ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Μιγαδικοί αριθμοί

Σελίδα από 4 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετική & Τεχνολογική κατεύθυνση Το παρόν κείμενο αποτελεί μια μορφοποιημένη έκδοση του αρχείου που μας έστειλε ο συνάδελφος Σπύρος Κούρτης.(Επιμέλεια : Μπάμπης Στεργίου) ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, z. Να αποδείξετε ότι: z z = z z. ΘΕΜΑ ο. Μιγαδικοί αριθμοί (Θέμα Α/-7) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α. z = z z β. δ. z = z ε. i z = z ΘΕΜΑ 3 ο z = z γ. z = - z (Θέμα Α/) Αν z = α + β i με α, β R, είναι ένας μιγαδικός αριθμός, να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της Στήλης Ι του επόμενου πίνακα, και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Ι A. Re(z) Β. Im(z) Γ. -z Δ. z Ε. z ΣΤ. z z Στήλη ΙΙ. -α - βi. α - βi 3. α + β 4. α 5. α 6. α + β 7. β + β (Θέμα Α/ Εσπ) 5/4/8

Σελίδα από 4 ΘΕΜΑ 4 ο α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z+ 6 = 4 z+ β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: z = z i γ. Να τρέψετε σε τριγωνομετρική μορφή τους μιγαδικούς που επαληθεύουν συγχρόνως τις σχέσεις των ερωτημάτων (α) και (β). (Θέμα /ΙΟΥΛ ) ΘΕΜΑ 5 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = + i και z = i. α) Να γράψετε τους z και z σε τριγωνομετρική μορφή. β) Να βρείτε την τριγωνομετρική μορφή του γινομένου z z. (Θέμα Β/ Εσπ) ΘΕΜΑ 6 ο Να βρεθούν τα σημεία του επιπέδου, που είναι εικόνες των μιγαδικών z, για τους z - οποίους ισχύει: =. z - i (Θέμα βτεχ/) ΘΕΜΑ 7 ο Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z =, να δείξετε ότι z =. z (Θέμα Β/) ΘΕΜΑ 8 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, z, z 3 με z = z = z 3 =3. α. Δείξτε ότι: 9 z β. Δείξτε ότι ο αριθμός z z + είναι πραγματικός. z z γ. Δείξτε ότι : z + z +z 3 = 3 z z +z z 3 +z z 3 (Θέμα /5) 5/4/8

Σελίδα 3 από 4 ΘΕΜΑ 9 ο z = 3 + 4 i και z = - 3 i, να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Αν Στήλης Α και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα της Στήλης Β έτσι, ώστε να προκύπτει ισότητα. Στήλη Α Στήλη Β. z z α. 4 β.. z γ. 5 3. z δ. 5 4. z ε. 5. i z στ. 5 ζ. (Θέμα Β/) ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = α + βi, όπου α,β IR και w=3z i z +4, όπου z είναι ο συζυγής του z. α. Να αποδείξετε ότι Re(w)=3α β+4 Ιm(w)=3β α. β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y =, τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=. γ. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς z, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=, έχει το ελάχιστο μέτρο. ΘΕΜΑ ο α. Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει z +z =4+4i και z z =5 + 5ί, να βρείτε τους z, z. β. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z, w ισχύουν z 3i και w 3 i i. να αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί z, w έτσι, ώστε z = w και ii. να βρείτε τη μέγιστη τιμή του z w. (Θέμα /3) (Θέμα ο /ΙΟΥΛ 5) 5/4/8

Σελίδα 4 από 4 ΘΕΜΑ ο α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν τις σχέσεις: z = και Ιm (z). β. Να αποδείξετε ότι, αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z κινείται στο σύνολο (Σ), 4 τότε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w = z + z κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα το οποίο βρίσκεται στον άξονα. ΘΕΜΑ 3 ο (Θέμα/ΙΟΥΛ 3) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, z, z 3 με z = z = z 3 = και z +z +z 3 = α. Να αποδείξετε ότι: i. z z = z z 3 = z 3 z ii. z z 4 και Re( zz ) β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z, z, z 3 στο μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηματίζουν. ΘΕΜΑ 4 ο (Θέμα 3/ 6) Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός + αi z = με α IR. α + i α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού z ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ =. β. Έστω z, z οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο +αi z = για α = α+ i και α = αντίστοιχα. i. Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z και z. ii. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: (z ) ν = ( z ) ν για κάθε φυσικό αριθμό ν. ΘΕΜΑ 5 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = α+βi και z = z + z, όπου (Θέμα / 7) α, β IR με β. Δίνεται επίσης ότι z z IR. α. Να αποδειχθεί ότι z z =. β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο. γ. Αν ο αριθμός z είναι φανταστικός και αβ>, να υπολογισθεί ο z και να δειχθεί ότι (z ++i) ( z + i)=. (Θέμα 4/ΙΟΥΛ 7) 5/4/8

Σελίδα 5 από 4. Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια ΘΕΜΑ 6 Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; (Θέμα Α/7) ΘΕΜΑ 7 ο (Παράγωγος). Πότε η ευθεία παράστασης της f στο + ; y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής (Θέμα Α3/7) ΘΕΜΑ 8 ο Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α. Κάθε συνάρτηση, που είναι - στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη. β. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [α,β] και συνεχής στο (α,β], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α,β] μία μέγιστη τιμή. γ. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο και lim f(χ) = τότε lim f(χ) =. o δ. Αν lim f(χ) > τότε f() > κοντά στο. o o ε. Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. ΘΕΜΑ 9 ο Δίνεται η συνάρτηση f με: + < < f() = 5- (α + β ) ln( - 5 + e) + (α + ) e, 5-8 6, 5 Α. Να βρεθούν τα,. (Θέμα Β/) Β. Να βρεθούν τα α, β R, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο = 5. Γ. Για τις τιμές των α,β του ερωτήματος Β να βρείτε το. ΘΕΜΑ ο lim f() 5 lim f() 5 + lim f() + (Θέμα 3/ΤΕΧ) Πότε μία ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ; (Θέμα Γ/ΙΟΥΛ 3) 5/4/8

Σελίδα 6 από 4 3. Παράγωγος ΘΕΜΑ ο Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, να γραφεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (, f( )). (Θέμα Α/) ΘΕΜΑ ο Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα σημείο του πεδίου ορισμού της,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. ΘΕΜΑ 3 ο (Θέμα Α/-7) Έστω η συνάρτηση f() = ημ. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR και ισχύει f () = συν. ΘΕΜΑ 4 ο (Θέμα Β/) Τι σημαίνει γεωμετρικά το θεώρημα Rolle του Διαφορικού Λογισμού; (Θέμα Α/ΙΟΥΛ 7) ΘΕΜΑ 5 ο Δίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, για την f() e + οποία ισχύει: lim = 5. ημ α. Να βρείτε το f(). β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο =. γ. Αν h() =e f(χ), να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και h στα σημεία Α(,f()) και Β(,h()) αντίστοιχα είναι παράλληλες (Θέμα 3/Σεπ ) ΘΕΜΑ 6 ο Φάρμακο χορηγείται σε ασθενή για πρώτη φορά. Έστω f(t) η συνάρτηση που περιγράφει τη συγκέντρωση του φαρμάκου στον οργανισμό του ασθενούς μετά από χρόνο t από τη χορήγησή του, όπου t. Αν ο ρυθμός μεταβολής της f(t) είναι 8 - t + α) Να βρείτε τη συνάρτηση f(t). β) Σε ποια χρονική στιγμή t, μετά τη χορήγηση του φαρμάκου, η συγκέντρωσή του στον οργανισμό γίνεται μέγιστη; γ) Να δείξετε ότι κατά τη χρονική στιγμή t = 8 υπάρχει ακόμα επίδραση του 5/4/8

Σελίδα 7 από 4 φαρμάκου στον οργανισμό, ενώ πριν τη χρονική στιγμή t = η επίδρασή του στον οργανισμό έχει μηδενιστεί. (Δίνεται ln,4). ΘΕΜΑ 7 ο (Θέμα 4ΤΕΧ/ ) Η τιμή Ρ (σε χιλιάδες δραχμές) ενός προϊόντος, t μήνες μετά την εισαγωγή του στην αγορά, δίνεται από τον τύπο t - 6 P(t) = 4 +. 5 t + 4 α. Να βρείτε την τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά. β. Να βρείτε το χρονικό διάστημα, στο οποίο η τιμή του προϊόντος συνεχώς αυξάνεται. γ. Να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τιμή του προϊόντος γίνεται μέγιστη. δ. Να δείξετε ότι η τιμή του προϊόντος μετά από κάποια χρονική στιγμή συνεχώς μειώνεται, χωρίς όμως να μπορεί να γίνει μικρότερη από την τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά. (Θέμα 4ο/ Σεπ) ΘΕΜΑ 8 ο A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. α. Να αποδείξετε ότι αν f ()> σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα Δ. β.αν f ()< σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τι συμπεραίνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης f ; Β..Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α. Η συνάρτηση f() =e - είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. π β. Η συνάρτηση f με f () = ημ+ + 3, όπου [,π) είναι γνησίως ημ αύξουσα στο γ. Αν f () = g () + 3 για κάθε Δ, τότε η συνάρτηση h()=f()-g() είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ ΘΕΜΑ 9 ο (Θέμα /Σεπ ) Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο. β. Αν η f δεν είναι συνεχής στο,τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο. γ. Αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο,τότε η f είναι συνεχής στο. (Θέμα Β/) 5/4/8

Σελίδα 8 από 4 Β. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης f στο διάστημα [-,6]. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα. y - 3 6 (Θέμα Β/Σεπ ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η συνάρτηση f() = - 4 + 3, R. α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες και y y. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (3, f(3)). γ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f. (Θέμα εσπ/) ΘΕΜΑ 3 ο Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης Β που αντιστοιχεί στην εφαπτομένη της κάθε συνάρτησης στο σημείο. Στήλη Α Στήλη Β Συναρτήσεις Εφαπτόμενες α. f()=3 3, =. y=-+π π β. f()=ημ, =. y= 4 + γ. f()=3, = 3. y=9-6 δ. f()=, =4 4. y=-9+5 5. δεν υπάρχει (Θέμα Β/) ΘΕΜΑ 3 ο Ένα τουριστικό λεωφορείο έχει να διανύσει απόσταση 65 km με σταθερή ταχύτητα km την ώρα. Σύμφωνα με τον Κώδικα Οδικής Κυκλοφορίας το μέγιστο όριο ταχύτητας είναι 9 km την ώρα. Τα καύσιμα κοστίζουν 6 δραχμές το λίτρο, η ωριαία κατανάλωση είναι 5,5 + λίτρα και η αμοιβή του οδηγού είναι δραχμές την ώρα α) Να αποδείξετε ότι το συνολικό κόστος Κ () της διαδρομής είναι:. 8 K () = + 5, < 9. β) Να βρείτε την ταχύτητα του λεωφορείου για την οποία το κόστος της 5/4/8

Σελίδα 9 από 4 διαδρομής γίνεται ελάχιστο. (Θέμα 4εσπ/) ΘΕΜΑ 33 ο Τη χρονική στιγμή t= χορηγείται σ' έναν ασθενή ένα φάρμακο. Η συγκέντρωση του φαρμάκου στο αίμα του ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση αt f(t)= +,t όπου α και β είναι σταθεροί θετικοί πραγματικοί αριθμοί και ο t β χρόνος t μετράται σε ώρες. Η μέγιστη τιμή της συγκέντρωσης είναι ίση με 5 μονάδες και επιτυγχάνεται 6 ώρες μετά τη χορήγηση του φαρμάκου. α. Να βρείτε τις τιμές των σταθερών α και β. β. Με δεδομένο ότι η δράση του φαρμάκου είναι αποτελεσματική, όταν η τιμή της συγκέντρωσης είναι τουλάχιστον ίση με μονάδες, να βρείτε το χρονικό διάστημα που το φάρμακο δρα αποτελεσματικά. (Θέμα 4/) ΘΕΜΑ 34 ο Δίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f(χ)=χ lnχ. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, να μελετήσετε την μονοτονία της και να βρείτε τα ακρότατα. β. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής. γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. (Θέμα /4) ΘΕΜΑ 35 ο Για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών IR, ισχύει ότι: f 3 () + β f () + γ f() = 3 + 6 για κάθε ΙR, όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί με β < 3γ. α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα γ. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης f() = στο ανοικτό διάστημα (,). (Θέμα 3/) ΘΕΜΑ 36 ο Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα [α, β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο (α, β). Αν ισχύει f(α) = f(β) = και υπάρχουν αριθμοί γ (α, β), δ (α, β), έτσι ώστε f(γ) f(δ)<, να αποδείξετε ότι: α. Υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f()= στο διάστημα (α, β). β. Υπάρχουν σημεία ξ, ξ (α, β) τέτοια ώστε f (ξ )< και f (ξ )>. γ. Υπάρχει ένα τουλάχιστον πιθανό σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. (Θέμα 4/3) 5/4/8

Σελίδα από 4 4. Ολοκλήρωμα ΘΕΜΑ 37 ο Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μία παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι: α. όλες οι συναρτήσεις της μορφής G() = F() + c, c ΙR είναι παράγουσες της f στο Δ και β. κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G() = F() + c, c ΙR. ΘΕΜΑ 38 ο β β Θέμα Α /ΙΟΥΛ 3) A.. Εστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε όλες οι συναρτήσεις της μορφής: G()=F()+c, c IR, είναι παράγουσες της f στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή: G() = F()+c, c IR, Α.. Να συμπληρώσετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις ώστε να προκύψουν γνωστές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος. α. λ f()d=. β. (f() + g())d =... α β γ.. ( λ f() + μg())d =.. όπου λ, μ ΙR και f, g συνεχείς συναρτήσεις στο α α [α, β] (Θέμα Α/ΙΟΥΛ ) ΘΕΜΑ 39 ο Να βρείτε τη συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f ()=6+4, ΙR και η γραφική της παράσταση στο σημείο της Α(,3) έχει κλίση. (Θέμα Β/ΙΟΥΛ ) ΘΕΜΑ 4 ο Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα α) (e + )d β) ΘΕΜΑ 4 ο 4 3 d γ) 3 β π (ημ + 3συν)d (Θέμα Β/ΙΟΥΛ ) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να δείξετε ότι f (t) dt = G( β) G( α). α (Θέμα Α/) 5/4/8

Σελίδα από 4 5. Συνδυαστικά Θέματα ΘΕΜΑ 4 ο Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f, είναι διάστημα. β. Αν f, g, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α, β], τότε α β f()g ()d = β β γ. Αν f είναι μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε χ f(t)dt α δ. Αν μια συνάρ διάστημα (α, β), (Α, Β) όπου Α= / α f()d = f(), για κάθε χ Δ. τηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα f() και Β = f(). lim + α α g ()d lim β ε. Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και f () = g () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε ισχύει f() = g() για κάθε χ. Δ. (Θέμα Β/ΙΟΥΛ 7) ΘΕΜΑ 43 ο Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α,β] και για κάθε [α, β] ισχύει f() τότε. β. Έστω f μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό ση μείο του. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο τότε f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του. γ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο. δ. Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα και α είναι ένα σημείο του, τότε g( α β f()d > α ( ) ) f(t)dt=f g() σύμβολα έχουν νόημα. ε. Αν α > τότε lim α =. g ( ) με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα (Θέμα Β/7) 5/4/8

Σελίδα από 4 ΘΕΜΑ 44 ο Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει πάντα z z z + z z + z. β. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f () > στο (α, ) και f () < στο (, β), τότε το f ( ) είναι τοπικό ελάχιστο της f. γ. Μία συνάρτηση f : Α ΙR είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν =, τότε f( ) = f( ). δ. Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με συνεχή πρώτη παράγωγο, τότε ισχύει: f() g () d = f() g() f () g() d ΘΕΜΑ 45 ο (Θέμα Β/ΙΟΥΛ 3) A. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συ νεχής στο σημείο αυτό. Β. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν z ένας μιγαδικός αριθμός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει z = z = z. β. Έσ τω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν f ()> για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ. γ. Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ΘΕΜΑ 46 ο ισχύει : f ()d = f() + c, c δ. Αν μι α συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση. ε. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο και f ( )=, τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο. (Θέμα /3) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δυο μιγαδικών αριθμών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους. IR. 5/4/8

Σελίδα 3 από 4 β. lim f( χ) = l, αν και µόνο αν f(χ) = χο lim + lim f(χ) = l χ ο χ ο γ. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση fg είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: (fg) (χ ο ) = f (χ ο )g (χ ο ) δ. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα. Αν f ()> σε κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. ε. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι β μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε f() t dt = G(β) G(α) a (Θέμα /4) ΘΕΜΑ 47 ο Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [α, β] και συνεχής στο (α, β], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [α, β] μία μέγιστη τιμή. β. Κάθε συνάρτηση, που είναι - στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη. γ. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο και lim f(χ) = τότε li m f(χ) = χ ο χο δ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR, τότε f ()d = f () f ()d. ε. Αν lim f(χ) > τότε f() > κοντά στο. χο ΘΕΜΑ 48 ο (Θέμα Β/) A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f () = για κάθ ε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. β. Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους. γ. Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισμού IR και ορίζονται οι συνθέσεις fοg και gof, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες δ. Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. κ ε. Αν υπάρχει το όριο της f στο, τότε lim f ( χ ) = κ lim f( ), εφόσον χ ο χο f(χ) κοντά στο χ, µε κ ΙΝ και κ. Γ. Να ορίσετε πότε λέμε ότι µια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό 5/4/8

Σελίδα 4 από 4 διάστη μα (α, β) και πότε σε ένα κλειστό διάσ τημα [α, β]. (Θέμα /Ιουλ 4) ΘΕΜΑ 49 ο Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. β α. Αν f( χ)d, τότε κατ ανάγκη θα είναι f() για κάθε [α,β]. α β. Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. γ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο IR,. και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α, β], στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. δ. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] και σημείο [α, β] στο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Τότε πάντα ισχύει ότι f ( )=. ε. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και υπάρχει (α, β) τέτοιο ώστε f( )=, τότε κατ ανάγκη θα ισχύει f(α) f(β)<. ΘΕΜΑ 5 ο (Θέμα Β/ ΙΟΥΛ) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσει ς που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα. β. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α, β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o. Αν η f είναι κυρτή στο (α, o ) και κοίλη στο ( o, β) ή αντιστρόφως, τότε το σημείο Α(χ o, f(χ ο )) είναι υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. γ. Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους. δ. Αν για δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται οι fοg και gοf τότε είναι υποχρεωτικά fοg gοf ε. Οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών zz, είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα. στ. Αν η συνάρτηση f έχει παράγουσα σε ένα διάστημα Δ και λ IR *, τότε ισχύε ι: λ f ( d ) = λ f ( d ) ΘΕΜΑ 5 ο (Θέμα Β/ΙΟΥΛ 5) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετρά διό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα πο υ αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] με f(α) < και υπάρχει ξ (α, β) ώστε f(ξ) =, τότε κατ' ανάγκη f(β) >. 5/4/8

Σελίδα 5 από 4 β. Αν υπάρχει το lim (f(χ)+g()), τότε κατ' ανάγκη υπάρχουν τα lim f() χ ο χ ο και lim g(). χ ο γ. Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία y =, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της f. δ. Αν lim f( χ) = και f()> κοντά στο, τότε lim χ ο χ ο f(χ) = + ε. Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα και α είναι ένα χ ' σημείο του, τότε ισχύει f(t)dt = f(χ) f(α) για κάθε χ Δ. α στ. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ' αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε χ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα. (Θέμα Β/5) ΘΕΜΑ 5 ο Δίνεται η συνάρτηση: α. Να αποδειχθεί ότι f() ημ3χ χ lim f() = 3. αν χ< = χ +αχ+βσυνχ αν χ β. Αν f ( π ) = π και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο =, ο να αποδειχθεί ότι α = β = 3. γ. Αν α = β = 3, να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα f()d π (Θέμα /ΙΟΥΛ 7) ΘΕΜΑ 53 ο +α, Δίνεται η συνάρτηση f() = όπου α ΙR. ( e + ) ln( ), (,] e + α. Να υπολογίσετε το όριο lim β. Να βρείτε το α ΙR ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο o =. γ. Για α=- να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α(ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη προς τον άξονα. (Θέμα 3/ΙΟΥΛ ) 5/4/8

Σελίδα 6 από 4 ΘΕΜΑ 54 ο Δίνεται η συνάρτηση f: R R, για την οποία ισχύει - 4 f() + 4, για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: α) f() = β) H συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο =. γ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο =. (Θέμα 3ΕΣΠ/) ΘΕΜΑ 55 ο + e Δίνεται η συνάρτηση f() = + e +, χ IR. α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία της στο IR. β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα d f ( ) γ. Για κάθε < να αποδείξετε ότι: f(5 )+f(7 )<f(6 )+f(8 ). ( Θέμα ο /ΙΟΥΛ 6). ΘΕΜΑ 56 ο Δίνεται η συνάρτηση f( ) = e e ln, >. α. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f() είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, + ). β. Να αποδειχθεί ότι ισ χύει f() > e για κάθε >. γ. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση + f(t)dt + = + 3 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (, + ). + 4 f(t)dt f(t)dt + (Θέμα 3/ ΙΟΥΛ 7) ΘΕΜΑ 57 ο Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, που ικανοποιούν την ισότητα (4 z) = z και η συνάρτηση f με τύπο f() = ++α, α IR. α. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν στην ευθεία =. β. Αν η εφαπτομένη ( ε) της γραφικής παράστασης της συνάρτ ησης f στο σημείο τομής της με την ευθεία = τέμνει τον άξονα ψ ψ στο ψ o = 3, τότε i. να βρείτε το α και την εξίσωση της εφαπτομένης (ε). ii. να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, της εφαπτομένης (ε), του άξονα χ χ και της ευθείας = 3 5. (Θέμα 3 ο /ΙΟΥΛ 6) 5/4/8

Σελίδα 7 από 4 ΘΕΜΑ 58 ο Δίνεται μια συνάρτηση f: [α, β] IR συνεχής στο διάστημα [α, β] µε f() για κάθε [α, β] και μιγαδικός αριθμός z µε Re(z), Ιm(z) και Re(z) > Im(z). Αν z + z = f(α) και z + z = f (β), να αποδείξετε ότι: α. z = β. f (β) < f (α) γ. η εξίσωση 3 f(α) + f(β) = έχει τουλάχιστον µία ρίζα στο διάστημα (, ). ΘΕΜΑ 59 ο Δίνεται η συνάρτηση f, ορισμένη στο ΙR. f(z)= z + z + z με α. α. Να βρείτε τα όρια, με τύπο (Θέμα 3/ΙΟΥΛ. 4) όπου z συγκεκ ριμένος μιγαδικός αριθμός z=α+βi, α, β IR,, lim f (), lim f (). β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f, εάν z+ > z. γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών και το πλήθος των ριζών της f. ΘΕΜΑ 6 ο (Θέμα 3/ΙΟΥΛ ) Θεωρούμε τη συνάρτηση f: IR IR µ ε f() = χ + m χ 4 χ 5 χ, όπου m IR, m >. α. Να βρείτε τον m ώστε f() για κάθε IR. β. Αν m =, να υπολογισθεί το εμβαδ όν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες = και =. ΘΕΜΑ 6 ο Δίνεται η συνάρτηση f() = ln( + ) (χ +) ln με >. α. i. Να αποδείξετε ότι: ln( + ) ln<, > ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστη (,+ ). β. Να υπολογίσετε το lim ln(+ + ) γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός α (,+ ) τέτοιος α α + ώστε (α+) = α. ( θέμα /ΙΟΥΛ. 4) μα 5/4/8

Σελίδα 8 από 4 (Θέμα 4 ο /ΙΟΥΛ 6) ΘΕΜΑ 6 ο 5 3 Έστω η συνάρτηση f() = + +. α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη συνάρτηση. β. Να αποδείξετε ότι f(e ) f(+) για κάθε IR. γ. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (,) είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων της f και της f. δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των και την ευθεία με εξίσωση =3. ΘΕΜΑ 63 ο (Θέμα 3/3) Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το IR,. Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης fog είναι -. α. Να δείξετε ότι η g είναι -. β. Να δείξετε ότι η εξίσωση: g(f() + 3 - ) = g(f() + -) έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζα. ΘΕΜΑ 64 ο (Θέμα 3/) Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο IR με f () για κάθε IR. α. Να δείξετε ότι η f είναι "-". β. Αν η γραφική παράσταση C f της f διέρχεται από τα σημεία Α(, 5) και Β(, ), να λύσετε την εξίσωση f ( 4+f(χ 8))= γ. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ της C f, στο οποίο η εφαπτομένη της Cf είναι κάθετη στην ευθεία (ε) : ψ = χ+5 668 (Θέμα 3/ΙΟΥΛ 5) ΘΕΜΑ 65 ο Έστω f μια πραγματική συνάρτηση με τύπο: α. Αν η f είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι α = f() = -e 3 9. α, 3-3, > 3 β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f στο σημείο Α(4, f(4)). γ. Να υπολογίσετε το εμ βαδόν του χωρί ου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησ ης f, τον άξονα και τις ευθείες = και =. (Θέμα /) 5/4/8

Σελίδα 9 από 4 ο ΘΕΜΑ 66 χ+ Δίνεται η συνάρτηση f()= ln. χ α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει ακριβώς ρίζες στο πεδίο ορισμού της. γ. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g()=ln στο σημείο Α(α, lnα) με α> και η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h()=e χ στο σημείο Β(β, e β ) με β IR ταυτίζονται, τότε να δείξετε ότι ο αριθμός α είναι ρίζα της εξίσωσης f()=. δ. Να αιτιολογήσετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g και h έχουν ακριβώς δύο κοινές εφαπτόμενες. (Θέμα 4ο/6) ΘΕΜΑ 67 ο Δίνεται η συνάρτηση f() = +. α. Να αποδείξετε ότι lim f() =. + β. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f, όταν το τείνει στο. γ. Να αποδε ίξετε ότι f () + + f() =.. δ. Να αποδείξετε ότι d = ln ( + ) ΘΕΜΑ 68 ο + (Θέμα 3/ΙΟΥΛ 3) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [,] και ισχύει f ()> για κάθε (,). Aν f()= και f()=4, να δείξετε ότι: α. η ευθεία y=3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σ' ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη (,). f( ) + f( ) + f( 3 ) + f( 4 ) β. υπάρχει (,), τέτοιο ώστε f( )= 5 5 5 5 4 γ. υπάρχει (,), ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ(,f( )) να είναι παράλληλη στην ευθεία y=+. (Θέμα 3/) ΘΕΜΑ 69 ο Δίνεται η συνάρτηση: f() = 3 3 ημ θ όπου θ IR μια σταθερά με π θ κπ+, κ Z. α. Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες. 5/4/8

Σελίδα από 4 γ. Αν, είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και 3 η θέση του σημείου καμπής της f, να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α(, f( )), B(, f( )) και Γ( 3, f( 3 )) βρίσκονται στην ευθεία y = ημ θ. δ. Να υπολογισθεί το εμβα δόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και την ευθεία y = ημ θ. (Θέμα 3/7) ΘΕΜΑ 7 ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f() = e λ, λ >. α. Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. β. Δείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η y = λe. Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ. γ. Δείξτε ότι το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου, το οποίο περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της f, της εφαπτομένης της στο σημείο Μ και του άξονα y y, e είναι Ε(λ)= λ λε(λ) δ. Υπολογίστε το lim. + +ημλ ΘΕΜΑ 7 ο (Θέμα 3 ο /5) Θεωρούμε τη συνάρτηση f() =+(-) με. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι -. β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f - της f και να βρείτε τον τύπο της. γ. i. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f - με την ευθεία y=. ii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f -. (Θέμα ο /6) ΘΕΜΑ 7 ο Δίνεται μια συνάρτηση f ορισμένη στο IR με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: f() = f( χ) και f () για κάθε IR. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη. β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μοναδική ρίζα. f() γ. Έστω η συνάρτηση g() =.Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της f () γραφικής παράστασης της g στο σημείο στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45 ο. (Θέμα 4/ΙΟΥΛ 3) 5/4/8

Σελίδα από 4 ΘΕΜΑ 73 ο Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, + ) IR τέτοια, ώστε f() = + f( t ) dt. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ). β. Να αποδείξετε ότι f() = e ( + ). γ. Να αποδείξετε ότι η f() έχει μοναδική ρίζα στο [, + ). δ. Να βρείτε τα όρια lim f() και lim f(χ). + (Θέμα 4/ΙΟΥΛ4) ΘΕΜΑ 74 ο Δίνεται η συνάρτηση g(χ)=e χ f(χ), όπου f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο IR και f()=f(3)=. α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τέτοιο ώστε f (ξ)= f(ξ). τουλάχιστο ξ (, 3) β. Εάν f(χ)=χ 3χ, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I(α) = g( χ)dχ, α IR α γ. Να βρείτε το όριο lim I(α) ΘΕΜΑ 75 ο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: IR IR, για την οποία ισχύει α. Να δείξετε ότι: i. f()= ii. f () =. f() lim + λ( f( )) β. Να βρείτε το λ IR έτσι, ώστε: lim = 3 + ( f( )) γ. Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο IR και f ()>f() για κάθε IR, να δείξετε ότι: i. f()> για κάθε. ii. f ( d< ) (Θέμα 3/4) = 5 (Θέμα 4 ο /ΙΟΥΛ 5) 5/4/8

Σελίδα από 4 ΘΕΜΑ 76 ο Έστω μια πραγματική συνάρτηση f, συνεχής στο (,+ ) για την οποία t f(t) ισχύει: f() = + dt α. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (,+ ). β. Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι: f() = + ln, > γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. δ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής π αράστασης της f. ε. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες =, =e. ΘΕΜΑ 77 ο (Θέμα 4/ΙΟΥΛ ) Έστω μια πραγματική συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πραγματικών ΙR, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: i) f(), για κάθε ΙR ii) f() = - t f (t) dt, για κάθε ΙR. Έστω ακόμη g η συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο g() = -, για κάθε ΙR. f() α. Να δείξετε ότι ισχύει f ( ) = - f () β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή. γ. Να δείξ ετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι: δ. Να βρείτε το όριο lim ( f() ημ). ΘΕΜΑ 78 ο + f() = +. αριθμών (Θέμα 4/) α. Έστω δύο συναρτήσεις h, g συνεχείς στο [α, β]. Να αποδείξετε ότι αν h() > β β g() για κάθε [α, β], τότε και h()d > g()d α. α β. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο ΙR συνάρτηση f, που ικανοποιεί τις σχέσεις: f(χ) e f() =, ΙR και f() =. i) Να εκφραστεί η f ως συνάρτηση της f. χ ii) Να δε ίξετε ότι < f(χ) < χf (χ) για κάθε >. iii) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες =, = και τον άξονα, να δείξετε ότι: < Ε < 4 f(). (Θέμα 4/) 5/4/8

Σελίδα 3 από 4 ΘΕΜΑ 79 ο Δίνεται η συνάρτηση f() =, χ R. e e + α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f. β. Να δείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα το μηδέν. γ. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ΘΕΜΑ 8 ο - f () d - (Θέμα /ΙΟΥΛ ) Έστω η συνάρτηση f, ορισμένη στο R με δεύτερη συνεχή παράγωγο, που ικανοποιεί τις σχέσεις: f ()f() + (f ( )) = f()f (), R και f() = f () =. α. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f. β. Αν g είναι συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το διάστημα g(t) [,], να δείξετε ότι η εξίσωση χ + f (t) dt = έχει μία μοναδική λύση στο διάστημα [,]. (Θέμα 4/ΙΟΥΛ ) ΘΕΜΑ 8 ο Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο IR τέτοια, ώστε να ισχύει η σχέση f () = e f() για κάθε IR και f() =. χ + e α. Να δειχθεί ότι: f(χ) = ln f(-t)dt β. Να βρεθεί το: lim ημχ γ. Δίδονται οι συναρτήσεις: h(χ) = 7 t f() t d t και g(χ) = 7 Δείξτε ότι h() = g() για κάθε IR. δ. 5 Δείξτε ότι η εξίσωση () t f t dt = έχει ακριβώς 8 μία λύση στο (, ). (Θέμα 4 /5) ο 5/4/8

Σελίδα 4 από 4 ΘΕΜΑ 8 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f: IR I R τέτοια ώστε f()=. Αν για κάθε IR, ισχύει g(χ) = 3 zf () tdt 3 z+ z (χ ) όπου z=α+βi C, µε α, β IR*, τότε: α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο IR και να βρείτε τη g. β. Να αποδείξετε ότι z+ = z z γ. Με δεδομένη τη σχέση του ερωτήματος β να αποδείξετε ότι Re(z ) = δ. Αν επιπλέον f()=α>, f(3)=β και α>β, να αποδείξετε ότι υπάρχει (, 3) τέτοιο ώστε f( )=. ΘΕΜΑ 83 ο (Θέμα 4/4) Έστω f μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα [, ] για την οποία ισχύει f() >. Δίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα [, ] για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, ]. Ορίζουμε τις συναρτήσεις: F() = f(t)g(t)dt, [, ], G() = g(t)dt, [, ]. α. Να δειχθεί ότι F( ) > για κάθε στο διάστημα (, ]. β. Να αποδειχθεί ότι: f() G() > F() για κάθε στο διάστημα (, ]. F() F() γ. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: για κάθε στο διάστημα (, ]. G() G() ( f(t)g(t)dt ) ημt dt δ. Να βρεθεί το όριο: lim. + 5 g(t)dt ( ) (Θέμα 4/ 7) 5/4/8