Neodred eni integrali
|
|
- Σαπφώ Βονόρτας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Neodred eni integrali Definicija. Za funkciju F : I R, gde je I interval, kažemo da je primitivna funkcija funkcije f : I R ako je za svako I. F () f() Teorema 1. Ako je F : I R primitivna funkcija za f : I R, tada je i funkcija F () + C, C R, takod e primitivna funkcija funkcije f. Definicija. Skup svih primitivnih funkcija funkcije f naziva se neodred eni integral funkcije f i označava sa f(). Osnovne osobine neodred enog integrala: 1 o ( ) f() f(), o F () F () + C, o λf() λ f(), λ R \ {0}, 4 o ( ) f() ± g() f() ± g(). Čuvajmo drveće. Nemojte štampati ovaj materijal, ukoliko to nije neophodno. 1
2 Tablica integrala n n+1 + C, n 1 n + 1 { arctan + C, 1 + arcctg + C { arcsin + C, 1 arccos + C e e + C sin cos + C sin cot + C sinh cosh + C ln + C 1 1 ln 1 + C + 1 ± 1 ln + ± 1 + C a a + C, a > 0, a 1 ln a cos sin + C cos tan + C sinh coth + C cosh sinh + C cosh tanh + C Osnovne metode integracije: METOD SMENE Ako je f() F () + C, tada je f(u)du F (u) + C. Uzmimo da je ϕ(t), gde je ϕ neprekidna funkcija zajedno sa svojim izvodom ϕ. Tada f ( ϕ(t) ) ϕ (t) F ( ϕ(t) ) + C. METOD PARCIJALNE INTEGRACIJE Ako su u i v diferencijabilne funkcije i funkcija uv ima primitivnu funkciju, tada je udv uv vdu.
3 Primeri najčešće korišćenih smena: 1 d(a + b), a 0, a 1 d( ), 1 a d(a + b), a 0, n 1 1 n d(n ), n 0, d( ), smena: t a + b, a, smena: t,, smena: t a + b, a, smena: t n, n n 1, smena: t, t, a + b a d( a + b), a 0, smena: t a + b, t, a d(ln ), smena: t ln,, d( ln a ), a 0, smena: t ln a,, e d ( e ), smena: t e, e, e a d ( 1 a ea), a 0, sin d(cos ), cos d(sin ), smena: t e a, ae a, smena: t cos, sin, smena: t sin, cos, cos d(tan ), smena: t tan, 1 + t, sin d(cot ), smena: t cot, 1 + t, sinh d(cosh ), smena: t cosh, sinh, cosh d(sinh ), smena: t sinh, cosh, cosh d(tanh ), smena: t tanh, t 1, sinh d(coth ), smena: t coth, 1 t.
4 4 METOD REKURZIVNIH FORMULA Odred ivanje integrala I n f n (), funkcija koje zavise od celobrojnog parametra n, moguće je primenom parcijalne integracije ili nekog drugog metoda, svesti na izračunavanja integrala I m, 0 m < n, istog tipa. Takve relacije, oblika I n Φ(I n 1,..., I n k ), zovemo rekurzivne formule. Da bi se na osnovu njih odredila vrednost integrala I n, neophodno je poznavati uzastopnih k integrala I n 1,..., I n k, kao i prvih k integrala I 0,..., I k 1. INTEGRALI SA KVADRATNIM TRINOMOM m + n 1. I a + b + c n m 0 : I a + b + c n a + b a + c n ( ) a a + b + c a a b 4a t + b a, h c a b 4a n a t ± h. m 0 : I m a + b + c + n a + b + c mi 1 + ni ; I 1 a + b + c 1 a a a + b + c 1 a + b b a a + b + c 1 d(a + b + c) a a b + b + c a I 1 a ln a + b + c b a I. Izračunavanje integrala I opisano je u prethodnom slučaju (m 0). m + n. I, analogno tipu integrala pod 1. a + b + c. I (m + n) a + b + c, smenom m+n 1 t svodi se na slučaj. 4. I a + b + c, rešava se dovod enjem na potpun kvadrat izraza pod korenom ( a +b+c a + b ) ) + c a a b 4a a ( t ±h ), t+ b a, h c a b. 4a
5 5 INTEGRACIJA RACIONALNIH FUNKCIJA Funkcija P (), P () i Q() su polinomi, jeste prava racionalna funkcija Q() ukoliko je stepen polinoma P () manji od stepena polinoma Q(). Prava racionalna funkcija P () Q() n ( a i ) si i1 P (), m ( ) ki + p i + q i gde su nule kvadratnih trinoma + p i + q i, i 1,..., m kompleksne, ima razvoj i1 P () Q() A 11 a 1 + A 1 ( a 1 ) + + A 1s 1 ( a 1 ) s 1 + A 1 + A a ( a ) + + A s ( a ) s + + A n1 + A n a n ( a n ) + + A ns n ( a n ) sn + B 11 + C 11 + p 1 + q 1 + B 1 + C 1 ( + p 1 + q 1 ) + + B 1k 1 + C 1k1 ( + p 1 + q 1 ) k 1 + B 1 + C 1 + B + C + p + q ( + p + q ) + + B k + C k ( + p + q ) k + + B m1 + C m1 + B m + C m + p m + q m ( + p m + q m ) + + B mk m + C mkm ( + p m + q m ). km Konstante A ij, B ij, C ij nalazimo metodom neodred enih koeficijenata. INTEGRACIJA IRACIONALNIH FUNKCIJA: [ ( a + b ) p1 /q 1, ( a + b ) p /q, ] 1. Integral R,..., gde je R neka racionalna funkcija i p i Z, q i N, uvod enjem c + d c + d smene a + b c + d tn, n NZS{q 1, q,... }, svodi se na integral racionalne funkcije.
6 6. P n () a + b + c Q n 1() a + b + c + λ a + b + c, koeficijente polinoma Q n 1 () i λ odred ujemo metodom neodred enih koeficijenata nakon diferenciranja gornje jednakosti.. Integral ( + α) n a + b + c smenom +α 1 svodi se na slučaj t pod. 4. Integral R(, a + b + c), gde je R neka racionalna funkcija, primenom Ojlerovih ili trigonometrijskih/hiperboličkih smena svodi se na integral racionalne funkcije. Ojlerove smene: I) Ukoliko je a > 0, uvodimo smenu a + b + c t ± a ; II) Kada je c 0, smena glasi a + b + c t ± c ; III) U slučaju a + b + c a( 1 )( ), 1, R, koristimo smenu a + b + c t( 1 ). Trigonometrijske i hiperboličke smene: (a) ako se u integralu javi a, smena: a sin t ili a cos t; (b) ako se u integralu javi a +, smena: a tan t ili a sinh t; (c) ako se u integralu javi a, smena: a sin t ili a cos t ili a cosh t. 5. Integracija binomnog diferencijala: I r( a + b q) p, za a, b R, p, q, r Q a) U slučaju p Z, q q 1, r r 1 m, gde su q 1, r 1 Z i m N, uvodimo smenu: t m, mt m 1. Polazni integral tada postaje I m t r 1+m 1 ( a + b t q ) 1 p. b) Kada je r + 1 Z, p s q m, smena: a + bq t m ili t 1/q. c) Za slučaj r p Z, p s q m, smena: t1/q ili a q + b t m.
