1. Malo se pogovorimo, kako smo preºiveli po itnice.

1. ²olska ura Tema: Uvodna ura, vaje Poglavje: Ponavljanje 1. Malo se pogovorimo, kako smo preºiveli po itnice. 2. Ponovimo snov iz prej²njega ²olskega leta(ustno in z vajami): Kotne funkcije Vektorji v ONB Ena ba premice in ravnine Poten na funkcija Koreni Kompleksna stevila Kvadratna funkcija Eksponentna in logaritemska funkcija Plo² ine likov in teles 3. Predstavim leto²njo snov in knjige, ki pridejo v po²tev. 4. Dogovorimo se za datume treh ²olskih nalog, za vmesne preizkuse znanja se bomo dogovorili kak²en teden ali ve prej. 5. Nenapovedanega spra²evanja ni, zato se dogovorimo, kako naj bi potekalo ustno preverjanje znanja, npr. po abecedi,... DARJA POTOƒAR, FMF 12. 7. 2005

2. ²olska ura Tema: Denicija in enakost polinomov Pripomo ki: Polinom je linearna kombinacija potenc z nenegativnim eksponentom: a n = vodilni koecient (a n 0) a 0 = prosti len odsek na y-osi n = st(p(x)) stopnja polinoma p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0. Polinoma sta enaka, kadar se ujemata v stopnji in v vseh koecientih. Primer: p(x) = x 3 5x 2 + 2x 1, q(x) = ax 3 + (a + b)x 2 + cx + (d + a) Dolo i a,b,c,d tako, da bosta polinoma enaka. Operacije s polinomi: Se²tevanje in od²tevanje polinomov: q(x) = b m x m + b m 1 x m 1 +... + b 1 x + b 0 p(x) + q(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + (a m + b m )x m +... + (a 1 + b 1 )x + a 0 + b 0 (Podobno velja tudi za razliko.) Vsota in razlika polinomov je spet polinom. Velja: st(p(x) + q(x)) max(st(p(x)), st(q(x))). Primeri: Dolo imo koecienta r in s tako, da bosta polinoma p(x) = 3x 4 + sx 3 + 4x 2 7 in q(x) = 3x 4 + 4x 2 + r enaka. [R : s = 0, r = 7] Se²tej polinoma p(x) = 7x 5 2x 4 +2x 3 +7x 2 +8x 5 in q(x) = 7x 5 +5x 4 2x 3 +8x 2 5. [R : p(x) + q(x) = 3x 4 + 15x 2 + 9x 7] Zapi²i polinom tretje stopnje, ki ima prosti len enak -2m pri x = 1 ima vrednost 4, p(i) = p( i) = 0. [R : p(x) = 4x 3 2x 2 + 4x 2] Zapi²ite polinom tretje stonje z realnimi koecienti in konstantnim lenom -3, e je p(1 i) = 6 5i in p(1) = 0. [R : p(x) = 2x 3 + x 3] DARJA POTOƒAR, FMF 12. 7. 2005

3. ²olska ura Tema: Mnoºenje in deljenje Pripomo ki: Mnoºenje polinomov: λ p(x) = λ a n x n +... + λ a 1 x + λ a 0 p(x) = x 3 x 2 + x 1, q(x) = x 2 5 p(x) q(x) = x 5 x 4 4x 3 + 4 2 5x + 5 st(p(x) q(x)) = st(p(x) + q(x))! Deljivost polinomov: p(x) q(x) k(x) : q(x) = k(x) p(x). Deljenje polinomov: Osnovni izrek o deljenju polinomov: p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0, a n 0 q(x) = b m x m +... + b 1 x + b 0, b m 0, n m =! k(x), r(x) : p(x) = k(x) q(x) + r(x), r(x) = 0 ali st(r(x)) < st(q(x)) k(x) = a n b m x n m Primeri: Deli polinoma p(x) = 3x 4 2x 3 + x + 1 in q(x) = x 2 x + 2. k(x), r(x) =? [R : k(x) = 3x 2 + 3x 5, r(x) = 10x + 11] Deli polinoma p(x) = 12x 3 + 19x 2 8x + 8 in q(x) = 4x 2 5x + 1. k(x), r(x) =? [R : k(x) = 3x + 1, r(x) = 7] Dana je polinom p(x) = 2x 3 + 50. a) Izpi²i koeciente in stopnjo za p(x). b) Deli polinom p(x) s polinomom q(x) = x 2 2, zapi²i koli nik in ostanek po deljenju. Za kateri realni ²tevili a, b bo polinom p(x) = x 4 3x 3 8x 2 + ax + b deljiv s polinomom (x i 2)? [R : a = 6, b = 20] Poi² i koeciente a, b, c polinoma p(x) = x 3 + ax 2 + bx + c tako, da bo polinom deljiv s polinomom (x + i), pri deljenju s polinomom (x 1) pa bo ostanek 6. [R : a = 2, b = 1, c = 2] DARJA POTOƒAR, FMF 12. 7. 2005

