Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός Laplace και Συνάρτηση μεταφοράς

Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός aplace και Συνάρτηση μεταφοράς Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού aplace και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Δίνεται ο ορισμός της συνάρτησης μεταφοράς και αναλύεται η περιγραφή των χρονικά αμετάβλητων (ineartimeinvariant TI) συστημάτων μέσω της συνάρτησης μεταφοράς Προαπαιτούμενη γνώση Ολοκληρώματα, Διαφορικές εξισώσεις Κεφάλαιο, Κεφάλαιο,Κεφάλαιο 3 7 Μετασχηματισμός aplace ----5-6 7 Ορισμός μετασχηματισμού aplace Ο ευθύςαμφίπλευροςμετασχηματισμός aplace (aplacetranform) μίας συνάρτησης ακόλουθο γενικευμένο ολοκλήρωμα: t X x t e () ορίζεται από το και είναι μιγαδική συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής j Ο μετασχηματισμός aplaceμίας συνάρτησης είναι, σύμφωνα με τον ορισμό, ένα γενικευμένο ολοκλήρωμα, το οποίο μπορεί να συγκλίνει για κάποιες τιμές της μιγαδικής μεταβλητής και μπορεί να μην συγκλίνει για κάποιες άλλες τιμές της μιγαδικής μεταβλητής Το σύνολο των τιμών της μεταβλητής για τις οποίες υπάρχει ο μετασχηματισμός aplace, δηλαδή για τις οποίες το ολοκλήρωμα του μετασχηματισμού aplaceσυγκλίνει, ονομάζεται Περιοχή Σύγκλισης(ΠΣ) (Region Of Convergence ROC) Οαντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από τοακόλουθο γενικευμένο ολοκλήρωμα: t xt X () e d (7) O ευθύς μετασχηματισμός aplaceείναι μοναδικός (unique), αν είναι γνωστή η Περιοχή ΣύγκλισηςΕπίσης, ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplaceείναι μοναδικός (unique), αν είναι γνωστή η Περιοχή Σύγκλισης Αν λοιπόν είναι γνωστή η Περιοχή Σύγκλισης, τότε ο ευθύς και ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplaceαποτελούν ένα μοναδικό ζεύγος και χρησιμοποιείται ο συμβολισμός: x() t X Σχέση μετασχηματισμού aplace και μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου Αντικαθιστώντας j στον ορισμό, προκύπτει j t t j t X j x t e x t e e που σημαίνει ότι ο μετασχηματισμός aplaceείναι ο μετασχηματισμός Fourierσυνεχούς χρόνου της t συνάρτησης x() t e στο σημείο j δηλαδή X ( ) X ( ) (73) j xt () (7) 6

Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλίαmcclellan, Schafer & Yoder, 6, Θεοδωρίδης, Μπερμπερίδης, Κοφίδης, 3, Καραγιάννης & Μαραγκός,, Καραγιάννης & Τζιτζιράχου, 3, Καραμπογιάς, 9, Μάργαρης, 4, Παρασκευάς, 4, Σκόδρας & Αναστασόπουλος, 3, Φωτόπουλος & Βελώνη, 8 7 Περιοχή Σύγκλισης Το σύνολο των τιμών της μεταβλητής για τις οποίες υπάρχει ο μετασχηματισμός aplace, δηλαδή για αυτές που το ολοκλήρωμα του μετασχηματισμού aplaceσυγκλίνει, ονομάζεται Περιοχή Σύγκλισης(ΠΣ) (Region Of Convergence ROC)και είναι της μορφής: Re Πόλοι και Μηδενικά Αν ο μετασχηματισμός aplaceμίας συνάρτησης είναι ρητή συνάρτηση του : B X A τότε οι ρίζες του αριθμητή καλούνται μηδενικά(zero) της X και οι ρίζες του παρονομαστή καλούνται πόλοι(pole) της X Προφανώς, στην περίπτωση αυτή, η Περιοχή Σύγκλισης δεν περιλαμβάνει τους πόλους Σχέση πόλων μετασχηματισμού aplace με μορφή συνάρτησης Απλός πραγματικός πόλος Αν ο πόλος είναι αρνητικός, τότε η συνάρτηση είναι φθίνουσα εκθετική Αν ο πόλος είναι θετικός, τότε η συνάρτηση είναι αύξουσα εκθετική Απλός φανταστικός πόλος Αν ο πόλος έχει αρνητικό φανταστικό μέρος, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή θετική Αν ο πόλος έχει θετικό φανταστικό μέρος, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή αρνητική Συζυγείς μιγαδικοί πόλοι Αν οι πόλοι έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος, τότε η συνάρτηση είναι φθίνουσα ημιτονοειδής συνάρτηση (φθίνουσα ταλάντωση) Αν οι πόλοι έχουν θετικό πραγματικό μέρος, τότε η συνάρτηση είναι αύξουσα ημιτονοειδής συνάρτηση (αύξουσα ταλάντωση) Συζυγείς φανταστικοί πόλοι Αν οι πόλοι είναι συζυγείς φανταστικοί, τότε η συνάρτηση είναι ημιτονοειδής συνάρτηση 73 Ζεύγη μετασχηματισμού aplace Στον Πίνακα 7 παρουσιάζονται μερικοί τυπικοί μετασχηματισμοί aplace Συνάρτηση Μετασχηματισμός συνεχούς χρόνου aplace xt () X () e Περιοχή Σύγκλισης δ() t Re( ) ut () u( t) at u() t at e u( t) a a at n n! e t u() t ( a) n Re( ) Re( ) Re( ) Re( a) Re( ) Re( a) Re( ) Re( a) 6

