-Μαρτ-9 ΗΜΥ 49. Παραθύρωση Ψηφιακά φίλτρα
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Είδη παραθύρων Bartlett τριγωνικό: n, n Blacman: πn 4πn.4.5cos +.8cos, n <
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 3 Hamming: 4 Hanning: πn.54.64 cos, n < πn cos, n < 3
-Μαρτ-9 4. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα 6 Lancos: 5 Kaiser:, < n I n I α α,, sin > n L n n L π π +! x x I I : τροποποιημένη συνάρτηση Bessel ου είδους & μηδενικής τάξης:
-Μαρτ-9 5. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα 7 Tuey: /, / / cos < + + n n n α π α α α α.5 α
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Γενικά περί φίλτρων Βασική υπόθεση: για αφαίρεση θορύβου από το σήμα πρέπει να μην υπάρχουν κοινές συχνότητες των δύο. Δύο βασικά είδη φίλτρων: Αναλογικά επεξεργασία αναλογικών σημάτων Ψηφιακά επεξεργασία ψηφιακών σημάτων Αναλογικά Κλασικά ηλεκτρικά κυκλώματα, άμεση επεξεργασία σημάτων Χαρακτηριστικές εξαρτώνται από τιμές των στοιχείων κυκλωμάτων Δύσκολη η προσέγγιση ιδανικών προδιαγραφών Κλασικά φίλτρα Ορισμένα φίλτρα μόνο αναλογικά Ψηφιακά Ψηφιακοί επεξεργαστές, καθυστερημένη επεξεργασία πολυπλοκότητα, ταχύτητα Απολύτως σταθερές χαρακτηριστικές Προσέγγιση ιδανικών προδιαγραφών με οποιαδήποτε επιθυμητή ακρίβεια Ευελιξία στο σχεδιασμό Ορισμένα φίλτρα δεν υπάρχουν ψηφιακά 6
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Θα συγκεντρωθούμε σε φίλτρα που είναι γραμμικά και χρονικά σταθερά συστήματα, επομένως που περιγράφονται πλήρως είτε: από την κρουστική τους απόκριση, hn τη συνάρτηση μεταφοράς, H την απόκριση συχνότητας, He Απαραίτητα προϋπόθεση για υλοποίηση μιας ψηφιακής επεξεργασίας: πεπερασμένες αριθμητικές πράξεις ανά δείγμα εξόδου. Δύο βασικές κατηγορίες φίλτρων που τηρούν αυτή την προϋπόθεση: Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης Finite Impulse Response, FIR Φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης Infinite Impulse Response, IIR 7
-Μαρτ-9 8. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα Εξισώσεις διαφοράς: N n y b n x a n y όπου yn: έξοδος, xn:είσοδος, yn-: έξοδος σε προηγούμενα δείγματα, και α & b : συντελεστές συστήματος. Οι ίδιες εξισώσεις μπορούν να γραφτούν στο πεδίο : N Y b X a Y + N b a X Y H Άρα: - Σύστημα IIR
-Μαρτ-9 9. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα Αν οι συντελεστές b είναι μηδέν, τότε: Τα φίλτρα που θα σχεδιάσουμε πρέπει να είναι: Αιτιατά έτσι ώστε για τον υπολογισμό της εξόδου τη χρονική στιγμή n να χρησιμοποιούνται είσοδοι που να είναι διαθέσιμες έως τηχρονικήαυτήστιγμή Ευσταθή έτσι ώστε το αποτέλεσμα της επεξεργασίας να έχει πρακτικό νόημα N N a X Y H n x a n y - Σύστημα FIR
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Ευστάθεια ψηφιακών αιτιατών φίλτρων: FIR: πάντοτε ευσταθή IIR: ευσταθή όταν οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς βρίσκονται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Ιδανικές προδιαγραφές φίλτρων Ιδανικά χαρακτηριστικά συνίστανται στον: Προσδιορισμό των ζωνών διάβασης και αποκοπής Προσδιορισμό των ιδανικών χαρακτηριστικών στις ζώνες διάβασης Η επίδραση των φίλτρων στο συχνοτικό περιεχόμενο ενός σήματος είναι: Y e D e X e όπου Χ. και Υ.: συχνοτικό περιεχόμενο της εισόδου και της εξόδου αντίστοιχα, και D.: ιδανική απόκριση συχνότητας του φίλτρου. Επιλογή του D. έτσι ώστε να είναι μηδέν στις συχνότητες του θορύβου και μονάδα στις συχνότητες της πληροφορίας πλήρες φιλτράρισμα θορύβου.
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Στην πράξη: σήματα περιέχουν ζώνες συχνοτήτων. Τα ιδανικά φίλτρα είναι συνήθως παραθυρικής μορφής όπου τα παράθυρα εφαρμόζονται στις ζώνες συχνοτήτων της πληροφορίας. Ζώνες αποκοπής: οι ζώνες συχνοτήτων που θέλουμε να αφαιρέσουμε. Ζώνες διάβασης: οι ζώνες συχνοτήτων που θέλουμε να διατηρήσουμε. Πέρα από αφαίρεση θορύβου τροποποίηση της πληροφορίας.
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Γενική περίπτωση ιδανικής απόκρισης συχνότητας: D e D i e, ω ω ω l i ui αλλου, [ ω ω li ui ] : ζώνες διάβασης Για την ιδανική απόκριση συχνότητας, D., ισχύουν: Είναι γνωστή σε όλες τις συχνότητες Ζώνες διάβασης είναι δυνατό να συνδιαστούν έτσι ώστε να μην είναι επικαλυπτόμενες, ούτε να έχουν κοινό άκρο εναλάσσονται Εμφανίζει ασυνέχειες στα άκρα των ζωνών διάβασης 3
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Είδη κλασικών ιδανικών φίλτρων Κατωπερατά ή Κατωδιαβατά χαμηλοπερατά: D e, ω ωc, αλλού Ανωπερατά ή Ανωδιαβατά ψηλοπερατά: D e, ω ω π c αλλού 4
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Ζωνοπερατά ή Ζωνοδιαβατά: D e ω ω, ωc c, αλλού [ ω ω c c ] : συχνότητες αποκοπής Φίλτρα αποκοπής ζώνης: D e ω ω, ωc c, αλλού [ ω ω c c ] : συχνότητες αποκοπής 5
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Πολυπερατά ή Πολυδιαβατά: D e, ωl ω ωu, i,,..., αλλού [ ωli ui ω ] : άνω και κάτω συχνότητα αποκοπής της i-οστής ζώνης διάβασης Ολοπερατά ή Ολοδιαβατά: D e Δηλ. δεν απομακρύνουν καμιά συχνότητα 6
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Ιδανική κρουστική απόκριση φίλτρου Αντίστροφος Μετασχηματισμός Fourier στην ιδανική απόκριση συχνότητας: d n π π π D e e jnω dω Συνθήκη εξασφάλισης πραγματικής dn: D e D e Για πραγματική συνάρτηση D. όπως στα κλασικά φίλτρα τότε η συνθήκη ισοδυναμεί με D. να είναι άρτια. : ι ιδανική κρουστική απόκριση δεν καταλήγει ούτε σε FIR, ούτε σε IIR συστήματα, επομένως απαιτεί άπειρες πράξεις ανά δείγμα εξόδου, και ιι δεν είναι αιτιατή 7
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Προσέγγιση ιδανικών χαρακτηριστικών Απόκριση πλάτους και συνάρτηση φάσης De : πραγματική, ενώ Ηe : μιγαδική. jφ ω Όμως, H e H e e καιοισυναρτήσεις He απόκριση πλάτους, άρτια και φω συνάρτηση φάσης, περιττή είναι πραγματικές. Προσέγγιση ιδανικής απόκρισης: Re He Ισχύει ότι αν Re για ω, τότε Ηe., jφ Άρα: ω j H e e R e ω όπου η προσέγγιση των ιδανικών χαρακτηριστικών γίνεται μέσω της R., ηοποίαείναιτου ίδιου τύπου και έχει τις ίδιες συμμετρίες με την ιδανική. 8
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Γραμμικη φάση και καθυστέρηση ομάδας Εφαρμογή φίλτρου He σε σήμα με συχνοτικό περιεχόμενο Χe : όπου Y jφ ω ε e H e X e e Y e e R e X e : ε Y επιθυμητή έξοδος. Άρα, πώς ο πολλαπλασιασμός με e jφω μεταβάλλει το επιθυμητό συχνοτικό περιεχόμενο; Υe Υ ε e, άραηεπιθυμητήκαιηουσιαστικήέξοδος περιέχουν τις ίδιες συχνότητες με την ίδια ακριβώς ενέργεια. Επομένως, η διαφορά έγκειται καθαρά στη διαφορά φάσης κάθε συχνότητας! 9
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Διαπιστώνουμε ότι: ε e φ ω + Y e Y Αυτή η διαφορά φάσης σε πολλές εφαρμογές δε θεωρείται σημαντική κυρίως σε επεξεργασία ήχου γιατί το σύστημα ακοής είναι ευαίσθητο στην ενέργεια των συχνοτήτων και όχι τόσο στις διαφορές φάσης τους, άρα επεξεργασία με το φίλτρο He είναι ικανοποιητική. Εφαρμογές στις οποίες είναι σημαντική είναι αυτές που δίνουν σημασία στη μορφή του σήματος στο χρόνο ημορφήτου σήματος είναι εξαιρετικά ευαίσθητη στις μεταβολές της φάσης.
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Αναλλοίωτο της μορφής της επιθυμητής εξόδου: Η συνθήκη η οποία εξασφαλίζει το αναλλοίωτο της μορφής της επιθυμητής εξόδου σε ένα φίλτρο με απόκριση συχνότητας jφ ω j e e R e ω, H είναι η φάση φω στιςζώνεςδιάβασηςναείναιγραμμική, δηλ. φω-κω Αυτό απαιτείται μόνο στις ζώνες διάβασης γιατί όταν μια συχνότητα δεν έχει καθόλου ενέργεια, δηλ. ανήκει στη ζώνη αποκοπής, δεν μας απασχολεί η φάση της. Η συνθήκη είναι αποτέλεσμα του αντίστροφου ΜΦ στα συχνοτικά περιεχόμενα των σημάτων εξόδων. Ηέξοδοςyn είναι η ιδανική έξοδος μετατοπισμένη κατά Κ δείγματα.
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Γιαφίλτραμη-γραμμικής φάσης είναι επιθυμητό να γνωρίζουμε το ποσοστό καθυστέρησης το οποίο υφίσταται κάθε συχνότητα: d φ ω τ ω - Συνάρτηση καθυστέρησης ομάδας dω όπου φω: μη αναδιπλωμένη φάση Φίλτρο με γραμμική φάση: ίση με κλίση Κ συνάρτησης φάσης κοινή καθυστέρηση προς όλες συχνότητες Φίλτρο με μη-γραμμική φάση: τοπική κλίση συνάρτησης φάσης ποσοστό καθυστέρησης αντίστοιχης συχνότητας στην οποία υπολογίζεται η παράγωγος.
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 3 Ζώνες μετάβασης: Οι συναρτήσεις Re είναι ομαλές, άρα δεν μπορούμε να επιτύχουμε μεταβάσεις με ασυνέχειες στην ιδανική απόκριση συχνότητας. Ζώνες μετάβασης: μεσολαβούν σε όλα τα σημεία στα οποία εμφανίζεται ασυνέχεια. Αποτελούν μέρος των προδιαγραφών του φίλτρου - το εύρος και η ακριβής θέση των ζωνών προσδιορίζονται από τον σχεδιαστή του φίλτρου, αλλά η μορφή της ιδανικής απόκρισης συχνότητας στις ζώνες αυτές δεν καθορίζεται εκ των προτέρων. 3
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 4 Ακρίβεια προσέγγισης: ΗσυνάρτησηRe δεν έχει τη δυνατότητα να είναι ακριβώς μονάδα στις ζώνες διάβασης και ακριβώς μηδέν στις ζώνες αποκοπής προσδιορισμός κατά πόσο η συγκεκριμένη προσέγγιση είναι ικανοποιητική. έγιστο απόλυτο σφάλμα μεταξύ D. και R. ανά ζώνη ενδιαφέροντος: [ ωli ui ω ]: δ > : i D e R e δi, για ωl i ω ωui ζώνεςδιάβασηςήαποκοπής μέγιστο αποδεκτό σφάλμα ανά ζώνη ενδιαφέροντος, είτε σε απόλυτη τιμή ή σε db: log δ δ db Η σχέση αυτή πρέπει να ισχύει για όλες τις ζώνες διάβασης και αποκοπής. 4
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 5 Συνάρτηση βάρους, Wω: Εναλλακτικός τρόπος προσδιορισμού της ποιότητας προσέγγισης. ιδιότητες: Ορίζεται για όλες τις συχνότητες που ανήκουν σε ζώνη είτε διάβασης είτε αποκοπής Wω, και η τιμή της είναι μεγαλύτερη στα σημεία που επιθυμούμε μικρότερο σφάλμα προσέγγισης Αποδεκτή προσέγγιση ικανοποιεί: και R e δ, για ωl i ω ωui W ω D e max W δ ω max, για ωl ω ω i u, δ i max δ i max : μεγαλύτερη ευελιξία στον έλεγχο του σφάλματος ανά συχνότητα & ευκολότερο να ελέγξουμε τη σχέση αυτή παρά το απόλυτο σφάλμα. i δ i 5
. Παραθύρωση / Ψηφιακά Φίλτρα -Μαρτ-9 Πρακτικές προδιαγραφές φίλτρων Οι προδιαγραφές που είναι απαραίτητο να ορισθούν για το σχεδιασμό ενός φίλτρου είναι: Προσδιορισμός των ζωνών διάβασης, αποκοπής και μετάβασης Προσδιορισμός ιδανικών χαρακτηριστικών στις ζώνες διάβασης Προσδιορισμός συνάρτησης βάρους και μέγιστου αποδεκτού σφάλματος προσέγγισης στις ζώνες διάβασης και αποκοπής. 6
-Μαρτ-9 Επόμενη διάλεξη:. Φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης FIR 7