4. ²olska ura Tema: Vaje - operacije med polinomi Oblika: vaje Pripomo ki: 1. Se²tej polinoma: 12x 3 + x 2 + 2x + 1 in 3x 3 + 2x 2 x 3. [R : 9x 3 + 3x 2 + x 2] 2. Dani so polinomi p(x) = x 4 3x 3 + x 2 + x + 2, q(x) = 2x 2 + 1, r(x) = 2x 4 x 3 1. Izra unaj 4p(x) + q(x)r(x) (q(x) (x 2 2)). [R : 4x 6 2x 5 + 6x 4 13x 3 + x 2 + 4x + 5] 3. Pokaºi, da je polinom x 4 + 4x 3 + 2x 2 4x + 1 popoln kvadrat. [R : (x 2 + 2x 1) 2 ] 4. Dolo i vse funkcije oblike f(x) = ax 3 +bx 2 +c, katerih graf vsebuje to ke (1, 2), ( 1, 0), (2, 6). [R : f(x) = x 3 x 2 + 2] 5. Deli: x 2 + x + 1 z x + 2 [R : k(x) = x 1, r(x) = 3] x 4 1 z x 2 2x + 1 [R : k(x) = x 2 + 2x + 3, r(x) = 4x 4] 2y 5 y 4 + y + 5 z y 2 2. [R : k(x) = 2y 3 y 2 + 4y 2, r(x) = 9y + 1] 6. Dolo i ²tevilo a tako, da bo polinom p(x) = x 6 + ax 4 x 2 + 2 deljiv z x 2 + 2. Zapi²i dobljeni koli nik. [R : a = 1, k(x) = x 4 x 2 + 1] 7. Poi² i koeciente a, b, c polinoma p(x) = x 3 + ax 2 + bx + c, tako da polinom deljiv s polinoma x 2 in x 1, pri deljenju s polinomom x + 1 pa je ostanek 12. [R : a = 0, b = 7, c = 6] DARJA POTOƒAR, FMF 18. 7. 2005

5. ²olska ura Tema: Razcepljanje polinomov Pripomo ki: Denimo, da polinom p(x) lahko zapi²emo v obliki p(x) = q 1 (x)q 2 (x), kjer sta q 1, q 2 nekonstantna polinoma, se pravi vsaj stopnje 1. Pravimo, da smo polinom p(x) razcepili na produkt q 1 q 2. Ena ba p(x) = 0 je enakovredna temu, da je q 1 (x) = 0 ali q 2 (x) = 0. Mnoºica ni el polinoma p je torej unija ni el polinomov q 1 in q 2. iskanju ni el polinoma p. To nam pomaga pri 1. Razcepljanje polinoma v obsegu realnih stevil na primeru: Razcepimo polinom x 4 1. x 4 1 = (x 2 1)(x 2 + 1) = (x + 1)(x 1)(x 2 + 1) 2. Razcepljanje polinoma v obsegu kompleksnih ²tevil: x 4 1 = (x + 1)(x 1)(x + i)(x i) Kompleksne ni le polinoma z realnimi koecienti nastopajo v konjugiranih parih. Primeri: Dolo ite vse ni le (z ve kratnostmi) polinoma x 4 + 2x 2 + 1. [R : x 1,2 = i, x 3,4 = i] Razcepite polinom z realnimi koecienti na nekonstantne faktorje s kar se da majhno stopnjo: a) 8x 3 + 1 b) 2x 4 8x 2 + 32 c) x 4 x 2 2x 1 d) x 3 3x 2 + 9x 27 Zapi²ite najve ji skupni delitelj danih polinomov: 2x 3 4x 2 + 8x 16 in q(x) = 4x 4 8x 3 12x 2 + 24x. DARJA POTOƒAR, FMF 18. 7. 2005

