3.1 Elementarne funkcije
|
|
- Αδελφά Ζάχος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom n tog stupnja. Brojevi a n, a n,..., a, a 0 nazivaju se koeficijenti polinoma, a specijalno se a n zove vodeći koeficijent, a a 0 slodobni koeficijent. Teorem. (O jednakosti dvaju polinoma) Polinomi f i g definirani s: f(x) = a n x n + a n x n a x + a 0, g(x) = b m x m + b m x m b x + b 0, su jednaki ako i samo ako je m = n i a i = b i, i = 0,,..., n. Svaki broj α, realan ili kompleksan, za koji vrijedi f(α) = 0 zovemo nultočka polinoma f. Specijalno, ako je n = 0 onda polinom nultog stupnja zapisujemo u obliku f(x) = c, c R \ {0} i zovemo konstantni polinom ili konstanta. Njezin graf je pravac y = c koji je paralelan s x osi. Ako je f(x) = 0, x R onda f nazivamo nul-polinom (i njegov stupanj ne definiramo). Teorem. (O nul-polinomu) Polinom f(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 je nul polinom ako i samo ako su svi koeficijenti a i = 0, i = 0,,..., n. Slika : Graf konstante
2 Specijalno, ako je n = onda polinom prvog stupnja zapisujemo u obliku f(x) = kx + l, k 0 i zovemo linearna funkcija. Vodeći koeficijent se zove koeficijent smjera, a slobodni koeficijent odsječak na y osi. Linearna funkcija ima jednu nultočku: l. Linearna k funkcija je strogo rastuća funkcija ako je k > 0, a strogo padajuća funkcija ako je k < 0. Graf linearne funkcije je pravac y = kx + l (a) k > (b) k < 0 Slika : Graf linearne funkcije Specijalno, ako je n = onda polinom drugog stupnja zapisujemo u obliku f(x) = ax + bx + c, a 0 i zovemo kvadratna funkcija. Diskriminanta kvadratne funkcije je realan broj D = b 4ac. Nultočke kvadratne funkcije računamo po formuli: x, = b ± D. a
3 Ako je D > 0 onda kvadratna funkcija ima dvije različite realne nultočke (dvije jednostruke nultočke), D = 0 onda kvadratna funkcija ima jednu realnu nultočku (jednu dvostruku nultočku), D < 0 onda kvadratna funkcija ima dvije kompleksno konjugirane nultočke. Tjeme kvadratne funkcije je točka T (x 0, y 0 ) = T ( b 4ac b, ). a 4a Graf kvadratne funkcije je parabola čija je os paralelna s y osi. Ako je a > 0 parabola je okrenuta prema gore, te je funkcija strogo padajuća na intervalu (, x 0 ), u x 0 postiže najmanju vrijednost koja iznosi y 0 te je strogo rastuća na intervalu (x 0, + ). Ako je a < 0 parabola je okrenuta prema dolje, te je funkcija strogo rastuća na intervalu (, x 0 ), u x 0 postiže najveću vrijednost koja iznosi y 0 te je strogo padajuća na intervalu (x 0, + ). 3
4 Slika 3: Graf kvadratne funkcije (a) a > 0, D < 0, (b) a > 0, D = 0, (c) a > 0, D > 0, (d) a < 0, D > 0, (e) a < 0, D = 0, (f) a < 0, D < 0, Zbrajanje i množenje polinoma: (f + g)(x) := f(x) + g(x), (f g)(x) := f(x) g(x). Funkcije f + g : R R i f g : R R su također polinomi. Množenje polinoma skalarom: (λf)(x) := λf(x), λ R Funkcija λf : R R je također polinom. 4
