ANALIZA 2. Zapiski predavanj. Milan Hladnik

ANALIZA 2 Zpiski predvnj Miln Hldnik Fkultet z mtemtiko in fiziko Ljubljn 22

KAZALO I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ 3. Nedoločeni integrl 3 2. Določeni integrl 9 3. Uporb določeneg integrl v geometriji 26 4. Posplošeni integrl 35 II. ŠTEVILSKE IN FUNKCIJSKE VRSTE 44. Številske vrste 44 2. Funkcijsk zporedj in funkcijske vrste 55 3. Tylorjev vrst 65 4. Fourierove vrste 7 III. NAVADNE DIFERENCIALNE ENAČBE 8. Diferencilne enčbe prveg red 8 2. Linern diferenciln enčb prveg red 87 3. Diferencilne enčbe drugeg red 9 Litertur 96

3 I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ. Nedoločeni integrl Poleg odvjnj funkcij je z uporbo pomembno, d jih znmo tudi integrirti. Z integrlom rčunmo dolžine krivulj, površine krivočrtnih likov, prostornine teles omejenih s ploskvmi. Brez integrirnj npr. ne bi mogli reševti diferencilnih enčb (glej zdnji rzdelek), veliko fiziklnih količin je podnih v integrlski obliki itd. Osnovni pojmi Isknje nedoločeneg integrl neke funkcije je obrten problem kot isknje odvod: Dn je (zvezn) funkcij f, iščemo tko odvedljivo funkcijo F, d je F (x) = f(x) z vsk x. Tej funkciji rečemo primitivn funkcij li nedoločeni integrl (dne funkcije f). Nedoločeni integrl ni enolično določen, funkciji F lhko prištejemo kterokoli konstnto, sj velj (F(x)+C) = F (x)+c = f(x). Poleg teg se poljubn dv nedoločen integrl z isto funkcijo f n dnem intervlu I lhko rzlikujet le z ditivno konstnto. Res, če je G (x) = F (x) z x I, je (G(x) F(x)) = in zto G(x) = F(x) + C po posledici Lgrngeveg izrek. Nedoločeni integrl zpišemo z integrlskim znkom: F(x) = f(x)dx. Zpis izhj iz Leibnizove pisve odvod y = dy dy dx. Če je dx = f(x), je dy = f(x)dx in y = f(x)dx. Funkcijo, ki jo integrirmo, imenujemo n krtko integrnd. ZGLED. 2xdx = x 2 + C, cos xdx = sin x + C. Tu je C poljubn konstnt. Opomb. Če z dn integrl F in G velj F (x) = G (x) z vsk x [,b] rzen z c (,b), je njun rzlik F(x) G(x) konstnt, ki p je n posmeznih podintervlih [,c) in (c,b] lhko rzličn. Zgled st npr. funkciji F(x) = rctg +x x in G(x) = rctgx, ko je F (x) = +x = G (x) z x, vendr p je F(x) G(x) = π/4 z x < in 2 F(x) G(x) = 3π/4 z x > (glej sliko ). ( y) F G ( x) Slik Z preproste funkcije lhko njihov integrl kr ugnemo in g zpišemo v tbelo.

4 Tbel elementrnih integrlov x n dx = xn+ + C, n n + dx = ln x + C x e x dx = e x + C x dx = x ln + C, > sinxdx = cos x + C cos xdx = sin x + C dx cos 2 x = tgx + C dx sin 2 x = ctgx + C dx = rcsin x + C x 2 dx + x 2 = rctgx + C dx x 2 + = ln(x + x 2 + ) + C, V zdnjem primeru lhko z odvjnjem nkndno preverimo, d je dobljen funkcij res nedoločen integrl dne funkcije. Pri nekterih integrndih z ugibnjem ne gre. Potrebno je poznti nekter splošn prvil z integrirnje. Oglejmo si tri osnovne metode. Metod dekompozicije Integrnd skušmo preoblikovti, njvečkrt prevesti n vsoto li rzliko znnih integrlov. Pri tem upoštevmo, d velj: ) (u(x) + v(x))dx = u(x)dx + v(x)dx 2) kf(x)dx = k f(x)dx. Ti dve prvili preverimo z odvjnjem (upoštevmo, d podobno velj z odvode). ZGLEDI. () ((2x ) 2 + 3x 2 )dx = (7x 2 4x + )dx = 7 x 2 dx 4 xdx+ dx = 7x 3 /3 2x 2 + x + C x 2 + 4 (b) x 2 + dx = dx + 3 Metod substitucije dx x 2 + = x + 3rctg x + C Uvedemo novo integrcijsko spremenljivko t, tko d je x = x(t) odvedljiv funkcij. Pri tem se spremeni tudi diferencil dx = x (t)dt in s tem celoten integrnd: f(x)dx = f(x(t))x (t)dt Če smo substitucijo x = x(t) izbrli pmetno, je novi integrl preprostejši od prejšnjeg in g znmo rešiti direktno. dx ZGLEDI. () 2x = dt 2 t = 2 ln t + C = ln 2x + C; uvedli smo substitucijo x = 2 t + ozirom 2x = t. N sploh je 2 f(x + b)dx = F(x + b), če je f(x)dx = F(x) in. dt (b) tg xdx = = ln t + C = ln cos x + C. Zdj je dobr izbir x = rccos t t ozirom cos x = t, sj je sin xdx = dt. 3x 2 dx dt (c) x 3 + = = 2 t + C = 2 x 3 + + C. Tu smo izbrli x 3 + = t in dobili t 3x 2 dx = dt. Še bolje bi bilo izbrti x3 + = t 2. S tem bi hkrti odprvili tudi kvdrtni koren iz drugeg integrl in dobili še bolj preprost integrl.

5 Metod integrcije po delih (per prtes) Formul z integrcijo per prtes je udv = uv vdu, kjer st u in v funkciji spremenljivke x. Izpeljemo jo iz dejstv, d je uv = d(uv) = (udv + vdu) = udv + vdu. Integrirnje po delih uporbljmo, kdr je integrnd produkt dveh rznorodnih funkcij, npr. produkt polinom in eksponentne (logritemske, trigonometrične) funkcije li produkt eksponentne in trigonometrične funkcije. ZGLEDI. () in dv = xdx. (b) x 2 e x dx = x 2 e x 2 xln xdx = x2 2 ln x 2 xdx = x2 2 xe x dx = x 2 e x 2(xe x ln x x2 4 + C. Izbrli smo u = ln x e x dx) = x 2 e x 2xe x + 2e x + C = (x 2 2x + 2)e x + C. Zdj smo morli dvkrt integrirti per prtes. Prvič smo izbrli u = x 2, drugič u = x, obkrt p dv = e x dx. Pri nekterih tipih integrlov, npr. pri integrirnju rcionlnih funkcij, li pri integrlih, kjer nstopjo kvdrtni koreni iz kvdrtnih izrzov, so potrebni posebni prijemi. V teorijo integrirnj tkih funkcij se tu ne bomo resneje spuščli, podli p bomo nekj preprostih npotkov in zgledov. Metode z integrirnje rcionlnih funkcij Rcionln funkcij je kvocient dveh polinomov: f(x) = p(x)/q(x). Če je stopnj števc večj li enk stopnji imenovlc, ob polinom njprej med seboj delimo, d dobimo celi del in ostnek: p(x)/q(x) = s(x) + r(x)/q(x). Polinom znmo integrirti (členom), preostlo rcionlno funkcijo p po potrebi rzstvimo n ti. prcilne ulomke, nto p integrirmo vsk prcilni ulomek posebej. (Uporbimo torej neko vrinto metode dekompozicije.) ZGLED. Zrdi x 2 = 2 ( x x + ) je dx x 2 = ( ) dx 2 x dx = x + x ln 2 x + + C. V tem primeru je bil rzčlenitev n prcilne ulomke zelo enostvn. Imenovlec p im v splošnem večkrtne linerne in večkrtne v relnem nerzcepne kvdrtne fktorje, npr. q(x) = q (x ) k (x 2 ) k 2...(x m ) km (x 2 +p x+q ) l (x 2 +p 2 x+q 2 ) l 2...(x 2 +p n x+q n ) ln Rzčlenitev n prcilne ulomke je zdj oblike: r(x) q(x) = A x + A 2 (x ) 2 +... + A k (x ) k + A 2 + A 22 x 2 (x 2 ) 2 +... + A 2k 2 (x 2 ) k +... 2 A m + A m2 x m (x m ) 2 +... + A mk m (x m ) + km B x + C x 2 + B 2x + C 2 + p x + q (x 2 + p x + q ) 2 +... + B l x + C l (x 2 + p x + q ) l + B 2 x + C 2 x 2 + B 22x + C 22 + p 2 x + q 2 (x 2 + p 2 x + q 2 ) 2 +... + B 2l 2 x + C 2l2 (x 2 + p 2 x + q 2 ) l +... 2 + B nx + C n x 2 + B 2nx + C 2n + p n x + q n (x 2 + p n x + q n ) 2 +... + B nl n x + C nln (x 2 + p n x + q n ). ln Koeficiente mormo še določiti z odprvljnjem ulomkov.