6. ²olska ura Tema: Ni le polinomov Pripomo ki: 1. p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0, a ɛ R Polinom p delimo z (x a) in dobimo p(x) = (x a)q(x) + c, p(a) = (a a)q(x) + c = c = p(a). p(x) = (x a)q(x) + p(a) p(a) = 0 = p(x) = (x a)q(x) Torej, ²tevilo a je ni la polinoma p(x) (x a) deli p(x). 2. p(x) = (x a)q(x), q(x) = (x a)q 1 (x) p(x) = (x a) 2 q 1 (x),... p(x) = (x a) m k(x) }{{} Polinom p(x) ima v a ni lo stopnje m! 3. p(x) = (x x 1 ) m1 (x x 2 ) m2... (x x r ) mr k(x) x 1, x 2,..., x r so ni le polinoma p(x) in velja: st(p(x)) m 1 + m 2 +... + m r. Primeri: Poi² i ni le in njihove stopnje polinoma p(x) = x 3 + 2x 2 4x 8. [R : x 1,2 = 2, x 3 = 2] Zapi²i polinom stopnje 3, za katerega velja p( 1) = 4, p(0) = 1, p(1) = 23, p(2) = 17. [R : 17 2 x3 + 21 2 x2 + 5x 1] Zapi²i polinom stopnje 3, ki ima v x = 1 dvakratno ni lo, v x = 2 enkratno ni lo, vodilni koecient pa je enak 1. [R : x 3 3x + 2] Pokaºi, da je 1 ni la polinoma x 4 + 2x 3 2x 1 in dolo i njeno veckratnost. [R : (x + 1) 3 (x 1)] Za kateri realni ²tevili a, b bo 2 i ni la polinoma p(x) = 2x 3 + 9x 2 + ax + b. Zapi²ite vse ni le polinoma p. [R : a = 14, b = 5, x 1,2 = 2 ± i, x 3 = 1/2] DARJA POTOƒAR, FMF 18. 7. 2005

7. ²olska ura Tema: Hornerjev algoritem Pripomo ki: Ta algoritem uporabimo, da laºje izra unamo vrednost polinoma v neki to ki in tako tudi ni le polinoma. p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 /:(x c) p(x) = (x c)(b n 1 x n 1 +... + b 0 ) + p(c) = = b n 1 x n + b n 2 x n 1 +... + b 0 x cb n 1 x n 1... cb 1 x cb 0 + p(c) Sestavimo tabelo, zna ilno za ta algoritem: a n a n 1 a n 2... a 1 a 0 c cb n 1 cb n 2... cb 1 cb 0 b n 1 = a n b n 2 b n 3... b 0 p(c) }{{} vrednost polinoma p(x) v to ki c Poleg p(c) dobimo v spodnji vrstici se koeciente zdeljenjega polinoma b n 1 x n 1 +... + b 0, tako da je p(x) = (x c)(b n 1 x n 1 +... + b 0 ) + p(c). ƒe je c ni la polinoma, tj. p(x) = 0, se ostale ni le skrivajo v polinomu, ki ga dobimo v spodnji vrstici: b n 1 x n 1 +... + b 0. Primeri: p(x) = 8x 3 4x 2 + 2x + 1. Ali je x = 1/2 ni la danega polinoma? 8 4 2 1 1/2 4 0 1 8 0 2 0 }{{} p(-1/2)=0, torej x=-1/2 je ni la p(x) = x 3 mx 2 + 3x + 7m. Dolo i m tako, da bo x = 2 ni la danega polinoma! [R : m = 14/3] Vemo, da je 2 koren ena be x 3 4x 2 + x + d = 0. Dolo i d in preostale korene te ena be. [R : d = 6, x 2 = 3, x 3 = 1] Dolo i ²tevili a in b tako, da bo polinom 2x 3 + ax 2 13x + b imel ni li v to kah 2 in 3. Dolo i ²e tretjo ni lo! [R : a = 5, b = 30, x 3 = 5/2] Za kateri ²tevili a, b je -2 ni la polinoma p(x) = ax 3 + 5x 2 4x + b in je p( 1) = 12? [R : a = 1, b = 20] DARJA POTOƒAR, FMF 18. 7. 2005