5 Zadaci Zadatak. Odredite zbroj polinoma f(x) i g(x) ako je zadano: a) f(x) = x 3x + ; g(x) = x + x b) f(x) = x 3 + 5x x + 7; g(x) = 3x 3 x + 5x 3 c) f(x) = x 5 3x 4 + 5x x + ; g(x) = x 5 + 3x 4 5x + x d) f(x) = 3x 3 x + ; g(x) = x 6 3x x. Zadatak. Odredite razliku polinoma f(x) i g(x) ako je zadano: a) f(x) = x 3x + ; g(x) = x 3x + 5 b) f(x) = 3x 3 4x + ; g(x) = 3x 3 x x + 3 c) f(x) = x 5 3x 3 + x; g(x) = x 4 3x 3 + x + x d) f(x) = x 6 3x ; g(x) = 3x 5 x 4 3x +. Zadatak 3. Za zadane polinome f(x) i g(x) odredite linearnu kombinaciju (af +bg), gdje je a) f(x) = x 3 3x + x ; g(x) = x 6 + 5x 3x + ; a = 3; b = b) f(x) = 4x 3 3x x + ; g(x) = 3x 4 x x + 5; a = ; b = 3 c) f(x) = x 3 x + 4x ; g(x) = 3x 3 3x + 6x + ; a = 3; b = d) f(x) = x 4 3x 3 + 5x x + ; g(x) = 3x 4 5x 3 + 8x 3x + 5; a = 5; b = e) f(x) = 3x 5 x + x ; g(x) = x 4 + x 3 x + x ; a = ; b = Zadatak 4. Odredite produkt zadanih polinoma f(x) i g(x): a) f(x) = 3x x + ; g(x) = x b) f(x) = x 3 x + ; g(x) = x 5 + x 3 + x c) f(x) = x 3 + x + x + ; g(x) = x 3 x + x d) f(x) = x 4 x x ; g(x) = x 3 + x + e) f(x) = x 6 x 5 + x 4 x 3 + x x + ; g(x) = x + Zadatak 5. Odredite zbroj koeficijenata u kanonskom zapisu polinoma: a) f(x) = (x x + ) 000 (x x + ) 0 b) f(x) = (x x + 3) 987 (x 6x + 5) 987 c) f(x) = (x 5x + ) 450 (x 5x + 4) 540 d) f(x) = (x + 3x + ) 00 (x 3x + ) 00 5
6 Zadatak 6. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = x, b) f(x) = x 4, c) f(x) = x 6, d) f(x) = x 3, e) f(x) = x 5, f) f(x) = x 7, g) f(x) = x, h) f(x) = x 3. Zadatak 7. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = (x + )(x )(x + 3)(x /), b) f(x) = (3 x)(x + 7)(x 4), c) f(x) = 3(x ) (x )(x + 4) 3, d) f(x) = ( x) 3 (x ) (x + 4) 3 (x + 7) 4. 6
7 3.. Racionalne funkcije Funkcija f : R D f R zadana formulom f(x) = P n(x) Q m (x) = a nx n + a n x n a x + a 0 b m x m + b m x m b x + b 0, gdje su P n i Q m polinomi stupnja n i m > 0, tim redom, naziva se racionalna funkcija. Domena racionalne funkcije sadrži sve realne brojeve koji nisu nultočke nazivnika, tj. D f = {x R : Q m (x) 0}. Prava racionalna funkcija je ona kod koje je stupanj polinoma u brojniku manji od stupnja polinoma u nazivniku. U suprotnom je neprava i može se dijeljenjem polinoma brojnika i nazivnika svesti na zbroj polinomnog dijela i prave racionalne funkcije. Slika 4: Graf racionalne funkcije (a) f(x) = x (b) f(x) = x (c) f(x) = x x +x+ (d) f(x) = x 3x+5 (x+)(x )(x 3) 7
8 Zadatak 8. Na osnovi teorema o jednakosti polinoma rastavite na parcijalne razlomke: a) x x b) x + x 3x c) 5x + 4 x + x d) 3x + 8 x 4x e) x + x 3 + x f) x 3 x g) x 4 h) x 5 x 3 8 i) x 9x 6 x 3 + x 6x j) x + 3 (x + )(x + ) k) x + (x ) 3 l) x + 3 (x ) (x + )(x + 3) Zadatak 9. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) =, b) f(x) =, c) f(x) =, d) f(x) =, e) f(x) = +, x x 3 x+ x x f) f(x) = x. 8
9 3..3 Opća potencija i iracionalne funkcije Funkcije zadane formulom f(x) = x r, gdje je r R zovemo opće potencije. Općenito je domena opće potencije skup R +, ali se kod nekih funkcija domena može proširiti. Najjednostavnije iracionalne funkcije su funkcije f : R D f R zadane formulom f(x) = x q, q Q. Domena iracionalne funkcije ovisi o svakoj pojedinoj funkciji. Primjer. a) Domena funkcije f(x) = x = x je D f = [0, + ). b) Domena funkcije g(x) = x 3 = 3 x je D g = R. c) Domena funkcije h(x) = x = x je D h = (0, + ). Slika 5: Graf funkcije f(x) = x Zadatak 0. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = x +, b) f(x) = 3 x, c) f(x) = x /, d) f(x) = x