7 7 INTEGRACIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA Neka je R neka racionalna funkcija. Posmatramo integral oblika I R(sin, cos ). 1. U slučaju R( sin, cos ) R(sin, cos ), smena: t cos ; R(sin, cos ) R(sin, cos ), smena: t sin ; R( sin, cos ) R(sin, cos ), smena: t tan. Inače, smenom t tan, sin, imajući u vidu transformacije 1 + t t 1 t, cos 1 + t 1 + t, polazni integral postaje integral racionalne funkcije.. Transformacije proizvoda u zbir sin a sin b 1 ( cos(a b) cos(a + b) ), sin a cos b 1 ( sin(a b) + sin(a + b) ), cos a cos b 1 ( cos(a b) + cos(a + b) ), svode integrale oblika sin a sin b, sin a cos b, cos a cos b, na elementarne integrale.. Za I sin m cos n, gde su m, n Z razlikujemo sledeće slučajeve: n k + 1 (m k + 1 analogno): I sin m (cos ) k cos t sin cos t m (1 t ) k ;
8 8 m k, n l : Snižavamo stepen trigonometrijskih funkcija pod integralom primenom transformacija sin 1 cos, cos m k, n l, k, l N: I sin k cos l 1 sin k cos k cosl+k cos ; sin k cos l cos tan k ( 1 + tan ) l+k d(tan ) 4. R ( tan ), smena: t tan, 1 + t, takod e ( ) R cot, smena: t cot, 1 + t. cos 5. Hiperboličke funkcije analogno, uz napomenu o jednakostima koje važe za ove funkcije: sinh e e, cosh e + e, tanh sinh cosh, cosh sinh 1, sinh sinh cosh, cosh cosh +sinh, sinh sgn() cosh 1, cosh cosh + 1, tanh sinh 1 tanh, cosh 1 1 tanh, arc sinh ln + + 1, arc cosh ln + 1, arc tanh 1 ln + 1 1, arc coth 1 ln 1 + 1, arc tanh a 1 ln + a a, arc coth a 1 ln a + a,
9 9 Zadaci 1. Dokazati za a > 0 i b c : a) log + b + C, b) + b c) a + 1 a arctan + C, d) a e) a + a arctan + C, f) a g) a arcsin a + C, h) i) k) m) n) a ± ±1 ln a ± + C, j) ( a ± ) 1 a ln +C, l) a ± a a + a arcsin a + C, ± a Rešenje: a) b) (+b)(+c) 1 c b ln + b +C, + c a 1 a ln + a + C, a + C, a a ln + a a ± a ln + ± a +C, a ± ± a ± + C, a ± 1 ± a ± a ln + ± a + C. d( + b) + b log + b + C. + b (+b)(+c) 1 (+c) (+b) c b (+b)(+c) 1 ( c b +b c) Kako je I 1.a) 1 c b log +b +C. +c a + 1 a ( ), 1 + a a log a ± a a ± +a +C, ) +c uvod enjem smene t, a, polazni integral postaje tablični a I 1 a 1 + t 1 arctan t + C. a Vraćanjem smene, konačno dobijamo I 1 a arctan a + C.
10 10 d) Integral I a jeste zapravo specijalan slučaj integrala pod b) za a a i b a. Tako na osnovu rezulata pod b) zaključujemo da je I 1 a ln + a + C. a e) a a + + a a + a a +a f) a g) I a 1 a a +a 1 a t a a a + 1.c) a arctan a +C. a ln + a + C. a 1 t a 1.d) arcsin t + C arcsin a + C. h) I ± a 1 a t a a ± 1 t ± 1 a ln t + t ± 1 + C 1 ln a + a ± 1 + C1 ln + ± a + C, gde je C C 1 ln a. i) I a ± ta ± ± ±1 t ±1 ln t +C ±1 ln a ± +C. j) I a ± ta ± ± ±1 t 1 1 t 1 ± 1/ +C ± a ± +C. k) I ( a ± ) 1 a ± a ( a ± ) 1 a 1 a a ± 1.i) 1 1 log a a log a ± 1 + C a log + C. a ± l) I a ± 1.d) t a 1 a log t a t + a a ± t a ±, ± ( t a ) ± a ± + C 1 a a log ± a + C. a ± + a
11 11 m) Oblast definisanosti podintegralne funkcije a integrala I a je segment D f [ a, a ]. To opravdava uvod enje smene a sin t, pri tom je a cos t, kada t na primer prolazi segment t [ π/, π/]. Za takav izbor vrednosti nove nezavisno promenljive t važi cos t 0. Tada je I a a a sin t cos t a 1 sin t cos t ( ) a cos t a (1 + cos t) a + cos t a ( t + 1 ) cos t d(t) a (t + 1 ) sin t + C. Primetimo da je sin t a, t arcsin a, kao i sin t sin t cos t sin t 1 sin t ( ) 1 a a a a. Tada imamo I a ( arcsin a + ) a a + C a + a arcsin a + C. n) I ± a u ± a, du ±a dv, v ± a ± a ± a ± a a ± a ( ) ± a ± a a ± a 1.h) ± a I ± a ln + ± a. Odatle je I ± a ± a ln + ± a + C 1,
12 1 odnosno I ± a ± a ln + ± a + C. Još jedan pogodan način izračunavanja integrala I dat je u nastavku. I ± a Diferenciranjem ove jednakosti nalazimo ± a ± a (c 0 + c 1 ) ± a + λ ± a ± a c 0 ± a + (c 0 + c 1 ) ± a + λ ± a. ± a Posle množenja sa ± a i sred ivanja izraza, dobijamo ± a c 0 + c 1 ± c 0 a + λ. Izjednačavanjem koeficijenata uz iste stepene promenljive dolazimo do sistema jednačina 1 c 0, 0 c 1, ±a ±c 0 a + λ, čije je rešenje c 0 1/, c 1 0, λ ±a /. Time traženi integral postaje I ± a ± a 1.h) ± a ± a ± a ln + ± a + C.. Odrediti sledeće integrale: 1 0 ( + ) (1 + ) ( + 9) ( Rešenje: ) 1/( )
13 1 ( 7/ + 6 5/ + 1 / + 8 1/) ( ) + C. 0 (1 + ) 0 t1 + (t 1) t 0 (t t + 1)t 0 (t t 1 + t 0) t t + t1 1 + C (1 + ) (1 + ) (1 + )1 + + C ( + 9) 10 t + 9 (t (t 9)t t 10) t 8 8 9t C 1 ( + 9) 9 1 8( + 9) 8 + C d( + ) ( + ) C. + 1.b) 1 ( + )( 1) ln C (1 ) (1 ) za 1 0, tj. [ 1, 1]. Za (, 1) ili (1, + ) važi (1 ) ( ) + C 1. ( ) +C,
14 14. Metodom smene odrediti: (1 + 4 ) ( ) ( 1) 1 7 ( 1 + 7) 9 0 ( + 1 ) Rešenje: d( 4 ) ( 4 ) ( 1.d) 1 ) 8 ln C. 0 7 (1 + 4 ) 4 (1 + 4 ) t t 1 4 t 1 (t 1 t ) 1 ( ) ln t + 1/t + C ( ln ( 1 + 4) + 1 ) C. 0 8 ( 1) 1 1 ( ) ( 1) t 1 1 (t + 1) t (1 t + t + 1 ) t 1 ( ln t t 1 ) t + C ( ln ( 1) ) + C d ( 5) ( 1 d ( 5) ( d ) ) d ( 5) log C.