8. ²olska ura Tema: Iskanje ni el, vaje Pripomo ki: Iskanje kandidatov ni el: p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a n 0 1. c ɛ Z in velja p(c) = 0 c(a n c n 1 + a n 1 c n 2 +... + a 1 ) = a 0 = c/a 0! ƒe ima polinom cele koeciente, potem je kandidat za celo ni lo tisto ²tevilo, ki deli prosti len. 2. c/d ɛ Q, c ɛ Z, d ɛ N, D(c, d) = 1 in velja p(c/d) = 0. (i) c(a n c n 1 + a n 1 c n 2 d +... + a 1 d n 1 ) = a 0 d n c/a 0 d n = c/a 0. (ii) d(a n 1 c n 1 +... + a 1 cd n 2 + a 0 d n 1 ) = a n c n d/a n c n = d/a n. Torej, c/d je ni la polinoma p(x), e c deli prosti len, d pa deli vodilni koecient! Meje realnih ni el: M = 1 + k 1,2 a/an, k 1 = ²t. lenov pred 1. negativnim lenom polinoma p(x), k 2 = ²t. lenov pred 1.negativnim lenom polinoma p( x), a = max{ a n, a n 1,..., a 1, a 0 }. Primeri: Poi² i kandidate za ni le polinoma p(x) = 2x 5 + x 4 7x 3 7x 2 + x + 2 in dolo i prave ni le. [R : x 1,2,3 = 1, x 4 = 2, x 5 = 1/2] Dolo i racionalne ni le polinoma p(x)x = 2x 3 + x 2 5x 3. [R : x = 3/2] Najkraj²i rob kvadra je za 4cm kraj²i od najdalj²ega, tretji rob kvadra pa je za 1cm dalj²i od najkraj²ega. Koliko merijo robovi kvadra, e meri njegova prostornina 36cm 3? [R : 2cm, 3cm, 6cm] Poi² i kandidate za ni le polinoma p(x) = x 7 12x 3 4x 2 + 55x 22 in s pomo jo formule za meje realnih ni el izvrºi tiste, ki so neustrezne. DARJA POTOƒAR, FMF 18. 7. 2005

9. ²olska ura Tema: Osnovni izrek algebre, vaje, vaje Pripomo ki: 1. Polinom stopnje n ima nad obsegom C natanko n ni el. 2. Kompleksne ni le vedno nastopajo v konjugiranih parih, tj. e je a+bi ni la, potem je tudi a-bi ni la. 3. Polinom lihe stopnje ima liho ²tevilo ni el, zato je ena zagotovo realna. 4. Vsak polinom z realnimi koecienti se da zapisati kot produkt samih linearnih in kvadratnih polinomov z realnimi koecienti. Primeri: Koliko realnih ni el ima polinom (x 4 + 9) 5? [R : nobene] Dolo ite vse ni le polinoma 4x 4 24x 3 + 57x 2 + 18x 45, e veste, da je ena ni la 3 + i 6. [R : x 2 = 3 i, x 3,4 = 9/8] Dolo ite polinom tretje stopnje z realnimi koecienti, ki ima ni lo 1 + i, v 0 vrednost 4, v 1 pa vrednost -2. [R : p(x) = 4x 3 + 10x 2 3x + 4] 4 Dokaºite, da je 1 + 2i ni la polinoma x 4 4x 3 + 11x 2 14x + 10. Zapi²ite ta polinom kot produkt kvadratnih faktorjev z realnimi koecienti. [R : (x 2 2x + 5)(x 2 + 2x + 2)] Imamo polinom p(z) = z 3 + (1 i)z 2 + (4 i)z + α. Dolo ite ²tevilo αɛc tako, da bo i ni la polinoma p. Nato izra unajte ²e preostale ni le. [R : α = 4i, z 2,3 = 1±i 15] 2 Obravnavajte sistem (a ɛ R ) ax + ay + z = 2a x ay + az = 2 ax + y + z = 2a. DARJA POTOƒAR, FMF 19. 7. 2005

10. ²olska ura Tema: Graf polinoma Kaj je potrebno za sliko grafa polinoma, (p(x)) = {(x, p(x)), xɛr}? 1. Ni le polinoma (to ºe znamo). 2. Sodost in lihost ni el p(x) = (x a) k q(x), to pomeni, a je ni la polinoma p. (i) k = sodo ²tevilo: Pri sodih ni lah se graf funkcije obrne, funkcija ne spremeni znaka. (ii) k = liho ²tevilo: Za ni le lihe stopnje pa graf spremeni predznak. Za oba primera nari²i skico! 3. Obna²anje grafa v neskon nosti p(x) = a n x n (1 + a n 1 a n x +... + a 1 a n x n 1 + a 0 a n x n ) (i) x = a n k a nx k 0 = p(x). = a n x n (ii) x = a n k a nx k 0 = p(x). = a n x n Za x-e, ki so dale stran, se na²a funkcija obna²a kot vodilni len. 4. Za etna vrednost p(0) = a 0, to je to ka, kjer graf seka y - os! Primeri: Nari²i grafe polinomov, tako da upo²teva² vse ²tiri zgornje to ke: a) p(x) = x 4 5x 2 + 4, b) p(x) = x 2 (x 2) 3 (x + 4), c) p(x) = x 4 + 2x 2 + 3. DARJA POTOƒAR, FMF 19. 7. 2005

11. ²olska ura Tema: Graf polinoma, vaje 1. Nari²ite graf polinoma p(x) = x 3 6x 2 + 11x 6, nato pa ²e grafa polinomov q(x) = p(x) in r(x) = p( x ). 2. Dan je polinom p(x) = x 4 3x 3 + ax 2 + bx 3. Za kateri ²tevili a, b bo premica y = 3x + 1 sekala graf polinoma v to kah z abscisama 2 in -2? [R : a = 3, b = 9] 3. Fantek na 40m visoki pe ini vrºe v zrak kamen. Na kateri vi²ini h se kamen nahaja, nam pove formula h(t) = 41, 5 + 10t 4, 9t 2 ; t je as v sekundah. a) Nari²ite graf polinoma h. b) Razloºite, kaj v formuli pomeni 41.5! [R : za etna vi²ina] c) Na kateri vi²ini je kamen po 2 sekundah? [R : h(2) = 41, 9] d) Po kolikem asu pade kamen na tla? [R : t = 4, 1s] 4. Nari²ite graf polinoma p(x) = 6x 3 + 21x 2 21x + 6. Pokaºite, da v to ki z absciso 3/2 graf polinoma seka simetralo lihih kvadrantov. Zapi²ite ²e preostali prese i² i grafa polinoma s simetralo lihih kvadrantov. [R : P 1 ( 3 2, 3 2 ), P 2( 3+ 3 3, 3+ 3 3 ), P 3 ( 3 3 3, 3 3 3 )] DARJA POTOƒAR, FMF 19. 7. 2005

12. ²olska ura Tema: Bisekcija, kratek test, vaje Bisekcija: To je postopek za iskanje ni el(lihe stopnje) polinoma. ƒe je p(x 1 ) > 0 in p(x 2 ) < 0, deniramo x 3 = x 1+x 2 2. ƒe je p(x 3 ) > 0, gledamo interval [x 3, x 2 ] x 1 := x 3 ƒe je p(x 3 ) < 0, gledamo interval [x 1, x 3 ] x 2 := x 3 Primeri: Z bisekcijo na stotinko natan no poi² ite ni le polinoma p(x) = x 3 + 3x + 3. [R : x 1 = 0, 82; ostali dve ni li nista realni] Na tri mesta zaokroºite realno ²tevilo, za katero ima polinom p(x) = x 3 + 2x 2 + x 2 vrednost 1. [R : x = 0, 864] Dan je polinom p(x) = 4x 3 2x 2 + ax + 6. Za a = 1 z bisekcijo na ²tiri mesta natan no poi² ite na intervalu [-2,-1] ni lo polinoma p. [R : 1, 063] DARJA POTOƒAR, FMF 19. 7. 2005

13. ²olska ura Tema: Spra²evanje, vaje za kontrolno,vaje Ustno spra²evanje (po dogovorjenem vrstnem redu). 1. V istem koordinatnem sistemu nari²i grafa polinomov p(x) = x 5 2x 3 + x in q(x) = p(x). 2. Zapi²ite denicijsko obmo je funkcije f(x) = 2x 3 + 2x 2 4x 4. [R : D f = [ 2, 1] [ 2, )] 3. Zapi²ite polinom p etrte stopnje z realnimi koecienti, e veste, da so ²tevila 2, 2, 1 i njegove ni le, pri x = 1 pa ima polinom vrednost -2. [R : p(x) = 2x 4 4x 3 + 8x 8] 4. Produkt treh zaporednih ve kratnikov ²tevila 3 je 1620. Poi² ite ta ²tevila. [R : 9, 12, 15] DARJA POTOƒAR, FMF 19. 7. 2005

14. ²olska ura Tema: Kontrolna naloga Vzorec kontrolne naloge: 1. Ena bo 2x 5 + 20x 3 30x = 9 14x 2 + 13x 4 preoblikujte in jo zapi²ite kot produkt linearnih faktorjev. [R : (x 3) 2 (x + 1)(x 17+3)(x 17+3)] 4 4 2. Dolo i intervale, na katerih so vrednosti polinoma p(x) pozitivne (negativne), e je p(x) = x 4 + 6x 3 + 3x 2 10x. Pomagaj si s sliko! [R : p(x) 0 : (, 5] [ 2, 0] [1, ); p(x) 0 : [ 5, 2] [0, 1]] 3. Dolo i ²tevili a in b tako, da bo polinom p(x) = 2x 3 + ax 2 13x + b imel ni li v to kah 2 in 3. Nato dolo i ²e tretjo ni lo. [R : a = 5, b = 30, x 3 = 5/2] 4. Dolo i denicijsko obmo je funkcije f(x) = x 4 + 5x 3 + 6x 2. [R : D f = (, 3] [2, )] 5. Na spodnji sliki je dan graf polinoma p tretje stopnje. Zapi²ite intervale, na katerih so vrednosti polinoma p pozitivne (negativne). Zapi²i predpis polimoma p. [R : p(x) = 1 2 x3 x 2 + 2x + 4] Slika 1 DARJA POTOƒAR, FMF 19. 7. 2005

15. ²olska ura Tema: Poprava kontrolne naloge Razdelim teste, da jih dijaki pregledajo. Naredimo popravo in dam poudarek na najpogostej²e napake. V primeru prevelikih negativnih ocen se dogovorimo za popravljanje ²olske naloge, druga e pa lahko manj²e ²tevilo dijakov, ki so pisali negativno oceno, ustno popravijo oceno med teko o ²olsko uro. DARJA POTOƒAR, FMF 19. 7. 2005

Tema: Denicija Poglavje: Racionalna funkcija Pripomo ki: 16. ²olska ura Denicija racionalne funkcije: q(x) = 1 = f(x) je polinom p(x)!! Denicijsko obmo je: Df = R { ni le v imenovalcu } Zaloga vrednosti: Zf so vsa realna ²tevila! f(x) = (x a)p 1(x) = p 1(x) (x a)q 1 (x) q 1 (x) f(x) = p(x) q(x) = a nx n +... + a 1 x + a 0 b m x m +... + b 1 x + b 0., vendar mora strogo veljati, da je x a. Pomembne to ke, ki nam bodo pomagale pri risanju grafa racionalne funkcije: (i) Ni le: f(a) = 0 = p(a) = p(a) = 0 q(a) Ni le racionalne funkcije so ravno ni le ²tevca! (ii) Poli: To so ravno ni le imenovalca racionalne funkcije, q(a) = 0 = a je pol! (iii) Asimptota: ƒe delimo p(x) s q(x), dobimo koli nik k(x) in ostanek r(x), f(x) = k(x) + r(x) q(x). Premica k(x) je ravno asimptota na²e funkcije in nam pove, kako se funkcija obna²a dale stran. Ni le funkcije r(x) pa nam povedo, kje graf funkcije seka asimptoto. ƒe je st(p(x)) < st(q(x)), potem je asimptota y = 0! (iv) Za etna vrednost: f(0), to je to ka, kjer graf seka y - os. DARJA POTOƒAR, FMF 20. 7. 2005

Tema: Graf racionalne funkcije Poglavje: Racionalna funkcija 17. ²olska ura Ponovimo, katere to ke so bistvene za graf funkcije. Pazi! Sodost, lihost ni el in polov: ƒe je pol ali ni la lihe stopnje, funkcija spremeni predznak, e pa je sode stopnje pa predznak ohrani.to bomo lep²e videli pri risanju grafa. Z upo²tevanjem tistega, kar smo se nau ili do sedaj, nari²imo nekaj zna ilnih grafov racionalnih funkcij: 1. f(x) = x+2 x 2 1 Ni la: x = 2, poli: x 1 = 1, x 2 = 1, asimptota: y = 0, asimptoto seka v x = 2, za.vrednost: f(0) = 2. 2. f(x) = x2 +1 x 2 Ni la: /, pol: x = 0(II.st), vodoravna asimptota: y = 1, asimptote graf ne seka, za.vrednost: f(0) = / ne sekamo y - osi. 3. f(x) = x2 +2x+1 x 2 Ni la: x = 1(II.st), pol: x = 2, asimptota: y = x + 4, asimptote graf ne seka, za.vrednost: f(o) = 1/2. DARJA POTOƒAR, FMF 20. 7. 2005

Tema: Vaje - graf racionalne funkcije Oblika: vaje Poglavje: Racionalna funkcija 18. ²olska ura Dolo imo ni le, pole, asimptote, to ke, kjer graf seka asimptoto in nari²imo naslednje grafe funkcij: 1. 2. 3. 4. 5. f(x) = 1 x 3 [R : Ni le:/, poli : x = 3, asimp : y = 0, f(0) = 1/3] f(x) = 1 x 2 4 [R : Ni le:/, poli : x 1,2 = ±2, asimp : y = 0, f(0) = 1/4] f(x) = x2 + 4x x 2 + 2x + 1 [R : Ni le : x 1 = 0, x 2 = 4, poli : 1(ll.st), asimp : y = 1, f(0) = 0] f(x) = x 2 + 3 x + 2 [R : Ni le:x 1,2 = ±1, poli : x = 2, asimp : y = x 2, f(0) = 1/2] f(x) = 2x2 + x x 1 [R : Ni le:x 1 = 0, x 2 = 1/2, poli : x = 1, asimp : y = 2x + 3, f(0) = 0] 6. f(x) = x2 + 5x + 6 x 2 1 [R : Ni le:x 1 = 2, x 2 = 3, poli : x 1,2 = ±1, aimp : y = 1, f(0) = 6] DARJA POTOƒAR, FMF 20. 7. 2005

Tema: Racionalne ena be - obravnavanje Poglavje: Racionalna funkcija Pripomo ki: 19. ²olska ura (i) Obravnavaj naslednjo ena bo: x - neznanka, a - parameter a 2 2x 2x+1 + a2 +2x 1 2x = 2(a2 1)(a 2 +1) (2x 1)(2x+1) ; x ± 1 2 4a 2 x + 4x 2a 4 + 2 = 0 4x(a 2 + 1) = (a 2 1)(a 2 + 1) x = a2 1 2 a 1. moºnost: 2 1 = 1 2 2 a 2 = 0 a = 0 a 2. moºnost: 2 1 = 1 2 2 a 2 = 2 a = ± 2 a 2 2x 2x + 1 + a2 + 2x 1 2x = 2(a4 1) 4x 2 1 Povzetek: a {0, 2, 2} Ena ba nima re²itve. a / {0, 2, 2} x = a2 1 2 (ii) Na podoben na in obravnavaj ²e naslednjo ena bo: [R : x = { 2 2a a ; a 0 ni re²itve; a = 0. ] 2 x + 2 = a. DARJA POTOƒAR, FMF 20. 7. 2005

Tema: Racionalne ena be - vaje, vaje Poglavje: Racionalna funkcija 20. ²olska ura 1. Poi² i prese i² e krivulj: [R : P 1 (3, 2), P 2 ( 1, 2)] 2. Re²i in obravnavaj ena bi: [R : x = 2, e x ±1] f(x) = x2 + 3 x + 3, y = 2. 3 x 1 = 2 x 1 x + 1 x 1 2 x 1 + 2 x + 1 = 2 [R : x = 5/3, e x (, 1) (1, )] 3. Nari²i graf funkcije f(x) = 2 x +1 4. Poi² i prese i² e funkcij f 1 (x) = x 6 x 2 16 in f 2(x) = 2+x (x 4) 2 [R : P (1, 1/3), x ±4] DARJA POTOƒAR, FMF 21. 7. 2005

Tema: Racionalne neena be Poglavje: Racionalna funkcija 21. ²olska ura Spra²evanje - gra racionalne funkcije! Racionalna neena ba: 1. primer : Nari²emo racionalno funkcijo. y = x + 1 1 x > 0 Nari²emo 2 linearni funkciji y = x + 1, y = 1 x. Kdaj sta obe pozitivni oz. negativni? x+1 1 x > 0 Pomnoºimo z (1 x)2 (x + 1)(1 x) > 0. Nari²emo graf. V vseh primerih dobimo R = ( 1, 1). 2. primer : [R : ( 1, 1) (1, 5 2 )] x 2 7x + 6 x 2 1 < 1 3. primer : [R : (, 2) (0, 2)] x 3 + 3x + 4 x 2 4 < 2 x 2 4. primer: [R : x ( 3, 2)] x x 6 7 x + 3 42 x 2 3x 18 DARJA POTOƒAR, FMF 21. 7. 2005

Tema: Racionalne neena be - vaje, vaje Poglavje: Racionalna funkcija 22. ²olska ura 1. 3 < x2 + ax 2 x 2 x + 1 < 2 Izraz x 2 x + 1 je vedno pozitiven, saj je diskriminanta manj²a od 0. Lo imo dva primera: > 3 Pomnoºimo z imenovalcem in dobimo ena bo x 2 + (a 3)x + 1 > 0. Ker mora biti diskriminanta tega izraza manj²a od 0 a ( 1, 7). x2 +ax 2 x 2 x+1 x2 +ax 2 x 2 x+1 < 2 Podobno dobimo a ( 6, 2). Tako dobimo re²itev a ( 1, 2). 2. y = x 1 x + 1 f 1 (x) : x = y 1 y = x+1 y+1 1 x Nari²i oba grafa. To je res zrcaljenje prek simetrale lihih kvadrantov. 3. f(x) = ax + b cx + d Dolo i a, b, c in d tako, da bo za rac. funkcijo f veljalo: f(0) = 0, f(2) = 6, f(4) = 4. 4. Dani sta funkciji f(x) = x3 3x+2 x 2 +2x+1 in g(x) = x + 2. a) Izra unajte prese i² i grafov funkcij f, g. [R : P 1 ( 2, 0), P 2 (0, 2)] b) V istem koordinatnem sistemu nari²ite oba grafa. c) Re²ite neena bo f(x) g(x). [R : x (, 2] [0, )] DARJA POTOƒAR, FMF 21. 7. 2005

Tema: Vaje za ²olsko nalogo Oblika: vaje 23. ²olska ura in racionalna funkcija Najprej dam besedo dijakom za vpra²anja, ki so jim nerazumljiva. 1. Dana je funkcija g(x) = log 1 8 in izra unajte g( 2). [R : D g = ( 4, 0) (0, 2); g( 2) = 1] ( x4 4 x3 2 + 2x2 ). Zapi²ite njeno denicijsko obmo je 2. Dan je polinom p(x) = x 4 3x 3 + ax 2 + bx 3. Za kateri realni ²tevili a, b pri deljenju s polinomom q(x) = x 2 4x 5 dobite ostanek 67x + 62? [R : a = 4, b = 10] 3. Re²ite ena bo: x 3 x = 1 x + 1 4( x + 1) [R : x = 16] 4. Dana je funkcija f(x) = 2x3 4x 2x 2 x 1. Nari²ite graf funkcije in poi² ite prese i² e grafa funkcije f s simetralo lihih kvadrantov. [R : P 1 (0, 0), P 2 (3, 3)] DARJA POTOƒAR, FMF 21. 7. 2005

Tema: 1. ²olska naloga 24. ²olska ura in racionalna funkcija Vzorec 1. ²olske naloge: 1. naloga: Dan je polinom p(x) = 2x 3 10x 2 2x + 10. a) S Hornerjevim algoritmom pokaºi, da je ²tevilo (-1) ni la polinoma. b) Razstavi polinom na linearne faktorje, izpi²i vse ni le in njihove ve kratnosti. [R : 2(x 5)(x 1)(x + 1)] c) Nari²i graf polinoma! 2. naloga: Dolo i denicijsko obmo je funkcije 2x 3 + 2x 2 4x 4! [R : [ 2, 1] [ 2, )] 3. naloga: Dana je funkcija a) Nari²ite graf funkcije. x 4 f(x) = x 4 + x 2 2. b) Poi² ite prese i² a grafa funkcije f s premico y = 1. [R : P 1 ( 2, 1), P 2 ( 2, 1)] 4. naloga: Nari²i graf racionalne funkcije f(x) = 1 + Za katere vrednosti x je dana funkcija pozitivna? [R : x (, 4) [ 1, 2] [3, )] 8 x x 2 + x 12. DARJA POTOƒAR, FMF 21. 7. 2005

Tema: Poprava ²olske naloge 25. ²olska ura in racionalna funkcija Razdelim teste, da jih dijaki pregledajo. Naredimo popravo in dam poudarek na najpogostej²e napake. V primeru prevelikih negativnih ocen se dogovorimo za popravljanje ²olske naloge, druga e pa lahko manj²e ²tevilo dijakov, ki so pisali negativno oceno, ustno popravijo oceno med teko o ²olsko uro. DARJA POTOƒAR, FMF 21. 7. 2005

Tema: Ustno spra²evanje 26. ²olska ura in racionalna funkcija ƒe kdo ºeli popraviti negativno oceno, doseºeno na ²olski nalogi, se lahko javi. Druga e spra²ujem po dogovorjenem vrstnem redu. DARJA POTOƒAR, FMF 21. 7. 2005