10 3..4 Eksponencijalna funkcija Funkcija f : R 0, + zadana formulom f(x) = a x, a > 0, a naziva se eksponencijalna funkcija. a se naziva baza, a x eksponent. Eksponencijalna funkcija: prima samo pozitivne vrijednosti, tj. a x > 0, x R, strogo je rastuća ako je a >, a strogo padajuća ako je 0 < a <, vrijednost eksponencijalne funkcije u nuli je jednaka jedan, tj. f(0) = a 0 =, je bijekcija. Neka su x, x R te a > 0, a. Tada vrijede sljedeća svojstva: f(x + x ) = f(x ) f(x ), tj. a x +x = a x a x, f(x x ) = f(x ), tj. f(x ) ax x = ax a x (a x ) x = a x x. Slika 6: Graf eksponencijalne funkcije (a) a > 4 4 (b) 0 < a < 0
11 Zadatak. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = x, b) f(x) = 3 x, c) f(x) = ( )x, d) f(x) = ( 3 )x, e) f(x) = x+, f) f(x) = 3 x, g) f(x) = x, h) f(x) = x, i) f(x) = e x +, j) f(x) = ( )x 3. Zadatak. Riješite jednadžbu ( ) x 0.5 x ( ) x 8 x =. 3 Zadatak 3. Riješite sljedeće nejednadžbe: a) x < 4, b) ( )x 8, c) 3 x 9, d) 4x > Logaritamska funkcija Inverzna funkcija eksponencijalne funkcije naziva se logaritamska funkcija, u oznaci: log a (čitamo: logaritam po bazi a), a > 0, a. Dakle, log a : 0, + R, log a x = y a y = x. Uočimo da vrijedi a log a x = x, tj. logaritam pozitivnog realnog broja x po bazi a jest eksponent kojim treba potencirati bazu da se dobije broj x. Dekadski logaritam je logaritam s bazom 0 (oznaka: log), a prirodni logaritam je logaritam s bazom e (oznaka: ln). Logaritamska funkcija: definirana je samo za pozitivne realne brojeve, a poprima sve realne vrijednosti, je strogo rastuća ako je a >, a strogo padajuća ako je 0 < a <, je bijekcija, ima nultočku x 0 =, tj. log a = 0. Neka su x, x 0, + te a > 0, a. Tada vrijede sljedeća svojstva: f(x x ) = f(x ) + f(x ), tj. log a (x x ) = log a x + log a x, f( x x ) = f(x ) f(x ), tj. log a ( x x ) = log a x log a x, log a x k = k log a x, k R, log a r x = r log a x, r R \ {0},
12 Slika 7: Graf logaritamske funkcije (a) a > (b) 0 < a < veza između logaritama različitih baza: log a x = log b x log b a log b a log a x = log b x. Zadatak 4. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = log x b) f(x) = log 3 x, c) f(x) = log 3 x, d) f(x) = log / x, e) f(x) = log /3 x, f) f(x) = ln x, g) f(x) = log /3 x + 4, h) f(x) = log x, i) f(x) = log x, j) f(x) = log( x). Zadatak 5. Riješite sljedeće jednadžbe: a) log /3 x =, b) log 4 x = 0, c) log x 6 = 4, d) log x 0.5 =. Zadatak 6. Izračunajte: a) ( 5 )log 5 0, b) log 4 7, c) ( 0.) log 0.04 log 5, d) 5 log / 8 log3 9, e) log 8 ( log 5 4 ), f) log 3 log ( log 5 8 ), g) log 8 log 4 3 log log
13 3..6 Trigonometrijske funkcije Promotrimo jediničnu kružnicu (r = ) sa središtem u ishodištu pravokutnog koordinatnog sustava. Neka je dan brojevni pravac koji je tangenta na tu kružnicu u točki (, 0) te neka ishodište koordinatnog sustava na pravcu padne u tu točku. Brojevni pravac predstavlja skup realnih brojeva (točkama na brojevnom pravcu u. kvadrantu su pridruženi pozitivni realni brojevi, a u 4. kvadrantu negativni). Promotrimo tzv. eksponencijalno preslikavanje točaka brojevnog pravca na jediničnu kružnicu (vidi Sliku 9. a)): pravac namatamo na kružnicu tako da se pozitivna realna os namata u pozitivnom smjeru, a negativna realna os u negativnom smjeru (u smjeru kazaljke na satu). Na svaku točku kružnice padne beskonačno mnogo točaka brojevnog pravca. Jediničnu kružnicu na koju su eksponencijalnim preslikavanjem naneseni realni brojevi nazivamo trigonometrijska kružnica. Na taj način se svakom realnom broju x pridružila odgovarajuća točka T (x) na jediničnoj kružnici. Apscisu točke T (x) označimo s cos x, a ordinatu sa sin x. Na taj način definirali smo dvije funkcije koje ovise o x. Funkciju koja realnom broju x pridružuje apscisu točke T (x) nazivamo kosinus i pišemo x cos x. Uočite da je za svaki x R, cos x [, ]. Analogno, funkciju koja realnom broju x pridružuje ordinatu točke T (x) nazivamo sinus i pišemo x sin x. Također je sin x [, ], za svaki x R. Budući da za svaki x R točka T (x) pripada trigonometrijskoj kružnici vrijedi (Pitagorin poučak!): sin x + cos x = što nazivamo osnovni trigonometrijski identitet. Pomoću funkcija sin i cos definiraju se i funkcije tangens i kotangens formulama: tg x = sin x cos x, za cos x 0, i ctg x = cos x sin x za sin x 0. Primjer. Treba odrediti prirodno područje definicije funkcije tg. Funkcija tg, prema prethodnoj definiciji, ne prima vrijednost realnog broja u onim točkama u kojima funkcija cos ima nultočke. To su svi oni x koji namatanjem brojevnog pravca na trigonometrijsku kružnicu padnu u točke (0, ) ili (0, ). Dakle, funkcija tg nije definirana za x = π + kπ (k Z). Zadatak 7. Odredite prirodno područje definicije funkcije ctg. Često puta je korisno zamijeniti domenu trigonometrijskih funkcija (skup R) sa skupom svih kutova. To je lako učiniti tako da kutu α pridružimo njegovu mjeru x u radijanima. 3
14 Slika 8: Definiranje trigonometrijskih funkcija (a) (b) Tada pod sinusom kuta α podrazumijevamo sinus njegove mjere x u radijanima. Slično se definira kosinus, tangens i kotangens kuta α. Sa Slike 3..6 b). vidi se da vrijedi sin α = tg α = duljina suprotne katete T T, cos α = duljina hipotenuze OT duljina susjedne katete OT, duljina hipotenuze OT duljina suprotne katete T T duljina susjedne katete OT, ctg α = duljina susjedne katete OT duljina suprotne katete T T. Za neki realni broj x (odnosno kut α) zbog sličnosti trokuta na Slici 9. b). vidi se da je tangensu kuta α jednak ordinati točke B u kojoj drugi krak kuta α siječe pravac x =. Analogno značenje ima kotangens realnog broja x, odnosno kuta α. Navedimo sada neka osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija. a) Funkcija x sin x Funkcija sin : R [, ] je neparna, periodična s periodom kπ, k Z (temeljni period je π) funkcija čiji graf je prikazan na Slici 0. a). b) Funkcija x cos x Funkcija cos : R [, ] je parna, periodična s periodom kπ, k Z (temeljni period je π) funkcija čiji graf je prikazan na Slici 0. b). Iz Slike 9. možemo naslutiti vezu koja postoji između funkcija sin i cos: sin x = cos(x π ), cos x = sin(x + π ) c) Funkcija x tg x 4
15 Slika 9: Trigonometrijske funkcije sin i cos Π Π Π Π 3Π Π 5Π (a) Π Π Π Π 3Π Π 5Π (b) Funkcija x tg x neparna je, po dijelovima rastuća i periodična s periodom kπ, k Z (temeljni period je π). Njezin graf prikazan je na Slici. a). d) Funkcija x ctg x Funkcija x ctg x neparna je, po dijelovima padajuća i periodična s periodom kπ, k Z (temeljni period je π). Njezin graf prikazan je na Slici. b). 5
16 Slika 0: Trigonometrijske funkcije tg i ctg Π Π Π Π 3Π (a) Π Π Π Π 3Π (b) Postoje mnoge trigonometrijske relacije i izrazi koji povezuju trigonometrijske funkcije, spomenimo neke. Teorem 3. Adicijski teoremi: sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x cos(x ± y) = cos x cos y sin x sin y tgx ± tgy tg(x ± y) = tgx tgy ctgx ctgy ctg(x ± y) = ctgy ± ctgx. Teorem 4. Trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta: 6
17 sin(x) = sin x cos x cos(x) = cos x sin x tg (x) = tgx tg x ctg (x) = ctg x ctgx. Teorem 5. Trigonometrijske funkcije polovičnog kuta: sin ( x ) = cos x cos ( x ) = + cos x tg ( x ) = cos x sin x ctg ( x ) = + cos x sin x Zadaci Zadatak 8. Izračunajte: a) cos 05, b) sin 75, c) cos 5, d) sin 30. Zadatak 9. Ako je sin x = 3, π < x < π izračunajte cos x i tg ( x ). Zadatak 0. Dokažite da za sve α, β R vrijedi: a) sin α + sin β = sin α + β b) sin α sin β = cos α + β c) cos α + cos β = cos α + β d) cos α cos β = sin α + β cos α β, sin α β, cos α β, sin α β. Gornje formule se zovu: Transformacija zbroja u umnožak. Zadatak. Riješite sljedeće jednadžbe: a) sin x =, b) cos x =, c) tg x =, d) ctg x = 3. Zadatak. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = sin x b) f(x) = cos x, c) f(x) = sin(x π 6 ), d) f(x) = cos(x π 4 ), e) f(x) = sin(x π 3 ), f) f(x) = 3 cos(x + π 3 ). Zadatak 3. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = tg x b) f(x) = ctg x, c) f(x) = tg (x π ), d) f(x) = ctg x
18 3..7 Ciklometrijske funkcije Ciklometrijske funkcije su funkcije inverzne trigonometrijskim. To su funkcije: arkus sinus (arcsin), arkus kosinus (arccos), arkus tangens (arctg) i arkus kotangens (arcctg). a) Funkcija x arcsin x. Budući da funkcija sin : R [, ] nije injekcija jer je primjerice sin 0 = sin π = 0, ona nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju: Sin : [ π, π ] [, ] formulom Sin (x) := sin x Funkciju Sin zovemo restrikcija funkcije sin na [ π, π ], što simbolički pišemo: Sin = sin [ π, π ]. Funkcija Sin ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus sinus): arcsin : [, ] [ π, π ]. Graf funkcije arcsin dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Sin u odnosu na pravac y = x (Slika.a). Primijetimo da je arcsin α kut (ili luk) čiji je sinus jednak α. Tako je primjerice b) Funkcija x arccos x. arcsin 0 = 0 jer je sin 0 = 0, arcsin = π jer je sin π =. Budući da funkcija cos : R [, ] nije injekcija jer je primjerice cos 0 = cos π =, ona nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju: Cos : [0, π] [, ], Cos = cos [0,π], koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus kosinus): arccos : [, ] [0, π]. Graf funkcije arccos dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Cos u odnosu na pravac y = x (Slika.b). Primijetimo da je arccos α kut (ili luk) čiji je kosinus jednak α. Tako je primjerice lat.: arcus=luk arccos = 0 jer je cos 0 =, 8
19 Slika : Konstrukcija grafova ciklometrijskih funkcija arcsin i arccos (a) (b) c) Funkcija x arctg x. arccos 0 = π jer je cos π = 0. Budući da funkcija tg:r R nije injekcija jer je primjerice tg 0 = tg π = 0, ona nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju: ( Tg : π, π ) R, Tg = tg ( π, π ), koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus tangens): ( arctg : R π, π ). Graf funkcije arctg dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Tg u odnosu na pravac y = x (Slika 3.a). Primijetimo da je arctg α kut (ili luk) čiji je tangens jednak α. Tako je primjerice arctg 0 = 0 jer je tg 0 = 0, 9
20 Slika : Konstrukcija grafova ciklometrijskih funkcija arctg i arcctg (a) (b) d) Funkcija x arcctg x. arctg = π 4 jer je tg π 4 =. Budući da funkcija ctg:r R nije injekcija jer je primjerice ctg ( π nema inverznu funkciju. Zato ćemo definirati bijektivnu funkciju: ) = ctg π = 0, ona Ctg : (0, π) R, Ctg = ctg (0,π), koja ima inverznu funkciju (koju zovemo arkus kotangens): arcctg : R (0, π). Graf funkcije arcctg dobiva se kao osno-simetrična slika grafa funkcije Ctg u odnosu na pravac y = x (Slika 3.b). Primijetimo da je arcctg α kut (ili luk) čiji je kotangens jednak α. Tako je primjerice arcctg 0 = π jer je ctg π = 0, arcctg = π 4 jer je ctg π 4 =. 0
21 Zadatak 4. Pokažite da vrijedi: a) tg ( arcctg x) = x, x 0 b) ctg ( arctg x) = x, x 0 c) arctg ( ctg x) = π x, d) arcctg ( tg x) = π x, e) sin(arccos x) = x, f) cos(arcsin x) = x, g) cos(arctg x) = +x, h) sin(arctg x) = x +x, i) sin( arctg x) = x +x, j) cos( arctg x) = x +x. Zadatak 5. Skicirajte grafove sljedećih funkcija: a) f(x) = arcsin(x 3) b) f(x) = arccos x + 4, c) f(x) = arctg x, d) f(x) = arcctg (x + ).
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα4 Elementarne funkcije
4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραf(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)
Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα1. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραFunkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA
9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότερα1. Trigonometrijske funkcije realnog broja
1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραPojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija
Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E
. Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije
3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραx + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραFunkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne
Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske funkcije
Trigonometrijske funkcije September 5, 008 Brojevna kružnica. Mjerenje kuteva pretpostavimo da se po kružnici jediničnog radijusa pomaknemo za kut t u smjeru suprotnom od kazaljke na satu II T(t) O t I
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.
Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske. funkcije realnog broja
1 Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica.... Kutoviiradijani... 3. Definicija trigonometrijskih funkcija............... 9. Odre - divanje vrijednosti trig. funkcija............ 13
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima
KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραZadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a
Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b
Διαβάστε περισσότεραDerivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijski prikaz kompleksnog broja
Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Ono sto znamo od prije jest da svakom kompleksnom broju mozemo pridruziti sljedeci uredjeni par: z Re z, Im z Sto znaci da ako je kompleksan broj oblika z = x
Διαβάστε περισσότεραUvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότερα