Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ
Εισαγωγή Στα προβλήματα ανάλυσης δικτύων απαιτείται ο υπολογισμός ενός συνόλου άγνωστων παραμέτρων από μετρήσεις άλλων παρατηρήσιμων μεγεθών. Γενικά, για το σκοπό αυτό χρειάζονται τα εξής: o Μαθηματικό μοντέλο σύστημα εξισώσεων που συνδέει τις παραμέτρους του προβλήματος με τα παρατηρούμενα μεγέθη. o Μεθοδολογία εκτίμησης με ποια κριτήρια και αλγοριθμική διαδικασία θα γίνει ο προσδιορισμός των παραμέτρων από τις μετρήσεις ; o Ποιοτική αξιολόγηση αποτελεσμάτων έλεγχος της ακρίβειας και αξιοπιστίας της λύσης μέσω στατιστικών εργαλείων.
Μαθηματικό μοντέλο Γενική μορφή f( x, y) 0 Μοντέλο μεικτών εξισώσεων x: διάνυσμα παραμέτρων y: διάνυσμα παρατηρούμενων μεγεθών f( ): σύνολο αλγεβρικών σχέσεων μεταξύ των x και y Ειδική μορφή y f( x) Μοντέλο εξισώσεων παρατηρήσεων
Μαθηματικό μοντέλο y f ( x 1, x 2,..., x 1 1 m ) y f( x) y f ( x 1, x 2,..., x 2 2 m ) y n f n ( x, x2,..., x 1 m ) Το μοντέλο εξισώσεων παρατηρήσεων είναι το πλέον συνηθισμένο σε γεωδαιτικές & τοπογραφικές εφαρμογές
Τα μοντέλα μπορεί να είναι απλά, π.χ. S ( x x ) ( y y ) 2 2 ik i k i k ή πιο σύνθετα, π.χ. k( t) rk( tk ) δrk( tk ) ( r ( t) δr ( t)) i i i i i Ik Tk + δmk c dt ( t) dt k ( t k ) i i i i i c ( t) k ( t k ) ( t o ) k ( t o ) i i i Nk k i i
Η βασική μεθοδολογία που χρησιμοποιείται όμως για τη συνόρθωσή τους είναι, σε μεγάλο βαθμό, παρόμοια!
Το ευθύ πρόβλημα Γνωστές τιμές παραμέτρων (x) Εξισώσεις μαθηματικού μοντέλου y f( x) Υπολογισμένες τιμές για τα παρατηρούμενα μεγέθη (y) Ύπαρξη μοναδικής λύσης
Παράδειγμα Από τις γνωστές συντεταγμένες τριών σημείων, να προσδιοριστούν τα μήκη όλων των πλευρών του σχηματιζόμενου τριγώνου. S S 12 y ( 2 x x ) ( y 1 2 1 2 13 y ( 2 x x ) ( y 1 3 1 3 ) ) 2 2 y Σ 1 S 23 y ( 2 x x ) ( y 2 3 2 3 ) 2 Σ 2 Σ 3 x
Το αντίστροφο πρόβλημα Γνωστές τιμές για τα παρατηρούμενα μεγέθη (y) Εξισώσεις μαθηματικού μοντέλου y f( x) Υπολογισμένες τιμές παραμέτρων (x) Μη-ύπαρξη μοναδικής λύσης (εκτός από πολύ ειδικές περιπτώσεις)
Από τις γνωστές τιμές για τα μήκη των πλευρών και τις γωνίες σε ένα τρίγωνο, να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες των κορυφών του. S S S ω ω ω f ( x, y, x y2 ) 12 1 1 2, f ( x, y, x y3 ) 13 1 1 3, f ( x, y, x y3 ) 23 2 2 3, f ( x, y, x, y, x y3 ) 123 1 1 2 2 3, f ( x, y, x, y, x y3 ) 213 1 1 2 2 3, f Παράδειγμα ( x, y, x, y, x y3 ) 321 1 1 2 2 3, y Σ 1 Σ 2 Σ 3 Μη-ύπαρξη μοναδικής λύσης x
Αντίστροφα προβλήματα Τα προβλήματα της μορφής: y = f (x) x = g(y) δεν έχουν συνήθως (μία μοναδική) λύση. Αυτό μπορεί να συμβαίνει για τους εξής λόγους: o οι διαθέσιμες παρατηρήσεις είναι λιγότερες από τον αριθμό των άγνωστων παραμέτρων o οι διαθέσιμες παρατηρήσεις είναι ίσες ή περισσότερες από τον αριθμό των άγνωστων παραμέτρων, αλλά δεν είναι συμβατές με το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος λόγω ύπαρξης σφαλμάτων επιπλέον, μπορεί να μην περιέχουν ικανή πληροφορία για τον προσδιορισμό των παραμέτρων του μοντέλου
Διεύρυνση μοντέλου Οι διαθέσιμες τιμές των παρατηρούμενων μεγεθών δεν είναι γενικά συμβατές με το θεωρητικό μαθηματικό μοντέλο λόγω της ύπαρξης διαφόρων σφαλμάτων. y f( x) y f( x) v Απλουστευμένη περιγραφή φυσικής πραγματικότητας (θεωρητικό μοντέλο) Ρεαλιστική περιγραφή φυσικής πραγματικότητας (διευρυμένο μοντέλο)
Διεύρυνση μοντέλου y f( x) y f( x) v Κανένα θεωρητικό μοντέλο δεν είναι τέλειο! (ή μήπως, κανένα σετ μετρήσεων δεν είναι τέλειο ;)
Η έννοια των σφαλμάτων Η εισαγωγή του όρου v στο μαθηματικό μοντέλο y f( x) v έχει τις εξής ερμηνείες: δεν μπορούμε να μετρήσουμε αυτό που απαιτεί το μοντέλο (συστηματικά σφάλματα). μπορούμε να μετρήσουμε αυτό που απαιτεί το μοντέλο, αλλά με κάποια αβεβαιότητα (τυχαία σφάλματα). χρησιμοποιούμε ένα απλουστευμένο μοντέλο σε σχέση με τη Ανάλυση δικτύου συμπεριφορά των μετρήσεων, προκειμένου να προσδιορίσουμε (συνόρθωση) μόνο την κυρίαρχη τάση των διαθέσιμων δεδομένων.
Νέο αντίστροφο πρόβλημα Γνωστές τιμές για τα παρατηρούμενα μεγέθη (y) Εξισώσεις διευρυμένου μαθηματικού μοντέλου y f( x) v Υπολογισμένες τιμές παραμέτρων (x) και σφαλμάτων (v) Ύπαρξη άπειρων λύσεων
Τι είναι η συνόρθωση ; Είναι η διαδικασία εύρεσης μίας μοναδικής λύσης για τις τιμές των αγνώστων παραμέτρων y f( x) v xˆ g( y) που οδηγεί σε μία αντίστοιχη εκτίμηση των σφαλμάτων σύμφωνα με κάποιο κριτήριο βελτιστοποίησης vˆ yf( xˆ) ( vˆ ) minimum και σε νέες (βελτιωμένες) τιμές των παρατηρούμενων μεγεθών που είναι συμβατές με το θεωρητικό μοντέλο yˆ f( xˆ ) y vˆ
Γραμμικοποίηση μοντέλου Γραμμικοποίηση κατά Taylor y f( x) v f x o o y f( x ) ( xx )... v o Α δx o yf( x ) A δx v b b Aδx v (*) ο όρος v περιέχει τώρα και σφάλματα γραμμικοποίησης
Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Χρησιμοποιείται ευρύτατα στις φυσικές επιστήμες για την επίλυση συστημάτων της μορφής: b Aδx v σύμφωνα με το κριτήριο βελτιστοποίησης T min v Pv min ( b Aδx) P( b Aδx) δx δx T ( δx) όπου P είναι ένας πίνακας βάρους που σχετίζεται με την ποιότητα των μετρήσεων και το βαθμό συνεισφοράς τους στον υπολογισμό της λύσης.
Λύση ελαχίστων τετραγώνων Η εφαρμογή του κριτηρίου ελαχίστων τετραγώνων στο γραμμικοποιημένο σύστημα εξισώσεων παρατήρησης b Aδx v οδηγεί στο σύστημα κανονικών εξισώσεων T T ( A PA) δxˆ A Pb ή Nδxˆ u Αν ο πίνακας Ν είναι αντιστρέψιμος, τότε έχουμε την ακόλουθη λύση: ˆ ( ) T 1 T δx A PA A Pb xˆ δxˆ x o
Με απλά λόγια o Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων έχει την εξής λογική: βρες τις παραμέτρους του μοντέλου που δίνουν την καλύτερη δυνατή προσαρμογή στα διαθέσιμα δεδομένα. o Ο πίνακας βάρους Ρ δίνει τη δυνατότητα στον χρήστη να καθορίσει τον βαθμό συνεισφοράς κάθε παρατήρησης στον υπολογισμό της λύσης. o Η αριθμητική κατάσταση του πίνακα Ν δείχνει τη δυνατότητα των συγκεκριμένων παρατηρήσεων να προσδιορίσουν τις παραμέτρους του μοντέλου.