at n n! e t u( t) ( a) n co( t) u( t) in( t) u( t) e t u t a at co( ) ( ) ( a) at e in( t) u( t) ( a) Re( ) Re( a) Re( ) Re( ) Re( ) Re( a) Re( ) Re( a) Πίνακας 7Ζεύγη μετασχηματισμού aplace 74 Ιδιότητες μετασχηματισμού aplace 74 Γραμμικότητα Αν x t X, ROC και x t X, ROC τότε για οποιεσδήποτε σταθερές c, c Γενικά, η Περιοχή Σύγκλισης είναι η τομή των επί μέρους Περιοχών Σύγκλισης, αλλά μπορεί να είναι μεγαλύτερη όταν υπάρχουν μηδενικά του ενός επί μέρους μετασχηματισμού που ακυρώνουν τους πόλους του άλλου Απόδειξη Αν y( t) c x ( t) c x ( t), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού aplace στην (7) έχουμε: 74 Μετατόπιση στον χρόνο Αν x t X ROC τότε (75) Απόδειξη Αν y( t) x( t t ), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού aplace στην (7) έχουμε: Θέτοντας tt, έχουμε: c x t c x t c X c X, ROC έ ROC ROC t t t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y y t e c x t c x t e c x t e c x t e, t x t t e X ROC, t t t Y y( t) e x( t t ) e t c x ( t) e c x ( t) e t t ( ) ( ) c x t e c x t e c X c X t ( t ) t t Y x( t t ) e x( ) e d e x( ) e d e X (74) 6

743 Κλιμάκωση στον χρόνο Αν x t X, ROC ( Re( ) ) τότε xa t X, ROC ( Re( ) ) (76) a a a a Απόδειξη Αν y( t) x( at), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού aplace στην (7) έχουμε: t Y y t e t e t ( ) x( a ) Αν a, τότε θέτοντας a t, έχουμε: t t ( / a) Y y() t e x( a t) e x( ) e d X a a a Αν a, τότε θέτοντας a t, έχουμε: t t Y y( t) e x( a t) e ( a / ) x( ) e d a ( a / ) x( ) e d a ( / ) x e d X a a a 744 Μετατόπιση στη συχνότητα Αν x t X, ROC ( Re( ) ) τότε t e xt X ROC Re Re Re Απόδειξη t Αν y( t) e x( t), τότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού aplace στην (7) έχουμε: Θέτοντας, έχουμε:, ( ( ) ( ) ( )) t t t ( ) t Y y t e e x t e x t e x t e t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) t t Y x t e x( t) e X X ( ) (77) 745 Συνέλιξη Αν x t X, ROC και x t X, ROC τότε x t x t X X, ROC έ ROC ROC Απόδειξη Αν y( t) x ( t) x ( t), τότεαπό τον ορισμό του μετασχηματισμού aplace στην (7) έχουμε: (78) 63

t t t Y y( t) e x t x ( t) e x ( ) x( t ) d e Θέτοντας t t, θεωρώντας μεταβλητή, αλλάζοντας τη σειρά των ολοκληρωμάτων και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της μετατόπισης στον χρόνο από την (75), έχουμε: t t Y x ( ) x ( t ) d e x ( t t ) x( t )( ) e t x( t t ) x( t ) e t x( t ) x( t t ) e t x( t ) x( t t ) e t x( t ) e X( ) t X ( ) x ( t ) e X ( ) X ( ) 746 Παραγώγιση, Αν x n X ROC τότε d x() t X, έ ROC, για κάθε φυσικό αριθμό (79) Η Περιοχή Σύγκλισης μπορεί να είναι μεγαλύτερη από R, αν X έχει πόλο στο, ο οποίος ακυρώνεται με τον πολλαπλασιασμό επί Απόδειξη Η απόδειξη στηρίζεται στη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής και στην κατά παράγοντες ιδιότητα των ολοκληρωμάτων dxt Θεωρούμε ότι και y() t Οπότε από τον ορισμό του μετασχηματισμού aplace στην (7) έχουμε: dxt ( ) t Y y t e e t x( t) e t xt ( ) e t t Επειδή lim xt ( ), προκύπτει lim xt ( ) e Επομένως, από την παραπάνω σχέση έχουμε: t t dx t t t Y e x() t e X Συνεπώς, για η (79) ισχύει Θεωρούμε ότι για κάποιο τυχαίο ˆ ισχύει d x() t ˆ X ˆ και επαναλαμβάνοντας ακριβώς την ίδια διαδικασία αποδεικνύεται ότι η (79) ισχύει και για ˆ, η ολοκλήρωση της απόδειξης αφήνεται ως άσκηση Άρα, η (79)ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό ˆ 64

Στον Πίνακα 7 παρουσιάζονται οι βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού aplace Ιδιότητα μετασχηματισμού aplace Γραμμικότητα Μετατόπιση στον χρόνο Κλιμάκωση στον χρόνο Μετατόπιση στη συχνότητα Συνέλιξη στον χρόνο Παραγώγιση Συνάρτηση Μετασχηματισμός συνεχούς χρόνου aplace xt () X () xt () () Περιοχή Σύγκλισης X ROC Re() ( ) x () t X () ROC x () t X () ROC c x t c x () t c X c X () έ ROC ROC x t t x a t t e e t X X a a xt X x t X X x t () d x() t ROC ROC a a ( Re( ) ) ROC Re Re Re ( ( ) ( ) ( )) έ ROC ROC X () έ ROC Πίνακας 7Ιδιότητες του μετασχηματισμού aplace 75 Υπολογισμός μετασχηματισμού aplace Ο υπολογισμός του μετασχηματισμούaplace μίας συνάρτησης ολοκλήρωμα του ορισμού του xt γίνεται από το γενικευμένο Παράδειγμα ct x t e u t cc, d Στην πραγματικότητα, κατά τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος, χρησιμοποιείται το όριο: ( ) ( ) c t c t ct c e lim e lim e lime c c c c που υπάρχει αν t ct t ct t ct t X x t e t e u t e e e e e ( c) t e e c c ct c Έτσι καθορίζεται η Περιοχή Σύγκλισης από την κάθετη στον πραγματικό άξονα στο σημείο Re c Αξίζει να αναφερθεί ότι αν Re c ενώ αν Re c Re c X X ( ) X ( ) j j c j Re Re c, που είναι το μέρος του μιγαδικού επιπέδου δεξιά, τότε υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT), τότε δεν υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) Παράδειγμα 65