15 ( ) 9 10( ) t t(t + 1) 1 t + 1 t 10 t(t + 1) 1 10 t(t + 1) 1 d(t + 1) 10 (t + 1) 1b) 1 10 log t 1 + t+1 10(t+1) +C 1 10 log ( ) +C ( 1+7) ( 1+ 7) 6 t t t t(1 + t) 1 7 log 7 ( ) + C. 1 t t(1+t) d( ) 1 + ( ) 1 ln C t + 1, t d) t 1 1 ln t 1 t C 1 ln C. ( ) t ( + 1) ( + 1 ) 1 t 1 t / / + C 1 ( + + 1) + C.
16 16 4. Metodom smene odrediti: ( ) / 9 0 ( ) ( + 1 ) + 1 Rešenje: d( 5 ) C ( t t ) t 1 4, 1 t 4 1 t + C (1 + ) + C. 1 1 (t 1) t 4 1 4, t t4 4, t t 4 t5 5 + C C ( 1) 1 (+1 ) d( + 1) 1 d( 1) 1 (+1) / 1 ( 1) / +C 1 (+1) / / ( / ( 1) /) +C.
17 (+) ( ) 1 5 ( ( + ) / + ( ) /) + C. ( + + ) t 1, 1 t 1 1 (1 t ) ( (1 ) (1 ) + 1 ) + C. 7 0 ( ) 1+ / t 1 1+ (1+ ) / t+c C. 8 0 ( + 1 ) + 1 t + 1, t 1 +1 t 1 t 6 (t 4 t 6) t t 5 5 +C 1 5 ( +1) 1 5 ( +1) +C. 9 0 ( ) + t + 4/ ( ) ( +) ( + t 4 t + C 4 ) + C.
18 18 5. Metodom smene izračunati: ln ln 0 0 ln ln ln(1 + ) ln ln (1 + log ) (1 + ) ( ) ln(1 + ) + ln(1 ) Rešenje: 1 0 d(ln ) ln ln ln + C. ln 0 + ln 1/ + ln 1/ 1/ + ln d(ln ) + 1 ln + C. 0 S obzirom da je d(ln 4) i ln 4ln +ln, uvodimo smenu tln 4 : ln t ln ln 4 ln t ln ln t + C t t ln 4 ln ln ln 4 + C. 4 0 ln (ln ) 1/ d(ln ) ln + C. 5 0 ln(1+) ln (1+) ( ) ln 1+ 1 (1+) tln ( 1+ 1 ) t t ( + C 1 ln ) + C. (1+) 6 0 (1 + log ) t, log t log (1 + log ) t + C + C. t
19 19 ( ) ln(1+)+ln(1 ) 7 0 ln ( 1 ) 1 1 tln ( 1 ) 1 1 t 1 6 t + C 1 ( 6 ln 1 ) + C. 6. Metodom smene odrediti: 1 0 e Rešenje: e e e (1+ ) 1/ (1 + ) 6 0 e +1 ln e e + 1 ( 1 + e) d(1+e ) e ( 1+e ) 1+e ln ( 1+e ) +C e 1 + e + C ln ( 1 + e ) + C. Isti rezultat možemo da dobijemo i na sledeći način. 1 + e e + 1 e e ( d e e + 1 e ) e + 1 ln ( e + 1 ) + C e e e + 1 t e e ln t + t C ln(e + e + 1) + C e ln e + C ln ( e ) + C. t + 1 e 0 1 e 1 e 1 + e e + e 1 t e 1, e t e e 1 t 1.e) t t 4 arctan t e +4 +C e 1 4 arctan 1 +C.
20 0 4 0 e 1 t 1 1 e t 1 1 e + C. e 5 0 (1+ ) 1 (1+ ) te (1+ ) 1 e (1+ ) 1 t+c e (1+ ) 1 +C. (1+ ) ( 1 + e) ( + 1)e e ( 1 + e) t e (1 + )e 1.b) ln t(t + 1) t e + C ln t + 1 e + C Metodom smene odrediti: 1 0 tan cot 5 0 cos sin cos 1 + sin Rešenje: 1 0 sin tan cos 0 cos cos cos d(cos ) cos ln cos + C. d(sin ) 1.b) 1 sin sin ln 1 sin + C. 1 (1 + sin ) ln 1 sin + C ln 1 + sin + C cos log cos + sin cos sin +C log 1 + tan 1 tan +C cos cos ) ( d cos tan + C. 4 0 cot log sin + C.
21 5 0 sin log tan + C sin t + π/, 1 + sin(t + π/) 7. 0 tan t/+c tan π +C tan tan π 4 1+tan tan π +C 4 tan 1 tan C cos 1 + sin + C 1 + cot + C 1. 1+cos t 8. Metodom smene odrediti: 1 0 cos 0 cos 0 cos sin 5 0 sin 6 0 sin 4 Rešenje: cos cos cos d() 4 sin + + C. 4 (1 sin 0 cos cos cos ) d(sin ) sin sin + C. Drugi oblik primitivne funkcije može se dobiti snižavanjem stepena trigonometrijske funkcije pod integralom. (1 + cos ) cos cos cos cos 1 1 ( ) 1 cos +cos cos 1 4 ( cos + 1 (cos +cos )) ( ) 1 cos +cos sin + sin +C. 4 1
22 (cos 0 cos 4 ) ( ) 1+cos 1+ cos +cos cos d() + 1 (1 + cos 4) sin + sin 4 + C sin 1 sin + C sin 4 cos cos + C cos + cos 6 0 sin Metodom smene odrediti: 1 0 cos sin sin + sin 4 + C. cos 4 sin 4 0 sin cos 6 0 sin cos + C. 7 0 tan 8 0 tan 9 0 tan sin sin cos 4 cos + 9 sin cos Rešenje: 1 0 Za ( π + kπ, π + kπ), k Z, imamo cos > 0. Tada je cos 1 cos cos ttan, cos 1+t cos 1 1+t ( 1.n) t 1+t + 1 ln t+ 1+t ) +C ( tan cos + 1 ln 1 ) tan + + C cos sin cos + 1 ln sin C cos sin cos + 1 ln cos + sin cos sin + C.