6 Člen oblike A/(x ) k je enostvno integrirti; dobimo Aln x, če je k =, in (A/( k))/(x ) k, če je k >. Člen (Bx+C)/(x2 +px+q) z nerzcepnim imenovlcem zpišemo v obliki (Bx+C)/(x 2 +px+q) = (B/2)(2x+p)/(x 2 +px+q)+d/(x 2 +px+q), kjer je D = C Bp/2. Integrl prveg člen se izrž z (B/2)ln(x 2 + px + q). Imenovlec drugeg člen p preoblikujemo v popolni kvdrt: x 2 +px+q = 4 ((2x+p)2 +(4q p 2 )) = 4q p 2 4 ( + ( 2x+p )2 ), sj je 4q p 2 >, in uvedemo novo spremenljivko t = 2x+p. 4q p 2 4q p 2 Rezultt integrirnj je potem 2D rctg 2x+p. Če p nstopjo nerzcepni fktorji 4q p 2 4q p 2 tudi n višjo potenco l, so integrli poleg teh dveh oblik tudi oblike h(x)/(x 2 + px+q) l, kjer je h polinom stopnje 2l 3. Njbolje je torej z integrl splošne rcionlne funkcije p(x)/q(x), kjer je stopnj imenovlc vsj tolikšn kot stopnj števc in je imenovlec rzstvljen v zgornji obliki, vzeti nstvek: p(x) p(x) dx = q(x) q(x) + A ln x + A 2 ln x 2 +... + A m ln x m + B ln(x 2 + p x + q ) + B 2 ln(x 2 + p 2 x + q 2 ) +... + B 2n ln(x 2 + p n x + q n )+ 2C rctg 2x + p 2C + 2 rctg 2x + p 2 2C +...+ n rctg 2x + p n, 4q p 2 4q p 2 4q2 p 2 2 4q2 p 2 2 4qn p 2 n 4qn p 2 n kjer je q(x) polinom z istimi linernimi in kvdrtnimi fktorji, kot so večkrtni fktorji v q(x), vendr nstop vsk n potenco, ki je z en mnj kot pri polinomu q(x), polinom p(x) p nj im stopnjo z eno mnjšo kot polinom q(x). Koeficiente potem določimo tko, d obe strni njprej odvjmo, nto p odprvimo ulomke in primerjmo dobljene koeficiente pri rzličnih potench spremenljivke x n obeh strneh enčbe. Kdr tko rvnmo, rečemo, d smo integrl izrčunli z metodo nedoločenih koeficientov. ZGLED. Integrl I = xdx (x ) 2 (x 2 + x + ) uženemo z zgornjim nstvkom I = Aln x + B ln(x 2 + x + ) + 2C 3 rctg 2x + 3 + D x. Njprej določimo A,B,C in D iz primerjve odvjne leve in desne strni. Po odprvi ulomkov dobimo x = (A + 2B)x 3 + ( 3B + C D)x 2 (2C + D)x + ( A + B + C D), rešimo ustrezen sistem linernih enčb in njdemo A = B =, C = D = /3. Končni rezultt integrirnj je potem I = 3(x ) 2 3 3 rctg2x + + C, kjer je C poljubn 3 konstnt. Metode z integrirnje korenskih funkcij Njprej si oglejmo primer, ko pod korenom nstop linern li lomljen linern funkcij. Lhko so rzlični koreni, le rdiknd mor biti vedno isti. Če je npr. pod korenom izrz x + b x + b pišemo cx + d cx + d = tp, kjer je p tk potenc, d po zmenjvi spremenljivke odpdejo vsi koreni. Problem prevedemo n integrcijo rcionlnih funkcij, kr že poznmo (je p z integrcijo lhko še veliko del). ZGLED. S substitucijo x +x = t3 ozirom x = t3, od koder je dx = 6t2 dt, dobimo +t 3 (+t 3 ) 2 3 x t 3 dt dx = 6 + x ( + t 3 ) 2, ki jo lhko potem integrirmo po metodh z integrirnje rcionlnih funkcij. Nslednji primer, ko se d integrl popopolnom izrčunti, je primer, ko nstop pod kvdrtnim korenom kvdrtni trinom x 2 + bx + c,. Oznčimo y = x 2 + bx + c,

integrnd p nj bo rcionln funkcij spremenljivk x in y, torej R(x,y) = P(x,y) Q(x,y) = P (x) + P 2 (x)y Q (x) + Q 2 (x)y, kjer so P,P 2,Q,Q 2 polinomi v x. Odprvimo koren iz imenovlc, p immo R(x,y) = P (x)q (x) P 2 (x)q 2 (x)y 2 Q (x) 2 Q 2 (x) 2 y 2 + P 2(x)Q (x) P (x)q 2 (x) Q (x) 2 Q 2 (x) 2 y 2 y. Prvi člen je rcionln funkcij, ki jo znmo integrirti, drugi p je produkt rcionlne funkcije in koren y ozirom rcionln funkcij, deljen s korenom y, torej oblike H(X) G(x)y = F(x) + R(x) y G(x)y, če polinom G in H po potrebi med sebj še delimo. F(x)dx F(x)dx Oglejmo si njprej, kko izrčunmo integrl I = = y x 2 + bx + c. Z metodo nedoločenih koeficientov (odvjnje obeh strni in primerjnje ulomkov) ugotovimo, d lhko vedno zpišemo F(x)dx x 2 + bx + c = F (x) x 2 dx + bx + c + K x 2 + bx + c, kjer je F (x) polinom, stopnje z eno mnjše od stopnje polinom F, in K nek konstnt. Odtod vidimo, d je treb znti izrčunti smo zdnji člen. V t nmen zpišimo kvdrtni trinom v drugi obliki: 4(x 2 + bx + c) = (2x + b) 2 D, kjer je D = b 2 4c njegov diskriminnt. Pri izrčunu ustrezneg integrl uvedemo novo integrcijsko spremenljivko t = 2x + b, dt = 2dx, upoštevti p mormo tri možnosti: () D, >, (b) D >, < (možnost D <, <, ne pride v poštev, ker mor biti x 2 +bx+c > ) in (c) D =. V prvem primeru je I = dt t 2 D = ln(t + t 2 D) + C ozirom izrženo s strimi spremenljivkmi I = ln(2x + b + 2 (x 2 + bx + c)) + C. V drugem primeru je I = spremenljivkmi I = rcsin 2x + b b 2 4c + C. dt D t 2 = rcsin t D + C ozirom s strimi V tretjem primeru je pod korenom popolni kvdrt, zto dobimo I = 7 dt t 2 = dt t = ln t z t < in I = ln t z t >, torej I = ln 2x + b z 2x + b < in I = ln 2x + b z 2x + b >. ZGLEDI. () (b) dx = 2x x 2 dx = x 2 +2x dt t 2 dt t 2 2 = ln(t+ t 2 2)+C = ln(x++ x 2 + 2x )+C. = rcsin t + c = rcsin(x ) + C. (c) I = 2 x 2 dx = 2 x 2 2 x 2dx = (Ax + B) 2 x 2 + C dx (nstvek); odv- 2 x2 jmo in primerjmo koeficiente, d dobimo A = /2, B = in C = 2 /2, torej je I = 2 x 2 dx = 2 x 2 x 2 + dx 2 2 x = 2 2 x 2 x 2 + 2 rcsin x + C. R(x) Preostne še izrčun integrl oblike G(x) dx. Polinom G(x) rzčlenimo x 2 + bx + c n sme linerne fktorje (predpostvimo, d to gre), ulomek R(x)/G(x) p n prcilne ulomke. Potem je treb izrčunti integrle oblike I = dx (x e) k x 2 + bx + c.

8 V t integrl vpeljemo substitucijo x e = /t, tko d je dx = dt/t 2 in dobimo t k dt I =, se prvi integrl tke vrste, kkršno smo že (e 2 + be + c)t 2 + (2e + b)t + obrvnvli. ZGLED. dx x x 2 = dt t 2 = rcsin t + C = rcsin x + C. Kdr so pred korenom tudi nerzcepni kvdrtni, je integrcij težj. Vendr je vedno možno nprviti ustrezno substitucijo, s ktero integrl s korenom prevedemo n integrl rcionlne funkcije. () Če je >, pišemo x 2 + bx + c = (x + t) in dobimo x = t2 c b 2t ; dx = bt + c 2t2 (b 2t) 2 dt ter y = x 2 + bx + c = t2 bt + c. b 2t (b) Če je <, mor imeti enčb x2 + bx + c = dv rzličn reln koren x in x 2, sicer bi bil izrz pod kvdrtnim korenom vedno negtiven lii nič. V tem primeru lhko pišemo x 2 + bx + c = (x x )(x x 2 ) = (x x )t in dobimo x = x t 2 + x 2 t 2 + ; dx = 2(x x 2 )tdt (t 2 + ) 2 dt ter y = x 2 + bx + c = (x 2 x )t t 2. + Opomb. Kdr nstop pod kvdrtnim korenom polinom tretje li četrte stopnje, govorimo o eliptičnih integrlih. V splošnem se jih ne d elementrno izrčunti, tj. izrziti z elementrnimi funkcijmi, pč p jih lhko z ustrezno trnsformcijo vedno prevedemo n eno od nslednjih osnovnih treh oblik (,k konstnti, < k < ): dx ( x 2 )( k 2 x 2 ), k 2 x 2 x 2 dx, dx (x ) ( x 2 )( k 2 x 2 ). Integrli trnscendentnih funkcij Med trnscendentne funkcije spdjo eksponent in logritemsk funkcij, trigonometrične in ciklometrične funkcije. Rcionlne li korenske izrze, v kterih nstop en od teh funkcij, včsih integrirmo tko, d se s primerno substitucijo teh funkcij znebimo in prevedemo postopek n integrcijo rcionlnih funkcij. dx ZGLEDI. () e x + = dt t(t + ) = t ln t + + C = ln e x e x + + C. ln 2 xdx (b) = t 2 dt = t 3 /3 + C = (ln x) 3 /3 + C. x (c) tg xdx = ( t )dt = ln t ln t + + C = t + tdt + t 2 = 2 ln( + t2 ) + C = 2 ln cos2 x + C = ln cos x + C. Z trigonometrične funkcije substitucij t = tg(x/2) vedno privede do integrl rcionlne funkcije, sj je tedj x = 2rctg t in dx = 2dt 2t + t2, poleg teg p je tedj tudi sin x = + t 2 in cos x = t2 + t2. Je p t substitucij precej dolgovezn, pogosto pridemo do rezultt hitreje s kkšno drugo zmenjvo. Če je npr. integrnd oblike R(cos 2 x)cos x, kjer je R rcionln funkcij, je uspešn substitucij t = sin x. Če je integrnd oblike R(cos 2 x) li R(sin 2 x), p pomg substitucij t = tgx.

cos xdx ZGLEDI. () + cos 2 x = dt 2 t 2 = 2 2 ln 2 + t 2 t + C = 2 2 ln 2 + sin x 2 sin x + C. dx (b) I = sin 2 x + bcos 2 x = dx cos 2 x(tg 2 x + b) = dt t 2 + b. Če imt konstnti,b isti predznk, je I = du b + u 2 = rctg u + C = rctg(t /b) + C = b b rctg( tg x) + C. Če p imt konstnti,b nsproten predznk, dobimo b b I = du b u 2 = 2 u + ln b u + C = 2 t b + b ln b t b b + C = 2 (tg x) b + b ln b (tg x) b b + C. 9 Sode potence sinusne in kosinusne funkcije li njihove produkte integrirmo tko, d uvedemo dvojne kote. 8 ZGLED. sin 4 xdx = 4 ( cos 2x) 2 dx = 4 ( 2cos 2x+cos 2 2x)dx = 4 (x sin 2x)+ ( + cos 4x)dx = 3 8 x 4 sin 2x + 32 sin 4x + C. Produkte rzličnih trigonometričnih funkcij (pri rzličnih rgumentih) preoblikujemo njprej z uporbo dicijskih izrekov v vsote li rzlike. ZGLED. Nj bo ±b. Potem je sinxsin bxdx = (cos( b)x cos( + b)x)dx = 2 sin( b)x 2( b) sin( + b)x 2( + b) + C. Včsih nstop trnscendentn funkcij kot fktor v produktu s polinomom li rcionlno funkcijo. Tedj je potrebno uporbiti metodo integrirnj po delih (per prtes). ZGLEDI. () x 2 e x dx = x 2 e x 2 xe x = x 2 e x 2(xe x e x dx) = x 2 e x 2xe x +2e x + C = (x 2 2x + 2)e x + C. (b) xln xdx = 2 x2 ln x 2 xdx = 2 x2 ln x 4 x2 + C. (c) x 2 sin xdx = x 2 cos x + 2 xcos xdx = x 2 cos x + 2(xsin x sin xdx) = x 2 cos x + 2xsin x + 2cos x) + C = (2 x 2 )cos x + 2xsin x + C. xdx (d) rctg xdx = xrctg x + x 2 = xrctg x 2 ln( + x2 ) + C. (e) e x sin xdx = e x sin x e x cos xdx = e x sin x (e x cos x + e x sin xdx) in odtod e x sin xdx = e x (sin x cos x)/2 + C. 2. Določeni integrl Rdi bi (z proksimcijo) rčunli tudi ploščine krivočrtnih likov, tj. likov, ki jih omejujejo krivulje. Kko bi npr. poiskli ploščino množice A = {(x,y); x b, y f(x)}, kjer je f > zvezn pozitivn funkcij, definirn n intervlu [,b]? Če je f konstntn li linern funkcij, bi še nekko šlo, sicer p bi morli funkcijo f (po koščkih) proksimirti z odsekom konstntnimi li odsekom linernimi funkcijmi.

Riemnnove vsote in definicij Riemnnoveg integrl. Postopek z poljubno relno funkcijo f, definirno n omejenem zprtem intervlu [, b], je nslednji. Izberemo delitev intervl [, b], < b, n n podintervlov z n vmesnimi točkmi: = x < x <... < x n = b. Delitev je torej podn z urejenim nborom točk, zto jo oznčimo z D = {x,x,...,x n }. Dolžin k-teg podintervl [x k,x k ] nj bo x k = x k x k, mksimlno dolžino oznčimo z D, torej D = mx k n x k in ji recimo norm rzdelitve. N vskem podintervlu si izberimo poljubno točko t k [x k,x k ]; množico tko izbrnih točk oznčimo s T D, sj je podrejen delitvi D. Nj bo f reln funkcij, definirn n omejenem zprtem intervlu [,b]. Z vsk pr (D,T D ), kjer je D delitev intervl [,b] in T D podrejen množic točk, sestvimo t.i. integrlsko li Riemnnovo vsoto funkcije f s predpisom (glej sliko 2): S(f;D,T D ) = n f(t k ) x k k= f( t ) f( t 2 ) f( t3) f( t 4 ) x t x t 2 x 2 = t 3 x 3 t 4 x 4=b Slik 2 DEFINICIJA. Število I imenujemo določeni li Riemnnov integrl relne funkcije f n omejenem zprtem intervlu [,b], če velj n I = lim f(t k ) x k. D k= Ntnčneje t limit pomeni, d z vsk ǫ > obstj tk δ >, d z poljubno delitev D, z ktero velj D < δ in z poljubno podrejeno množico izbrnih točk T D velj I S(f;D,T D ) < ǫ. Zgornj limit ne obstj vedno. Kdr obstj, rečemo, d je funkcij f n intervlu [, b] Riemnnovo integrbiln, limito, se prvi določeni (Riemnnov) integrl funkcije f n intervlu [,b] p oznčimo z I = f(x)dx. Opomb. T oznk ns spomni, d izhj določeni integrl v limiti iz integrlskih vsot S(f;D,T D ) = k f(t k) x k, in tudi sm integrlski znk je modificirn črk S, zčetn črk ltinske besede summ (vsot). ZGLED. () Izrčunjmo po definiciji določeni integrl xdx, ki obstj zrdi zveznosti funkcije f(x) = x (glej zdnji odstvek v tem podrzdelku). Pri poljubni delitvi lhko z izbrno točko n podintervlu [x k,x k ] izberemo krkoli, npr. ritmetično sredino podintervl, tj. t k = (x k + x k )/2. Dobimo S(f;D,T D ) = n k= x k + x k (x k x k ) = 2 2 n (x 2 k x2 k ) = b2 2 = (b )( + b)/2 2 k=

in zto tudi xdx = (b )( + b)/2. Ker smo n t nčin dobili ploščino trpez pod linerno funkcijo f(x) = x n intervlu [,b], če je < < b, vidimo, d je vsj v tem primeru rezultt prvilen. Če je < b <, dobimo negtivno ploščino ustrezneg trpez; če p je < < b, p rzliko ploščine dveh trikotnikov (nd in pod bscisno osjo), t.i. predznčeno ploščino. Izrčun je bil v tem primeru dokj enostven, ker je bil integrnd preprost. V bolj zpletenih primerih to ne bi delovlo. (b) Izrčunjmo še integrl x2 dx. Zdj p njprej izberimo posebno (enkomerno) delitev intervl [,b] z delilnimi točkmi x k = + k(b )/n, k =,,2,...,n, z izbrne točke p vzemimo kr desn krjišč podintervlov t k = x k, k =,2,...,n. Potem je S(f;D,T D ) = n (+k(b )/n) 2 (b )/n = (b )( 2 2(b ) + n 2 k= V limiti (n ) dobimo n k= (b )2 k+ n 3 (b )( 2 + (b )( /n) + 3 (b )2 ( + /n)( + /2n)). x 2 dx = 3 (b )(b2 + b + 2 )/3 = b3 3. 3 TRDITEV. Vsk n [,b] Riemnnovo integrbiln reln funkcij je omejen. n k 2 ) = Dokz. Denimo, d funkcij f n intervlu [, b] ni omejen. Potem z poljubno konstnto M > in z vsko delitev D = {x,x,...,x n } intervl [,b] s podrejeno množico točk T D = {t,t 2,...,t n } obstj tk k in tk točk s k [x k,x k ], d velj f(t k ) f(s k ) M/ x k. V nsprotnem primeru, če bi z vsk k in vsk x [x k,x k ] veljl nsprotn neenkost f(t k ) f(x) < M/ x k, bi tkoj ugotovili, d je funkcij f omejen n [,b], sj bi z vsk k in vsk x [x k,x k ] veljlo f(x) f(t k ) + f(t k ) f(x) < f(t k ) + M/ x k ozirom f(x) mx k ( f(t k ) + M/ x k ) z vsk x [,b]. Izberimo delitvi D podrejeno podmnožico točk T D = {t,t 2,...,t n }, kjer je t j = t j z j k in t k = s k. Potem je S(f;D,T D ) S(f;D,T D ) = f(t k) f(s k ) x k M/ x k. To p že pomeni, d funkcij f ni Riemnnovo integrbiln, sicer bi obstjl Riemnnov integrl I in bi bil rzlik S(f;D,T D ) S(f;D,T D ) S(f;D,T D) I + I S(f;D,T D ) pri dovolj drobni delitvi D poljubno mjhn. Smo omejene relne funkcije so torej lhko integrbilne. V bodoče bomo večinom integrirli smo preproste funkcije. Ker je vsk elementrn funkcij zvezn n vskem intervlu, n kterem je definirn, z zvezne funkcije p bomo posebej dokzli, d so Riemnnovo inegrbilne, bodo prktično vse nše funkcije integrbilne. k= Zgornje in spodnje Drbouxove vsote Imejmo dno poljubno delitev D = {x,x,...,x n } intervl [,b]. Posebn izbir točke t k [x k,x k ] je pri zvezni funkciji f tist, kjer doseže funkcij n tem podintervlu svoj mksimum M k li svoj minimum m k. Pri nezvezni omejeni funkciji nmesto teg vzmemo M k = sup{f(x); x [x k,x k ]} in m k = inf{f(x); x [x k,x k ]}. V prvem primeru imenujemo ustrezno vsoto zgornjo Drbouxovo vsoto in jo oznčimo z S(f;D), v drugem primeru p spodnjo Drbouxovo vsoto in jo oznčimo z s(f; D). Torej n n S(f;D) = M k x k, s(f;d) = m k x k. k= Opomb. Te vsote se imenujejo po G. Drbouxu, ki je t pristop prvi uporbil in z njimi definirl svoj integrl. Včsih p jih njdemo tudi pod imenom zgornje in spodnje Riemnnove vsote. k=

2 S(f;D) S(f;D,T ) D s(f;d) x = x x x 3 x =b 2 4 Slik 3 Očitno z poljubno delitev D s podrejeno množico točk T D velj s(f;d) S(f;D,T D ) S(f;D). Rekli bomo, d je D = {x,x,...,x m } finejš delitev intervl [,b], kot je delitev D = {x,x,...,x n }, če je D D. Dve poljubni delitvi D in D 2 isteg intervl [,b] imt vedno skupno finejšo delitev D = D D 2. TRDITEV. Če je D finejš delitev intervl [,b] kot delitev D, velj s(f;d) s(f;d ) S(f;D ) S(f;D). xi k x k- x i k+ xj k x k Slik 4 Dokz. Podintervl [x k,x k ], ki pripd delitvi D lhko s točkmi finejše delitve D rzdelimo nprej: x k = x i k <... < x j k = x k. Količinm M k = M k (D) in m k = m k (D) glede n delitev D in indeks k ustrezjo glede n finejšo delitev D in indeks l količine M l in m l. Če upoštevmo, d je infimum, vzet po mnjši množici, večji, supremum p mnjši, immo z vsk indeks l, i k + l j k, neenkosti in Torej je m k = inf{f(x); x [x k,x k ]} inf{f(x ); x [x l,x l ]} = m l M l = sup{f(x ); x [x l,x l ]} sup{f(x); x [x k,x k ]} = M k. m k x k j k l=i k + m l x l in j k l=i k + M l x l M k x k. Če seštejemo vse te neenkosti po indeksu k od do n (po vseh podintervlih v delitvi D), dobimo iskno neenkost. POSLEDICA. Z poljubni delitvi D in D 2 intervl [,b] velj s(f;d ) S(f;D 2 ). Dokz. Nj bo D skupn finejš delitev z D in D 2. Potem je po zgornji trditvi s(f;d ) s(f;d) S(f;D) S(f;D 2 ).

3 Drbouxov integrbilnost Odtod vidimo, d je (neprzn) množic {s(f;d )} vseh spodnjih Drbouxovih vsot glede n delitev D omejen nvzgor s poljubno zgornjo Drbouxovo vsoto glede n (kterokoli drugo) delitev D 2, se prvi d obstj supremum s(f) = sup D {s(f;d )} in d velj s(f) S(f;D 2 ). Tod to hkrti pomeni, d je tudi (neprzn) množic {S(f;D 2 )} vseh zgornjih Drbouxovih vsot glede n delitev D 2 omejen nvzdol, d obstj infimum S(f) = inf D2 S(f;D 2 ) in d velj s(f) S(f). TRDITEV 2. Z omejeno funkcijo f n intervlu [,b] so pri zgornjih oznkh ekvivlentne nslednje trditve: (i) s(f) = S(f), (ii) Z vsk ǫ > obstj tk delitev D intervl [, b], d velj S(f; D) s(f; D) < ǫ. (iii) Z vsk ǫ > obstj tk δ >, d z vsko delitev D intervl [,b] z lstnostjo D < δ velj S(f;D) s(f;d) < ǫ. Dokz. Očitno iz točke (iii) sledi točk (ii). Nj bo zdj D tk delitev, d pri dnem ǫ > velj točk (ii). Potem zrdi ocene s(f;d) s(f) S(f) S(f;D) velj S(f) s(f) S(f;D) s(f;d) < ǫ. To pomeni, d je s(f) = S(f) in velj točk (i). Predpostvimo, d je izpolnjen točk (i), torej s(f) = S(f) = I, in nj bo ǫ >. Potem obstjt tki delitvi D,D 2 intervl [,b], d je S(f;D) < I + ǫ/4 in s(f;d) > I ǫ/4. Nj bo D = D D 2 skupn finejš delitev intervl [,b] n n podintervlov. Po trditvi je zto tudi I ǫ/4 < s(f;d ) S(f;D ) < I +ǫ/4. Definirjmo še M = sup{ f(x) ; x [,b]} in δ = ǫ/(8nm). Nj bo zdj D poljubn drug delitev intervl [,b] z lstnostjo D < δ in nj bo D = D D skupn finejš delitev. Po trditvi velj tudi I ǫ/4 < s(f;d ) S(f;D ) < I + ǫ/4. Ker je vmesnih točk delitve D rvno n, je njveč n podintervlov, pripdjočih rzdelitvi D še nprej rzdeljenih s točkmi iz D. Torej se v vsoth s(f;d ) in s(f;d) ujemjo vsi členi rzen tistih n teh njveč n intervlih. Rzliko vsot lhko potem ocenimo z s(f;d ) s(f;d) (n )(2M) D < 2nMǫ/(8nM) = ǫ/4. Odtod vidimo, d je s(f;d) > s(f;d ) ǫ/4 > I ǫ/2. Podobno spoznmo, d je S(f;D) < I + ǫ/2, tko d immo končno S(f;D) s(f;d) < ǫ in velj točk (iii). Opomb. Kdr je izpolnjen točk (i) zgornje trditve (in s tem tudi vsk drug točk), tj. kdr velj s(f) = S(f), rečemo, d je omejen funkcij f n intervlu [,b] Drbouxovo integrbiln. Vendr t integrbilnost ni v resnici nič drugčn od dosednje, Riemnnove, integrbilnosti, kot pove nslednji izrek. IZREK. Omejen reln funkcij f, definirn n intervlu [, b], je Riemnnovo integrbiln ntnko tkrt, ko je Drbouxovo integrbiln. Dokz. Riemnnov integrbilnost pomeni, d lhko njdemo tko število I R, d z vsk ǫ > obstj δ >, tko d z vsko delitev D = {x,x,...,x n } intervl [,b] z lstnostjo δ D < δ in z vsko izbiro podrejene množice točk T D = {t,t 2,...,t n }, t k [x k,x k ], velj I S(f;D,T D ) < ǫ/4. Vemo tudi, d je vsk Riemnnovo integrbiln funkcij omejen. Izberimo tko delitev D = {x,x,...,x n } z lstnostjo D < δ, d je hkrti s(f) ǫ/8 < s(f;d) in S(f;D) < S(f) + ǫ/8. To lhko storimo, če po potrebi preidemo n finejšo delitev. Z vsk k nj bo m k = inf{f(x); x [x k,x k ]}, M k = sup{f(x); x [x k,x k ]} ter t k,t k [x k,x k ] tki točki, d je f(t k ) < m k + ǫ/8(b ) in f(t k ) > M m ǫ/8(b ).

4 Mk M - k ( b-) m k + ( b-) m k x k- t k t k x k Slik 5 Nj bo T D = {t,t 2,...,t n } in T D = {t,t 2,...,t n}. Potem je n n s(f;d) = m k x k f(t k ) x k = S(f;D,T D ) < k= k= n (m k + ǫ/8(b )) x k = s(f;d) + ǫ/8, k= S(f;D) ǫ/8 = n (M k ǫ/8(b )) x k < S(f;D,T D ) = k= n f(t k ) x k k= n M k x k = S(f;D). k= To pomeni, d je S(f;D,T D ) s(f;d) < ǫ/8, zto tudi S(f;D,T D ) s(f) < ǫ/4, in S(f;D,T D ) S(f;D) < ǫ/8, zto tudi S(f;D,T D ) S(f) < ǫ/4. Odtod skupj z I S(f;D,T D ) < ǫ/4 in I S(f;D,T D ) < ǫ/4 dobimo I s(f) < ǫ/2 in S(f) I < ǫ/2, se prvi S(f) s(f) < ǫ. Po trditvi 2 to pomeni S(f) = s(f). Obrtno, nj bo funkcij f Drbouxovo integrbiln, se prvi, nj velj S(f) = s(f) = I. Po trditvi 2 z vsk ǫ > obstj tk δ >, d z vsko delitev D intervl [,b] z lstnostjo D < δ velj S(f;D) s(f;d) < ǫ. Potem p z vsko tej delitvi D podrejeno množico točk T D velj s(f;d) S(f;D,T D ) S(f;D) < s(f;d) + ǫ. Seved velj tudi s(f;d) I S(f;D) < s(f;d) + ǫ, tko d immo skupj I S(f;D,T D ) < ǫ. To pomeni, d je funkcij f Riemnnovo integrbiln in d je njen integrl enk f(x)dx = I = s(f) = S(f). Izrek nm zgotvlj učinkovit kriterij, kdj je funkcij n dnem intervlu Riemnnovo integrbiln, sj je enkost s(f) = S(f) dostikrt preprosto preveriti, upoštevjoč, d je po trditvi 2 z vsk ǫ > dovolj njti delitev D z lstnostjo S(f;D) s(f;d) < ǫ. Nmesto o Riemnnovi li Drbouxovi integrbilnosti omejene funkcije bomo odslej govorili kr o njeni integrbilnosti. Primeri integrbilnih funkcij IZREK 2. Vsk monoton funkcij n intervlu [,b] je integrbiln. Dokz. Vsk monoton funkcij je n omejenem zprtem intervlu [, b] omejen. Privzemimo, d je funkcij f nrščjoč, in si izberimo enkomerno delitev intervl [,b] s točkmi x k = + k(b )/n, k =,,2,...,n. Zrdi nrščnj funkcije f je m k = f(x k ) in M k = f(x k ), tko d immo n n S(f;D) s(f;d) = f(x k )(b )/n f(x k )(b )/n = (b )(f(b) f())/n. k= k=

Z vsk ǫ > lhko izberemo dovolj velik n tko, d je desn strn mnjš od ǫ. Po trditvi 2 je potem s(f) = S(f) in po izreku je funkcij f integrbiln. IZREK 3. Vsk zvezn funkcij n intervlu [,b] je integrbiln. Dokz. Vsk zvezn funkcij je n intervlu [,b] omejen. Ker je po izreku iz nlize zvezn funkcij n kompktnem intervlu [, b] tudi enkomerno zvezn (glej 3. rzdelek v 2. poglvju), z vsk ǫ > obstj tk δ >, d z poljubni dve točki s,t [,b] z lstnostjo s t < δ velj f(s) f(t) < ǫ/(b ). Nj bo D delitev intervl [,b] z lstnostjo D < δ, tko d z poljubni točki s,t [x k,x k ] velj f(s) f(t) < ǫ/(b ). Torej je tudi M k m k ǫ/(b ), zto immo oceno (ki tkoj implicir integrbilnost funkcije f) n S(f;D) s(f;d) = (M k m k ) x k ǫ. k= ZGLEDI. () Obstjjo omejene (nezvezne) funkcije, ki niso integrbilne; tk je npr. krkterističn funkcij f = χ Q množice rcionlnih števil Q, definirn n intervlu [,b] s predpisom {, x Q f(x) =, x / Q. Tu je m k = in M k = z vsko delitev D in vsk k, torej je s(f;d) = in S(f;D) = b ozirom tudi s(f) = in S(f) = b, tko d funkcij f ni inegrbiln. (b) Po drugi strni obstjjo omejene nezvezne funkcije, ki p so integrbilne. Zgled so nezvezne monotone funkcije, npr. {, x [,/2] f(x) =., x (/2,] (b) Nezveznost omejenih integrbilnih funkcij je lhko še hujš. Z zgled si vzemimo dobro znno funkcijo f, kjer je { sin(/x), x (,] f(x) =., x = Vemo, d t funkcij v točki nim limite. Pokžimo, d je kljub temu integrbiln. Z vsk ǫ > si izberimo delitev D z lstnostjo, d je prv deliln točk enk x = ǫ/4. Ker je f zvezn n intervlu [ǫ/4,], je tm integrbiln in obstj tk delitev D intervl [ǫ/4,], d je S(f [x,];d ) s(f [x,];d ) < ǫ/2. Zdj nj bo D = {x } D delitev intervl [,]. Ker je m = in M =, immo s(f;d) = x + s(f [x,];d ) = ǫ/4 + s(f [x,];d ) in S(f;D) = x + S(f [x,];d ) = ǫ/4 + S(f [x,];d ). Torej je funkcij f integrbiln, sj je S(f;D) s(f;d) = ǫ/2 + S(f [x,];d ) s(f [x,];d ) < ǫ. Zdnji zgled je poseben primer bolj splošne zkonitosti. TRDITEV 3. Če je funkcij f omejen n [,b] in zvezn n (,b), je n zprtem intervlu [, b] integrbiln. Dokz. Nj bo m f M n [,b] in nj bo ǫ >. Izberimo tko delitev D = {x,x,...,x n,x n } intervl [,b], d je () x = x x < ǫ/4(m m) in x n = x n x n < ǫ/4(m m); (2) delitev {x,x 2,...,x n } intervl [x,x n ], n kterem je zvezn funkcij f integrbiln, tk, d je rzlik med zgornjo in spodnjo Drbouxovo vsoto n k=2 (M k m k ) x k < ǫ/2. Potem p je tudi z celoten intervl S(f;D) s(f;d) = (M m ) x + (M n m n ) x n + n k=2 (M k m k ) x k < ǫ. Po trditvi 2 in izreku to pomeni, d je funkcij f n intervlu [,b] integrbiln. 5

6 Lstnosti integrbilnih funkcij in integrl TRDITEV 4. Konstntn funkcij f(x) = c z vsk x [,b] je integrbiln in velj f(x)dx = cdx = c(b ). Dokz. Riemnnov vsot je n k= f(t k) x k = n k= c x k = c(b ), isto v limiti. TRDITEV 5. Nj bost f in g integrbilni funkciji n intervlu [,b] in α,β R poljubni konstnti. Potem je n [, b] integrbiln tudi funkcij αf + βg in velj (αf + βg)(x)dx = α f(x)dx + β g(x)dx. Dokz. Poljubno Riemnnovo vsoto z funkcijo αf + βg lhko zpišemo v obliki S(αf + βg;d,t D ) = αs(f;d,t D ) + βs(g;d,t D ). Pri dovolj drobni delitvi lev strn dobro proksimir integrl (αf + βg)(x)dx, desn strn p α f(x)dx + β g(x)dx. Opomb. Rečemo, d je določeni integrl lineren funkcionl n prostoru integrbilnih funkcij n intervlu [,b]. TRDITEV 6. Nj bo funkcij f omejen n intervlu [,b], in nj velj < c < b. Funkcij f je integrbiln n intervlu [, b] ntnko tkrt, ko je integrbiln n podintervlih [,c] in [c,b]. Poleg teg velj f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. Dokz. Če je f integrbiln n [,b] lhko z vsk ǫ > njdemo tko delitev D intervl [, b], d velj S(f; D) s(f; D) < ǫ. Lhko privzmemo, d je c en od delilnih točk (sicer jo dodmo, rzlik med zgornjo in spodnjo vsoto se pri tem le zmnjš). Potem p lhko zpišemo S(f;D) s(f;d) = k (M k m k ) x k + k (M k m k ) x k, kjer ustrez prv vsot delitvi podintervl [, c] in drug delitvi podintervl [c, b]. Ker st vsoti nenegtivni, st obe mnjši od ǫ, kr pomeni integrbilnost n vskem podintervlu posebej. Obrtno je še lžje: delitvi podintervlov, ki dst mjhno rzliko med zgornjo in spodnjo vsoto, združimo v delitev intervl [,b], in dobimo k (M k m k ) x k = k (M k m k ) x k + k (M k m k ) x k < ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ. Zdj ko vemo, d je funkcij integrbiln tudi n podintervlih, lhko po definiciji izbirmo vedno bolj drobne delitve intervl [, b], pri čemer ves čs ohrnjmo c kot eno izned delilnih točk. Ker Riemnnov integrlsk vsot rzpde v dve integrlski vsoti S(f;D,T D ) = k f(t k) x k = k f(t k) x k + k f(t k) x k = S(f [,c] ;D,T D ) + S(f [c,b] ;D,T D ), dobimo v limiti, d je integrl funkcije f po vsem intervlu [,b] enk vsoti integrlov funkcije f po obeh podintervlih [,c] in [c,b]. Opomb. Doslej smo zhtevli, d je spodnj mej integrl f(x)dx mnjš od zgornje meje b. P nj bo b <. V tem primeru definirjmo f(x)dx = b f(x)dx. Dodtno definirjmo z vsk R še f(x)dx =. Potem lhko uporbljmo formulo iz trditve 4 ne glede n to, kje leži točk c, se prvi tudi zunj intervl [,b], d je le funkcij definirn n mksimlnem intervlu (od min{, b, c} do mx{, b, c}). Če je npr. < b < c, immo po formuli iz trditve 4 relcijo c f(x)dx = f(x)dx + c b f(x)dx ozirom f(x)dx = c f(x)dx c b f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx.

Zrdi te lstnosti prvimo, d je določeni integrl ditivn funkcij integrcijskeg območj. DEFINICIJA 2. Rečemo, d je funkcij f odsekom zvezn n intervlu [, b], če obstj tk števil c i, i =,,2,...,r, d je = c < c < c 2 <... < c r = b in d je f zvezn funkcij n vskem odprtem podintervlu (c i,c i ), i =,2,...,r (glej sliko 6). Kot posledico zdnjih dveh trditev immo nslednji rezultt. 7 c = c c c 3 c =b 2 4 Slik 6 TRDITEV 7. Vsk n [,b] omejen in odsekom zvezn funkcij f je integrbiln. Dokz. Po trditvi 3 je f integrbiln n vskem podintervlu [c i,c i ], iz trditve 6 p potem sledi (s preprosto indukcijo), d je integrbiln tudi n celotnem intervlu [,b]. Opomb. Odsekom zvezn funkcij im po definiciji končno mnogo točk nezveznosti. Trditev 7 potemtkem pove, d je vsk omejen funkcij, ki im kvečjemu končno mnogo točk nezveznosti, integrbiln. Kot znimivost povejmo, d velj isto tudi z omejene funkcije, ki imjo kvečjemu števno mnogo točk nezveznosti (zto je npr. integrbiln tudi Thomejev funkcij). Še več, pokzti se d, d je omejen funkcij integrbiln ntnko tkrt, ko im množic njenih točk nezveznosti mero nič. (Rečemo, d im podmnožic A R mero nič, če z vsk ǫ > obstj tk števn - končn li neskončn - družin odprtih intervlov {(c n,d n ); n }, d je A n (c n,d n ) in d je njihov skupn dolžin n (d n c n ) < ǫ.) Vsk števn množic im mero nič. IZREK 4. Nj bo f omejen integrbiln funkcij n [,b] in g zvezn funkcij n intervlu [m,m], kjer je m = inf{f(x); x [,b]} in M = sup{f(x); x [,b]}. Potem je tudi kompozitum h = g f integrbiln funkcij n intervlu [, b]. Dokz. Če je M = m, je funkcij f konstntn, zto je konstntn tudi funkcij h in po trditvi 4 integrbiln. Nj bo M m in ǫ > poljubno pozitivno število. Oznčimo A = inf g in B = supg n intervlu [m,m] in K = b + B A >. Zrdi enkomerne zveznosti funkcije g n intervlu [m,m] obstj tk δ >, d iz u,u [m,m] in u u < δ sledi g(u) g(u ) < ǫ/k. Ker je f integrbiln n [, b], obstj tk delitev D, d je S(f; D) s(f; D) < δǫ/k. Zpišimo S(f;D) s(f;d) = k (M k m k ) x k + k (M k m k ) x k, kjer se prv vsot k nnš n tiste delilne intervle, z ktere je M k m k < δ, drug vsot k p n ostle. Ker je torej k δ x k k (M k m k ) x k S(f;D) s(f;d) < δǫ/k, dobimo k x k < ǫ/k. Oznčimo še h k = inf h in H k = suph n k-tem podintervlu delitve D. Če je t podintervl prve vrste (tko d je M k m k < δ), je z poljubn x,x iz teg intervl in z u = f(x), u = f(x ) res u u = f(x) f(x ) M k m k < δ, zto h(x) h(x ) = g(u) g(u ) < ǫ/k in potem tudi H k h k ǫ/k ozirom tudi k (H k h k ) x k (ǫ/k) k x k = (b )ǫ/k.

8 Če p je k-ti podintervl druge vrste (tko d je M k m k δ), velj H k h k B A in zto tudi k (H k h k ) x k (B A) k x k (B A)ǫ/K. Z vsk ǫ > smo torej nšli tko delitev D, d je S(h;D) s(h;d) = k (H k h k ) x k + k (H k h k ) x k (b )ǫ/k + (B A)ǫ/K = ǫ, kr pomeni, d je funkcij h integrbiln n intervlu [,b]. POSLEDICA. Če st f in g integrbilni funkciji n intervlu [,b], so n [,b] integrbilne tudi funkcije f, f n z vsk n N in fg, kjer je f (x) = f(x), f n (x) = f(x) n in (fg)(x) = f(x)g(x) z vsk x [,b]. Dokz. Funkciji u u in u u n (z n N)) st zvezni, tko d lhko uporbimo izrek 4. Poleg teg je fg = [(f + g) 2 f 2 g 2 ]/2 in zrdi trditve 5 je potem integrbiln tudi funkcij fg. Opomb. Obrt posledice ne velj: nj bo npr. f = g = χ Q, krkterističn funkcij množice rcionlnih števil. Vemo, d t funkcij ni integrbiln n nobenem intervlu, njen bsolutn vrednost in njen kvdrt p st integrbilni funkciji, sj st obe enki konstntni funkciji. TRDITEV 8. Če st f in g integrbilni funkciji n intervlu [,b] in velj f(x) g(x) z vsk x [,b], velj tudi f(x)dx g(x). Dokz. T neenkost velj z poljubno Riemnnovo vsoto S(f;D,T D ) = n k= f(t k) x k n k= g(t k) x k = S(g;D,T D ), torej tudi v limiti. Rečemo, d je določeni integrl monotoni funkcionl. POSLEDICA. Če je < b, velj f(x)dx f(x) dx. Če je > b, p velj f(x)dx f(x) dx. Dokz. Tkoj sledi iz trditve 8 ob upoštevnju opombe z trditvijo 6. POSLEDICA 2. Iz m f(x) M n [,b] sledi m b Dokz. Tudi to dobimo iz trditve 8. f(x)dx M. c b Slik 7 DEFINICIJA 3. Izrz µ = b f(x)dx imenujemo povprečn vrednost integrbilne funkcije f n intervlu [,b]. Vidimo, d leži µ med m = inf{f(x); x b} in M = sup{f; x b} (glej sliko 7). Omenimo še pomembno posledico točke 8.

TRDITEV 9. Če je f zvezn funkcij n intervlu [,b], obstj tk točk c [,b], d velj f(c) = f(x)dx. b Dokz. Povprečn vredost µ funkcije f zdošč po posledici 2 pogoju m µ M. Potem p rezultt sledi iz znneg dejstv, d zvzme zvezn funkcij n zprtem in omejenem intervlu vsko vrednost med njmnjšo in njvečjo. IZREK 5 (Prvi izrek o povprečni vrednosti). Nj bost funkciji f, g integrbilni n intervlu [,b] in nj z vsk x [,b] velj m f(x) M. Poleg teg nj bo n intervlu [, b] funkcij g povsod isteg predznk. Tedj obstj tko število µ [m, M], d velj f(x)g(x)dx = µ g(x)dx. 9 Dokz. Nj bo npr. g(x) z vsk x [,b]. Iz m f(x) M dobimo mg(x) f(x)g(x) M g(x) z vsk x [, b] in zto tudi m g(x)dx f(x)g(x)dx M g(x)dx. Če je g(x)dx =, je tudi f(x)g(x)dx = in vsk µ je dober. Če p je g(x)dx, je m f(x)g(x)dx/ g(x)dx M. Srednji ulomek oznčimo z µ, p immo m µ M in hkrti f(x)g(x)dx = µ g(x)dx. Podobno, smo z obrnjenimi neenčji, dokžemo izrek, če je g(x) z vsk x [,b]. POSLEDICA. Če je funkcij f zvezn in funkcij g integrbiln in povsod isteg predznk n intervlu [,b], obstj tko število c [,b], d je f(x)g(x)dx = f(c) g(x)dx. Dokz. Vemo, d zvzme zvezn funkcij n kompktnem intervlu [,b] vsko vrednost med m = inf{f(x); x b} in M = mx{f(x); x b}, torej tudi vrednost µ = f(x)g(x)dx/ g(x)dx iz dokz prejšnjeg izrek. Zvez med določenim in nedoločenim integrlom Rčunnje določeneg integrl po definiciji je zelo komplicirno, tudi v primeru, ko integrirmo zvezno funkcijo, zto je ugodno poznti še druge nčine. Izpeljimo osnovno povezvo med določenim in nedoločenim integrlom. IZREK 6. Nj bo f omejen integrbiln funkcij n intervlu [, b]. Definirjmo G(x) = x f(t)dt, x [,b]. Tedj je G: () zvezn funkcij zgornje meje n intervlu [,b]; (b) odvedljiv funkcij zgornje meje v vski točki x, v kteri je f zvezn funkcij, in velj G (x) = f(x). Dokz. () Hitro se lhko prepričmo, d je G(x + h) G(x) = x+h x f(t)dt, torej po posledici trditve 7 G(x + h) G(x) x+h x f(t) dt M h, kjer je M f(t) z vsk t [,b]. Odtod tkoj sledi, d je G zvezn funkcij v vski točki x [,b].

2 x+h G(x + h) G(x) (b) Izrčunjmo f(x) = (f(t) f(x))dx. Ker je funkcij f h h x zvezn v točki x, z vsk ǫ > obstj tk δ >, d velj f(t) f(x) < ǫ, čim je t x < δ. Zto lhko ocenimo G(x + h) G(x) f(x) h h x+h x f(t) f(x) dx < ǫ z vsk h < δ. To pomeni, d je limit diferenčneg kvocient funkcije G (ko h ) enk f(x). Torej je funkcij G odvedljiv v točki x in njen odvod enk G (x) = f(x). POSLEDICA. Če je f zvezn funkcij n intervlu [,b], je funkcij G, definirn s predpisom G(x) = x f(t)dt, x [,b], povsod n [,b] odvedljiv in velj G (x) = f(x) z vsk x [,b]. Torej je G je nedoločeni integrl (primitivn funkcij) zvezne funkcije f. Če je F poljuben drug nedoločeni integrl funkcije f, je kot znno, F(x) = x f(t)dt + C. Ker je F() = C, velj F(x) F() = x f(t)dt. Vstvimo točko x = b, p dobimo osnovno formulo integrlskeg rčun: f(t)dt = F(b) F(). To formulo imenujemo tudi Leibnizov formul. Včsih zpišemo krjše f(t)dt = F(x) b, kjer pomeni F(x) b = F(b) F(). To pomeni, d določeni integrl izrčunmo tko, d njprej poiščemo nedoločeni integrl (primitivno funkcijo) F, če le-t obstj, vnjo vstvimo njprej zgornjo mejo b, nto spodnjo mejo in oboje odštejemo. V zgornji posledici smo videli, d primitivn funkcij obstj z vsko zvezno funkcijo f. Z zvezne funkcije torej osnovn formul velj in njvečkrt bo to dejstvo z nše izrčune zdoščlo. Velj p z vsko integrbilno funkcijo, z ktero obstj primitivn funkcij (tj. odvedljiv funkcij F z lstnostjo F = f). IZREK 7 (Osnovni izrek integrlskeg rčun). Nj bo f tk integrbiln funkcij n intervlu [,b], ki im n [,b] primitivno funkcijo F. Tedj velj f(x)dx = F(b) F(). Dokz. Z poljubno delitev D = {x,x,...,x n } intervl [,b] lhko po Lgrngevem izreku poiščemo n odprtih intervlih (x k,x k ) tke točke t k, d velj F(x k ) F(x k ) = F (t k )(x k x k ) = f(t k ) x k. Seštejmo obe strni teh enkosti po k od do n, p dobimo F(x n ) F(x ) = n k= f(t k) x k ozirom F(b) F() = S(f;D,T D ). To velj z vsko delitev D in ustrezno izbiro podrejene množice T D. Ker vemo, d je funkcij f Riemnnovo integrbiln, konvergirjo desne strni proti integrlu f(x)dx, kkor hitro konvergir D = mx k x k proti nič. V limiti torej dobimo F(b) F() = f(x)dx. Metode z rčunnje določeneg integrl. Uporb osnovne (Leibnizove) formule. Njprej izrčunmo nedoločeni integrl, nto p vstvimo meje. ZGLED. () π sin xdx = cos x π = ( cos π) ( cos ) = 2. dx (b) 2 + x = ln(2 + x) = ln 3.

2. Metod zmenjve spremenljivke (substitucij). Če je f zvezn funkcij n intervlu [, b], ni problem. Izberemo (ne nujno monotono) zvezno odvedljivo funkcijo x = x(t), ki preslik intervl [α,β] n intervl [,b], tko d je x(α) =, x(β) = b. Dobimo f(x)dx = β α f(x(t))x (t)dt. Dokz. Ker je f zvezn funkcij n [, b], obstj po osnovnem izreku integrlskeg rčun primitivn funkcij F, tko d je F(b) F() = f(x)dx. Definirjmo funkcijo G(t) = F(x(t)) z vsk t [α,β]. Ker je F (x) = f(x) z vsk x [,b], je po verižnem prvilu tudi G (t) = f(x(t))x (t) z vsk t [α,β]. Torej je β α f(x(t))x (t)dt = G(β) G(α) = F(x(β)) F(x(α)) = F(b) F() = f(x)dx. Iz postopk vidimo nslednje: ko ndomestimo x s funkcijo x = x(t), ndomestimo tudi diferencil dx z dx = x (t)dt, tko d je f(x)dx = f(x(t))x (t)dt. ZGLED: () V integrl x + dx uvedemo substitucijo x + = t ozirom x = t 2. Dobimo dx = 2tdt, integrl p je enk 2 2 t 2 dt = 2(2 2 )/3. (b) Če v integrl I = e in dx/x = dt, dobimo I = (c) Z integrlu I = 3π dx 2+x = ln(2 + x) ln 2 x x dx uvedemo substitucijo x = et, t, ozirom ln x = t t2 dt = /3. sin t dt 2+cos t = ln 3. postvimo x = cos t, dx = sin t dt in njdemo I = Če je substitucijsk funkcij x = x(t) monoton (nrščjoč li pdjoč), velj enk formul z izrčun integrl z zmenjvo spremenljivk tudi v splošnejšem primeru. IZREK 8 (o zmenjvi integrcijske spremenljivke). Nj bo zvezno odvedljiv x = x(t) nrščjoč funkcij n intervlu [α,β] in nj preslik intervl [α,β] surjektivno n intervl [,b]. Potem je z poljubno relno funkcijo f, definirno n intervlu [,b], funkcij g(t) = f(x(t))x (t) integrbiln n [α,β] ntnko tkrt, ko je f integrbiln n [, b], in tedj velj f(x)dx = β α f(x(t))x (t)dt. Dokz. Izberimo poljubno delitev D t = {t,t,...,t n } intervl [α,β] in nj bo x k = x(t k ) z k =,,...,n. Potem definir množic D x = {x,x,...,x n } zrdi nrščnj funkcije x = x(t) delitev intervl [,b] (nektere zporedne točke x k lhko sovpdjo, tod to smo pomeni, d so v ustrezni Riemnnovi vsoti nekteri členi lhko enki nič). Riemnnov vsot z funkcijo g je enk S(g;D t,t t ) = n k= f(x(τ k))x (τ k ) t k, kjer je τ k [t k,t k ] (in zto ξ k = x(τ k ) [x k,x k ]) z vsk k. Potem p po Lgrngevem izreku z vsk k obstj tk τ k (t k,t k ), d je x(t k ) x(t k ) = x (τ k ) t k in immo tudi n n n S(f;D x,t x ) = f(ξ k ) x k = f(ξ k )(x(t k ) x(t k ) = f(x(τ k ))x (τ k ) t k. k= k= Nj bo f integrbiln funkcij n [,b]; torej je f omejen n [,b] in nj velj M = sup{ f(x) ; x [,b]}. Če odštejemo obe Riemnnovi vsoti med seboj in upoštevmo, d je funkcij x = x (t) n intervlu [α,β] enkomerno zvezn, tko d z vsk ǫ > obstj δ > z lstnostjo x (τ) x (τ ) < ǫ/(2m(β α)), če τ τ < δ, dobimo (z dovolj fino delitev D t ) pri pogoju D t < δ oceno n S(g;D t,t t ) S(f;D x,t x ) f(x(τ k )) x (τ k ) x (τ k ) t k < ǫ/2. k= k= 2

22 Ker je odvod x = x (t) zvezn in zto omejen funkcij n intervlu [α,β], immo pri dovolj mjhnem δ > tudi D x = mx x k = mx k (x(t k) x(t k )) = mx k k x (τ k ) t k mx x (τ k ) D t k tko mjhen, d velj zrdi integrbilnosti funkcije f tudi S(f;D x,t x ) f(x)dx < ǫ/2. Torej je pri tkem δ veljvn neenkost S(g;D t,t t ) f(x)dx < ǫ, kr pomeni, d je tudi funkcij g integrbiln n intervlu [α,β] in d velj f(x)dx = β α g(t)dt = β α f(x(t))x (t)dt. Iz integrbilnosti funkcije f n [, b] smo dokzli integrbilnost funkcije g n [α, β]. Obrtno pokžemo n enk nčin in izrek je dokzn. Podobno velj v primeru, ko je x = x(t) zvezno odvedljiv pdjoč funkcij n [α, β] z zlogo vrednosti [, b]. 3. Metod integrcije po delih (per prtes). Formul z integrcijo po delih je podobn kot pri nedoločenem integrlu, le d upoštevmo tudi meje: udv = uv b vdu. Poglejmo, pri kšnih pogjih n u in v velj t formul. IZREK 9. Nj bost funkciji u in v odvedljivi n intervlu [,b] in nj imt integrbiln odvod u in v. Potem st tudi funkciji uv in u v intgrbilni n [,b] in velj u(x)v (x)dx = u(x)v(x) b v(x)u (x)dx. Dokz. Ker st funkciji u in v povsod odvedljivi, st zvezni in zto tudi integrbilni n [,b]. Njun odvod u in v st po predpostvki integrbilni funkciji, zto st integrbiln tudi produkt uv in u v. Ker je (uv) = u v + uv je po osnovni formuli integrlskeg rčun (u(x)v (x) + v(x)u (x))dx = (uv) (x)dx = u(x)v(x) b, od koder sledi zrdi ditivnosti integrl zgornj formul. ZGLED. () π xsin xdx = ( xcos x)π + π cos xdx = π + sin x π = π. (b) 2 ln xdx = xln x 2 2 dx = 2ln 2. Kot zgled z uporbo itegrcije po delih izpeljimo nslednji pomembni izrek o povprečni vrednosti. IZREK (Drugi izrek o povprečni vrednosti). Nj bo f odvedljiv monoton funkcij z integrbilnim odvodom f in g poljubn zvezn funkcij n [,b]. Potem je produkt fg integrbiln funkcij n [,b] in obstj tk točk c [,b], d velj f(x)g(x)dx = f() c g(x)dx + f(b) c g(x)dx. Dokz. Ker je funkcij f odvedljiv povsod n intervlu [, b], je tm zvezn, tko d je produkt fg z zvezno funkcijo g tudi zvezen in zto integrbilen n [,b]. Nj bo G(x) = x g(t)dt, tko d je G (x) = g(x) z vsk x [,b]. Po formuli z integrcijo per prtes (z funkciji u = f in v = G) immo f(x)g(x)dx = f(x)g(x) b f (x)g(x)dx = f(b)g(b) f (x)g(x)dx. Ker je v zdnjem integrlu funkcij f (x) integrbiln in povsod isteg predznk, G p zvezn funkcij, obstj po posledici izrek 5 tk točk c [,b], d velj formul f (x)g(x)dx = G(c) f (x)dx. Seved je f (x)dx = f(b) f(), tko d immo

23 f (x)g(x)dx = (f(b) f())g(c) ozirom iskno zvezo: f(x)g(x)dx = f(b)g(b) (f(b) f())g(c) = f()g(c) + f(b)(g(b) G(c)). POSLEDICA. Nj bo funkcij f nenegtivn in odvedljiv z integrbilnim odvodom, funkcij g p zvezn povsod n intervlu [,b]. () Če je f pdjoč n [,b], obstj tk točk d [,b], d velj f(x)g(x)dx = f() d g(x)dx. (b) Če je f nrščjoč n [,b], obstj tk točk d [,b], d velj f(x)g(x)dx = f(b) d g(x)dx. Dokz. () V dokzu izrek smo videli, d z neko točko c [,b] velj f(x)g(x)dx = f(b)g(b) (f(b) f())g(c) = f(b)g(b) + (f() f(b))g(c). Nj bo m = ming(x) in M = mxg(x) n intervlu [,b]. Potem je zrdi zdnje enkosti mf() f(x)g(x)dx Mf(). Če je f() =, je zrdi nenegtivnosti in pdnj funkcije f tudi f(b) =, tko d je f(x)g(x)dx = in iskn formul velj z poljuben d. Če p je f() >, je m f() f(x)g(x)dx M in zrdi zveznosti funkcije G obstj tk točk d [,b], d je G(d) = f() f(x)g(x)dx ozirom f(x)g(x)dx = f() d g(x)dx (točk ()). Z dokz točke (b) rvnmo enko, le nmesto G(x) = x g(t)dt vzmemo kot primitivno funkcijo z g funkcijo G(x) = x b g(t)dt. ZGLED. Nj bo < < b, p >, f(x) = /x p in g(x) = sin x. Tedj je po točki () zgornje posledice z neko število d [,b] se prvi, d velj ocen sin x x p dx = p d Numerično rčunnje določenih integrlov sinxdx = p(cos cos d), sin x x p dx 2 p. T ocen nm bo prišl prv ksneje. Ogledli si bomo dve osnovni metodi z numerično (približno) rčunnje določenih integrlov. Osnovn idej je pri obeh metodh ist: integrnd proksimirmo s funkcijo, ktere integrl je preprosto izrčunti. f(x ) k- f(x ) k x k- x k b Slik 8

24 (A) Trpezn metod. Rzdelimo intervl [, b] n n enkih delov, tko d je dolžin vskeg od njih enk h = (b )/n. Delilne točke so x k = + kh, k =,,2,...,n, pri čemer je x = in x n = b. N vskem podintervlu [x k,x k ] proksimirjmo integrbilno funkcijo f z linerno funkcijo f k (x) = f(x k ) + (f(x k ) f(x k ))(x x k )/h, integrl xk x k f(x)dx p z integrlom (linerne funkcije) xk x k f k (x)dx = h(f(x k ) + f(x k ))/2 (z f(x k ),f(x k ) > je to ploščin trpez, odtod ime metode). Približek z integrl po celotnem intervlu [,b] dobimo potem kot vsoto integrlov po posmeznih podintervlih: f(x)dx n h(f(x k +f(x k ))/2 = h 2 (f(x )+2f(x )+2f(x 2 )+...+2f(x n )+f(x n )) k= ozirom, če rje pišemo y k = f(x k ) z k =,,2,...,n f(x)dx n h(y k + y k )/2 = h 2 (y + 2y + 2y 2 +... + 2y n + y n ). k= Zgornjo formulo imenujemo trpezn formul; spd med njbolj preproste formule z numerično integrirnje funkcij, ki jim s skupnim izrzom rečemo kvdrturne formule. Izpeljimo še oceno npke, ki jo nredimo pri uporbi trpezne formule z dovolj gldko funkcijo. IZREK. Nj bo f dvkrt zvezno odvedljiv funkcij n intervlu [,b] in A n = h 2 (f(x )+ 2f(x ) + 2f(x 2 ) +... + 2f(x n ) + f(x n )) desn strn trpezne formule pri enkomerni rzdelitvi intervl [,b] n n enkih delov, tko d je h = (b )/n. Potem velj ocen: A n f(x)dx h2 (b ) 2 mx f (b )3 (x) = x b 2n 2 mx f (x). x b Dokz. Nj bo F(x) = x f(t)dt z vsk x [,b] ter B k = h(f(x k ) + f(x k ))/2 F(x k ) + F(x k ) in c k = (x k + x k )/2 z vsk k =,2,...,n. Definirjmo funkcijo G k (t) = t(f(c k + t) + f(c k t)) F(c k + t) + F(c k t) 8B k t 3 /h 3. Opzimo, d je G k () = in G k (h/2) = h(f(x k )+f(x k ))/2 F(x k )+F(x k ) B k =. Po Rolleovem izreku obstj tk točk d k (,h/2), d je G k (d k) =. Ker je G k (t) = t(f (c k + t) f (c k t)) 24B k t 2 /h 3, immo = G k (d k) = d k (f (c k + d k ) f (c k d k )) 24B k d 2 k /h3. Odtod lhko izrzimo B k in z upoštevnjem Lgrngeveg izrek obstj tk točk t k (c k d k,c k + d k ), d je B k = h3 2d k ((f (c k + d k ) f (c k d k )) = h3 2 f (t k ) in zto B k h 3 mx x b f (x) /2. Ker je A n f(x)dx = (h/2) n k= (f(x k ) + f(x k )) n xk k= x k f(x)dx = n k= (h(f(x k) + f(x k ))/2 F(x k ) + F(x k ) = n k= B k, velj ocen n A n f(x)dx B k nh3 2 mx f (x) = h2 (b ) mx x b 2 f (x) = x b k= (b ) 3 2n 2 mx f (x). x b

25 ZGLED. Izrčunjmo npr. po trpezni metodi približno vrednost integrl dx + x = ln 2 n dve decimlki ntnčno. Ker je sedj f (x) = 2/( + x) 3 in mx x b f (x) = 2, mormo zrdi ocene npke A n (b )3 f(x)dx mx 2n 2 x b f (x) = /6n 2 vzeti n 6, če želimo, d je npk pod.5. Pri n = 6 immo x =, x = /6, x 2 = /3, x 3 = /2, x 4 = 2/3, x 5 = 5/6 in x 6 = ter y =, y = 6/7 =.857, y 2 = 3/4 =.75, y 3 = 2/3 =.6667, y 4 = 3/5 =.6, y 5 = 6/ =.5455 in y 6 = /2 =.5. Trpezn formul z n = 6 nm torej d približek A 6 = (.+.742+.5+.3334+.2+.9+.5)/2 = 8.3386/2 =.6949. Prv vrednost je.693, npk p mnjš od.2. (B) Simpsonov metod. Tudi zdj rzdelimo intervl [, b] n enke podintervle, vendr jih mor biti 2n (sodo mnogo) in so dolžine h/2, kjer je kot prej h = (b )/n. Pri tej metodi proksimirmo n vskem pru sosednjih podintervlov funkcijo f s kvdrtno funkcijo f k (x) = α k (x x 2k 2 ) 2 +β k (x x 2k 2 )+γ k, kjer koeficiente α k, β k in γ k določimo tko, d je f k (x 2k 2 ) = f(x 2k 2 ) = y 2k 2, f k (x 2k ) = f(x 2k ) = y 2k ) in f k (x 2k ) = f(x 2k ) = y 2k. Ti trije pogoji pomenijo, d je y 2k 2 = γ k, 4y 2k = α k h 2 + 2β k h + 4γ k in y 2k = α k h 2 + β k h + γ k ; z njimi so koeficienti α k, β k in γ k enolično določeni. Integrl x k x k f(x)dx se pri tem proksimir z integrlom kvdrtne funkcije x2k x 2k f k (x)dx = h (α k t 2 + β k t + γ k )dt = α k h 3 /3 + β k h 2 /2 + γ k h = h 6 (2α kh 2 + 3β k h + 6γ k ) = h 6 (y 2k 2 + 4y 2k + y 2k ). Če to storimo z vsk k =,2,...,n in vse skupj seštejemo, dobimo proksimcijo integrl funkcije f n vsem intervlu [,b]: n f(x)dx h(y 2k 2 + 4x 2k + y 2k )/6 = k= h 6 (y + 4y + 2y 2 + 4y 3 + 2y 4 +... + 2y 2n 2 + 4y 2n + y 2n ). To je t.i. Simpsonov kvdrturn formul. Je zelo ntnčn in že pri mjhnih vrednostih z n dje dobre približke. Brez dokz povejmo, d velj z npko R n ocen R n (b )5 288n 4 mx x b f(4) (x). ZGLED. Pri rčunnju prejšnjeg integrl dx +x = ln 2 po Simpsonovi formuli zdošč vzeti n = 2, sj je po zgornji oceni npk mnjš od 2/(288 6).4. Po Simpsonu dobimo dx + x h 2 (y + 4y + 2y 2 + 4y 3 + y 4 ) = ( + 6/5 + 4/3 + 6/7 + /2)/2.6932. Opomb. Numerično sicer rčunmo integrle, ki se jih ne d izrziti z elementrnimi funkcijmi, npr. I = e x2 /2. Po trpezni formuli dobimo pri n = 5 približek I.8536, Simpsonov formul p nm d že pri n = 2 približek I.8557. Prv vrednost je I =.8556 (glej [2]).