x( t) u( t) t t t X x t e u t e e με Περιοχή Σύγκλισης Re Παράδειγμα 3 at e, t, a R xt () bt e, t, br t t e e e e t at t bt t ( a) t ( b) t X x t e e e e e e e a t bt e e a b a b a b όπου Re a και Re b, δηλαδή η Περιοχή Σύγκλισης είναι: b Re a Ο υπολογισμός του μετασχηματισμούaplace μίας συνάρτησης ιδιότητες του μετασχηματισμού xt γίνεται χρησιμοποιώντας τα ζεύγη και τις Παράδειγμα 4 t t x t e u t e u t Η συνάρτηση γράφεται xt xt xt με 4t x t e u t x t e t u t x ( 3 t ) όπου t x3 t e u() t Από τα ζεύγη του μετασχηματισμούaplace έχουμε: 4t x( t) e ut X, Re 4 4 t x3( t) e ut X 3, Re Από τις ιδιότητες του μετασχηματισμούaplace έχουμε: x( t) X ( ) οπότε t x ( t) e ut X X 3, Re Τέλος από την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμούaplace έχουμε: xt x t x t X X X, 4 Re 4 Παράδειγμα Τα σήματα x t at e u t και x t at e u t έχουν τον ίδιομετασχηματισμόaplace με διαφορετική Περιοχή Σύγκλισης 66

Πράγματι, από τα ζεύγη του μετασχηματισμού aplace έχουμε: at x( t) e utx, Re a a at Το σήμα x t e ut γράφεται: x t x ( t) 3 όπου at x3 t e ut Τότε, από τα ζεύγη του μετασχηματισμούaplace έχουμε: at x3( t) e utx 3, Re a a και από τις ιδιότητες του μετασχηματισμούaplace έχουμε: x( t) X ( ) οπότε at x t e u t x 3 t X X 3, Re a a a Παρατηρούμε ότι τα δύο σήματα έχουν τον ίδιο μετασχηματισμό aplace, αλλά με διαφορετική Περιοχή Σύγκλισης Γενικεύοντας, ο μετασχηματισμός aplaceείναι μοναδικός (unique), αν είναι γνωστή η Περιοχή Σύγκλισης Επίσης, διαφορετικά σήματα μπορούν να έχουν τον ίδιο μετασχηματισμό aplace, αλλά με διαφορετική Περιοχή Σύγκλισης Αν ο μετασχηματισμός aplaceέχει δύο πόλους, τότε υπάρχουν τρία σήματα με τον ίδιο μετασχηματισμό aplace, με διαφορετικές Περιοχές Σύγκλισης Αν ο μετασχηματισμός aplaceέχει Νπόλους, τότε υπάρχουνν+ Περιοχές Σύγκλισης και Ν+ σήματα με τον ίδιο μετασχηματισμό aplace 76 Αντίστροφος μετασχηματισμός aplace Αν η X είναι ρητή συνάρτηση του (7) με πόλους p,,,, N, τότε για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού aplace χρησιμοποιείται η μέθοδος ανάπτυξης της X() σε άθροισμα μερικών κλασμάτων (α) Αν N M - με απλούς πόλους (δηλαδή δεν επαναλαμβάνονται), τότε: N C X() (7) p με συντελεστές C lim[( p ) X ( )] οπότε X() B () A() p N M N b a p t x( t) C e u( t) (73) (7) Παρατήρηση: αν υπάρχουν μιγαδικοί πόλοι, τότε οι πόλοι υπάρχουν ανά δύο σε συζυγία και οι συντελεστές είναι επίσης συζυγείς - αν υπάρχει πολλαπλός πόλος p με πολλαπλότητα R, τότε: 67

X() C R N ( p) R p με συντελεστές C lim[( p ) X ( )], R,, N p (75) (74) R d R C lim [( p) X ( )],,, R (76) p R ( R )! d οπότε R R N t pt p t x( t) C e u( t) C e u( t) (77) ( R )! B () (β) Αν N M, τότε εκτελείται η διαίρεση και A () () X ( ) ( ), A () όπου () είναι πολυώνυμο M N βαθμού Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού, ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace επιτυγχάνεται υπολογίζοντας τους αντίστροφους μετασχηματισμούς aplace σε κάθε όρο του παραπάνω αθροίσματος Παράδειγμα C C X() ( ) ( ) Παράδειγμα C C C3 X() ( ) ( ) ( ) X() ( ) Άρα, t t t x( t) ( e t e e ) u( t) C R C X C lim[( ) X ( )] lim( ) X() Άρα, t t x( t) ( e e ) u( t) lim[( ) ( )] lim( ) d C lim( ( )) d C lim[( ) X ( )] lim( ) C3 lim[( ) X ( )] lim( ) ( ) 68

Παράδειγμα 3 3 3 3 3 4 4 C C X ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) 4 4 ( 4) 4 4 4 lim lim( ) 3 ( 4) 4 C 4 4 C lim ( 4) lim( ) 4 ( 4) 4 3 X ( ) ( ) 4 Άρα, d 4t x( t) ( t) ( t) (3 e ) u( t) 77 Μονόπλευρος μετασχηματισμός aplace Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός aplaceενός σήματος συνεχούς χρόνου γενικευμένο ολοκλήρωμα: t X x t e και υπάρχει όταν xt () είναι εκθετικής τάξης, δηλαδή αν υπάρχουν αριθμοί a, M, t και ισχύει: ορίζεται από το ακόλουθο (79) (78) Αν ο μονόπλευρος μετασχηματισμός aplaceμίας συνάρτησης είναι ρητή συνάρτηση του, τότε η Περιοχή Σύγκλισης είναι η περιοχή δεξιά του πόλου με το μεγαλύτερο πραγματικό μέρος (μέχρι το συν άπειρο) Για τα ζεύγη του μονόπλευρου μετασχηματισμού aplaceχρησιμοποιείται ο συμβολισμός: Ιδιότητα παραγώγισης του μονόπλευρου μετασχηματισμού aplace Αν at e x( t) M, t t x t X x t X τότε ( ) i d x t i dx( ) X i (7) i Απόδειξη Η απόδειξη γίνεται όπως και στη γενικότερη περίπτωση της παραγώγισης του μετασχηματισμού στην απόδειξη του (79) της παραγράφου 746, δηλαδή, στηρίζεται στη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής και στην κατά παράγοντες ιδιότητα των ολοκληρωμάτων dxt Θεωρούμε ότι και y() t Οπότε από τον ορισμό τουμονόπλευρου μετασχηματισμού aplace t στην (78) και από την οριακή τιμή lim xt ( ) e, έχουμε: t t dx t t t t Y y te e x( t) e x() t e x() X xt () 69

Συνεπώς, για η (7) ισχύει Θεωρούμε ότι για κάποιο τυχαίο ˆ ισχύει ˆ ˆ () i d x t ˆ i dx() X ˆ i i και επαναλαμβάνοντας ακριβώς την ίδια διαδικασία αποδεικνύεται ότι η (79) ισχύει και για ˆ, η ολοκλήρωση της απόδειξης αφήνεται ως άσκηση Άρα, η (7) ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός aplace δίνει τη δυνατότητα επίλυσης διαφορικών εξισώσεων με αρχικές συνθήκες 78 Θεωρήματα αρχικής και τελικής τιμής Θεώρημα αρχικής τιμής lim[ x( t)] lim[ X ] t (7) Παράδειγμα x t co t u t (3 ) ( ) X 3 lim[ ] lim[ ] lim lim x t X t 3 3 Θεώρημα τελικής τιμής lim[ x( t)] lim[ X ] t (7) Παράδειγμα t x t e u t ( ) ( ) X ( ) lim[ xt] lim[ X ] lim lim ( ) t 79 Μετασχηματισμός aplace σε προγραμματιστικό περιβάλλον ----5- Χρήσιμη βιβλιογραφία για Matlabείναι το βιβλίο TheMathWorInc, 5 Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία γιασήματα σε Matlabείναι τα βιβλία IngleandProai, 3 καιei, Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία γιασήματα σε Matlabείναι το βιβλίο Παρασκευάς, 4 Χρήσιμη βιβλιογραφία για Octave είναι τα βιβλία Eaton, Bateman, Hauberg, Wehbring, και Hanen, Η συνάρτηση []=laplace(f) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ευθέως μετασχηματισμού aplace Η συνάρτηση δέχεται ως είσοδο τη συνάρτηση fκαι παράγει στην έξοδο τον μετασχηματισμόaplace Για παράδειγμα, για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού aplace του σήματος t 3 xt e t απαιτείται η κλήση: ym t; laplace(exp(*t)+t^3); Η συνάρτηση ym είναι διαθέσιμη σε Matlab και σε Octave (ymbolic pacage) Το αποτέλεσμα είναι: /( - ) + 6/^4 7

Η συνάρτηση [f]=ilaplace () χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού aplace Η συνάρτηση δέχεται ως είσοδο τον μετασχηματισμόaplace και παράγει στην έξοδο τη συνάρτηση f Για παράδειγμα,για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού aplace του σήματος xt co t 3t απαιτείται η κλήση: ym x t; X= laplace(co(t)+3*t^); και για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού aplace συνεχούς χρόνου (CTFT) απαιτείται η κλήση: x= ilaplace (X,t); Το αποτέλεσμα είναι: co(t) + 3*t^ Παρατήρηση: Οι συναρτήσεις ym, laplace και ilaplace είναι διαθέσιμες σε Matlab και σε Octave (ymbolicpacage) Η συνάρτηση [R,P,K]=reidue(b,a) χρησιμοποιείται για την υλοποίηση του αντίστροφου μετασχηματισμού aplace Η συνάρτηση υλοποιεί την ανάλυση μίας ρητής συνάρτησης σε άθροισμα απλών κλασμάτων Η συνάρτηση έχει εισόδους τους συντελεστές b του αριθμητή καιτους συντελεστές a του παρονομαστή και εξόδους τους πόλουςp, τους συντελεστές Rτων κλασμάτων και τους συντελεστές Kτου πολυωνύμου, που προκύπτει από τη διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή (όταν ο βαθμός του αριθμητή είναι ίσος ή μεγαλύτερος από το βαθμό του παρονομαστή) Για παράδειγμα, η ανάλυση σε απλά κλάσματα της συνάρτησης μεταφοράς H 7 απαιτεί την κλήση b=[]; a=[,-7,]; [R,P,K]=reidue(b,a); Τότε, η συνάρτηση επιστρέφει R=[ -] P=[4 3] K=[] που σημαίνει H 4 3 7 Συνάρτηση μεταφοράς ----5-6 7 Ορισμός της συνάρτησης μεταφοράς Ο μετασχηματισμός aplace H της απόκρισηςμοναδιαίου παλμού h t ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (TI) συστήματος συνεχούς χρόνου ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς: t H () h t e (73) Από την ιδιότητα της συνέλιξης του μετασχηματισμού aplace, είναι προφανές ότι ο μετασχηματισμός aplace X() της εισόδου x t και ο μετασχηματισμός aplace Y της εξόδου yt ht xt () του TI συστήματος συνδέονται με τη σχέση: Y H X (74) 7

Αν σε ένα TIσύστημα συνεχούς χρόνου έχουμε είσοδο το μιγαδικό εκθετικό σήμα έξοδος είναι: at y t H a e H a x t () at e, x t ac, τότε η Απόδειξη * at y t h t x t h x t d h e d at a at a at Ha h e e d e h e d e 7 Περιγραφή TI συστημάτων μέσω συνάρτησης μεταφοράς Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα περιγράφεται από μία διαφορική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές: M N d x( t) d y( t) b a (75) Παίρνοντας μετασχηματισμό aplace στα δύο μέλη της διαφορικής εξίσωσης και αξιοποιώντας τις ιδιότητες της γραμμικότητας και παραγώγισης του μετασχηματισμού, έχουμε: M N M N b X ( ) a Y( ) X ( ) b Y( ) a Αλλά Y H X οπότε H M N b a (76) Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς εξαρτάται από τους συντελεστές του TIσυστήματος Επομένως, οι σταθεροί συντελεστές της διαφορικής εξίσωσης αρκούν για να ορίσουν τη συνάρτηση μεταφοράς Έτσι, η συνάρτηση μεταφοράς αρκεί για να περιγράψει ένα TIσύστημα Επίλυση διαφορικής εξίσωσης με μετασχηματισμό aplace Παράδειγμα Υπολογισμός απόκρισης μοναδιαίου παλμού του TI συστήματος συνεχούς χρόνου, που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση: d y( t) dy( t) 5 4 y( t) x( t) 7

d y t ( ) dy( t) 5 4 y( t) x( t) ( t) ( ) 5 ( ) 4 ( ) Y Y Y ( 5 4) Y( ) Y () 54 Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς είναι: H () 54 C C H() 5 4 ( ) ( 4) 4 C lim(( ) H ( )) lim( ) 4 3 C lim(( 4) H ( )) lim( ) 4 4 3 Άρα η απόκριση μοναδιαίου παλμού του TIσυστήματος είναι: t 4t h( t) e e u( t) 3 3 Παράδειγμα 3 d y( t) dy( t) in( t), y(), y '(), y ''() 3 3 [ Y ( ) y() y '() y ''()] [ Y ( ) y()] 3 Y ( ) Y ( ) 3 3 3 Y() ( ) ( ) 4 4 3 t 3 t y( t) e e co( t) () 4 4 ut 73 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Ένα TI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H συνδέεται σε σειρά με ένα TI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο xn ( ) με μετασχηματισμό aplace X και έξοδο wn ( ) με μετασχηματισμό aplace W Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο, την έξοδο του πρώτου συστήματος και έξοδο yn () με μετασχηματισμό aplace Y Η σύνδεση σε σειρά των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα TI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: H H H (77) Απόδειξη Για τα δύο συστήματα, που είναι συνδεδεμένα σε σειρά, ισχύει: Y H W W H X οπότε Y H W H H X [ H H ] X 73

επειδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό Όμως, η έξοδος γράφεται: Y H X Επομένως, H H H H H Σχήμα 7Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς ενός TI συστήματος συνεχούς χρόνου που αποτελείται από TI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι το γινόμενοτων συναρτήσεων μεταφοράς των επί μέρους συστημάτων 74 Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Ένα TI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H συνδέεται παράλληλα με ένα TI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς H,όπως φαίνεται στο Σχήμα 7 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο xn ( ) με μετασχηματισμό aplace X και έξοδο wn ( ) μεμετασχηματισμό aplace W Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο xn ( ) με μετασχηματισμό aplace X και έξοδο vn ( ) μεμετασχηματισμό aplace V Οι έξοδοι των δύο συστημάτων αθροίζονται και δίνουν τη συνολική έξοδο yn () μεμετασχηματισμό aplace Y Η παράλληλη σύνδεση των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα TI σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς: H H H (78) Απόδειξη Για τα δύο συστήματα που είναι συνδεδεμένα παράλληλα ισχύει: V H X W H X οπότε Y V W H X H X H H X, επειδή ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα Όμως, η έξοδος γράφεται: Y H X Επομένως: H H H H H 74

Σχήμα 7Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς ενός TI συστήματος συνεχούς χρόνου, που αποτελείται από TI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα,είναι το άθροισματων συναρτήσεων μεταφοράς των επί μέρους συστημάτων 75 Ευστάθεια συστημάτων συνεχούς χρόνου Αιτιότητα συστημάτων συνεχούς χρόνου Ένα αιτιατό TIσύστημα συνεχούς χρόνου έχει Περιοχή Σύγκλισης το μέγιστο δυνατό ημιεπίπεδο, που δεν περιλαμβάνει τους πόλους της συνάρτησης μεταφοράς Η Περιοχή Σύγκλισης είναι το μέρος του μιγαδικού επιπέδου δεξιά από την κάθετη στον πραγματικό άξονα στο σημείο Re p, όπου p είναι ο πόλος της συνάρτησης μεταφοράς με το μέγιστο πραγματικό μέρος Ευστάθεια συστημάτων συνεχούς χρόνου και μετασχηματισμός aplace Ένα TIσύστημα συνεχούς χρόνου είναι ευσταθές, αν ο φανταστικός άξονας ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς Ευστάθεια αιτιατών συστημάτων συνεχούς χρόνου και μετασχηματισμός aplace Ευσταθές σύστημα Ένα αιτιατόtiσύστημασυνεχούς χρόνου είναι ευσταθές, όταν όλοι οι πόλοιτης συνάρτησης μεταφοράς βρίσκονται στοαριστερό ημιεπίπεδοκαι έχουν οποιαδήποτε πολλαπλότητα Τότε η απόκριση μοναδιαίου παλμού μηδενίζεται όσο αυξάνει ο χρόνος Ασταθές σύστημα Ένα αιτιατόtiσύστημασυνεχούς χρόνου είναι ασταθές, όταν όλοι οι πόλοιτης συνάρτησης μεταφοράς βρίσκονται στοδεξιό ημιεπίπεδοκαι έχουν οποιαδήποτε πολλαπλότητα Τότε η απόκριση μοναδιαίου παλμού απειρίζεται όσο αυξάνει ο χρόνος Οριακά ευσταθές σύστημα Ένα αιτιατόtiσύστημασυνεχούς χρόνου είναι οριακά ευσταθές, όταν όλοι οι πόλοιτης συνάρτησης μεταφοράς είναι απλοίκαι φανταστικοί Τότε η απόκριση μοναδιαίου παλμού γίνεται σταθερή ή ημιτονοειδής όσο αυξάνει ο χρόνος Παράδειγμα Στο Σχήμα 73 φαίνεται η απόκριση μοναδιαίου παλμού του ευσταθούς TI συστήματος συνεχούς χρόνου με συνάρτηση μεταφοράς: H 3 4 6 4 75

Οι τρεις πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς είναι, j και j και βρίσκονται όλοι στο αριστερό ημιεπίπεδο Έτσι, η απόκριση μοναδιαίου παλμού μηδενίζεται όσο αυξάνει ο χρόνος 4 8 h(t) 6 4-3 4 5 6 7 8 9 time t Σχήμα 73Απόκριση μοναδιαίου παλμού ευσταθούς TI συστήματος συνεχούς χρόνου Παράδειγμα Ένα TI σύστημα συνεχούς χρόνου έχει συνάρτηση μεταφοράς: H ( ) ( ) Η συνάρτηση μεταφοράς γράφεται: H ( ) ( ) 3 3 Υπάρχουν τρεις δυνατές Περιοχές Σύγκλισης: α Re Το σύστημα είναι αιτιατό με απόκριση μοναδιαίου παλμού t t ht e e u() t 3 3 και δεν είναι ευσταθές επειδή h t τείνει στο άπειρο όταν t τείνει στο άπειρο β Re Το σύστημα δεν είναι αιτιατό με απόκριση μοναδιαίου παλμού t t ht e ut e u( t) 3 3 και είναι ευσταθές επειδή ο φανταστικός άξονας ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτηση μεταφοράς γ Re Το σύστημα δεν είναι αιτιατό με απόκριση μοναδιαίου παλμού 76

t t ht e ut e u( t) 3 3 και δεν είναι ευσταθές επειδή ο φανταστικός άξονας δεν ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτηση μεταφοράς Μπορείτε να διερευνήσετε την ευστάθεια αιτιατών συστημάτων συνεχούς χρόνου με το Διαδραστικό πρόγραμμα 7 Διαδραστικό πρόγραμμα 7Ευστάθεια αιτιατών συστημάτων συνεχούς χρόνου Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα 76 Συνάρτηση μεταφοράς σε προγραμματιστικό περιβάλλον ----5- Η συνάρτηση [y]=tf(b,a) χρησιμοποιείται για την παραγωγή της συνάρτησης μεταφοράς Η συνάρτηση έχει εισόδους τους συντελεστές b του αριθμητή και τους συντελεστές a του παρονομαστή και στην έξοδο παράγει τη συνάρτηση μεταφοράςγιαπαράδειγμα, η δημιουργία της συνάρτησης μεταφοράς H απαιτεί την κλήση 7 b=[]; a=[,-7,];tf(b,a); Τότε η συνάρτηση επιστρέφει Tranferfunction: -------------- ^ - 7 + πουσημαίνει H 7 Η συνάρτηση tfχρησιμοποιείται μαζί με τη συνάρτηση limγια τον υπολογισμό της απόκρισης ενός TI συστήματοςσυνεχούς χρόνου Για παράδειγμα, για να υπολογιστεί η απόκριση του TIσυστήματοςσυνεχούς χρόνου: y'' t 5yt x' t x( t) για είσοδο xt int απαιτείται η παραγωγή της εισόδου t = [::]; x = in(t); καιηκλήση b=[ ]; a=[,, 5]; y=tf(b,a); lim(y,x,t) Στο Σχήμα 74 παρουσιάζεται η είσοδος και η έξοδος (απόκριση) του TI συστήματος συνεχούς χρόνου 77

8 x(t) y(t) 6 4 - -4-6 -8-3 4 5 6 7 8 9 time t Σχήμα 74Απόκριση TI συστήματος συνεχούς χρόνου 73 Λυμένες Ασκήσεις ----5-6 Να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό aplace: 5 X() ( 6) Λύση X() 3 5 5 C C C3 ( 6) ( ( 5 j)) ( ( 5 j)) ( 5 j) ( 5 j) 5 5 C lim( X ( ) lim( ) 6 6 5 4 5 j C lim [( ( 5 j) X ( )] lim ( ) 5 j 5 j ( ( 5 j)) 5 j C lim 5 4 5 j [( ( 5 j) X ( )] lim ( ) C ( ( 5 j)) 5 j 5j 5j 5 4 5 j 4 5 j X() 6 5 j ( 5 j) 5 j ( 5 j) Οπότε, ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace είναι: 5 4 5 j ( 5 j) t 4 5 j ( 5 j) t x( t) e e u( t) 6 5 j 5 j * Η ανάλυση της συνάρτησης X μεταφοράς μπορεί εναλλακτικά να γίνει ως εξής: 78

X 5 ( 6) 5 5 6 6 6 ( ) 5 5 5 6 6 ( ) 5 6 ( ) 5 5 5 5 6 6 ( ) 5 6 5 ( ) 5 Κάνοντας πράξεις μπορεί να δειχθεί ότι αυτή η μορφή τηςσυνάρτησης X είναι ίση με την προηγούμενη Τότε, ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplaceυπολογίζεται με τη χρήση των ζευγών του Πίνακα 7, ως εξής: 5 5 t t xt ut e co(5t ) ut e in(5 t) ut 6 6 6 5 Να δείξετε ότι αυτή η μορφή του αντίστροφου μετασχηματισμού aplace είναι ίση με την προηγούμενη (να χρησιμοποιήσετε την ταυτότητα τουeuler) Να λύσετε τη διαφορική εξίσωση: d y( t) dy( t) 4 3 y( t) u( t) u( t ), y(), y'() Λύση d y( t) dy( t) 4 3 y( t) u( t) u( t ), y(), y '() [ Y ( ) y() y'()] 4[ ( ) y()] 3 Y( ) e Y ( ) 4 ( ) 3 Y( ) e e ( 4 3) Y( ) e Y() e ( 4 3) ( 4 3) ( 4 3) Όμως C C C 3 ( 4 3) ( ) ( 3) 3 C C lim( ) lim( ) ( ) ( 3) ( ) ( 3) 3 lim(( ) ) lim( ) ( ) ( 3) ( 3) C3 lim(( 3) ) lim( ) 3 ( ) ( 3) 3 ( ) 6 ( 4 3) ( ) ( 3) 3 6 3 Οπότε 79

t 3t t 3( t) y( t) e e u( t) e e u( t ) 3 6 3 6 3 Να εξετάσετε ως προς την αιτιότητα το σύστημα συνεχούς χρόνου με συνάρτηση μεταφοράς: H ( )( j) Λύση Οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς είναι, j Επομένως υπάρχουν τρεις δυνατές Περιοχές Σύγκλισης: α Re β Re γ Re Η Περιοχή Σύγκλισης είναι το μέρος του μιγαδικού επιπέδου δεξιά από την κάθετη στον πραγματικό άξονα στο σημείο Re p, όπου p είναι ο πόλος της συνάρτησης μεταφοράς με το μέγιστο πραγματικό μέρος Ο πόλος αυτός είναι ο πόλος Άρα, το σύστημα είναι αιτιατό, όταν η Περιοχή Σύγκλισης είναι Re 4 Δίνεται το αιτιατό TIσύστημα συνεχούς χρόνου με συνάρτηση μεταφοράς: H 3 5 9 5 α Να εξετάσετε ως προς την ευστάθεια το σύστημα β Να υπολογίσετε την απόκριση μοναδιαίου παλμού Λύση α Οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς είναι, j, 3 j Όλοι οι πόλοι βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο Άρα, το σύστημα είναι ευσταθές β Η συνάρτηση μεταφοράς γράφεται j j H 3 5 9 5 ( ) ( 4 5) 4 j 4 j Αφού το σύστημα είναι αιτιατό, η Περιοχή Σύγκλισης είναι το μέρος του μιγαδικού επιπέδου δεξιά από την κάθετη στον πραγματικό άξονα στο σημείο Re p, όπου p είναι ο πόλος της συνάρτησης μεταφοράς με το μέγιστο πραγματικό μέρος Ο πόλος αυτός είναι ο πόλος Άρα, η Περιοχή Σύγκλισης είναι Re Επομένως, το σύστημα έχει απόκριση μοναδιαίου παλμού: t j ( j) t j ( j) t ht e ut e u( t) e u( t) 4 4 Αξίζει να σημειωθεί ότι η απόκριση μοναδιαίου παλμού μηδενίζεται, όσο αυξάνει ο χρόνος Η ανάλυση της συνάρτησης μεταφοράς μπορεί εναλλακτικά να γίνει ως εξής: 8

5 9 5 ( ) ( 4 5) 3 H 3 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Κάνοντας πράξεις μπορεί να δειχθεί ότι αυτή η μορφή τηςσυνάρτησης μεταφοράς είναι ίση με την προηγούμενη Τότε, η απόκριση μοναδιαίου παλμού υπολογίζεται με τη χρήση των ζευγών του Πίνακα 7, ως εξής: t t t h t e u t e co( t) u t e in( t) ut Να δείξετε ότι αυτή η μορφή τηςαπόκρισης μοναδιαίου παλμού είναι ίση με την προηγούμενη (να χρησιμοποιήσετε την ταυτότητα τουeuler) 74 Ασκήσεις ----5-6 Αν το σήμα συνεχούς χρόνου xt () έχει μετασχηματισμό aplace X (), τότε να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόaplace του σήματος συνεχούς χρόνου x( t) Αν το σήμα συνεχούς χρόνου xt () έχει μετασχηματισμό aplace X (), τότε να υπολογίσετε τον t t μετασχηματισμόaplace του σήματος συνεχούς χρόνου yt e u( t) 3 Να υπολογίσετε το αιτιατό σήμα με μετασχηματισμό aplace: 6 X 9 4 Να υπολογίσετε το αιτιατό σήμα με μετασχηματισμό aplace: X 9 5 Να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό aplace: X j ( ) 6 Να υπολογίσετε την έξοδο yt () ενός TI συστήματος συνεχούς χρόνου με συνάρτηση μεταφοράς H και είσοδο ( j ) t x t e 3 7Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα TI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y''' t y' t x' t x( t) Να υπολογίσετε την συνάρτηση μεταφοράς 3 8

8Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα TI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y' t yt x ' t x( t) Να υπολογίσετε την συνάρτηση μεταφοράς Να υπολογίσετε την απόκριση μοναδιαίου παλμού 9 Να εξετάσετε ως προς την αιτιότητα το σύστημα συνεχούς χρόνου με συνάρτηση μεταφοράς: H ( ) ( j) Να εξετάσετε ως προς την ευστάθεια το αιτιατό σύστημα συνεχούς χρόνου με συνάρτηση μεταφοράς: X 3 5 74 75 Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστηριακή Άσκηση Μετασχηματισμός aplace και Συνάρτηση μεταφοράς ----5- Υπολογισμός Μετασχηματισμού aplace Να μελετήσετε τη συνάρτηση laplace Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση laplace να υπολογίσετε τους μετασχηματισμούς aplace των σημάτων συνεχούς χρόνου x () t t x ( t) t x ( t) exp( t) 3 x ( t) exp( t) 4 x ( t) co( t) 5 x ( t) 3t co( t) 6 Να εμφανίσετε τα αποτελέσματα Αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Να μελετήσετε τη συνάρτηση ilaplace Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση laplace να υπολογίσετε τον μετασχηματισμόaplace του σήματος συνεχούς χρόνου: x( t) 3t in( t) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ilaplace να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό aplace του σήματος που βρήκατε Να εμφανίσετε τα αποτελέσματα 3 Αντίστροφος μετασχηματισμός aplace: N M και απλοί πόλοι Δίνεται ο μετασχηματισμός aplace: H 7 Να μελετήσετε τη συνάρτηση reidue Να αναλύσετε την X σε άθροισμα απλών κλασμάτων χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση reidue και να εμφανίσετε τα αποτελέσματα 4 Αντίστροφος μετασχηματισμός aplace: N M και πολλαπλός πόλος Δίνεται ο μετασχηματισμός aplace: 8

