Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.

Σχετικά έγγραφα
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

Osnove matematične analize 2016/17

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotne in krožne funkcije

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

PRIMER UPORABE FUNKCIJ 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE. Upogibni moment. M(X )=F A x qx2 2

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika. Funkcije in enačbe

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Tretja vaja iz matematike 1

KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

18. listopada listopada / 13

4.1 Elementarne funkcije

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

radni nerecenzirani materijal za predavanja

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ

DARJA POTOƒAR, FMF

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

Množico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

1 Pojam funkcije. f(x)

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Matematika 1. Jaka Cimprič

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak

IZVODI ZADACI (I deo)

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Funkcije več spremenljivk

Univerza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

INŽENIRSKA MATEMATIKA I

Splošno o interpolaciji

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

ELEMENTARNE FUNKCIJE

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

1.4 Tangenta i normala

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič

( , 2. kolokvij)

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

x3 + 1 (sin x)/x d dx (f(g(x))) = f ( g(x)) g (x). d dx (sin(x3 )) = cos(x 3 ) (3x 2 ). 3x 2 cos(x 3 )dx = sin(x 3 ) + C. d e (t2 +1) = e (t2 +1)

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

3.1 Elementarne funkcije

ELEMENTARNE FUNKCIJE

Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ)

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

Osnovne lastnosti odvoda

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

vezani ekstremi funkcij

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

4 Elementarne funkcije

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ

PETRA GROŠELJ MATEMATIČNE METODE ZA ŠTUDENTE BIOTEHNIŠKE FAKULTETE

1. Trigonometrijske funkcije

Αθ.Κεχαγιας. v Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija

Univerza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Neodred eni integrali

Zadaci iz trigonometrije za seminar

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

Del 5. Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk

Transcript:

II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R. f : D R, D R x f (x) Če D ni posebej podano, je največja množica, kjer ima predpis f smisel. x neodvisna spremenljivka y = f (x) odvisna spremenljivka Z = {f (x) x D} zaloga vrednosti funkcije f

Graf funkcije Γ(f ) = {(x, f (x)) x D} R 2 Graf funkcije seka poljubno navpično premico največ v eni točki. Projekcija grafa na os x je D, projekcija grafa na os y pa je Z. Injektivnost in surjektivnost Funkcija f : D R je injektivna, če različni točki x y D preslika v različni vrednosti f (x) f (y) Z. surjektivna, če je Z = R Graf injektivne funkcije seka poljubno vodoravno premico v največ eni točki. Graf surjektivne premice seka vsako vodoravno premico.

Inverzna funkcija Injektivna (!) funkcija f : D R ima inverzno funkcijo f 1 : Z R. Inverzna funkcija f 1 številu x Z priredi tisto število y R, za katerega velja f (y) = x: f 1 (x) = y f (y) = x. Definicijsko območje in zaloga vrednosti se zamenjata: D f 1 = Z f, Z f 1 = D f. Graf y = f 1 (x) dobimo z zrcaljenjem grafa y = f (x) čez premico y = x. Kompozitum ali sestavljena funkcija (f g)(x) = f (g(x)) Definirana je samo, če je Z g D f. Če je f injektivna in f 1 njena inverzna funkcija, je (f f 1 )(x) = x in (f 1 f )(x) = x. Primer f (x) = x, g(x) = x 2, kaj sta f g in g f?

Transformacije funkcij g(x) = f (x a) vodoravni premik za a v desno g(x) = f (x) + c navpični premik za c navzgor g(x) = f (x/a) vodoravni razteg za faktor a g(x) = cf (x) navpični razteg za faktor c g(x) = f (x) zrcaljenje preko osi x g(x) = f ( x) zrcaljenje preko osi y Elementarne funkcije Elementarne funkcije delimo na: algebraične dobljene iz konstantnih funkcij f (x) = c in identične funkcije f (x) = x s sestavljanjem, seštevanjem, množenjem in deljenjem ter inverznimi funkcijami transcendetne sestavljene iz eksponentnih, logaritemskih, kotnih funkcij in njihovih inverznih funkcij

Algebraične funkcije: potence in koreni Potence f (x) = x n in koreni f (x) = x 1/n Algebraične funkcije: polinomi Polinom stopnje n p(x) = a 0 + a 1 x +... + a n 1 x n 1 + a n x n, a n 0 Razcep na nerazcepne faktorje: p(x) = a n (x α 1 ) (x α j )(x 2 + p 1 x + q 1 ) (x 2 + p k x + q k ), α 1,..., α j so ničle (ne nujno različne).

Algebraične funkcije: racionalne funkcije Racionalna funkcija: kvocient dveh polinomov R(x) = p(x) q(x) = a 0 + + a n x n b 0 + + b m x m. Okrajšana oblika: števec in imenovalec nimata skupnih faktorjev. Definicijsko območje: R \ {ničle imenovalca} Primeri x 1. f (x) = 2 1 x 2 2x 2. f (x) = x 3 x

Eksponentna funkcija in logaritem Eksponentna funkcija: f (x) = a x, a > 0, a 1 D = R, Z = (0, ) adicijski izrek: a x+y = a x a y naravna eksponentna funkcija: f (x) = e x Logaritem je inverzna funkcija eksponentne f (x) = log a (x) D = (0, ), Z = R log a (xy) = log a (x) + log a (y) naravni logaritem: log x = log e (x) (tudi ln x) Monotone funkcije Definicija Funkcija f je naraščajoča, če velja: če je x < y, je f (x) f (y). Funkcija f je padajoča, če velja: če je x < y, je f (x) f (y). Funkcija je monotona, če je padajoča ali naraščajoča. f (x) = a x je naraščajoča, če je a > 1, in je padajoča, če je 0 < a < 1 Inverzna funkcija naraščajoče injektivne funkcije je spet naraščajoča, inverzna funkcija padajoče injektivne funkcije pa je padajoča. f (x) = log a (x) je naraščajoča, če je a > 1, in je padajoča, če je 0 < a < 1.

Kotne funkcije (cos x, sin x) koordinati točke na krožnici u 2 + v 2 = 1, ki ustreza kotu x omejeni: Z = [ 1, 1] adicijski izreki: cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y, sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y Kotne funkcije tg x = sin x cos x, ctg x = cos x sin x sta neomejeni: Z = R adicijski izreki...

Periodične funkcije Definicija Funkcija f je periodična s periodo ω, če za vsak x velja f (x + ω) = f (x). Najmanjšo periodo funkcije f imenujemo osnovna perioda. Zgledi 1. sin x in cos x sta periodični z osnovno periodo 2π 2. tg x in ctg x sta periodični z osnovno periodo π Periodično gibanje Funkcija f (x) = sin x + cos(3x)/10 + (sin(5x π/4))/5 opisuje sestavljeno periodično gibanje z osnovno periodo 2π

Primeri periodičnih modelov 1. EKG 2. dolžina sence fiksnega objekta (vpliv kroženja zemlje okrog svoje osi, okrog sonca,... ) Primer približno periodičnega gibanja: gostota v prometu (vpliv ure, dneva, letnega časa) Ločne funkcije Inverzne funkcije kotnih funkcij. arcsin x je inverzna funkcija funkcije sin x, x [ π/2, π/2] arccos x je inverzna funkcija funkcije cos x, x [0, π] velja zveza: arcsin x+ arccos x = π/2

Ločne funkcije Inverzne funkcije kotnih funkcij. arctg x je inverzna funkcija funkcije tg x, x ( π/2, π/2) arcctg x je inverzna funkcija funkcije ctg x, x (0, π) tudi tu velja zveza: arctg x+ arcctg x = π/2 Hiperbolične funkcije hiperbolični kosinus: cosh x = 1 2 (ex + e x ) hiperbolični sinus: sinh x = 1 2 (ex e x ) velja: cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1 točka s koordinatama (cosh(x), sinh(x)) leži na hiperboli u 2 v 2 = 1 adicijski izreki: cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + sinh(x) sinh(y) sinh(x + y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y)

Hiperbolične funkcije hiperbolični tangen: tanh x = sinh x cosh x = ex e 1 e x + e x hiperbolični kotangens: coth x = cosh x sinh x = ex + e 1 e x e x