Παράδειγμα y y x i, y i x i, y i Ο πίνακας Ν αντιστρέφεται εύκολα x Ο πίνακας Ν αντιστρέφεται δύσκολα x Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας yi a bxi vi i 1, 2,..., n
Παράδειγμα y x i, y i y x i, y i Ο πίνακας Ν αντιστρέφεται εύκολα x Ο πίνακας Ν αντιστρέφεται δύσκολα x Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας yi a bxi vi i 1, 2,..., n
Παράδειγμα y x i, y i y x i, y i Ο πίνακας Ν είναι σχεδόν ανώμαλος x Ο πίνακας Ν αντιστρέφεται δύσκολα x Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας yi a bxi vi i 1, 2,..., n
Παράδειγμα y y y x i, y i x i, y i x i, y i P = I x P I x P I x Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας yi a bxi vi i 1, 2,..., n
Σφάλματα και πίνακας βάρους Πίνακας βάρους Γεωμετρική Ερμηνεία μεγέθους σφαλμάτων Αξιολόγηση σφαλμάτων P = I v 2 2 2 1 2... n v v v Όλες οι παρατηρήσεις έχουν την ίδια συνεισφορά στη μέτρηση του συνολικού μήκους του v P I v T v Pv Διαφορετικές παρατηρήσεις έχουν διαφορετικό βαθμό συνεισφοράς στη μέτρηση του συνολικού μήκους του v
Ανοιχτά ζητήματα Επιλογή χρήστη για τον πίνακα βάρους Ρ. Πρακτική αξιολόγηση για την ποιότητα των αποτελεσμάτων της συνόρθωσης. Έλεγχος διαφόρων μηδενικών υποθέσεων σχετικά με το μοντέλο του προβλήματος. Τα παραπάνω ζητήματα μπορούν να αντιμετωπιστούν μέσω μιας στατιστικής προσέγγισης στη διαδικασία συνόρθωσης (βλέπε παρακάτω διαφάνειες).
Μέθοδος βέλτιστης εκτίμησης άγνωστων παραμέτρων Εναλλακτικά, ο υπολογισμός των παραμέτρων στο μαθηματικό μοντέλο εξισώσεων παρατήρησης: b Aδx v μπορεί να γίνει μέσω μιας στατιστικής μεθοδολογίας χρησιμοποιώντας κάποιο στοχαστικό μοντέλο για την συμπεριφορά των σφαλμάτων των μετρήσεων: E{ v } 0 T E{ vv } C v ~ (, ) v 0 C v
Μέθοδος βέλτιστης εκτίμησης άγνωστων παραμέτρων Εναλλακτικά, ο υπολογισμός των παραμέτρων στο μαθηματικό μοντέλο εξισώσεων παρατήρησης: b Aδx v μπορεί να γίνει μέσω μιας επιδράσεις στατιστικής σφάλματα μεθοδολογίας χρησιμοποιώντας κάποιο στοχαστικό των μετρήσεων. μοντέλο για την συμπεριφορά των σφαλμάτων των μετρήσεων: E{ v } 0 T E{ vv } C v Δεν υπάρχουν συστηματικές Περιγράφει το πιθανό μέγεθος και τη συσχέτιση των τυχαίων σφαλμάτων στο σύνολο των μετρήσεων. v ~ ( 0, C v )
Μέθοδος βέλτιστης εκτίμησης άγνωστων παραμέτρων b Aδx v ~ (, ) v 0 C v Βέλτιστη γραμμική ανεπηρέαστη εκτίμηση (BLUE) Γραμμική εκτίμηση: δxˆ Qb d Ανεπηρέαστη εκτίμηση: E{ δxˆ } δx Βέλτιστη εκτίμηση: e δxˆ δx E{ ee} E{ e e e m } T 2 2 2 1 2... min. σφάλματα εκτίμησης παραμέτρων
Μέθοδος βέλτιστης εκτίμησης άγνωστων παραμέτρων b Aδx v v ( 0, C v ) Βέλτιστη γραμμική ανεπηρέαστη εκτίμηση (BLUE) Ελαχιστοποίηση του μέσου τετραγωνικού σφάλματος Γραμμική εκτίμηση: για την εκτίμηση των αγνώστων παραμέτρων. Ανεπηρέαστη εκτίμηση: Είναι ισοδύναμο με την ελαχιστοποίηση του ίχνους του πίνακα συμ-μεταβλ των εκτιμήσεων των παραμέτρων δxˆ Qb d trace C ˆ E{ δxˆ δx } δx min. Βέλτιστη εκτίμηση: e δxˆ δx E{ ee} E{ e e e m } T 2 2 2 1 2... min. σφάλματα εκτίμησης παραμέτρων
Λύση BLUE Η βέλτιστη γραμμική ανεπηρέαστη εκτίμηση στο (γραμμικ.) μοντέλο των εξισώσεων παρατήρησης b Aδx v v ~ ( 0, C v ) οδηγεί στο σύστημα κανονικών εξισώσεων ˆ T T ( A C A ) δx A C b ή Nδx ˆ 1 1 v v u Αν ο πίνακας Ν είναι αντιστρέψιμος, τότε έχουμε την ακόλουθη λύση: δxˆ ( A C A) A C b T 1 1 T 1 v v xˆ δxˆ x o
Γραμμικά μοντέλα Gauss-Markov Στα περισσότερα προβλήματα το στοχαστικό μοντέλο των εξισώσεων παρατήρησης εκφράζεται ως εξής: b Aδx v 2 o 1 v ~ ( 0, P ) και οδηγεί στο σύστημα κανονικών εξισώσεων: A C A δxˆ T ( ) T A C b 1 1 v v C v το οποίο είναι ισοδύναμο με το σύστημα: ˆ T ( A PA) δx T A Pb
Τι είναι η μεταβλητότητα αναφοράς ; 2 Η ποσότητα o ονομάζεται a-priori μεταβλητότητα αναφοράς (ή μεταβλητότητα της μονάδας βάρους) b Aδx v 2 o 1 v ~ ( 0, P ) C v Εκφράζει έναν (γνωστό ή άγνωστο) συντελεστή που καθορίζει την απόλυτη ακρίβεια των μετρήσεων. Συνήθως, προσδιορίζεται μια a-posteriori εκτίμησή της με βάση τα αποτελέσματα της συνόρθωσης.
Εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς Από τα αποτελέσματα της συνόρθωσης: b Aδx v 2 o 1 v ~ ( 0, P ) ˆ ( ) T 1 T δx A PA A Pb vˆ b Aδxˆ μπορεί να υπολογιστεί η εξής ανεπηρέαστη εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς: 2 ˆo f T vˆ Pvˆ ( nm) Που χρειάζεται ;
Χρήση της μεταβλητότητας αναφοράς Η εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς T 2 ˆ ˆ ˆo v Pv f Χρησιμοποιείται στον ολικό έλεγχο αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων της συνόρθωσης. Χρησιμοποιείται συνήθως για την τελική αξιολόγηση της ακρίβειας των αποτελεσμάτων, π.χ. ˆ ( ) C T 1 T δx A PA A Pb ˆ δx ˆ ( A PA) 2 T 1 o
Χρήση της μεταβλητότητας αναφοράς Σε περιπτώσεις ασυσχέτιστων παρατηρήσεων του ίδιου τύπου και της ίδιας ακρίβειας, δηλαδή b Aδx v 2 o v ~ ( 0, I) τότε η a-posteriori μεταβλητότητα αναφοράς: T 2 ˆ ˆ ˆo v v f αποτελεί μια ανεπηρέαστη εκτίμηση της ακρίβειας των διαθέσιμων μετρήσεων!
Τι τιμές έχει η μεταβλητότητα αναφοράς και πως αξιολογούνται ; Ο πίνακας βάρους P που χρησιμοποιείται στη συνόρθωση περιλαμβάνει συνήθως όλη τη διαθέσιμη πληροφορία για την ακρίβεια των μετρήσεων. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η τιμή της μεταβλητότητας αναφοράς είναι θεωρητικά ίση με τη μονάδα. b Aδx v 2 o 1 v ~ ( 0, P ) 2 o 1 Η a-posteriori εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς θα είναι ίση (ή σχεδόν ίση) με τη μονάδα ;
Τι τιμές έχει η μεταβλητότητα αναφοράς και πως αξιολογούνται ; Η τιμή της a-posteriori εκτίμησης της μεταβλητότητας αναφοράς αναμένεται να είναι κοντά στην μονάδα (π.χ. 1. ή 0.9 ), όταν: Το στοχαστικό μοντέλο των παρατηρήσεων είναι ορθό. (δηλ. ο πίνακας βάρους που χρησιμοποιείται στη συνόρθωση εκφράζει τις ρεαλιστικές ακρίβειες των μετρήσεων) Τα σφάλματα των παρατηρήσεων είναι τυχαία. (δηλ. δεν υπάρχουν χονδροειδή ή συστηματικά σφάλματα στις μετρήσεις ή άλλα σφάλματα μοντέλου )
Τι τιμές έχει η μεταβλητότητα αναφοράς και πως αξιολογούνται ; Γενικά, πολύ μεγάλες ή πολύ μικρές τιμές για την a-posteriori εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς 2 1 ˆ o 2 1 ˆ o μπορεί να οφείλονται: σε μεγάλες τιμές των συνορθωμένων σφαλμάτων που δεν δικαιολογούνται από την ακρίβεια των μετρήσεων. στη χρήση λανθασμένων βαρών για τις παρατηρήσεις.
Συμπερασματικά Δεν είναι υποχρεωτικό για την τιμή της a-posteriori εκτίμησης της μεταβλητότητας αναφοράς να είναι κοντά στο 1! Αυτό που έχει σημασία είναι να αξιολογηθεί και να ελεγχθεί η τιμή της, ώστε να γίνουν (αν χρειάζεται) οι απαραίτητες διορθώσεις στο αρχικό μοντέλο της συνόρθωσης!
Λίγα λόγια για την αξιολόγηση της ακρίβειας
Ακρίβεια αποτελεσμάτων συνόρθωσης Τι εκφράζει ; Την επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων των μετρήσεων στις εκτιμήσεις των παραμέτρων ή/και άλλων ποσοτήτων που θα προσδιοριστούν μέσω των παραμέτρων. Πως υπολογίζεται ; Μέσω στατιστικών δεικτών που λαμβάνονται από πίνακες συμ-μεταβλητοτήτων για τις παρατηρήσεις και τα αποτελέσματα της συνόρθωσης. Βασικό εργαλείο: νόμος μετάδοσης σφαλμάτων.
Αξιολόγηση ακρίβειας αποτελεσμάτων συνόρθωσης b Aδx v 2 o 1 v ~ ( 0, P ) Αποτελέσματα: ˆ ( ) T 1 T δx A PA A Pb vˆ b Aδxˆ yˆ y vˆ xˆ δxˆ x o Ακρίβεια αποτελεσμάτων: C C... C...... C ˆ ˆ yˆ v ˆ x δx
Τι είναι ο νόμος μετάδοσης συμ-μεταβλητοτήτων ; Έστω ότι κάποιο μέγεθος υπολογίζεται μέσω γνωστής αναλυτικής σχέσης από κάποια άλλα μεγέθη: y f ( x, x,..., x m ) 1 2 x Ζητείται ο υπολογισμός της ακρίβειας του y με βάση τη γνωστή ακρίβεια των στοιχείων του x.
Νόμος μετάδοσης συμ-μεταβλητοτήτων y f (x) 2 σ y a T C x a όπου το διάνυσμα a περιλαμβάνει τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης f( ) ως προς τα στοιχεία του x, δηλαδή a f x 1 f x f x m
Νόμος μετάδοσης συμ-μεταβλητοτήτων Στη γενικότερη περίπτωση μας ενδιαφέρει ο προσδιορισμός της ακρίβειας ενός συνόλου μεγεθών που υπολογίζονται μέσω γνωστών αναλυτικών σχέσεων από άλλα μεγέθη: y f( x) C y AC x T A όπου Α είναι ο Ιακωβιανός πίνακας με στοιχεία: A[ i, j] y x i j
Νόμος μετάδοσης συμ-μεταβλητοτήτων Στη γενικότερη περίπτωση μας ενδιαφέρει ο προσδιορισμός της ακρίβειας ενός συνόλου μεγεθών που υπολογίζονται μέσω γνωστών αναλυτικών σχέσεων από άλλα μεγέθη: y Qx C y QC Q x T (*) για γραμμικές σχέσεις.
Εφαρμογή στα αποτελέσματα συνόρθωσης b Aδx v ˆ ( ) T 1 T δx A PA A Pb 2 o v ~ ( 0, Q ) C v v Επιλογή χρήστη για πίνακα βάρους P P C Q 1 v 1 v οποιαδήποτε άλλη επιλογή C Ακρίβεια εκτίμησης παραμέτρων T 1 C x ˆ ( A PA) 2 T 1 C x ˆ σo ( A PA) T 1 T T 1 xˆ ( A PA) A P Cv PA( A PA)
Αξιολόγηση ακρίβειας (άλλα σχόλια) ˆ... x ˆx Τιμή εκτίμησης Τυπική απόκλιση εκτίμησης (standard error) Ασφαλέστερη αξιολόγηση ακρίβειας: xˆ... ˆx 3 (επίπεδο ακρίβειας 3σ) Σχετική ακρίβεια εκτίμησης: xˆ xˆ (π.χ. 2 ppm ή 2 10-6 )
Να θυμάστε ότι Οι στατιστικοί δείκτες που προκύπτουν από τον ΝΜΣ (π.χ. πίνακες συμ-μεταβλητοτήτων) αξιολογούν την εσωτερική ακρίβεια των αποτελεσμάτων συνόρθωσης. Οι δείκτες αυτοί θα περιγράφουν τη συνολική ακρίβεια των αποτελεσμάτων υπό την αυστηρή προϋπόθεση ότι οι παρατηρήσεις δεν έχουν συστηματικά σφάλματα.
Να θυμάστε ότι Ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων της εκτίμησης δεν μπορεί να διακρίνει μεταξύ των δύο περιπτώσεων! ˆx ˆx ˆx Με συστηματικά σφάλματα στις μετρήσεις Χωρίς συστηματικά σφάλματα στις μετρήσεις
Λίγα λόγια για τους στατιστικούς ελέγχους
Γενικά Σχόλια Η υλοποίηση της συνόρθωσης και η εκτίμηση παραμέτρων στο μοντέλο των εξισώσεων παρατήρησης: b Aδx v 2 o 1 v ~ ( 0, P ) δεν απαιτεί καμία γνώση της συνάρτησης κατανομής που ακολουθούν τα τυχαία σφάλματα των μετρήσεων. Η συνάρτηση κατανομής των σφαλμάτων (καθώς και άλλων ποσοτήτων που υπολογίζονται μέσω της συνόρθωσης) είναι απαραίτητη για την εκτέλεση στατιστικών ελέγχων και την ανάλυση αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων της συνόρθωσης.
Τυχαία μεταβλητή: v Προσδοκία: Ε {v} = μ Μεταβλητότητα: Ε {(v-μ) 2 } = σ 2 f v (v) Κανονική κατανομή (κατανομή Gauss) P(v i ) =? μ-3σ μ-2σ μ-σ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ v
Από τις βέλτιστες εκτιμήσεις στους στατιστικούς ελέγχους. b Aδx v 2 o 1 v ~ ( 0, P ) ΓΕΝΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ˆ ( ) T 1 T δx A PA A Pb vˆ b Aδxˆ ΣΧΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ˆ ( ) T 1 T δx δx A PA A Pv T 1 T ˆ ( ( ) ) v I A A PA A P v ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΤΗΝ ΒΑΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΚΑΙ ΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΥΝΟΡΘΩΣΗΣ
Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της εκτίμησης Η γενική φιλοσοφία των στατιστικών ελέγχων Αληθινή τιμή παραμέτρου Αξιολόγηση αξιοπιστίας Εκτίμηση παραμέτρου Πόσο σημαντική είναι αυτή η διαφορά; Αξιολόγηση εσωτερικής ακρίβειας
Γενικά Σχόλια Oι στατιστικοί έλεγχοι στα αποτελέσματα της συνόρθωσης αποσκοπούν στον έλεγχο ορθότητας για τα εξής χαρακτηριστικά: του μαθηματικού μοντέλου του προβλήματος (π.χ. ύπαρξη συστηματικών ή χονδροειδών σφαλμάτων) του στοχαστικού μοντέλου του προβλήματος (π.χ. λανθασμένη επιλογή πίνακα βάρους) της εξωτερικής πληροφορίας που έχει χρησιμοποιηθεί για την υλοποίηση της συνόρθωσης (π.χ. λανθασμένες συντεταγμένες τριγωνομετρικών σημείων)
Ο απλούστερος στατιστικός έλεγχος y y v 2 i i v ~ N(0, ) i 1, 2,.., i n Έλεγχος μη-τυχαίων σφαλμάτων δείγματος (3-σ τεστ, ~ 99% συντελεστής εμπιστοσύνης) y 3 y y 3 i 3 3 y
Να θυμάστε ότι Τα αποτελέσματα των στατιστικών ελέγχων δεν συνιστούν απόλυτες απαντήσεις. Είναι απλά ενδείξεις με προκαθορισμένους συντελεστές εμπιστοσύνης!