( ) ( ) X Να αναλύσετε την X εμφανίσετε τα αποτελέσματα σε άθροισμα απλών κλασμάτων χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση reidue και να 5 Αντίστροφος μετασχηματισμός aplace: N M Δίνεται ο μετασχηματισμός aplace: X Να αναλύσετε την X σε άθροισμα απλών κλασμάτων χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση reidue και να εμφανίσετε τα αποτελέσματα 6 Αντίστροφος μετασχηματισμός aplace: N M Δίνεται ο μετασχηματισμός aplace: 3 5 4 X Να αναλύσετε την σε άθροισμα απλών κλασμάτων χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση reidue και να X εμφανίσετε τα αποτελέσματα 7 Συνάρτηση μεταφοράςκαι ευστάθεια Δίνεται ένα TI σύστημα συνεχούς χρόνου με συνάρτηση μεταφοράς: 4 3 X 3 Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση reidue να υπολογίσετε τους πόλους της συνάρτησης μεταφοράς Είναι το TI σύστημα ευσταθές; 8 Συνάρτηση μεταφοράςκαι ευστάθεια Δίνεται ένα TI σύστημα συνεχούς χρόνου με συνάρτηση μεταφοράς: 4 3 X 3 Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση reidue να υπολογίσετε τους πόλους της συνάρτησης μεταφοράς Είναι το TI σύστημα ευσταθές; 9 TI φίλτρο συνεχούς χρόνου Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα TI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y'' t 5 y t x' t x( t) Να μελετήσετε τη συνάρτηση tf Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση tf να υπολογίσετε τη συνάρτηση μεταφοράς Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση lim να υπολογίσετε την απόκριση του συστήματος για είσοδο x t t in( ) TI φίλτρο συνεχούς χρόνου Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα TI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y''' t y' t y t x'' t x( t) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση tf να υπολογίσετε τη συνάρτηση μεταφοράς Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση lim να υπολογίσετε την απόκριση του συστήματος για είσοδο x t t co( ) 83

76 Περίληψη (ηχογραφημένη) ----5-6 Μπορείτε να ακούσετε την περίληψη του Κεφαλαίου 7 με τον Ήχο 7 Ήχος 7Περίληψη Κεφαλαίου 7 Μετασχηματισμός aplace και Συνάρτηση μεταφοράς Το σύνολο των τιμών της μεταβλητής για τις οποίες υπάρχει ο μετασχηματισμός aplace, δηλαδή για τις οποίες το ολοκλήρωμα του μετασχηματισμού aplace συγκλίνει, ονομάζεται Περιοχή Σύγκλισης (ΠΣ) (RegionOfConvergence ROC) Αν μετασχηματισμός aplace μίας συνάρτησης είναι ρητή συνάρτηση του, τότε οι ρίζες του αριθμητή καλούνται μηδενικά (zero) και οι ρίζες του παρονομαστή καλούνται πόλοι (pole) Η Περιοχή Σύγκλισης δεν περιλαμβάνει τους πόλους Ο μετασχηματισμός aplaceτης απόκρισης μοναδιαίου παλμού ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (TI) συστήματος συνεχούς χρόνου ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς ενός TI συστήματος συνεχούς χρόνου, που αποτελείται από TI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι το γινόμενο των συναρτήσεων μεταφοράς των επί μέρους συστημάτων Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς ενός TI συστήματος συνεχούς χρόνου, που αποτελείται από TI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των συναρτήσεων μεταφοράς των επί μέρους συστημάτων Ένα αιτιατό TIσύστημα συνεχούς χρόνου έχει Περιοχή Σύγκλισης το μέγιστο δυνατό ημιεπίπεδο, που δεν περιλαμβάνει τους πόλους της συνάρτησης μεταφοράς Η Περιοχή Σύγκλισης είναι το μέρος του μιγαδικού επιπέδου δεξιά από την κάθετη στον πραγματικό άξονα στο σημείο Re p, όπου p είναι ο πόλος της συνάρτησης μεταφοράς με το μέγιστο πραγματικό μέρος Ένα TIσύστημα συνεχούς χρόνου είναι ευσταθές, αν ο φανταστικός άξονας ανήκει στην Περιοχή Σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς Ένα αιτιατόtiσύστημασυνεχούς χρόνου είναι ευσταθές,όταν όλοι οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο και έχουν οποιαδήποτε πολλαπλότητα Τότε η απόκριση μοναδιαίου παλμού μηδενίζεται όσο αυξάνει ο χρόνος 84

Βιβλιογραφία/Αναφορές Eaton, J W, Bateman, D, Hauberg, S, Wehbring R () GNU Octave (3rd ed) Hanen J S () GNU Octave Beginner' Guide Pact Publihing Ingle, V K, & Proai, J G (3) Digital Signal Proceing uing MATAB Stamford, CT: Thomon Broo Cole ei, J W () Digital Signal Proceing uing MATAB for tudent and reearcher J Wiley and Son McClellan, J H, Schafer, R W, Yoder, M A (6) Θεμελιώδεις Έννοιες της Επεξεργασίας Σημάτων Φιλομάθεια Μετάφραση Επιστημονική Επιμέλεια: Ε Ζ Ψαράκης TheMathWorInc (5)Signal Proceing Toolbox Uer Guide Θεοδωρίδης, Σ, Μπερμπερίδης, Κ, Κοφίδης, Λ (3) Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις τυπωθήτω Καραγιάννης, Γ, & Μαραγκός, Π () Βασικές Αρχές Σημάτων και Συστημάτων Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραγιάννης, Γ, & Τζιτζιράχου, Κ (3) Εισαγωγή στα Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Παπασωτηρίου Καραμπογιάς, Σ (9) Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Καραμπογιά Μάργαρης, Α (4) Σήματα και Συστήματα Εκδόσεις Τζιόλα Παρασκευάς, Μ (4) Σήματα και Συστήματα Συνεχούς Χρόνου με Matlab Εκδόσεις Τζιόλα Σκόδρας, Α, & Αναστασόπουλος, Β (3) Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων και Σημάτων ΕΑΠ Φωτόπουλος, Π, & Βελώνη, Α (8) Σήματα και Συστήματα Σύγχρονη Εκδοτική 85

Κριτήρια αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης ----5-6 Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 7 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Διαδραστικό πρόγραμμα 7Κριτήριο αξιολόγησης Κριτήριο αξιολόγησης ----5-6 Μπορείτε να κάνετε το κριτήριο αξιολόγησης με το Διαδραστικό πρόγραμμα 73 Η Απάντηση/Λύση βρίσκεται στο Παράρτημα Διαδραστικό πρόγραμμα 73Κριτήριο αξιολόγησης 86