23 Integral, takod e možemo odrediti na sledeći način: sin cos + cos sin cos cos + cos u sin du cos d(cos ) dv v 1 sin cos cos cos 1 cos + sin cos sin cos cos + 1 log 1 + tan 1 tan + C. cos 0 cos 4 1 cos cos t tan, cos cos 1 1+tan 1 1+t (1 + t ) t + t + C tan + 1 tan + C sin sin cos + cos sin sin cos cos + sin 1 ( 1 8 cos d(cos ) cos 1 ) sin sin + ln tan 1 cos + ln tan + C. + 1 log tan + C. sin 4 cot 1 cot + C. sin cos log cos + sin cos sin 1 sin + C. sin tan 1 cos cos cos tan tan tan tan d(tan ) tan 1 cos cos cos tan +C. tan tan + ln cos + C.
24 4 9 0 tan 4 tan 1 cos cos tan d(tan ) tan tan tan + + C sin 4 cos +9 sin t4 cos +9 sin 5 sin 1 5 t 1 ln t + C ln ( 4 cos +9 sin ) + C. sin cos cos t 1 + cos cos sin 1 1 t t 1 ( t ) 1 ln t 1 t + C 1 ln ( 1 + cos ) 1 + cos + C. 10. Metodom smene odrediti: arctan sin sin cos 1 sin 5 0 cos sin + cos + cos tan 110 (1 + cos ) 0 1 sin 6 0 ( + cos ) sin 10 cos sin cos sin + cos sin cos
25 5 arctan Rešenje: arctan d(1 + 4 ) arctan d(arctan ) 1 8 ln(1 + 4 ) 1 arctan / + C / 1 8 ln(1 + 4 ) 1 arctan/ + C. 0 sin sin cos t sin +1, sin t 1 sin +1 sin +1 1 cos sin +1 (t 4 1 ) 4 t 4t + C 4 t(t ) + C 4 sin + 1 (sin ) + C. 1 0 sin sin + cos sin cos (sin + cos ) (sin + cos ) ( sin cos ) + C, za sin + cos cos 1 cos 1 ( 1 ) d sin 1 + C. sin sin sin 5 0 cos (sin ) / cos d(sin ) +C, / za (kπ, kπ + π/), k Z, gde je sin, cos cos sin cos sin cos d(cos ) 1 cos4 + C.
26 6 7 0 sin + cos + t tan sin 1+t t cos 1 t 1+t 1+t t +t+5 d(t + 1) (t + 1) + 4 arctan t C arctan tan C cos + 4 cos ttan, 1+t cos 1 t 1+t t tan, 1+t cos 1 t 1+t 1.c) t arctan tan +C c) 7 arctan ( 7 tan ) + C t 10 0 tan (1 + cos ) sin cos (1 + cos ) t cos sin 1 + t t t(1 + t) t(1 + t) d(1 + t) t(1 + t) (1 + t) 1.b) log 1 + cos 1 + cos 1 + cos + C (+cos ) sin d(cos ) (+cos )(1 cos ) t cos sin ( + t)(t 1) 1 t + 1 (t 1) ( + t)(t 1)(t + 1) 1 ( + t)(t 1) 1 ( + t)(t + 1) 1.b) 1 8 log t t+ 4 log t+ +C 1 t+1 8 log (1 cos )(+cos ) +C (1+cos )
27 7 sin + cos 1 0 sin cos 1 cos t + 1 sin t 1 ( 1 + tan log 1 tan cos + ( 7. 0, ) tan + C. sin t log 1+tan t 1 tan t +log tan t ) +C 11. Metodom smene odrediti: sinh 0 sinh cosh sinh 4 + cosh 4 40 Rešenje: 1 0 sinh cosh cosh tanh sinh 1 sinh cosh 1 tanh cosh ( ) d tanh tanh ln tanh + C. 0 sinh sinh cosh cosh h) 1 ln cosh + cosh 1 d(cosh ) cosh 1 + C. 0 sinh cosh sinh 4 + cosh 4 1 sinh (sinh ) + (cosh ) 1 sinh sinh ( cosh 1 ) ( + cosh +1 ) (cosh + 1) tcosh sinh 1 t +1 1 ln t+ t +1 +C 1 ln ( cosh + cosh + 1 ) + C.
28 8 4 0 cosh tanh tanh / d(tanh ) tanh + C. 1. Primenom metoda parcijalne integracije odrediti: (a + ) 0 a ( a ) 5 ( a ) a Rešenje: 1 0 (a + ) 1 a + a (a + ) 1 a a c) a (a + 1 ) a arctan a 1 a u du d(a dv v 1 + ) (a + ) (a + ) 1 (a + ) 1 a arctan a 1 ( a (a + ) + 1 ) a + 1 a arctan a + a (a + ) + C. (a + ) 0 ( a ) 1.d) u dv ( a ) du v 1 ( a ) (a ) + 1 4a log a + a ( a ) C. a
29 9 0 a + u a + dv a + a + a + du v 1.j) a + a + d ( a + ) a + (a + ) a +C a + +C. Drugi način odred ivanja ovog integrala podrazumeva korišćenje rezultata P n () a + b + c Q n 1() a + b + c + λ a + b + c. Tada je I a + ( ) c 0 + c 1 + c a + + λ gde c 0, c 1, c i λ odred ujemo metodom neodred enih koeficijenata. Diferenciranjem poslednje jednakosti po dobijamo a + (c 0 + c 1 ) a + + ( c 0 ) + c 1 + c a + + a +, λ a +. Nakon množenja sa a + i sred ivanja, izraz postaje c 0 + c 1 + (a c 0 + c ) + a c 1 + λ. Jednačenjem koeficijenata uz iste stepene od na levoj i desnoj strani jednakosti, dobijamo c 0 1, c 1 0, c a, λ 0, što ponovo daje vrednost integrala I a a + + C. 4 0 a u du dv a v 1.j) a a + a a a d ( a ) a (a ) +a +C a +C.
30 0 Drugi način odred ivanja : I a ( ) c 0 + c 1 + c a + λ a. Diferenciranjem po i sred ivanjem koeficijenata uz iste stepene od dobijamo tj., I + a a + C. c 0 1, c 1 0, c a, λ 0, 5 0 ( a ) 5 1 ( a ) a 1 ( a ) 5 a 1 ( a ) 5 a ( a ) u dv ( a ) 5/ du v 1 d( a ) 1 ( a ) 5/ ( a ) / 1 ( a ( a ) / + 1 ) 1a ( a ) / ( a ) / 1 a ( a ) / a ( a ) / 1 a ( a ) / ( a ) a 4 ( a ) / 1 a ( a ) / ( ) a 4 ( a ) / a u dv ( a ) / du v 1 d( a ) 1 ( a ) / a 1 a ( a ) / ( ) a 4 a + a a a 4 a 1 a ( a ) + C a 4 a ( a ) + C.
