνται µε cosù και si ù αντίστοιχα. Συνεπώς jù e = cosù + jsi ù (.6) Αυτή η ταυτότητα µπορεί επίσης να χρησιµοποιηθεί για να ορίσουµε την εκθετική συνάρτηση e jù και να εξάγουµε όλες τις ιδιότητες της µε µορφή ιδιοτήτων των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων. Για παράδειγµα, αφού d (cosù + j si ù ) = ù siù + jù cos ù = jù (cosù + j si ù ) d συµπεραίνουµε, διαφορίζοντας την (.6), ότι d d e jù = jùe jù (.7) //25 -.3 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ όπως και στην περίπτωση εκθετικών συναρτήσεων µε εκθέτες πραγµατικούς. Τονίζουµε ότι e jù είναι ένας µιγαδικός αριθµός µε µοναδιαίο µέτρο: και φάση ù (Σχ..). jù 2 2 e = cos ù + si ù = si ù ù cos ù e jù = cos ù + j si ù Ó ÇÌÁ. Οι τιµές των δειγµάτων f[ ] = e jùt της e jù αποτελούν µία γεωµετρική πρόοδο, της οποίας ο λόγος a = e jùô είναι ένας µιγαδικός αριθµός µοναδιαίου µέτρου. Από την (.6) προκύπτει ότι ( á + jù) á e = e (cosù + jsi ù) (.8) Συνεπώς, αν s = á + jù είναι ένας µιγαδικός αριθµός, τότε ο e s είναι ένα µιγαδικό σήµα του οποίου το πραγµατικό µέρος e á cos ù και το φανταστικό µέρος e á si ù είναι ηµιτονοειδείς κυµατοµορφές που αυξάνουν εκθετικά (α>) ή φθίνουν εκθετικά (α<). Από την (.6) προκύπτει ότι jù e = cosù jsi ù Προσθέτοντας και αφαιρώντας την παραπάνω σχέση από την (.6) παίρνουµε τις σχέσεις του Euler e cosù = jù jù jù jù + e e e si ù = 2 2j Ένα γενικευµένο µιγαδικό σήµα f () είναι µία συνάρτηση της µορφής f () = f () + jf () 2 όπου f () και f2( ) είναι πραγµατικές συναρτήσεις της πραγµατικής µεταβλητής. Η παράγωγος της f () είναι ένα µιγαδικό σήµα που δίνεται από την παρακάτω σχέση df () df () j df () 2 = + d d d Εφαρµόζοντας την παραπάνω στην (.8) συµπεραίνουµε ότι (.9) για κάθε s πραγµατικό ή µιγαδικό. s de d = se s (.) -.4 - //25
ΣΗΜΑΤΑ Η κρουστική συνάρτηση Μία σηµαντική έννοια στη θεωρία των γραµµικών συστηµάτων είναι η κρουστική συνάρτηση. Αυτή η συνάρτηση, γνωστή επίσης ως συνάρτηση δέλτα ή συνάρτηση του Dirac, συµβολίζεται µε ä() και παριστάνεται γραφικά µε ένα κατακόρυφο διάνυσµα, όπως φαίνεται στο Σχ... Κάτω από µία αυστηρή µαθηµατική θεώρηση η κρουστική συνάρτηση είναι µία µάλλον προχωρηµένη έννοια. Παρ'όλα αυτά, για τις εφαρµογές, αρκεί να καταλάβουµε τις τυπικές ιδιότητες και να τις εφαρµόσουµε σωστά. Στα επόµενα παρουσιάζουµε αυτές τις ιδιότητες, τονίζοντας όχι τη µαθηµατική αυστηρότητα αλλά τη σωστή χρήση του. Σε επόµενα κεφάλαια επανεξετάζουµε την έννοια αυτή και το ρόλο της στην ανάλυση των γραµµικών συστηµάτων και δίνουµε έναν πιο τυπικό ορισµό στο πλαίσιο της συνέλιξης. ä ( ) Ó ÇÌÁ. Ιδιότητες. Η κρουστική συνάρτηση ä() είναι ένα σήµα µοναδιαίου εµβαδού η οποία µηδενίζεται οπουδήποτε αλλού εκτός από την αρχή των αξόνων. ä () d= ä () = ãé á (.) 2. Η κρουστική συνάρτηση ä() είναι η παράγωγος της βηµατικής συνάρτησης U() du () ä () = d (.2) 3. Το εµβαδό του γινοµένου ö( ) ä( ) ισούται µε ö( ) για κάθε ö( ) που είναι συνεχής στην αρχή των αξόνων: 4. Η κρουστική συνάρτηση ä( ) µπορεί να γραφεί σαν όριο öä () () d= ö () (.3) ä () = lim z () (.4) όπου z( ) είναι µία οικογένεια συναρτήσεων µοναδιαίου εµβαδού που µηδενίζονται έξω από το διάστηµα (, ) z () d =, z () = ãé á < êáé > //25 -.5 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Μία ειδική περίπτωση είναι ο τετραγωνικός παλµός που φαίνεται στο Σχ..2. Από αυτό απορρέει ότι η ä() µπορεί να "προσεγγιστεί" από τον παλµό p( ) αν το είναι αρκετά µικρό. Η σηµασία αυτής της προσέγγισης θα εξηγηθεί αργότερα. ä ( ) ä ( ) = d U ( ) d U ( ) z ( ) Z ( ) p ( ) U ( ) Ó ÇÌÁ.2 Θα εξετάσουµε διάφορες συνέπειες των παραπάνω ιδιοτήτων. Η συνάρτηση ä()είναι άρτια (βλέπε Πρόβληµα.8) ä( ) = ä( ) (.5) Η συνάρτηση ä ( ) είναι µία κρουστική συνάρτηση µετατοπισµένου στο σηµείο, µοναδιαίου εµβαδού. Από την (.5) προκύπτει ότι ä ( ) = ä ( ) (.6) Εισάγοντας µία µετατόπιση αρχής του χρόνου στην (.2), συµπεραίνουµε ότι η ä ( ) είναι η παράγωγος της µετατοπισµένης βηµατικής συνάρτησης U ( ): du ( ) (.7) δ( ) = d Αυτό το συµπέρασµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να διαφορίσουµε συναρτήσεις που είναι ασυνεχείς. Υποθέστε, για παράδειγµα, ότι η f () είναι µία κλιµακωτή (saircase) συνάρτηση, όπως φαίνεται στο Σχ..3. Αυτή η συνάρτηση είναι το άθροισµα τριών βηµατικών συναρτήσεων: f () = 4U ( ) + 2U ( ) 6U ( ) 2 3 Από την παραπάνω και την (.7) προκύπτει ότι η παράγωγος της f () είναι το άθροισµα τριών κρουστικών συναρτήσεων : f () = 4ä ( ) + 2ä ( ) 6ä ( ) 2 3 -.6 - //25
ΣΗΜΑΤΑ όπως φαίνεται στο Σχ..3. Το εµβαδό κάθε κρουστικής συνάρτησης ισούται µε το άλµα της ασυνέχειας της f () στο σηµείο = i. Συνεπώς, η 4ä ( ) είναι µία κρουστική συνάρτηση στο σηµείο ασυνέχειας της f () και το εµβαδό της ισούται µε 4. 6 4 f ( ) 2 3 f '( ) 4 3 2 2 Ó ÇÌÁ.3-6 Το ολοκλήρωµα του γινοµένου ö( ) ä ( ) σε ένα διάστηµα ( á, b ) ισούται µε ö( ) αν το διάστηµα περιέχει την αρχή των αξόνων, δεν ορίζεται αν á = ή b = και ισούται µε µηδέν αλλιώς: Για παράδειγµα, ö( ) áb < b öä () () d= áb > á áðñï óäé üñé óôï áb = á ä ()cos ùd = ä ùd á ()si = á Εφαρµόζοντας την (.3) στη συνάρτηση ö() = y ( + ) παίρνουµε y ( + ) ä ( ) d= y ( ) á (.8) Εισάγουµε τώρα την αλλαγή µεταβλητής + = ô. Αφού d = dô και τα όρια ολοκλήρωσης παραµένουν τα ίδια, το παραπάνω ολοκλήρωµα γίνεται Αλλά ä( ô ) = ä ( ô), οπότε: yôäô ( ) ( ) dô= y ( ) yôä ( ) ( ô) dô= y ( ) (.9) Αυτή η ταυτότητα είναι βασική. Στην πραγµατικότητα, όπως δείχνουµε αργότερα, µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να ορίσουµε την ä() και να εξάγουµε όλες τις ιδιότητες της. Θα τη χρησιµοποιήσουµε τώρα για να ορίσουµε τις παραγώγους της ä(). Τα δύο µέλη της (.9) είναι συναρτήσεις του. ιαφορίζοντας ως προς, παίρνουµε: yôä ( ) ( ô ) dô = y ( ) (.2) //25 -.7 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έτσι, η παράγωγος ä () της ä() είναι µία συνάρτηση τέτοια ώστε το εµβαδό του γινοµένου y( ôä ) ( ô), θεωρούµενο ως συνάρτηση του τ, να ισούται µε y ( ). Για =, η (.2) δίνει yôä ( ) ( ô ) dô = y ( ) (.2) Αφού η ä() είναι άρτια συνάρτηση, η παράγωγος της είναι περιττή ä ( ) = ä ( ) (.22) Εισάγοντας την (.22) στην (.2) και αλλάζοντας τη µεταβλητή ολοκλήρωσης από τ σε παίρνουµε yä () () d= y ( ) Παράγωγοι της ä() ανώτερης τάξης µπορούν να οριστούν παρόµοια. (.23) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Όπως δείχνουν οι παραπάνω ιδιότητες, η κρουστική συνάρτηση δεν µπορεί να θεωρηθεί ως µία συνηθισµένη συνάρτηση επειδή καµιά συνηθισµένη συνάρτηση δεν έχει τέτοιες ιδιότητες. Μία συνάρτηση που µηδενίζεται παντού εκτός από ένα µόνο σηµείο δεν µπορεί να έχει µοναδιαίο εµβαδόν. Η εξίσωση (.2) παραβιάζει την ιδέα ότι µία ασυνεχής συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιµη. Το εµβαδό του γινοµένου ö() f () µίας δοσµένης συνάρτησης f ö() δε µπορεί να ισούται µε ö( ) για όλα τα ö(). Η οικογένεια των παλµών p () δεν έχει συνηθισµένο όριο καθώς. () µε µία αυθαίρετη συνάρτηση Η κρουστική συνάρτηση, εποµένως, πρέπει να ερµηνευτεί ως µία νέα έννοια, µερικές φορές καλούµενη ιδιάζουσα συνάρτηση (sigulariy fucio) ή γενικευµένη συνάρτηση και στις ιδιότητες της πρέπει να δίνεται µια ιδιαίτερη ερµηνεία βασισµένη στο λόγο της επινόησης της. Ο λόγος αυτός είναι η απλοποίηση της περιγραφής των αποτελεσµάτων των συνηθισµένων σηµάτων, των οποίων η διάρκεια είναι µικρή κατά κάποια έννοια. Η ακριβής σηµασία αυτής της πρότασης θα εκτιµηθεί αργότερα. ίνουµε εδώ απλώς µία σύντοµη εξήγηση, χρησιµοποιώντας σαν παράδειγµα τη σηµασία των (.4) και (.2). Υποθέστε ότι ö() είναι µία συνεχής συνάρτηση και z( ) είναι µία συνάρτηση µοναδιαίου εµβαδού που µηδενίζεται έξω από το διάστηµα (, ), όπως στο Σχ..2. Αν το ε είναι αρκετά µικρό, τότε η ö() είναι περίπου σταθερή στο διάστηµα (, ). Οπότε: Από αυτό προκύπτει ότι öz () () d ö() z () d= ö( ) öz () () d= öz () () d ö() Έτσι, παρ' όλο που η z ( ) δεν έχει συνηθισµένο όριο, το ολοκλήρωµα του γινοµένου z( ) ö() έχει κάποιο όριο καθώς και το όριο αυτό ισούται µε ö( ). Αυτή είναι η σηµασία της (.4) και εξηγεί την (.5). Για να δικαιολογήσουµε την (.2), δείχνουµε στο Σχ..2 τον παλµό pε () και το ολοκλήρωµά τουu ε (). Ο παλµός δεν έχει συνηθισµένο όριο καθώς ε. Όµως το ολοκλήρωµά του U ε () τείνει στη βηµατική συνάρτηση U(). Η δήλωση ότι -.8 - //25
ΣΗΜΑΤΑ σηµαίνει, λοιπόν, ότι το ολοκλήρωµα της p p () du ä () () = καθώς d () τείνει στην U p () αντικατασταθεί από την z () και η U() από το ολοκλήρωµα Z () της z (). (). Το ίδιο συµπέρασµα ισχύει αν η ΤΟ ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΩΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η αιτιολόγηση που βρίσκεται κάτω από την έννοια της κρουστικής συνάρτησης είναι παρόµοια µε την αιτιολόγηση που δικαιολογεί τη χρήση των σηµειακών φορτίων στην ηλεκτροστατική. Έχει παρατηρηθεί ότι αν ένα φορτίο q περιέχεται µέσα σε µία σφαίρα ακτίνας ε µε το κέντρο της στην αρχή του συστήµατος αναφοράς, τότε όταν το r είναι πολύ µεγάλο συγκρινόµενο µε το ε, το προκαλούµενο δυναµικό σε απόσταση r είναι περίπου ίσο µε q / r άσχετα µε το πώς το φορτίο κατανέµεται µέσα στη σφαίρα.. Η τιµή q/ r είναι το ακριβές όριο του δυναµικού καθώς. Αυτή η παρατήρηση οδηγεί στην έννοια ενός σηµειακού φορτίου ως η αιτία της τιµής q/ r του δυναµικού, παρ' όλο που το σηµειακό φορτίο δεν υπάρχει ως φυσική ποσότητα. Αν η κατανοµή του φορτίου µέσα στη σφαίρα καθορίζεται από την πυκνότητα ανά µονάδα όγκου τότε η οριακή τιµή του είναι µία κρουστική συνάρτηση σε τρεις διαστάσεις. Η Ακολουθία έλτα (Dela Sequece) Η διακριτή έκδοση της κρουστικής συνάρτησης είναι ένα σήµα ä[ ] που ισούται µε ένα για = και µηδενίζεται για (Σχ..4) ä [ ] = = (.24) ä [ ] ä [ - k ] k Ó ÇÌÁ.4 Αυτό το σήµα θα λέγεται ακολουθία δέλτα. Από τον ορισµό προκύπτει ότι η ä[ 3 ] ισούται µε ένα για = 3 και µηδενίζεται για 3. Για οποιονδήποτε ακέραιο k, = k (.25) ä [ k] = k Τα παραπάνω µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να εκφράσουµε µία αυθαίρετη ακολουθία x[ ] ως άθροισµα δέλτα ακολουθιών. Υποθέστε, πρώτα, ότι x[ ] = 3, x[ ] = 2, x[ 2] = και x[ ] = αλλού (Σχ..5). Σε αυτή την περίπτωση x[ ] = 3ä[ ] 2ä[ ] + ä[ 2 ] Η ακολουθία δ[ k] µερικές φορές συµβολίζεται µε δ k και καλείται δέλτα του Kroecker. //25 -.9 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 2 - x [ ] 2 = 3 3 ä [ ] + - 2 ä [ - ] + - 2 Ó ÇÌÁ.5 ä [ - 2 ] 2 Γενικά x [ ] =... + x[ ] ä [ + ] + x[ ] ä [ ] + + x[ ] ä[ ] +... x[ k] ä[ k] +... επειδή ο όρος x[ k] ä[ k] ισούται µε x[ ] αν k = και µηδενίζεται για k. Έτσι, για συγκεκριµένο όλοι οι όροι του παρακάτω αθροίσµατος είναι µηδέν εκτός από τον όρο x[ ] ä[ ] = x[ ]. Το αποτέλεσµα αυτό είναι µία διακριτή έκδοση της (.9) και µπορεί να γραφεί στη µορφή x [ ] = xkä [ ] [ k] k= Η διακριτή έκδοση της (.2) είναι η ταυτότητα (.26) ä [ ] = ÄU [ ] = U[ ] U[ ] (.27) όπου ÄU[ ] είναι η πρώτη διαφορά της U[ ]. Αυτό απορρέει από την (.24) επειδή U[ ] = U[ ] για και U[ ] U[ ] =. -. - //25