Šolski center Velenje Višja strokovna šola Velenje Trg mladosti 3, 33 Velenje Računalniško vodeni procesi I Osnove višješolske matematike Interno gradivo - druga, popravljena izdaja Robert Meolic. september 7
Predgovor Pred vami je skripta, ki podaja osnove višješolske matematike. Poznavanje tega področja se npr. zahteva pri predmetu Računalniško vodeni procesi v programu Informatika. Snov obsega 3 osnovnih poglavij, ki jim sledi daljše 4. poglavje. V zadnjem poglavju na kratko pregledamo nekoliko težjo snov, ki je podrobno razložena v učbenikih za tehnične visoke strokovne šole. Skripta se zaključi s primeri nalog iz pisnega dela izpita in s spiskom vprašanj za ustni zagovor. Ugotovili boste, da računske naloge ne pokrivajo celotne snovi. Za približno četrtino snovi je namreč dovolj, da znate razložiti teorijo. Če pogledate v kazalo, boste hitro ugotovili, da matematika niso samo realne funkcije, po drugi strani pa brez njih ne gre. Realnim funkcijam in drugim temam iz tako imenovane matematične analize je posvečenih prvih šest poglavij. Sledi predstavitev osnovnih tehnik numerične matematike. Osmo in deveto poglavje sta iz linearne algebre, deseto pa podaja uvod v moderno statistiko. Sledi poglavje namenjeno metodam optimizacije, ki pa je le skica brez prevelikih podrobnosti. Žal za ta izredno koristen del matematike v učnem načrtu ni dovolj časa, zato bo tisti, ki bi želel reševati realne optimizacijske probleme, gotovo moral poseči po specializiranih knjigah. Enako velja tudi za poglavji o številskih sistemih in preklopnih funkcijah, ki spadata v diskretno matematiko. Zakaj so v skripti ravno ta poglavja? Odgovor je preprost in vas lahko motivira pri učenju. Poleg učnega načrta, ki podaja osnovne smernice, sem se pri izbiri snovi zgledoval po modernih kalkulatorjih. Oglejte si npr. sliko kalkulatorja SHARP EL-56W na koncu predgovora (izbran čisto naključno in ni nujno, da sami uporabljate ravno tega). V zgornji vrsti so tipke sin, cos, tan, sin, cos, tan. To so kotne funkcije. V zgornjem delu imamo tudi x, x 3,, 3, x (potenčne funkcije), y x, x, e x (eksponentne funkcije) ter log in ln (logaritemski funkciji). Tipka DEG preklaplja med stopinjami in radiani. Nad številkami so napisi n, Σx, Σx, Σxy, Σy, Σy, x, sx,, σx, ȳ, sy in σy. Te funkcije uporabljamo pri statistiki. Nad oklepajema so črke a, b in r. Uporabljamo jih pri izračunu linearne regresije. Desno spodaj so napisi HEX, BIN, DEC in OCT. Z njimi pretvarjamo med različnimi številskimi sistemi. Če preklopimo na šestnajstiški sistem, ki ga pogosto uporabljajo računalnikarji, potrebujemo črke od A do F v drugi vrsti zgoraj. Funkcije NOT, AND, OR, XOR in XNOR so preklopne funkcije. Tipka ANS je značilna za kalkulatorje z algebraičnim vnosom (pri njih matematične izraze vnašamo od leve na desno tako, kot so zapisani na papirju) in nam npr. koristi pri numeričnih metodah za iskanje ničle. V sredini tipkovnice najdemo tipke i, z, rθ in xy. Z njihovo pomočjo računamo s kompleksnimi števili. Kalkulator zna celo numerično integrirati (tipka dx) in računati z matrikami (ni prikazano na tipkovnici). Skratka, zna (skoraj) vse, o čemer govori tale skripta. Ali drugače povedano, študent, ki bo skripto naštudiral, bo razumel in koristno uporabljal vse tipke na današnjih znanstvenih kalkulatorjih. Verjetno se strinjate, da se za vsakega inženirja tehnike spodobi, da pozna vsaj toliko matematike kot dobrih vreden kalkulator. Pričujoča skripta ne more biti priročnik za prave inženirske probleme. Ko odgovora ne najdete v skripti, odprite Bronštejnov Matematični priročnik. Da se boste lažje znašli tam, so v vsakem poglavju podane strani, kje obravnavano snov najdete v Bronštejnu. i
Pa še kratko pojasnilo. To je druga, popravljena različica skripte. Opozoril bi predvsem na spremembe v poglavju o statistiki, kjer je bilo v prvi verziji čuda napak. Žal so nekatera poglavja še vedno pomanjkljivo napisana, na koncu skripte pa del razlage celo manjka. Seveda pa napake v skripti in njene pomanjkljivosti ne morejo biti razlog za vaše neznanje, zato le skrbno sledite predavanjem ter vajam in si delajte svoje zapiske. Robert Meolic ii
Linux, Latex, Texmaker in Gnuplot Pisanje matematičnih tekstov je izziv zaradi velike količine raznih simbolov, enačb, tabel, matrik in grafov. Nihče ne zna tega kar stresti iz rokava. Po drugi strani pa se študenti tehnike ne bi smeli bati pisanja matematičnih besedil in uporabe matematičnih računalnikih orodij. Pričujoča skripta je nastala na sistemu Linux (distribucija Edubuntu) s programom LaTeX. Uporabljen je bil urejevalnik besedil Texmaker v.5. Grafi so narisan z orodjem Gnuplot v4.. Vsa uporabljena programska oprema je brezplačna. Gnuplot je zmogljivo orodje za risanje grafov. Program, s katerim smo npr. narisali sliko., se glasi takole: set terminal postscript eps color solid; set output graf--.eps ; set grid;set zeroaxis linetype -;set size.; set xrange[-4:4];set yrange[-3:3]; plot x** lw 4,x** lw 4,x**3 lw 4; 3 x** x** x**3 - - -3-4 -3 - - 3 4 Več informacij najdete na internetu: http://www.edubuntu.org/ http://en.wikipedia.org/wiki/latex http://www.xmmath.net/texmaker/index.html http://www.gnuplot.info/ iii