31 1 1. Primenom metoda parcijalne integracije odrediti: log 1 0 log log ( + a + ) log 0 log log ( + a + ) 0 log 6 0 log + log( ) Rešenje: 1 0 log u log dv du v log log + C (log 1) + C log e + C. 0 log ulog du log dv v log (log 1) + C log log ( log ) e C. 0 log ulog log du dv v log log u log du dv v log ( log 1 ) 1 log 9 log + ( ) 9 log 6 log + +C ( ( log 1) + 1 ) + C C log u log dv du v (log + 1) + C 1 log e + C. log + 1 log 1 +C
32 5 0 log ulog log du dv v 1 1 log log log log e + C 1 ( log e + 1 ) + C. 6 0 log + ulog + du 4 4 dv v log f) log+ + log+ +C 4 log + ++C. 7 0 log ( + a + ) u log ( + a + ) du a + log ( + a + ) dv v a + 1.j) log ( + a + ) a + +C. 8 0 log ( + a + ) u log ( + a + ) du a + log ( + a + ) 1 a log ( + a + ) a a C. dv v log( ) u log ( ) dv du 1+ v log ( + 1+ ) 1+ log ( + 1+ ) +C.
33 14. Primenom metoda parcijalne integracije odrediti: 1 0 sin 0 sin 0 cos 4 0 cos 5 50 tan sin 7 0 ( 1) sin 8 0 sin cos 9 0 (sin + cos ) 4 Rešenje: 1 0 sin u du dv sin v cos cos + cos u du dv cos v sin ( cos + sin ) sin u ( dv sin cos + sin 6 cos + ) cos cos + sin + 6 cos 6 sin + C. du v cos 0 sin u dv sin du v 1 4 sin ( sin 4 1 ) 4 sin 1 cos sin cos +C sin 1 cos +C. 8 0 cos u du dv cos v 1 sin sin sin u dv sin sin + cos 1 cos du v 1 cos sin + cos 1 4 sin +C 1 sin + cos +C. 4
34 4 4 0 sin cos 5 + cos cos 5 sin cos 5 + usin ducos sin dv v 1 sin cos 5 4 cos 4 4 cos sin 4 cos sin cos + 8 log cos + sin cos sin cos + C. cos 5 0 sin tan 7 7 cos 7 u sin6 du 6 sin 5 cos sin dv v 1 cos 7 6 cos 6 1 sin 5 6 tan6 cos 5 usin4 du4 sin cos sin dv v 1 cos 5 4 cos tan6 1 4 tan4 + tan tan6 1 4 tan4 + 1 tan + log cos + C. Integral se može takod e izračunati i primenom metoda smene. tan 7 tan 5 tan tan 5 1 cos cos tan 5 d(tan ) tan tan6 tan 1 cos cos 1 6 tan6 1 4 tan4 + tan tan6 1 4 tan4 + 1 tan + log cos + C. 6 0 sin t, t t t sin t ( t cos t + t sin t + 6t cos t 6 sin t ) + C cos + 6 sin + 1 cos 1 sin + C.
35 5 7 0 ( 1) sin u 1 dv sin du v 1 cos 1 cos + cos 1 cos + sin +C sin cos 1 sin 8 usin du4 sin cos dv sin v 1 cos 1 sin cos + sin cos 1 sin cos cos d(cos ) 1 sin cos 1 cos + C. 9 0 (sin + cos ) 4 d(sin + cos ) (cos sin )(sin + cos ) 4 1 sin +cos u cos sin du (cos sin ) d(sin +cos ) 1 dv v (sin +cos ) 4 (sin +cos ) 1 (sin +cos ) (cos sin ) 1 (cos sin ) (sin +cos ) 1 (sin + cos ) (cos sin ) 1 (cos sin ) 1 (1 + sin ) cos 1 cos 1 (1 + sin ) cos 1 tan + C. 6
36 6 15. Primenom metoda parcijalne integracije odrediti: 1 0 arcsin 0 arccos 0 arccos arcsin 4 0 arcsin 5 0 arcsin 6 0 arcsin arcsin arccos Rešenje: 1 0 uarcsin dv arcsin du 1 v arcsin 1 1.j) arcsin C. 0 arccos uarccos dv du 4 v arccos + 1.j) arccos 4 + C. 4 0 uarccos arccos du 1 dv v arccos arccos C arcsin uarcsin dv du arcsin 1 v arcsin arcsin uarcsin du 1 1 dv 1 v 1.j) 1 arcsin + 1 arcsin arcsin + 1 arcsin + C.
37 7 5 0 arcsin u arcsin dv du arcsin 1 v arcsin arcsin 1 u arcsin dv 1 du ( arcsin + ) 1.j) 1 v 1 arcsin arcsin arcsin u arcsin du 1 dv 1 v 1.m) arcsin 1 arcsin + 1 arcsin arcsin d(arcsin ) 1 4 arcsin + 1 arcsin 4 + C. arcsin 6 0 u arcsin dv du 1 v 1 arcsin + 1.l) 1 arcsin log C arcsin 1 uarcsin du 1 dv 1 v 1.j) 1 1 arcsin + 1 arcsin + C.
38 8 8 0 uarccos dv arcsin arcsin arccos du 1 v arcsin + 1 arcsin arccos + 1 arccos + arcsin arcsin arccos + 1 ( arccos arcsin ) + + C. Bez korišćenja rezultata i , integral se može izračunati na sledeći način. uarcsin arccos dv arcsin arccos arccos arcsin du 1 v arcsin arccos (arccos arcsin ) 1 uarccos arcsin dv 1 du 1 v 1 arcsin arccos + 1 (arccos arcsin ) + arcsin arccos + 1 (arccos arcsin ) + + C. 16. Primenom metoda parcijalne integracije odrediti: arctan 0 arctan 0 arctan 4 0 arctan 5 0 arctan arctan 1 e 7 0 arctan (1 + ) / Rešenje: 1 0 arctan dv arctan 1 u arctan du 1+ v 1.e) + 1 arctan C.
39 9 0 uarctan du 1+ arctan dv v t1+ t 1 arctan 1 6 t arctan 1 ( 1 + log(1 + ) ) + C. 6 arctan 1 1+ arctan 1 ( ) t log t +C arctan uarctan dv du 9+ v 1 1.k) 1 arctan log 1 arctan C. ( 9+ ) 4 0 arctan t, t t t arctan t ( t + 1 ) arctan t t + C ( + 1) arctan + C. arctan arctan 5 0 arctan 1 + u arctan du 1+ dv arctan 1+ v 1.e) i) arctan 1 arctan 1 log ( 1 + ) + C. arctan d(arctan ) 6 0 arctan 1 arctan 1 u arctan du 1 1+ dv v 1.i) 1+ arctan 1 log ( 1+ ) +C.
40 I e arctan (1 + ) / earctan 1+ e arctan (1+ ) u du earctan 1 + earctan 1 + / Odatle je I earctan ( 1) C. 1+ (1+ ) / dv earctan 1+ v e arctan u 1 1+ du (1+ ) / dv earctan 1+ v e arctan e arctan (1 + ) / ( 1) earctan I Primenom metoda parcijalne integracije odrediti: 1 0 e e a cos b 6 0 e sin e 0 ( + ) 5 0 e e a sin b 7 0 e cos Rešenje: 1 0 I e u du dv e v 1 e e e u du dv e v 1 e e ( ) e e e 4 e + e u du dv e v 1 e e 4 e + ( e 1 ) e e 4 e + 4 e 8 e +C e ( ) +C. 8
41 41 0 e ( + ) u e du ( + )e dv v 1 (+) + + e + e u du dv e v e + e +e e + e + e e +C + e + C. 0 e e u dv e v e du e e + C e ( 1 ) + C. e e 4 0 I e a cos b u cos b du b sin b dv e a v 1 a ea 1 a ea cos b + b e a sin b u sin b du b cos b a dv e a v 1 a ea 1 a ea cos b + b ( 1 a a ea sin b b ) e a cos b a Odatle je ea a ( a cos b + b sin b ) b a I. a + b a I ea a ( a cos b + b sin b ) + C1, I ea a + b ( a cos b + b sin b ) + C. odnosno 5 0 e a sin b u sin b du b cos b dv e a v 1 a ea 1 a ea sin b b e a cos b ea ( ) a sin b b cos b +C. a a +b
42 4 6 0 e sin u sin du sin cos sin dv e v 1 e 1 ( ) e sin e 17.5 sin 0 e ( ) cos sin +C e cos e ( 1 sin ) e e sin e 8 ( + cos + sin ) + C. 18. Odrediti rekurentnu formulu za izračunavanje integrala I n za n N, n i a, b 0. (1 1 0 I n log n 0 I n ) n/ 0 I n ( + a ) n 4 0 I n (a + b + c) n 5 0 I n n ± a 6 0 I n n+1 ± a 7 0 I n sin n 8 0 I n cos n 9 0 I n tan n 10 0 I n cot n 11 0 I n (a sin + b cos ) n 1 0 I n (a + b cos ) n Rešenje: 1 0 I n log n u logn dv du n log n 1 v / log n n log n 1 / log n n I n 1.
43 4 Iskoristimo izvedenu relaciju za izračunavanje, na primer, integrala I. Kako je u log du I 1 log dv v / / log / log 4 9 / + C 9 /( log ) + C, na osnovu izvedene rekurentne relacije imamo I / log 4 I 1 7 /( 9 log 1 log + 8 ) + C, I / log I 7 /( 9 log 18 log + 4 log 16 ) + C. (1 0 I n ) n/ (1 )( 1 ) (n )/ I n ( n 1 ) u dv ( n 1 ) du v 1 n (1 ) n/ I n + ( 1 ) n/ 1 (1 ) n/ 1 n n n I n+i n + ( 1 ) n/. n Dakle, n + 1 n I n I n + ( 1 ) n/, pa je n I n n n + 1 I n + ( 1 ) n/. n + 1 Znamo da je I m) arcsin + C. Na osnovu izvedene rekurentne relacije dobijamo I 4 I 1 + ( 1 ) / 4 8 arcsin + ( 1 5 ) + C. 8 (1 Kako je I ) + C, možemo odrediti I I + 5 ( 1 ) + C C.
44 44 0 I n ( +a ) n 1 +a a u dv ( +a ) n du v 1 ( n)( +a ) n 1 n (n )a I n 1 + ( +a ) n 1 a I n 1 1 a 1 (n )a ( + a ) n 1. ( +a ) n Primetimo da su ovaj integral i dobijena rekurentna relacija samo specijalan slučaj integrala i relacije iz narednog primera (a 1, b 0, c a ). 4 0 I n (a + b + c) n a + b + c (a + b + c) n+1 d(a + b + c) (a + b) a + b + c 1 ( 4a (a + b) + 4ac b ) (a+b) +4ac b 1 (a+b) 4ac b 4a(a +b+c) n+1 4a (a + I +b+c) n+1 n+1 4a u a + b du a dv d(a +b+c) 1 v (a +b+c) n+1 n(a +b+c) n 1 ( (a + b) 4a n(a + b + c) n + a ) 4ac b n (a + b + c) n + I n+1 4a a + b 4an(a + b + c) n + 1 n I n + 4ac b I n+1. 4a 4ac b I n+1 I n 1 4a n I a + b n + 4an ( a + b + c ) n a n 1 a + b I n+1 4ac b I n + n n ( 4ac b )( a + b + c ) n.
45 I n n ± a n ( ± a a ) ± a n ( ±a ) a u ( I n 1 ±a ) dv n du ±a v n 1 n 1 n 1 ( ± a ) n 1 n + n 1 I n n 1 n 1 I n n 1 n + n 1 I n a I n 1 ( ± a ) a I n 1 ( ± a ) n 1 n + a I n I n n+1 ± a u n du n n 1 dv ± a v 1 ( ± a ) 1 n( ± a ) n n 1( ± a ) 1 n( ± a ) n ( In ± a ) I n 1 n + I n 1 n( ± a ) n a I n 1 I n 1 n + n( ± a ) na n + I n I n sin n sin n (1 cos )I n u cos dv sinn d(sin ) du sin v 1 n 1 sinn 1 I n 1 n 1 sinn 1 cos 1 n 1 I n n n 1 I n I n 1 n 1 sinn 1 cos I n n 1 n I n 1 n sinn 1 cos. cos sin n
46 I n sin cos n + cos cos n sin cos n + I u sin n dv sin (n 1) cos n 1 1 (n 1) I n + I n sin (n 1) cos n 1 + n n 1 I n. sin cos n + cos n du cos d(cos ) cos n v 1 (n 1) cos n I n tan n tan n 1 cos cos tan n d(tan ) I n 1 n 1 tann 1 I n. tan n cos I n 10 0 I n cot n cot n 1 sin sin cot n sin I n cot n d(cot ) I n 1 n 1 cotn 1 I n.
47 I n (a sin + b cos ) n a sin + b cos (a sin + b cos ) n+1 1 a cos b sin u du (n + 1) (a sin +b cos ) n+1 (a sin +b cos ) n+ dv (a sin +b cos ) v (a cos b sin ) a cos b sin (a cos b sin ) (n + 1) (a sin + b cos ) n+1 (a sin + b cos ) n+ a cos b sin a +b (a sin +b cos ) (n + 1) (a sin +b cos ) n+1 (a sin +b cos ) n+ a cos b sin ( (a (a sin + b cos ) n+1 (n + 1) + b ) ) I n+ I n I n+ n (n + 1) ( 1 a + b )I n (n + 1) ( a cos b sin a + b ) (a sin + b cos ) n I n (a + b cos ) n a + b cos (a + b cos ) n+1 cos a +b (a+b cos ) n+1 (a+b cos ) n+1 ai cos n+1+b (a+b cos ) n+1 1 sin u du (n + 1)b (a+b cos ) n+1 (a+b cos ) n+ dv cos v sin ( sin sin ) ai n+1 +b (n+1)b (a+b cos ) n+1 (a+b cos ) n+ b sin 1 cos ai n (n + 1)b (a + b cos ) n+1 (a + b cos ) n+ b sin (n+1)b (a+b cos ) n+1 +ai n+1+(n+1)b cos I n+ (a+b cos ) n+ ( ) a+b cos a b sin (a+b cos ) n+1 +ai n+1 (n+1)b I n+ (n+1)b b (a + b cos ) n+ b sin (a+b cos ) n+1 (n+1)i n+a(n+)i n+1 (n+1) ( a +b ) I n+.
48 48 (n + 1) ( a + b ) b sin I n+ (a + b cos ) n+1 (n + )I n + a(n + )I n+1 b I n+ (n + 1) ( sin a + b ) (a + b cos ) n+1 n + (n + 1) ( a + b )I n + (n + )a (n + 1) ( a + b )I n Razlaganjem racionalne funkcije, izračunati sledeće integrale ( + 1)( + + 1) ( + + ) ( 1) ( + 1) ( + + ) Rešenje: I 5 ; integral najpre svedemo na integral + 6 prave racionalne funkcije Kako je ( 5 + 6) ( )( ), to je I ( )( ). Nova racionalna podintegralna funkcija dozvoljava razvoj: ( )( ) A + gde je koeficijente A, B, C potrebno odrediti. B + C, (1)
49 49 Metod neodred enih koeficijenata podrazumeva sledeće: pomnožimo jednakost (1) sa ( )( ). Ona postaje jednakost dva polinoma u razvijenom obliku A( )( ) + B( ) + C( ) (A + B + C) + ( 5A B C) + 6A. Izjednačavanjem koeficijenata uz iste stepene promenljive dolazimo do sistema jednačina 5 A + B + C, 6 5A B C, 6 6A. Rešavanjem ovog sistema nalazimo A 1, B 7 i C 11. Time polazni integral svodimo na zbir četiri elementarna integrala: I I + log 7 log + 11 log + C. ( 1) (, podintegralna funkcija dozvoljava razvoj: + 1) 1 ( 1) ( + 1) A A ( 1) + B 1 + C 1 + B + C ( ). () Odredimo A j, B j, C j metodom neodred enih koeficijenata. Nakon množenja () sa ( 1) ( + 1) dolazimo do jednakosti 1 A 1 ( 1) ( + 1 ) + A ( + 1 ) + (B1 + C 1 )( 1) ( + 1 ) +(B + C )( 1) 5 (A 1 + B 1 ) + 4 ( A 1 + A B 1 + C 1 ) + (A 1 + B 1 + B C 1 ) + ( A 1 + A B 1 B + C 1 + C ) +(A 1 + B 1 + B C 1 C ) A 1 + A + C 1 + C. Izjednačavanjem koeficijenata dva polinoma uz odgovarajuće stepene od, dolazimo do sistema jednačina 0 A 1 + B 1 0 A 1 + A B 1 + C 1 0 A 1 + B 1 + B C 1 0 A 1 + A B 1 B + C 1 + C 0 A 1 + B 1 + B C 1 C 1 A 1 + A + C 1 + C,
50 50 čijim rešavanjem nalazimo vrednosti A 1 1/, A 1/4, B 1 1/, C 1 1/4, B 1/, C 0. Polazni integral tada postaje I ( 1) log 1 1 4( 1) + 1 ( d + 1 ) ( log ( 1) + ) ( 1) ( + 1 ) + arctan + C. 0 I ( + 1 ) ( d + 1 ) ( + 1 ) ( + 1)( ; primetimo sledeći razvoj podintegralne funkcije + + 1) 1 ( + 1)( + + 1) ( + 1) ( + 1)( + + 1) 1 ( + 1)( + + 1) 1 ( + + 1) ( + 1) ( + 1)( + + 1) 1 ( + + 1) 1 ( + 1)( + + 1) 1 ( + + 1) 1 ( + + 1) 1 ( + 1) ( + + 1) 1 ( + + 1). Time polazni integral postaje I ( + 1) ( + + 1) 1.b) d( + 1 log ) d( + 1 ( ) ( ) + ( ) ) c) d( + 1 ( ) ( ) log arctan ) t + 1 ( t + 4) ( + + 1) ( t + 4) log arctan ( ++1 ) +C.
51 log (1 ) + C arctan ( + 1) log C 1 arctan log ( + 1) + C log ( 1) + C log ( 1) + C ( +1) log C. + 1 ( arctan(1+ ) arctan(1 ) ) 8 0 ( + + ) arctan( + 1) C log log + + C log(1 + ) + arctan + C arctan log ( + 1) + C ( + + ) 1 arctan( + 1) log C. 0. Odrediti sledeće integrale iracionalnih funkcija (+1) ( 1)( )
52 5 Rešenje: t 6 + 6t 5 6 t 5 t (t t + 1) 6 t + 1 t t + 6t 6 log t C t + t 6 t + 1 t t log C t6 + 1 (1 t 6t 5 6 )t t t 1 6 ( t 6 + t 4 + t t t + 1) + 6 t t t5 + t t4 t t + 6t + t t t t5 + t4 t t + 6t + log(t + 1) 6 arctan t + C 6 ( 6 ) 7 6( ) 5 ( ) log( ) 6 arctan C t 6 1 6t 5 6 t 5 t + t + t 6 (t t t t) + 6 t + t + 1 t t + t + t + 1 d(t t t + t + 1) + t + t + 1 t + t + 1 t t + log t + t + 1 (t + 1 ) c) t t + log t 1 arctan t C t 1 / / 1 1+ log arctan C. 1 1
53 5 4 0 I (+1) t,, t > 0 t ( ) a 0 t + a 1 t + a t + a 1 t + λ. 1 t t 4 1 t Diferenciranjem po t i množenjem sa 1 t dobijamo t 4 4a 0 t 4 a 1 t + (a 0 a )t + (a 1 a )t + a + λ. Izjednačavanjem koeficijenata uz stepene od t formiramo sistem jednačina čije je rešenje 1 4a 0 0 a 1 a 0 a 1 0 a + λ 0 a 0 a a 0 1/4, a 1 0, a /8, a 0, λ /8. Nakon sred ivanja nalazimo da je polazni integral I ( 1 + 4( + 1) 4 + ) 8( + 1) 8 arcsin C. Za < integral se izračunava analognim postupkom, vodeći računa da je t t. Ovaj integral takod e se može odrediti primenom Ojlerove smene. I ( + 1) t, t 1 4t (t 1) (t 1) 4 (t + 1 ) 4 4 (t 4 + 1) 5 (t + 1) 5 (t + 1) 4 8(t + 1) + 4(t + 1) (t + 1) (t + 1) 5 4 t (t + 1) 96 (t + 1) (t + 1) 5. (t + 1) 4
54 54 Koristeći izvedenu rekurentnu relaciju iz zadatka nalazimo I arctan t + 5t7 t 5 + t 5t (t + 1) 4 + C. Vraćanjem smene konačno dobijamo I ( + 1) 4 arctan + + C t t (t 1) 4 t (t 1) 1. 0 t t 1 + log t C t 1 ( + 1)( 1) + log + ( + 1)( 1) + C. 6 0 (1, ) 1 + sin t, t (0, π/) ( 1)( ) sin t cos t, ( 1)( ) sin t(1 sin t) t + C arcsin 1 + C. Integral možemo rešiti i primenom treće Ojlerove smene. ( 1)( ) t( 1) I ( 1)( ) t + t t +1 (t +1) arctan t + C arctan 1 + C. t Svod enjem na integral racionalne funkcije, izračunati sledeće integrale ( 1 + ) 60
55 55 Rešenje: 1 0 I +. Potkorena funkcija u integralu odgovara za primenu prve Ojlerove smene: ± + t. Znak ispred biramo tako da pogoduje sred ivanju podintegralne funkcije. Kako je t , posle pored enja sa podintegralnom funkcijom uzimamo t. Tada je t + t + 1 t t, tj. t t, pa je + t + 1 t. Integral onda glasi (t + 1) Rastavimo racionalnu funkciju t + t + 1 I t(t + 1). t + t + 1 t(t + 1) A 1 + A t t A (t + 1). Metodom neodred enih koeficijenata nalazimo da je A 1, A, A. Integral se transformiše u elementarne integrale I t t+1 d(t+1) (t+1) log t log t+1 + (t+1) +C 1 log log C, gde je C C 1 1/.
56 56 0 I t 1 t +t+1 (t +1) t +t+1 t(t 1)(t +1). t + t + 1 t(t 1)(t + 1) A 1 + A t t 1 + Bt + C t + 1 A 1 1, A 1, B 0, C I t 1 t t + 1 log t 1 arctan t + C t log arctan + C. 1 0 I (+)(+1)t(+1) t t 1, t (t 1) t + t (t )(t 1)(t + 1). t + t (t )(t 1)(t + 1) 16 7(t ) + 4(t 1) (t + 1) (t + 1) + 1 (t + 1) I 16 7 log t + 17 log t log t (t + 1) 1 6(t + 1) + C 16 7 log log log ( ) ( ) + + C
57 I + 4 (1 + 1 ) 1/ t t (t 1) t t (t 1) (t 1) 4 (t 1) (t 1) 4 I I 4, gde je I n (t 1) n. Rekurentnu relaciju za izračunavanje I n I n t n (n 1)(t 1) n 1 (n 1) I n 1 možemo dobiti, na primer, iz za a 1, b 0 i c 1, imajući u vidu da je I 1 t 1 1 log t 1 + C 1. t + 1 Tada je t I (t 1) 1 4 log t 1 + C. t + 1 I t 5t 8(t 1) + 16 log t 1 + C. t + 1 I 4 15t5 40t + t 48(t 1) 5 log t 1 t + 1 I t5 8t t 4(t 1) 1 16 log t 1 + C t C (8 + ) log C.
58 ( 1+ ) t 6 6t 5 6 t 8 (t +1) 4t 6 (t 4 t + + ) 6 (t + 1) 6 4(t 5 t5 4t + 1) t 6 (t + 1) 6 5 t5 4t + 18t 4 t (t + 1) t5 4t t + 18t 1 arctan t + t C 6 ( 5( ) ) 1 arctan 6 + C. 6 0 ( 1+ ) 1/ 1+ t, t +1 t (t +1) / 9 t (t +1) ut dv t (t +1) du v 1 t (t (t +1) +1) t t (t + 1) t 1 arctan 1 4 log (t + 1) t + C + 1 ( 1 + ) 18 log arctan + C.. Svesti sledeće integrale na integral racionalne funkcije. tan tan 4 + tan 1 cos + sin cos 4 sin 5 0 sin cos (sin + cos ) ( sin + cos + 1 )
59 59 Rešenje: 1 0 tan + 1 tan tan t tan t tan 1+t 1+t (4 + t)(1 + t ). t + 1 ( t)(1 + t ). 0 1 cos + sin + cos 4 sin t tan sin 1+t t cos 1 t 1+t 1+t t + 6t 1 (5 8t t )(1 + t ). 4 0 (sin + cos ) 1+t ttan sin t cos 1 t 1+t 1+t 1 (1+t ) (1+t t ). 5 0 sin cos 4 1 sin cos cos (1 + t ). t ttan cos sin t 1+t cos 1 1+t 6 0 ttan ( sin + ) cos t 10t (+t ) t t (t 1) 1+t sin t 1+t cos 1 t 1+t t ( + t ). t (t 1). (1+t )(1 t ) ( t(1 t )+(1+t ) ).
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)
Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότερα6 Neodreženi integrali. F (x) = f(x). Primer 38 Funkcija F (x) = sin x je primitivna funkcija funkcije f(x) = cos x na (, + ), jer je
6 Neodreženi integrali 39 6 Neodreženi integrali Funkcija F (x) na intervalu (a, b) R je primitivna ili prvobitna funkcija funkcije f(x), ako je x (a, b) F (x) = f(x). Primer 38 Funkcija F (x) = sin x
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραNeodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIntegrali Materijali za nastavu iz Matematike 1
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)
Διαβάστε περισσότεραEksponencijalna i logaritamska funkcija
16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραMatematički fakultet
Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet MASTER RAD Tema: Doprinos nestandardnih zadataka iz trigonometrije poboljšanju nastave matematike Profesor: dr Zoran Petrović Student: Marijana Nikolić Beograd
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. Inverzna matrica
Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότεραPrvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραKompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.
Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma
INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραf n z n, (2) F (z) = pri čemu se pretpostavlja da red u (2) konvergira bar za jednu konačnu vrednost kompleksne promenljive Z(f n ) = F (z).
Z-TRANSFORMACIJA Laplaceova transformacija je primer integralne transformacije koja se primenjuje na funkcije - originale. Ova transformacija se primenjuje u linearnim sistemima koji su opisani diferencijalnim
Διαβάστε περισσότεραNUMERIČKA INTEGRACIJA
NUMERČKA NTEGRACJA ZADATAK: Odrediti približnu vrednost integrala ntegral određujemo pomoću formule: f ( x) = p( x) + R( x) vrednost integrala polinoma R ocena greške a b f ( xdx ) Kvadraturne formule
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραSistemi linearnih jednačina
Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραdr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006.
dr L. Stefanović, mr M. Matejić, dr S. Marinković DIFERENCIJALNE JEDNAČINE ZA STUDENTE TEHNIČKIH FAKULTETA SKC Niš, 2006. dr Lidija Stefanović, mr Marjan Matejić, dr Slad ana Marinković DIFERENCIJALNE
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραPrediktor-korektor metodi
Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα