Matematický časopis pre žiakov základných a stredných škôl

Ročník: 19 Číslo: 2 Šk. rok: 2013/2014 Matematický časopis pre žiakov základných a stredných škôl Pravdu spoznávame nielen rozumom, ale tiež srdcom. Srdce má svoje dôvody, ktoré rozum nepozná. Blaise Pascal

Redakčná pošta Milí čitatelia, v tomto predvianočnom zhone nezostáva veľa času na čítanie, preto vám okrem iných článkov prinášame aj viac než šesťstranový zoznam matematických kníh, ktoré by vás mohli zaujímať. Sú medzi nimi staršie (tie už nájdete len v knižniciach či antikvariátoch), ale aj novšie, ktoré sa ešte predávajú. Možno vám ten zoznam poslúži ako dobrý tip na vianočný darček pre niekoho blízkeho. V tomto čísle časopisu sa v rámci článkov z histórie matematiky venujeme Blaisovi Pascalovi a siedmim slobodným umeniam. Krátko pokračujeme aj v sérii zaujímavých myšlienok významných osobností, ktoré majú v tomto roku nejaké okrúhle výročie. Na overenie svojich matematických schopností vám opäť prinášame krátky matematický test zložený zo 16 úloh so zaujímavým vyhodnotením. Pre záujemcov o náročnejšie úlohy je určená aj naša korešpondenčná súťaž. Do prvej série sa však zapojilo veľmi málo riešiteľov najúspešnejšou riešiteľkou bola Michaela Dlugošová, ktorá je na najlepšej ceste získať cenu pre najúspešnejšieho riešiteľa/riešiteľku v tomto školskom roku. Nič však nie je stratené a opäť udelíme cenu pre najúspešnejšieho riešiteľa/riešiteľku druhej série. Prajem vám pokojné vianočné sviatky a úspešný vstup do nového roka. Martin Hriňák

Blaise Pascal medzi ľudským a matematickým nekonečnom V základoch matematiky a fyziky Meno Pascal si určite pamätáte nielen podľa pomenovania jednotky tlaku v sústave SI, ale aj podľa Pascalovho zákona: Tlak v kvapalinách sa šíri vo všetkých smeroch rovnako. Vo svojich fyzikálnych prácach vyjadril Blaise Pascal (19. 6. 1623 19. 8. 1662) závislosť hydrostatického tlaku, opísal hydrostatický paradox, zákon spojených nádob a princíp hydraulického lisu. Dokázal, že tlak vzduchu závisí od nadmorskej výšky, teploty a jeho vlhkosti. Na poli matematiky odhalil v teórii čísel pravidlá deliteľnosti, skúmal kužeľosečky a opísal vlastnosti cykloidy, poznal usporiadanie kombinačných čísel a ich využitie na rozklad mocnín dvojčlena. Zapísal sa medzi zakladateľov teórie pravdepodobnosti i predchodcov diferenciálneho a integrálneho počtu. Skonštruoval sčítací stroj, predchodcu mechanických kalkulačiek. Pochopil význam axiomatickej metódy pre matematiku: Všetko sa musí dokázať a pri dôkaze nemožno použiť nič iné okrem axióm a predtým dokázaných viet... Nikdy nemožno zneužiť to, že sa rôzne veci často označujú rovnakým termínom; preto určený termín musí byť v mysli zamenený za definíciu. Ukázal vznešenosť matematického spôsobu myslenia. Priblížil človeka k pochopeniu nekonečna. Vedel, že matematikou sa nedokáže všetko, ale to, čo sa dokáže, to je jednoznačné. Rozum i srdce Blaise Pascal, matematik, fyzik, filozof, spisovateľ, plný duševných i fyzických bolestí, odhalil: Pravdu spoznávame nielen rozumom, ale tiež srdcom. Srdce má svoje dôvody, ktoré rozum nepozná. Uznal, že príroda zjavne manifestuje boha, ale zároveň ho aj skrýva. Silu rozumu doplnil silou srdca, v ktorom ten, kto verí, nič nemôže stratiť a všetko môže získať. Uvidel paradoxy človeka v jeho biede i veľkosti, medzi absolútnou hodnotou i zbytočnou ničotou, v spojení rozumu s vierou, v milosti i zatratení. Len tam, kde cítime, máme istotu; tam, kde odvodzujeme, sme plní neistoty. Pascal chápal človeka súčasne s jeho myslením: Myšlienka je čosi obdivuhodné a neporovnateľné vo svojej podstate... Myšlienka tvorí veľkosť človeka... Človek je zjavne stvorený na to, aby myslel... Celá naša dôstojnosť spočíva v myslení. V ňom sa musíme vzopnúť nielen v priestore a čase, ktoré nedokážeme naplniť. Usilujme sa teda, aby sme mysleli správne. V tom je princíp mravnosti. Hľadal pre človeka 1

miesto v strede medzi všetkým a ničím, medzi rozumom a srdcom, medzi anjelom a zvieraťom, medzi vševedúcnosťou a nevedomosťou. Uznával, že človek neustále zápasiaci s rozporom v sebe i mimo seba je úbohý i vznešený zároveň. Nikto nezbaví človeka zápasu o vytrvalé prekonávanie seba samého. Človek stojaci tvárou v tvár svetu a večnosti potrebuje vieru odhaľujúcu záhady človeka a jeho postavenia vo vesmíre hmoty i ducha. V každom človeku je priepasť, ktorú môže vyplniť iba boh. Sila myšlienky Vedel sa zmocniť ľudských problémov. Je obdivuhodný v množstve i rôznorodosti postrehu o človeku a jeho osobnosti. Jeho Penseés Myšlienky (pracoval na nich od roku 1660, vyšli až po jeho smrti v roku 1670) sú nedokončeným súborom osobných poznámok, v ktorých Pascal, preniknutý láskou k človeku, bičuje ľudské slabosti (napr. ješitnosť, pýchu, domýšľavosť, ničotnosť, ctižiadosť, márnivosť). Myšlienky vynikajú silou predstavivosti, expresivitou, dramatickosťou. Sú pozoruhodným filozofickým, ale aj dôstojným literárnym dielom francúzskej literatúry. Uveďme niektoré z nesmrteľných myšlienok : Pravda poskytuje istotu, ale už aj samotné jej hľadanie poskytuje pokoj. Rozumný človek nemiluje preto, že je to pre neho výhodné, ale preto, že nachádza šťastie v samotnej láske. Kto nám vytýka nedostatky, zaslúži si našu vďaku. Naše nedostatky síce týmto spôsobom nezmiznú, pretože ich máme ešte veľmi mnoho, ale ak sú nám známe, začínajú nás znepokojovať a my sa snažíme zbaviť sa ich. Čím je človek rozumnejší a lepší, tým viac dobra zbadá v ľuďoch. Pravé blaho človeka musí byť také, aby ho mohli vlastniť všetci ľudia súčasne, bez rozdielu a závisti, a aby oň nikto proti svojej vôli nemohol prísť. Svoju dôstojnosť nesmiem hľadať v priestore, ale v sústavnosti vlastného myslenia. Nezískam žiadnu výhodu, ak budem vlastníkom zemí. Priestorom ma vesmír obsiahne a pohltí ako bod, myšlienkou ho obsiahnem ja. Pre vznešených je potešením, ak môžu robiť ľudí šťastnými. Spravidla nás presvedčujú viac tie dôvody, ktoré sami objavíme, než tie, na ktoré prišli iní. Náhoda pomáha tým, ktorí sú na ňu pripravení. Nemožno popierať existenciu všetkého, čo nie je pochopiteľné. Rozpornosť nie je známkou nesprávnosti rovnako, ako neprítomnosť rozporu nie je známkou pravdy. V tejto dobe je pravda taká zatemnená a lož taká zavedená, že pravdu môže poznať iba ten, kto ju miluje. 2

Intelektuálna viera Blaise Pascal tušil dialektickú jednotu medzi teóriou a empíriou, rozumovosťou a zmyslovosťou, dedukciou a indukciou. Viedol dramatické súboje medzi rozumom a vierou, medzi hlasom vedy a dogmou náboženskej autority. Vo filozofických názoroch hľadajúc matematické a ľudské nekonečno váhal medzi racionalizmom a iracionalizmom, intelektom a intuíciou, medzi človekom a bohom, ktorý sa mu zjavoval priveľmi, aby ho mohol ignorovať a poprieť, a primálo, aby ho zreteľne uvidel. Viera tvrdí, čo zmysly nevnímajú, ale netvrdí opak toho, čo zmysly vnímajú. Vždy stojí nad nimi, ale nie proti nim. Veda i náboženstvo kormidlujú človeka k neustálemu hľadaniu pravdy, k odhaleniu skrytého boha. Pascal chcel spolupracovať s bohom, aby bol vyššou jednotou vyriešený základný ľudský problém. Videl ohraničenosť ľudského intelektu a predsa veril perspektívam rozumového bádania. Obrátil myslenie svojej doby smerom k štúdiu ľudského vnútra, k hierarchii etických hodnôt a syntéze lásky. Až do našich čias Pre každú rozháranú spoločenskú dobu, ktorou bola aj tridsaťročná vojna (1618 1648), obdobie kedy B. Pascal žil a tvoril, pre zápas o demokraciu a humanitu v každom čase zostanú platné jeho slová: Spravodlivosť a moc musia byť jedno, aby sa spravodlivosť stala mocou a moc spravodlivosťou. Čo si prečítať o matematickej kultúre 3 Dušan Jedinák (výber z popularizačnej, rekreačno-zábavnej, logicko-poučnej, didakticko-odbornej i historicko-filozofickej knižnej produkcie v českom alebo slovenskom jazyku) ABEL, N. H.: O algebrických rovnicích. Kanina Plzeň: OPS, 2011. AL CHVÁRIZMÍ: Aritmetický a algebraický traktát. Nymburk: OPS, 2008. ACZEL, A. D.: Náhoda příručka pro hazardní hráče,... Praha: Dokořán, 2008. ACZEL, A. D.: Umělec a matematik. Praha: Academia, 2008. ADLER, I.: Čísel hra kouzelná. Praha: Horizont, 1972. ACHESON, D.: 1089 a další parádní čísla. Praha: Dokořán, 2006. ANDĚL, J.: Matematika náhody. Praha: Matfyzpress, 2003. ASKEV, M. EBBUTTOVÁ, S.: Geometrie bez (m)učení. Praha: Grada Publishing, 2012. ATALAY, B.: Matematika a Mona Lisa. Praha: Slovart, 2007. AUSBERGEROVÁ, M. FOLK, R.: Rozvíjení myšlení žáků při vyučování. Praha: PF UK, 1999. BALL, K.: Podivuhodné křivky, počítaní králíků a jiná matematická dobrodružství. Praha: Argo/Dokořán, 2011. BALADA, F.: Z dějin elementární matematiky. Praha: SPN, 1959. BÁLINT, V. KRIŽALKOVIČ, K.: Album slávnych matematikov. Banská Bystrica: UP, 1988.

BARROW, J. D.: Kniha o nekonečnu. Praha: Paseka, 2007. BARROW, J. D.: Pí na nebesích (O počítaní, myšlení, bytí). Praha: Mladá fronta, 2000. BARROW, J. D.: Sto důležitých věcí, které nevíte (a ani nevíte, že je nevíte). Praha: Dokořán, 2013. BECKMANN, P.: Historie čísla π. Praha: Academia, 1998. BEČVÁŘ, J. FUCHS, E. (ed.): Historie matematiky I. Praha: Prometheus, 1994. BEČVÁŘ, J. FUCHS, E. (ed.): Matematika v 19. století. Praha: Prometheus, 1996. BEČVÁŘ, J. FUCHS, E. (ed.): Člověk, umění, matematika. Praha: Prometheus, 1996. BEČVÁŘ, J. FUCHS, E. (ed.): Historie matematiky II. Praha: Prometheus, 1997. BEČVÁŘ, J. FUCHS, E. (ed.): Matematika v proměnách věků I. Praha: Prometheus, 1998. BEČVÁŘ, J. FUCHS, E. (ed.): Matematika v 16. a 17. století. Praha: Prometheus, 1999. BEČVÁŘ, J. FUCHS, E. (ed.): Matematika v proměnách věků II. Praha: Prometheus, 2001. BEČVÁŘ, J. a kol.: Seznamujeme se s množinami. Praha: SNTL, 1982. BEČVÁŘ, J. a kol.: Matematika ve středověké Evropě. Praha: Prometheus, 2001. BEČVÁŘOVÁ, M.: Z historie Jednoty (1862 1869). Praha: Prometheus, 1999. BEČVÁŘOVÁ, M.: Eukleidovy ZÁKLADY, jejich vydání a překlady. Praha: Prometheus, 2002. BEHÚNOVÁ, V.: Úvod do logiky pedagogického myslenia. Prešov: PU, 1998. BEĽAJEV, J. PERMINOV, V.: Filozofické a metodologické problémy matematiky. Bratislava: Pravda, 1984. BENDOVÁ, K.: Sylogistika. Praha: Karolinum, 1998. BERAN, L. ONDRÁČKOVÁ, I.: Prověřte si své matematické nadání. Praha: SNTL, 1988. BERAN, L. ONDRÁČKOVÁ, I.: Žádné obavy z matematiky. Praha: SPN, 1986. BERO, P.: Matematici, ja a ty. Bratislava: Mladé letá, 1989. BERKA, K.: Stručné dějiny logiky. Praha: Karolinum, 1994. BERKA, K. JAURIS, M.: Logika. Praha: SPN, 1978. BERKA, K. MLEZIVA, M.: Co je logika? Praha: NPL, 1962. BEUTELSPACHER, A.: Matematika do vesty. Praha: Baronet, 2005. BIZÁM, G. HERCZEG, J.: Hra a logika v 85 príkladoch. Bratislava: Alfa, 1979. BIZÁM, G. HERCZEG, J.: Zaujímavá logika. Bratislava: Alfa, 1982. BOBER, J.: Malá encyklopédia bádateľov a vynálezcov. Bratislava: Obzor, 1973. BOCHEŃSKI, J. M.: Cesty k filosofickému myšlení. Praha: Svoboda, 1994. BOKR, J. SVATEK, J.: Základy logiky a argumentace. Dobrá Voda: Čeněk, 2000. BUKOVSKÝ, L.: Množiny a všeličo okolo nich. Bratislava: Alfa, 1985. BOLZANO, B.: O matematické metodě. Praha: Filosofia, 2012. BURJAN, V. a kol.: Matematický koktail. Bratislava: SPN, 1991. BUŠEK, I. CALDA, E.: Základní poznatky z matematiky. Praha: Prometheus, 2008. CARROL, L.: Logika hrou. Praha: Pressfoto, 1971. CIRJAK, M.: Zbierka divergentných a iných neštandardných úloh. Prešov: Essox, 2000. COLERUS, E.: Od násobilky po integrál. Bratislava: Alfa, 1969. COLERUS, E.: Od Pythagory k Hilbertovi. Praha: Družstevní práce, 1941. CRYAN, D. a kol.: Logika. Praha: Portál, 2003. CRILLY. T.: Matematika 50 myšlienok, ktoré by ste mali poznať. Bratislava: SLOVART, 2011. CRILLY. T.: Matematika (Velké otázky). Praha: Euromedia Group Knižní klub, 2012. CSONTOS, L.: Úvod do logiky. Bratislava: Dobrá kniha, 1995. CVIK, P. a kol.: Program pre záujmový útvar matematiky, pre 1. a 2. roč. SŠ. Bratislava: SPN, 1985. ČECH, V.: Proč děláme důkazy v matematice. Praha: SPN, 1971. ČECHÁK, V. a kol.: Co víte o moderní logice? Praha: Horizont, 1981. ČERNÝ, I.: Úvod do inteligentního kalkulu (1000 příkladů z elementární analýzy). Praha: Academia 2002. ČUPR, K.: Aritmetické hry a zábavy. Praha: JČMF, 1943. ČUPR, K.: Geometrické hry a zábavy. Praha: JČMF, 1949. DEPMAN, I. FOLTA, J.: Svet čísel. Bratislava: SPN, 1973. DERBYSHIRE, J.: Posedlost prvočísly. Praha: Academia, 2007. 4

DEVLIN, K.: Jazyk matematiky. Praha: Argo a Dokořán, 2002. DEVLIN, K.: Problémy pro třetí tisíciletí (Sedm nejvĕtších nevyřešených otázek matematiky). Praha: ARGO, 2005. DOBROVOLNÝ, B.: Matematické rekreace. Praha: Práce, 1961, 1969. DOBROVOLNÝ, B.: Nové matematické rekreace. Praha: SNTL, 1967. DOKULIL, M.: Logika pro pedagogy. Praha: SPN, 1970. DUPAČ, V. HÁJEK, J.: Pravděpodobnost ve vědě a technice. Praha: NČSAV, 1962. DUŠEK, F.: Matematické záujmové krúžky. Bratislava: SPN, 1973. DYNKIN, J. B.: Matematické hlavolamy. Bratislava: Alfa, 1976, 1979. EUKLEIDES: Základy I IV; V VI. Nymburk: OPS, 2007; 2009. EUKLEIDES: Základy VII IX; X. Kanina Plzeň: OPS, 2010; 2012. FISCHER, R. MALLE, G.: Človek a matematika. Bratislava: SPN, 1992. FOLTA, J.: Dějiny matematiky I. Praha: NTM, 2004. FOLTA, J. a kol.: Matematici Encyklopedická edice LISTY. Praha: Encyklopedický dům, 1997. FOLTA, J. NOVÝ, L.: Dějiny přirodních věd v datech. Praha: Mladá fronta, 1979. FOLTA, J. NOVÝ, L.: Dejiny prírodných vied v dátach. Bratislava: Smena, 1981. FOLTA, J. ŠEDIVÝ, J. a kol.: Dějiny matematiky a fyziky v obrazech I. VIII. Praha: JČSMF, 1982 1990. FRANEK, M.: Od algebry k počítačom. Bratislava: SPN, 1971. FREGE, G.: Základy aritmetiky (Logicko-matematické skúmanie pojmu čísla). Bratislava: Veda, 2001. FULIER, J. ŠEDIVÝ, O.: Motivácia a tvorivosť vo vyučovaní matematiky. Nitra: UKF-FPV, 2001. FUCHS, E. a kol.: Světonázorové problémy matematiky IV. Praha: SPN, 1987. GAHÉR, F.: Logické hádanky, hlavolamy, paradoxy. Bratislava: Iris, 1996. GAHÉR, F.: Logika pre každého. Bratislava: IRIS, 1998. GAJTANSKA, M. KOSMÁK, L.: Diagramy v matematike. Zvolen: Matcentrum, 1995. GATIAĽ, J. a kol.: Hry takmer matematické. Praha: Mladá fronta, 1982. GHYKA, M. C.: Zlaté číslo. Praha: Argo/Dokořán, 2008. GLADE, H.: Na začiatku bol abakus. Bratislava: Smena, 1981. GOGA, M.: Vieš, uhádneš (hlavolamy). Bratislava: Videopress, 1992. GOGA, M. PINDA, Ľ.: Úlohy pre bystré hlavy. Bratislava: SPN, 1989. GOLDSTEINOVÁ, R.: Neúplnost. Důkaz a paradox K. Gödela. Praha: Dokořán, 2006. GOWERS, T.: Matematika. Praha: Dokořán, 2006. GÖDEL, K.: Filosofické eseje. Praha: Oikoymenh, 1999. GÖRKEOVÁ, L. a kol.: Matematika zo všetkých strán. Bratislava: Mladé letá, 1980. GÖRKEOVÁ, L. a kol.: Zajímavá matematika. Praha: Albatros, 1983. HARDY, G. H.: Obrana matematikova. Praha: Prostor, 1999. HAVLÍČEK, K. a kol.: Cesty moderní matematiky. Praha: Horizont, 1976. HAUPT, D.: Množinový počet zrozumiteľne. Bratislava: Alfa, 1984. HEJNÝ, M. a kol.: Dvacet pĕt kapitol z didaktiky matematiky. Praha: UK PdF, 2004. HEJNÝ, M. a kol.: Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava: SPN, 1989. HEJNÝ, M. KUŘINA, F.: Dítě, škola a matematika. Praha: Portál, 2001. HEJNÝ, M. MICHALCOVÁ, A.: Skúmanie matematického riešiteľského postupu. Bratislava: MC, 2001. HEJNÝ, M. NIEPEL, Ľ.: Šestnásť matematických príbehov. Bratislava: Mladé letá, 1983. HECHT, T. SKLENÁRIKOVÁ, Z.: Metódy riešenia matematických úloh. Bratislava: SPN, 1992. HONČARIV, R.: Matematické obrazy života. Bratislava: Obzor, 1989. HONZÍKOVI, K. a M.: Dobroduržství čísel. Praha: Svoboda, 1970. HROMEK, P.: Logika v příkladech. Olomouc: UP, 2002. HRIŇÁK, M.: Metódy riešenia matematických úloh 1 3. Bratislava: MPC, 2008. HRIŇÁK, M. a kol.: Netradičné metódy vo vyučovaní matematiky 1, 2. Bratislava: MPC, 2008. HRIŇÁK, M.: Zbierka aplikovaných slovných úloh z matematiky pre ZŠ. Bratislava: JSMF, 2012. HRUBÝ, D.: Matematická cvičení pro střední školy. Praha: Prometheus, 2008. 5

HRUŠA, K. a kol.: Úvod do studia matematiky. Praha: SPN, 1963. CHURCH, A.: Úvod do matematické logiky. Brno: UJEP, 1977. JANÁK, V.: Základy formální logiky. Praha: SPN, 1973. JAURIS, M.: Logika. Praha: SPN, 1976. JAURIS, M. ZASTÁVKA, Z.: Základy neformální logiky. Praha: S & M, 1992. JEDINÁK, D.: Etudy o matematikoch. Bratislava: MC, 1992. JEDINÁK, D.: K otázke motivácie a popularizácie pri vyučovaní matematiky. Bratislava: SPN, 1979. JEDINÁK, D.: Významné osobnosti matematickej kultúry. Trnava: TU, 2002. JELÍNEK, M.: Logické prvky ve školské matematice. Praha: SPN, 1981. JIRKŮ, P. a kol.: Miscellanea logica I. Praha: Karolinum, 1998. JUŠKEVIČ, A. P.: Dějiny matematiky ve středověku. Praha: Academia, 1977. KAC, M. ULAM, S.: Matematika a logika. Praha: SPN, 1977. KADEŘÁVEK, F.: Geometrie a umění v dobách minulých. Praha: 1935, 1997. KAPLAN, R. KAPLANOVÁ, E.: Umĕní nekonečna náš ztracený jazyk čísel. Praha: Triton, 2010. KARFÍKOVÁ, L. ŠÍR, Z.: Číslo a jeho symbolika od antiky po renesanci. Brno: CDK, 2003. KATĚTOV, M.: Jaká je logická výstavba matematiky. Praha: JČSMF, 1946. KITAJGORODSKIJ, B. N.: Nepravdepodobné = neskutočné. Bratislava: Smena, 1977. KOLÁŘ, P.: Argumenty filosofické logiky. Praha: Filosofia, 1999. KOLMAN, A.: Dějiny matematiky ve starověku. Praha: Academia, 1968. KOLMAN, V.: Filosofie čísla. Praha: Filosofia, 2008. KOLMAN, V.: Idea, číslo, pravidlo. Praha: Filosofia, 2011. KOMAN, M. VYŠÍN, J.: Malý výlet do moderní matematiky. Praha: Mladá fronta, 1972. KOMENDA, S.: Vypočitatelná náhoda. Olomouc, UP, 2002. KONFOROVIČ, A. G.: Významné matematické úlohy. Praha: SPN, 1989. KOPKA, J.: Hrozny problémů ve školské matematice. Ústí nad Labem: UJEP, 1999. KOPKA, J.: Zkoumání ve školské matematice. Ružomberok: KU, 2006. KORDEMSKIJ, B. N.: Hry, triky, hlavolamy. Bratislava: Obzor, 1967. KOŠČ, L.: Psychológia matematických schopností. Bratislava: SPN, 1972. KOVAL, V.: Kamaráti čísla. Bratislava: SPN, 1969. KOWAL, S.: Matematika pro volné chvíle. Praha: SNTL, 1975, 1985. KRIŽALKOVIČ, K.: Obrazy z histórie matematiky. Banská Bystrica: Učebné pomôcky, 1988. KUBÁT, J.: Sbírka úloh z matematiky pro přípravu... Praha: Prometheus, 2008. KUDRIAVCEV, L. D.: Úvahy o súčasnej matematike a jej vyučovaní. Bratislava: SPN, 1990. KUNOVSKÁ, E.: Vědu dělají lidé. Praha: Pressfoto, 1976. KUŘINA, F.: Deset geometrických transformací. Praha: Prometheus, 2002. KUŘINA, F.: Problémové vyučování v geometrii. Praha: SPN, 1976. KUŘINA, F.: Umění vidět v matematice. Praha: SPN, 1990. KUŘINA, F. a kol.: Matematika a porozumĕní svĕtu. Praha: Academia, 2009. KUŘINA, F. PŮLPÁN, Z.: Podivuhodný svĕt elementární matematiky. Praha: Academia, 2006. KŘÍŽEK, M. a kol.: Kouzlo čísel. Praha: Academia, 2009. KVASZ, L.: O revolúciách vo vede a ruptúrach v jazyku vedy. Bratislava: UK, 1998. LARSON, L. C.: Metódy riešenia matematických problémov. Bratislava: Alfa, 1990. LEPKA, K.: Historie Fermatových kvocientů (Fermat Lerch). Praha: Prometheus, 2000. LIESSMANN, K. ZENATY, G.: O myšlení. Olomouc: Votobia, 1994. LIVIO, M.: Je Bůh matematik? Praha: Dokořán, 2010. LIVIO, M.: Neřešitelná rovnice. Praha: Dokořán Argo, 2007. LIVIO, M.: Zlatý řez. Praha: Dokořán/Argo, 2006. LUHAN, E.: Kapitoly z dĕjin matematiky. České Budĕjovice: PF, 1985. MAČÁK, K.: Počátky počtu pravděpodobnosti. Praha: Prometheus, 1997. MAČÁK, K.: Tři středověké sbírky matematických úloh. Praha: Prometheus, 2001. MAČÁK, K. SCHUPPENER, G.: Matematika v jezuitském Klementinu (1600 1740). Praha: Prometheus, 2001. 6

MALÁČ, J. KURFÜRST, J.: Zajímavé úlohy z učiva matematiky ZŠ. Praha: SPN, 1981. MALINA, J. NOVOTNÝ, J.: Kurt Gödel. Brno: NUM, 1996. MAREŠ, M.: Příběhy matematiky. Příbram: Pistorius & Olšanská, 2008. MAREŠ, M.: Slova, která se hodí aneb jak si povídat o matematice,... a informatice. Praha: Academia, 2006. MATERNA, P.: Viete logicky myslieť? Bratislava: SPN, 1968. MATERNA, P.: Svět pojmů a logika. Praha: Filosofia, 1995. MATHÉ, S.: Moderná logika. Prešov: VMV 2005. MATERNA, P. a kol.: Logická analýza přirozeného jazyka. Praha: Academia, 1989. MATOUŠEK, J. NEŠETŘIL, J.: Kapitoly z diskrétní matematiky. Praha: Karolinum, 2000. MIKAN, M.: Jak se vyvinula matematika a geometrie. Praha: Orbis, 1954. MLEZIVA, M.: Neklasické logiky. Praha: Svoboda, 1970. MLODINOW, L.: Eukleidovo okno. Praha: Slovart, 2007. MOČALOV, L. P.: Hlavolamy. Praha: Mladá fronta, 1987. MOISEJEV, N. N. a kol.: Číslo a myšlení. Praha: Mladá fronta, 1983. MRÁZEK, J.: Taje matematiky. Praha: Práce, 1986. NAGEL, E. NEWMAN, J. R.: Gödelův důkaz. Brno: VUTIUM, 2003. NEMOGA, K. RIEČAN, B.: Matematika v b-mol (Š. Schwarz matematik a pedagóg). Bratislava: Veda, 1999. NOVOVESKÝ, Š. a kol.: Zábavná matematika. Bratislava: SPN, 1975, 1977. NOVOVESKÝ, Š. a kol.: 777 matematických zábaviek a hračiek. Bratislava: SPN, 1975. NOVÝ, L. a kol.: Dějiny exaktních věd v českých zemích do konce 19. století. Praha: 1961. NOWAK, Z.: Kosmické hlavolamy. Praha: SNTL, 1976. OLEJÁR, M.: Úvod do vedy. Bratislava: Young Scientist, 2002. OLSEN, S.: Záhadný zlatý řez. Praha: Dokořán, 2009. OPAVA, Z.: Matematika kolem nás. Praha: Albatros, 1989. O SHEA, D.: Poincarého domnĕnka. Praha: Academia, 2009. PAENZA, A.: Matematiko, jsi to ty? (Čísla, osobnosti, problémy a zvláštnosti). Zlín: Kniha Zlín, 2010. PAPPASOVÁ, T.: Potešenie z matematiky. Bratislava: Vydavateľstvo Nebojsa, 1997. PETÁKOVÁ, J.: Matematika příprava k maturitě. Praha: Prometheus, 2008. PENROSE, R.: Makrosvět, mikrosvět a lidská mysl. Praha: Mladá fronta, 1999. PEREGRIN, J.: Logika a logiky. Praha: Academia, 2004. PEREGRIN, J. (ed.): Logika 20. století: medzi filosofií a matematikou. Praha: Filosofia, 2006. PERELMAN, J. I.: Zajímavá algebra. Praha: SNTL, 1985. PERELMAN, J. I.: Zajímavá geometrie. Praha: Mladá fronta, 1954. PERELMAN, J. I.: Živá matematika. Bratislava: Alfa, 1969. PÉTEROVÁ, R.: Hra s nekonečnem. Praha: Mladá fronta, 1973. PICKOVER, C. A.: Matematická kniha (Od Pythagora po 57. dimenzi). Praha: Argo/Dokořán, 2012. PLOCKI, A.: Pravděpodobnost kolem nás. Ústí nad Labem: Univerzita J. E. Purkyně, 2001. PLOCKI, A.: Pravdepodobnosť okolo nás. Ružomberok: KU, 2004. POPPER, K. R.: Logika vědeckého bádání. Praha: Oikoymenh, 1997. POLÁK, J.: Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 2005. POSPÍŠIL, B.: Nekonečno v matematice. Praha: JČSMF, 1949. PÖSS, O.: Dejiny exaktných vied na Slovensku od polovice 19. storočia do roku 1918. Bratislava: Veda, 1987. PRIEST, G.: Logika (Průvodce pro každého). Praha: Dokořán, 2007. PUNČOCHÁŘ, M.: Nedaleko nekonečna. Praha: Academia, 2004. REKTORYS, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika. Praha: Academia, 2001. RÉNYI, A.: Dialógy o matematike. Bratislava: Alfa, 1977. RÉNYI, A.: Dialogy o matematice. Praha: Mladá fronta, 1980. RIEČAN, B.: Príbehy o integráloch. Bratislava: SPN, 1988. RIEČAN, B. ZNÁM, Š.: Otec, matka, matematika a ja. Bratislava: SPN, 1982. 7

ROSENTHAL, J. S.: Zasažen bleskem (Podivuhodný svět pravdepodobností). Praha: Academia, 2008. SARTORI, E.: Velikáni francouzské vědy. Praha, KRIGL, 2005. SEDLÁČEK, J.: Nebojte sa matematiky. Bratislava: SVTL, 1966. SEIFE, Ch.: Nula. Praha: Dokořán Argo, 2005. SELUCKÝ, O.: Logika pro střední školy. Praha: Fortuna, 1995. SINGH, S.: Velká Fermatova věta. Praha: Academia, 2000. SMULLYAN, R.: Jak se jmenuje tahle knížka? Praha: Mladá fronta, 1986. SMULLYAN, R.: Logika prvého rádu. Bratislava: Alfa, 1979. SMULLYAN, R.: Navĕky nerozhodnuto. Praha: Academia, 2003. SMULLYAN, R.: Šeherezádiny hádanky a další podivuhodné úlohy. Praha: Portál, 2004. SOCHOR, A.: Klasická matematická logika. Praha: Karolinum, 2001. SOCHOR, A.: Logika pro všechny ochotné myslet. Praha: Karolinum, 2011. SOUSEDÍK, P.: Logika pro studenty humanitních oborů. Praha: Vyšehrad, 1999. STEINHAUS, G.: Matematický kaleidoskop. Praha: Přírodovědecké vydavatelství, 1953. STEWART, I.: Čísla prírody. Bratislava: Archa, 1996. STEWART, I.: Hraje Bůh kostky? Praha: Argo/Dokořán, 2009. STEWART, I.: Jak rozkrájet dort a další matematické záhady. Praha: ARGO a Dokořán, 2009. STEWART, I.: Kabinet matematických kuriozit profesora Stewarta. Praha: Argo/Dokořán, 2013. STEWART, I.: Odsud až do nekonečna (Průvodce moderní matematikou). Praha: ARGO a Dokořán, 2006. STOLJAR, A. A.: Logické problémy vyučování matematice. Praha: KPÚ, 1969. STREČKO, V.: Desať kapitol z teórie vyučovania matematiky 1., 2. Prešov: MPC, 2004. STREČKO, V.: Pohľady do dejín matematiky ako forma motivácie matematickej činnosti. Prešov: MC, 1999. STROUHAL, J.: Hádej, hádej, hadači. Praha: SNDK, 1966. STRUIK, D. J.: Dějiny matematiky. Praha: Orbis, 1963. SVATEK, J.: Úvod do logiky. Praha: ČVUT, 1991. SVOBODA,V. PEREGRIN, J.: Od jazyka k logice (Filozofický úvod do moderní logiky). Praha: Academia, 2009. SWOBODA, H.: Moderní statistika. Praha: Svoboda, 1977. SUCHOTIN, A. K.: Paradoxy vedy. Bratislava: Smena, 1984. SUCHOTIN, A. K.: Rytmy a algoritmy. Bratislava: Smena, 1987. SZOMOLÁNYI, J.: Základné logické kalkuly. Bratislava: FF UK, 1979. ŠALÁT, T. a kol.: Malá encyklopédia matematiky. Bratislava: Obzor, 1978. ŠARMANOVÁ, P. SCHWABIK, Š.: Malý průvodce historií integrálu. Praha: Prometheus, 1996. ŠEDIVÝ, J.: Antologie matematických didaktických textů 1360 1860. Praha: SPN, 1987. ŠEDIVÝ, J. a kol.: Filosofické a vývojové problémy matematiky 1, 2. Praha: 1987 1988. ŠEDIVÝ, J. a kol.: Světonázorové problémy matematiky I III. Praha: SPN 1983 1985. ŠEDIVÝ, J.: O modernizaci školské matematiky. Praha: SPN, 1969. ŠEDIVÝ, J.: O modernizácii školskej matematiky. Bratislava: SPN, 1978. ŠEDIVÝ, O.: Didaktika matematiky. Bratislava: SPN, 1990. ŠIŠMA, P.: Teorie grafů 1736 1963. Praha: Prometheus, 1997. ŠOFR, B.: Euklidovské geometrické konštrukcie. Bratislava: Alfa, 1976. ŠOFR, B.: Populárne o počte pravdepodobnosti. Bratislava: SVTL, 1967, Alfa 1974. ŠTĚPÁN, J.: Klasická logika. Olomouc: UP, 2001. ŠTĚPÁN, J.: Logika a logické systémy. Olomouc: Votobia, 1992. ŠTĚPÁN, J. HRUBEŠ, J.: Logika terminologický a výkladový slovník. Ostrava: Scholaforum, 1994. ŠTĚPÁNEK, P.: Matematická logika. Praha: SPN 1982. ŠTOLL, I.: Historky o slavných fyzicích a matematicích. Praha: Prometheus, 2005. ŠVRČEK, J.: Vybrané kapitoly z geometrie trojúhelníka. Praha: Karolinum, 2004. TARSKI, A.: Úvod do logiky. Praha, Academia, 1966. TARSKI, A.: Úvod do metodologie deduktívnych věd. Praha: Academia, 1969. 8

TICHÝ, P.: Logika. Praha: SPN, 1964. TELEPOVSKÝ, M.: Matematické hlavolamy. Nitra: Enigma, 1996. THIELE, R.: Matematické důkazy. Praha: SNTL, 1985. TUGENDHAT, E. WOLFOVÁ, V.: Logicko-sémantická propedeutika. Praha: Rezek, 1997. VARGA, T.: Hrajme sa s matematikou. Bratislava: Mladé letá, 1981. VARGA, T.: Matematická logika pre začiatočníkov I, II. Bratislava: Alfa, 1970. VEJMOLA, S.: Konec záhady hlavolamů. Praha: SPN, 1986. VESELÝ, J.: Matematická analýza pro učitele. Praha: Matfyzpress, 1997. VETTER, Q.: Jak se počítalo a měřilo na úsvitě kultúry. Praha: 1926. VILENKIN, N. I.: Neznámy svět nekonečných množin. Praha: SNTL, 1971. VILENKIN, N. I.: Rozhovory o množinách. Bratislava: SPN, 1972. VOLEK, P.: Úvod do logiky a teórie vedy. Bratislava: Update Studio, 1999. VOPĚNKA, P.: Calculus infinitesimalis (pars prima). Kanina: OPS, 2010. VOPĚNKA, P.: Calculus infinitesimalis (pars secunda). Plzeň: ZČU, 2011. VOPĚNKA, P.: Horizonty nekonečna. Praha: Moraviapress, 2004. VOPĚNKA, P.: Podivuhodný květ českého baroka. Praha: Karolinum, 1998. VOPĚNKA, P.: Rozpravy s geometrií. Praha: Panorama, 1989. VOPĚNKA, P.: Uhelný kámen evropské vzdělanosti a moci. Praha: Práh, 2000. VOPĚNKA, P.: Úvod do klasické teorie množin. Plzeň: Fragment, 2011. VOPĚNKA, P.: Vyprávění o kráse novobarokní matematiky. Praha: Práh, 2004. VORÁČOVÁ, Š. a kol.: Atlas geometrie (Geometrie krásna a užitečná). Praha: Academia, 2012. VRÁBEL, P.: Heuristika a metodológia matematiky. Nitra: UKF, 2005. VYŠÍN, J.: Metodika řešení matematických úloh. Praha: SPN, 1962. VYŠÍN, J.: Štyri kapitoly o problémovom vyučovaní matematiky. Bratislava: SPN, 1978. WESLEY, R.: Matematika pre každého. Bratislava: Alfa, 1972. ÚLEHLA, J.: Dějiny matematiky I II. Praha: 1901, 1913. WHITEHEAD, A. N.: Matematika a dobro a jiné eseje. Praha: Mladá fronta, 1970. WILLERS, M.: Algebra bez (m)učení. Praha: Grada Publishing, 2012. WITTGENSTEIN, L.: Poznámky o základech matematiky. Praha: 1992. QUINE, W. V.: Od stimulu k věde. Praha: Filosofia, 2002. ZASTÁVKA, Z.: Vše, co není zakázano, se nesmí (O logice formální i neformální). Praha: Radix, 1998. ZAPLETAL, M.: Kniha hlavolamů. Praha: Albatros, 1983. ZAPLETAL, M.: Kniha hlavolamov. Bratislava: Mladé letá, 1987. ZELINKA, B.: Matematika hrou i vážne. Praha: Mladá fronta, 1979. ZIEGLER, G. M.: Matematika vám to spočítá (Příběhy královny věd). Praha: Euromedia Group Knižní klub, 2011. ZICH, O.: Úvod do filosofie matematiky. Praha: JČSMF, 1947. ZICH, O.: Logika pro praxi. Praha: Práce, 1968. ZICH, O. a kol.: Moderní logika. Praha: Orbis, 1958. ZICH, O. KOLMAN, A.: Zajímavá logika. Praha: Mladá fronta, 1964. ZLATOŠ, P.: Ani matematika si nemôže byť istá sama sebou. Bratislava: IRIS, 1995. ZNÁM, Š. a kol.: Pohľad do dejín matematiky. Bratislava: Alfa, 1986. Ponúkaný prehľadový výber určite nie je úplný, ale dúfam, že si vyberiete podľa svojich potrieb. Každý záujemca si môže predložený súbor dopĺňať i aktualizovať. Aj v časoch internetu patrí do rúk záujemcov o matematickú kultúru vhodná zaujímavá knižka. Každé zmysluplné vzdelanie je podmienené aj znalosťou intelektuálne všestranne užitočnej matematickej kultúry. Prajem vám šťastnú ruku pre vhodný výber i potechu ducha pri rozvážnom študovaní. 9 Dušan Jedinák

Korešpondenčná súťaž v školskom roku 2013/2014 Riešenia 1. série úloh korešpondenčnej súťaže 1. Janko, Anička a Peter sú súrodenci. V tomto roku má Anička dvakrát toľko rokov ako Janko. O tri roky bude mať Janko polovicu Petrovho veku a pred tromi rokmi mal Peter dvakrát toľko rokov ako Anička. Určte vek každého z nich. Riešenie: Označme vek Janka ako x. Potom má Anička v tomto roku 2x rokov. O tri roky bude mať Janko x + 3 rokov, čo je polovica Petrovho veku. To znamená, že o tri roky bude mať Peter 2x + 6 rokov, a teda tento rok má 2x + 3 rokov a pred tromi rokmi mal 2x rokov. Anička mala pred tromi rokmi 2x 3 rokov. Keďže pred tromi rokmi mal Peter dvakrát toľko rokov ako Anička, musí platiť 2x = 2 2x 3, ( ) odkiaľ po úprave dostávame, že x = 3. To znamená, že Janko má tento rok 3 roky, Anička 6 rokov a Peter 9 rokov. 2. V košíku sú len dubáky a muchotrávky spolu 30 húb. Keď vytiahneme ľubovoľných 12 húb z košíka, bude medzi nimi určite aspoň jeden dubák. Keď vytiahneme ľubovoľných 20 húb z košíka, bude medzi nimi určite aspoň jedna muchotrávka. Koľko je v košíku dubákov a koľko muchotrávok? Riešenie: Keďže pri vytiahnutí 12 húb z košíka vytiahneme aspoň jeden dubák, maximálne 11 húb môžu byť muchotrávky (ak by ich bolo aspoň 12, tak môžeme vytiahnuť práve týchto 12 a medzi nimi nebude ani jeden dubák). Podobne dostaneme, že v košíku môže byť maximálne 19 dubákov, pretože pri vytiahnutí 20 húb už nájdeme aspoň jednu muchotrávku. To znamená, že v košíku je aspoň 11 + 19 = 30 húb. Keďže húb je práve 30, jediné riešenie je 11 muchotrávok a 19 dubákov. 3. Nájdite dve päťciferné čísla, ktorých súčet dáva 123 456, pričom požadujeme, aby jeden zo sčítancov mal tri cifry rovnaké a aby sa medzi použitými ciframi nevyskytovala jednotka. Riešenie: Táto úloha má veľmi veľa riešení, napríklad 99 999 + 23 457, 99 879 + + 23 577, 44 436 + 79 020. Dokonca aj za podmienky, že obe čísla majú po tri cifry rovnaké, existuje viacero riešení, napr. 44 456 + 79 000. 10

4. Pri otváraní športových hier nastupovali vlajkonosiči s vlajkami jednotlivých štátov. Pri prvej oslavnej salve nastúpila prvá skupina vlajkonosičov. Pri druhej salve nastúpili ďalší vlajkonosiči a zaradili sa tak, že medzi každých dvoch vlajkonosičov na štadióne sa postavil ďalší vlajkonosič. Pri ďalšej salve znova medzi každú dvojicu vlajkonosičov pristúpil ďalší. Po tretej salve stálo na ploche štadióna 113 vlajkonosičov. Koľko vlajkonosičov nastúpilo pri prvej salve? Riešenie: Označme počet vlajkonosičov na začiatku pri prvej salve x. Pri druhej salve pribudlo o jedného menej (vedľa každého vlajkonosiča okrem toho, ktorý je najviac vpravo, sa vpravo postavil jeden nový), teda x 1 vlajkonosičov, takže ich tam bolo 2x 1. Pri ďalšej salve pribudlo o jedného menej, teda 2x 2. To znamená, že ich tam bolo spolu 4x 3. Preto musí platiť 4x 3 = 113, odkiaľ dostávame, že x = 29. To znamená, že pri prvej salve nastúpilo 29 vlajkonosičov. Skúškou sa presvedčíme, že pri druhej salve nastúpilo 28 vlajkonosičov a bolo ich celkovo 57. Pri tretej salve nastúpilo ďalších 56 vlajkonosičov a bolo ich na ploche štadióna celkovo 113. 5. Kam treba dať vo výraze 5 000 4 999 + 4 998... + 4 3 + 2 1) ľavú zátvorku, aby vyšiel výsledok 2 013? Riešenie: Ak dáme ľavú zátvorku za plusom, tak je to to isté, ako keby sme žiadne zátvorky nemali. Daný výraz by sa potom rovnal súčtu 2 500 jednotiek, pretože rozdiel dvoch za sebou idúcich čísel sa rovná jednej, teda 2 500. Toto číslo sa však nerovná 2 013. Preto zátvorka musí byť umiestnená za mínusom. Označme si jej umiestnenie podľa toho, pred ktorým číslom sa nachádza. Keďže bude za mínusom, bude pred nepárnym číslom. Preto si túto pozíciu môžeme označiť ako 2k 1, kde k je prirodzené číslo: ([ ] [ ] [ ] ) 5 000 4 999 + 4 998 + 2k 2k 1 + 2k 2 2k 3 + + 4 3 + 2 1. V zátvorke potom dostaneme tento výraz: [ k ] + {[ k ] [ k ]} + {[ k ] [ k ]} + + { } + { } 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 4 3 2 1. Rozdiely v zložených zátvorkách sa rovnajú jednej. Počet zložených zátvoriek sa rovná polovici počtu prirodzených čísel, ktoré sa nachádzajú od 1 po 2k 2. Tých je 2k 2, takže hodnota výrazov v zložených zátvorkách je 2k 2 : 2 = k 1. ( ) Hodnota výrazu v okrúhlych zátvorkách preto bude 2k 1 + k 1 = 3k 2. [ ] [ ] Teraz sa pozrieme na výraz pred ľavou okrúhlou zátvorkou: { } { } {[ ] [ ]} 5 000 4 999 + 4 998 4 997 + + 2k + 2 2k + 1 + 2 k. 11

Analogicky dostaneme, že hodnota každej zloženej zátvorky je jedna a potrebujeme zistiť, koľko ich tam je. Ich počet sa rovná polovici počtu prirodzených čísel od 2k + 1 po 5 000. Tých je [ k ] 5 000 2 + 1 + 1 = 2 500 k. 2 Preto bude celkový súčet čísel pred okrúhlou zátvorkou 2 500 k + 2k = 2 500 + k. [ ] Celková hodnota výrazu zo zadania potom bude 2 500 + k 3k 2 = 2 502 2 k. [ ] [ ] To znamená, že musíme riešiť rovnicu 2 502 2k = 2 013, riešením ktorej dostávame, že má platiť 2k = 489, čo však nie je možné. Preto do daného výrazu v zadaní nie je možné umiestniť ľavú zátvorku tak, aby bola jeho hodnota 2 013. 6. Dvojciferné číslo nazývame súčtosúčinové, ak preň platí, že súčet jeho číslic so súčinom jeho číslic sa rovná tomuto číslu (napr. 39 = 3 + 9 + 3 9 ). Určte súčet všetkých súčtosúčinových čísel. Riešenie: Uvažujme ľubovoľné dvojciferné súčtosúčinové číslo v tvare 10a + b, kde a, b sú cifry a a 0. Potom má platiť: 10 a + b = a + b + ab. Odčítaním a + b od oboch strán rovnice dostávame, že platí 9 a = ab, odkiaľ prenesením 9a na druhú stranu rovnice a vyňatím a pred zátvorku dostávame, že platí a b 9 = 0. ( ) Keďže a 0, musí platiť b = 9, teda ide o všetky dvojciferné čísla, ktoré majú na mieste jednotiek deviatku. Hľadaný súčet sa preto rovná 19 + 29 + + 99. Tento súčet si ďalej upravíme a dostaneme, že platí: 19 + 29 + + 99 = 1 10 + 9 + 2 10 + 9 + + 9 10 + 9 = ( ) ( ) ( ) ( ) = 9 9 + 10 1+ 2 + + 9 = 81+ 10 45 = 531. Súčet všetkých súčtosúčinových čísel sa rovná 531. 12

Zadania 2. série úloh korešpondenčnej súťaže 1. Keď gepard začal prenasledovať antilopu, bola medzi nimi vzdialenosť 60 metrov. Antilopa unikala rýchlosťou 15 m/s, gepard ju dobehol za 12 sekúnd. Akou rýchlosťou bežal gepard? 2. Z 200 žiakov, ktorí podali prihlášku na gymnázium, bol prijatý každý druhý. Pritom bolo prijatých 35 % prihlásených dievčat a nebolo prijatých 40 % prihlásených chlapcov. Koľko chlapcov a dievčat sa hlásilo na gymnázium a koľko chlapcov a dievčat prijali? 3. V klobúku je päť loptičiek a na každej z nich je napísané práve jedno prirodzené číslo. Súčet čísel na loptičkách v klobúku je 27 a čísla na ľubovoľných dvoch loptičkách sa líšia aspoň o dva. Dokážte, že v klobúku nie je loptička s číslom 6. 4. Aký najväčší počet kráľov môžeme umiestniť na šachovnicu 8x8 tak, aby sa žiadni dvaja neohrozovali? Kráľ ohrozuje všetky políčka, ktoré susedia s políčkom, na ktorom sa nachádza. Na jednom políčku môže byť len jeden kráľ. 5. Ukážte, že prirodzené číslo n možno vyjadriť ako súčet štyroch po sebe idúcich prirodzených čísel práve vtedy, keď n 10 a n dáva zvyšok 2 po delení štyrmi. 6. Dokážte, že pre ľubovoľné reálne čísla a, b platí nerovnosť 4 4 3 a + b a b + ab 3. 7. Dokážte, že z ľubovoľnej sedmice prirodzených čísel dokážeme vybrať dve také, ktorých súčet alebo rozdiel bude deliteľný desiatimi. 8. Predpokladajme, že každý bod roviny je ofarbený jednou z dvoch farieb. Dokážte, že potom pre jednu z týchto dvoch farieb platí, že pre každé kladné reálne číslo existuje dvojica bodov ofarbených touto farbou, ktorých vzdialenosť sa rovná tomuto číslu. 9. Dokážte, že číslo 1092 2 2 1 je deliteľné číslom 1093. m n 10. Nájdite všetky prirodzené čísla m, n, ktoré sú riešeniami rovnice 2 3 = 7. 11. Zistite, či existuje množina 4 024 takých prirodzených čísel, že súčet čísel ľubovoľnej 2 013-prvkovej podmnožiny tejto množiny nie je deliteľný číslom 2 013. 13

12. Nech a, b, c sú kladné reálne čísla, ktorých súčin nie je väčší ako ich súčet. Dokážte, že potom platí nerovnosť 13. Postupnosť { n} n 1 2 2 2 a + b + c abc 14 3. a je definovaná predpisom a = n+ 1 = 3an an 1, pričom a 1 = 20, a 2 = 30. Nájdite všetky prirodzené čísla n, pre ktoré je 5an+ 1an + 1 druhou mocninou celého čísla. 14. Dokážte, že pre všetky prirodzené čísla n platí nasledujúca nerovnosť: 2 n n ( 2n + 3n + 1) 6 ( n! ) 2 Termín odoslania riešení úloh 2. série: do 28. 2. 2014 Riešenia zasielajte na adresu: Ing. Mgr. Martin Hriňák MATMIX Bratislavská 716/2 900 46 Most pri Bratislave Čriepky z histórie matematickej kultúry Sedem slobodných umení Možno už pytagorovci v Grécku (6. stor. pred n. l.) pripravovali rozšírenie hlbšieho vzdelania svojich súkmeňovcov. Neskôr sa postupne vytvorili dva základné vyučovacie cykly: trívium (gramatika, rétorika, dialektika) a kvadrívium (aritmetika, geometria, astronómia, hudba). Tieto umenia, v stredoveku septem artes liberales, často vyjadrovali slovným spojením: lingua, tropus, ratio, numerus, tenor, angelus, astra. Vo výtvarných dielach často aritmetiku reprezentuje Pytagoras, geometriu Euklides, astronómiu Ptolemaios, gramatiku niekedy predstavuje Donatus, rétoriku Cicero, dialektiku (logiku) Aristoteles. Všetky spomínané slobodné umenia boli chápané ako duchovná činnosť pre slobodných a materiálne zabezpečených občanov. Stredoveké vzdelanie sa opieralo o týchto sedem slobodných umení a predstavovalo zdroj múdrosti. Od 12. storočia sa sedem slobodných umení stalo základom aj na artistických fakultách vznikajúcich univerzít. Na prahu 17. storočia boli tieto všeobecnovzdelávacie predmety postupne nahrádzané iným rozvíjajúcim sa systémom. Dušan Jedinák

Matematicko-fyzikálny pozdrav 2013 Hlavnou funkciou matematiky (ako každého pojmového myslenia) je dostať pod kontrolu obrovskú rozmanitosť jednotlivostí sveta... Matematika opisuje mimozmyslovú skutočnosť, ktorá existuje nezávisle od aktov aj od dispozícií ľudskej mysle, a je iba vnímaná ľudskou mysľou a to pravdepodobne veľmi neúplne. Kurt GÖDEL (28. 4. 1906 14. 1. 1978) Vybral a zostavil Dušan Jedinák Jednoducho si to vypočítame Po štúdiu školskej matematiky na základnej alebo aj strednej škole si mnohí z nás predstavujú, že to potrebné sa naučili pomerne dosť dobre spočítať. Niektorí z nás myslia hneď na peniaze, ale o nich nebudeme hovoriť. Ponúkané úlohy môžu vzbudiť záujem pestrosťou svojich zadaní a možno aj ich jednoduchým praktickým uplatnením. Takéto slovné úlohy sú tiež pôsobivou možnosťou na primerané samostatné matematické uvažovanie, kde uplatníte nielen poznatky a vedomosti zo školy, ale aj tvorivé myšlienkové úsilie a vytrvalosť, rôznorodosť prístupov a spôsobov riešenia. Odmenou pre vás budú aj pôsobivé myšlienky o zušľachťovaní ľudského myslenia. 1. Sirup je potrebné rozriediť vodou v pomere 1:8. V akom pomere ho treba ešte doriediť, ak nám ho v pomere 1:2 už trochu rozriedili? 2. Voda zamrznutím zväčší svoj objem o 1/11 svojho objemu. O akú časť svojho objemu sa ľad zmenší, ak sa roztopí? 3. V našom meste sú 3/5 žien vydatých za 2/3 mužov. Aká časť obyvateľov mesta je slobodná (nežije v manželstve)? 4. Mám 32 rokov a mám dvakrát viac rokov, ako mal môj brat, keď som mal toľko rokov, ako má môj brat teraz. Koľko rokov má môj brat? 5. Koľko joulov (J) energie je v 30 gramoch jedla, ak v 100 gramoch tohto jedla je 300 J energie? 15

6. Čo je výhodnejšie pre kupujúcich, buď všeobecné zvýšenie platov o 10 % pri zachovaní cien, alebo všeobecné zníženie cien o 10 % pri zachovaní miezd? 7. Aká je priemerná rýchlosť vozidla, ktoré prejde trať rýchlosťou 60 km/h a hneď sa vracia po rovnakej trase rýchlosťou 40 km/h? 8. Prázdna nádrž sa prítokom naplní za 30 minút. Plná nádrž sa otvoreným odtokom vyprázdni za 75 minút. Za aký čas sa naplní prázdna nádrž, ak je súčasne otvorený prítok i odtok? 9. Čerstvé huby obsahujú 88 % vody, sušené iba 14 % vody. Koľko kilogramov čerstvých húb treba nazbierať, aby sme získali 3 kg sušených? 10. On má dvakrát viac rokov, než mala ona, keď mal on toľko, koľko má ona teraz. Spolu majú 49 rokov. Koľko rokov má on a koľko ona? 11. V šachovom turnaji odohrali účastníci (sú to buď chlapci alebo dievčatá) systémom každý s každým spolu 136 zápasov. Počet zápasov, ktoré odohrali medzi sebou len chlapci, spolu s počtom zápasov, ktoré odohrali medzi sebou len dievčatá, bol 66. Koľko chlapcov a koľko dievčat sa zúčastnilo tohto turnaja, ak chlapcov bolo viac? 12. Aká je hustota materiálu plávajúcej gule ponorenej vo vode do 60 % svojho priemeru? 13. Povoz s dlhým kmeňom sa pohybuje priamočiaro a stálou rýchlosťou. Kočiš potrebuje na zmeranie dĺžky kmeňa v krokoch v protismere pohybu 16 krokov a v smere pohybu 112 krokov. Aká je dĺžka kmeňa v krokoch (rovnomerne sa pohybujúceho) kočiša? 14. Tri rôzne, od seba nezávislé, vynálezy zabezpečujú úsporu 20 %, 25 % a 35 % energie. Niektorí tiežodborníci z toho usúdili, že pri súčasnom použití týchto troch vynálezov, bude celková úspora 20 % + 25 % + 35 % = 80 %. Je to naozaj tak? O koľko percent poklesne spotreba energie pri súčasnom uplatnení spomínaných vynálezov? 15. Vedúci lesníkov nevinne vyhlásil: Budeme rúbať iba sosny, ktorých je v našom zmiešanom lese 99 %. Po výrube budú sosny tvoriť 98 % všetkých ponechaných stromov. Akú časť zmiešaného lesa chcú lesníci vyrúbať? 16

16. Medzi mojimi 36 poslucháčmi sú pravdovravní (vždy povedia pravdu) i klamári (vždy klamú). Každý z nich má rád buď spev, alebo tanec, alebo matematiku (práve jedno z toho). Keď som každému z nich položil tri otázky: Máš rád spev?, Máš rád tanec?, Máš rád matematiku?, dostal som na prvú otázku 8 kladných odpovedí, na druhú 12 kladných odpovedí a na tretiu otázku až 20 kladných odpovedí. Koľkí moji poslucháči sú klamári? Vyhodnotenie Posúďte výsledky svojho matematického uvažovania a základných vedomostí aj podľa úspešnosti v tejto sérii úloh (za každý správny výsledok uvedený na konci strany si prideľte 1 bod). Aspoň trochu sa zamyslite nad dole uvedenými citátmi, možno už z dávnej histórie, ale stále pozoruhodnými myšlienkami významných osobností. 14 16 bodov: Človek je zrejme stvorený na to, aby myslel. V tom je celá jeho dôstojnosť i prednosť; jeho povinnosťou je, aby myslel správne. (B. Pascal, 1623 1662) 11 13 bodov: Je lepšie učiť ľudí, ako majú myslieť, a nie čo majú myslieť. Tým sa vyhneme mnohým nedorozumeniam. (G. Lichtenberg, 1742 1799) 7 10 bodov: Rozum je jediný dar, ktorý príroda pravdepodobne rozdelila spravodlivo, pretože nikto sa nesťažuje, že ho má málo. (M. Montaigne, 1533 1592) 4 6 bodov: Sťažujeme sa na zlú pamäť, ale nikto sa nesťažuje na zlý úsudok. (F. Rochefoucauld, 1613 1680) 0 3 body: Bez učenia ani svätec nedokáže vynášať správne úsudky. (T. Campanella, 1568 1639) Správne odpovede: 1. 1:2 2. o 1/12 3. 7/19 4. 24 5. 90 6. zníženie cien 7. 48 km/h 8. za 50 minút 9. 21,5 kg 10. on 28, ona 21 11. 10 chlapcov, 7 dievčat 12. 648 kg/m 3 13. 28 14. o 61 % 15. polovicu 16. štyria Vybral a zostavil Dušan Jedinák

Obsah Redakčná pošta... 2. strana obálky Dušan Jedinák: Blaise Pascal medzi ľudským a matematickým nekonečnom... 1 Dušan Jedinák: Čo si prečítať o matematickej kultúre... 3 Korešpondenčná súťaž v školskom roku 2013/2014... 10 Riešenia 1. série úloh korešpondenčnej súťaže... 10 Zadania 2. série úloh korešpondenčnej súťaže... 13 Dušan Jedinák: Čriepky z histórie matematickej kultúry... 14 Dušan Jedinák: Matematicko-fyzikálny pozdrav 2013... 15 Dušan Jedinák: Jednoducho si to vypočítame... 15 Dušan Jedinák: Jednoducho si to vypočítame vyhodnotenie...3. strana obálky MATMIX matematický časopis pre žiakov základných a stredných škôl, vydáva Ing. Mgr. Martin Hriňák v spolupráci s P-MAT, n. o., ako pomocnú literatúru pre predmetové komisie matematiky a pre žiakov so záujmom o matematiku. Vydávanie časopisu je spolufinancované z dotácie Ministerstva školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky. Šéfredaktor: Ing. Mgr. Martin Hriňák Redakcia: Dušan Jedinák, Mgr. Katarína Hriňáková Vydavateľ: Ing. Mgr. Martin Hriňák, Havanská 17, 040 13 Košice, IČO 41857836 Adresa redakcie: Ing. Mgr. Martin Hriňák, MATMIX, Bratislavská 716/2, 900 46 Most pri Bratislave Časopis vychádza štyrikrát ročne. Cena 1,35. Náklad: 150 ks. December 2013. E-mail: matmix@matmix.sk Webová stránka: http://www.matmix.sk Registračné číslo MK SR: EV 2029/08 ISSN: 1336-7854