iv
KAZALO FUNKCIJE. Uvod..................................... Potenčna funkcija.............................. 3.3 Eksponentna funkcija............................ 8.4 Logaritemska funkcija........................... 9.5 Kotne funkcije.................................6 Linearna funkcija...............................7 Kvadratna funkcija............................. 3.8 Polinomska funkcija............................ 4.9 Racionalna funkcija............................. 5 ODVODI 9. Definicija in notacija............................ 9. Pravila za odvajanje..............................3 Odvodi elementarnih funkcij.........................4 Uporaba odvoda pri računanju kotov.....................5 Uporaba odvoda pri računanju približkov................. 3.6 Uporaba odvoda pri risanju funkcij..................... 4.7 Uporaba odvoda v fiziki........................... 9 v
KAZALO KAZALO 3 NEDOLOČENI INTEGRALI 3 3. Definicija in notacija............................ 3 3. Integrali elementarnih funkcij........................ 3 3.3 Pravila za integriranje............................ 3 3.4 Metoda substitucije............................. 3 3.5 Integriranje racionalnih funkcij....................... 34 4 DOLOČENI INTEGRALI 37 4. Definicija in notacija............................ 37 4. Newton-Leibnitzova formula........................ 39 4.3 Posplošeni integrali............................. 4 5 LIMITE 4 5. Definicija in notacija............................ 4 5. Pravila za računanje limit.......................... 4 5.3 Uporaba limite za računanje odvodov................... 45 5.4 Uporaba limite za računanje posplošenih integralov............ 45 6 TAYLORJEVA IN FOURIERJEVA VRSTA 47 6. Dotik funkcij................................ 47 6. Taylorjeva vrsta............................... 48 6.3 Fourierjeva vrsta.............................. 5 7 NUMERIČNA MATEMATIKA 55 7. Iskanje ničel................................. 55 7. Vrednost polinoma in njegovih odvodov v dani točki........... 64 7.3 Numerična integracija............................ 65 8 MATRIKE 69 8. Notacija................................... 69 8. Osnovne operacije z matrikami....................... 7 8.3 Determinanta matrike............................ 7 8.4 Inverzna matrika.............................. 74 8.5 Matrične enačbe............................... 78 vi
KAZALO KAZALO 9 SISTEMI LINEARNIH ENAČB 8 9. Uvod.................................... 8 9. Pretvorba v matrično enačbo........................ 8 9.3 Gaussova eliminacija............................ 8 9.4 Cramerjeva metoda............................. 83 STATISTIKA 85. Opredelitev problema............................ 85. Grupiranje in prikazovanje izmerjenih podatkov.............. 86.3 Statistični parametri............................. 89.4 Porazdelitvene funkcije........................... 9.5 Test hi-kvadrat (χ )............................. 9.6 Preizkus normalne porazdelitve....................... 9.7 Testiranje vpliva............................... 94 OPTIMIZACIJA 97. Matematične neenačbe........................... 97. Sistemi linearnih neenačb...........................3 Linearna optimizacija.............................4 Primeri nalog s področja optimizacije................... 6 ŠTEVILSKI SISTEMI 9. Pretvorbe med sistemi............................ 9. Uporaba dvojiškega sistema v računalništvu.................3 Predstavitev negativnih števil........................ 3 PREKLOPNE FUNKCIJE 3 3. Uvod.................................... 3 3. Osnovne preklopne funkcije........................ 3 3.3 Dvočlene preklopne funkcije........................ 5 3.4 Popolna disjunktivna normalna oblika................... 6 3.5 Minimizacija preklopnih funkcij...................... 6 vii
KAZALO KAZALO 4 DODATNA SNOV 9 4. Kotne funkcije................................ 9 4. Krožne funkcije............................... 6 4.3 Integriranje po delih............................. 8 4.4 Implicitno podane funkcije......................... 9 4.5 Parametrično podane funkcije....................... 3 4.6 Funkcije dveh neodvisnih spremenljivk.................. 35 4.7 Diferencialne enačbe............................ 37 4.8 Linearna regresija.............................. 38 4.9 Kompleksna števila............................. 4 5 ZBIRKA NALOG 45 6 VPRAŠANJA 53 viii
POGLAVJE FUNKCIJE Matematični priročnik, str. -3, 6-9, 34-37, 46-65. Uvod Osnova moderne matematike so množice. Množica je skupek reči, ki jim pravimo elementi množice. Množice označujemo z velikimi črkami. elemente pa z majhnimi črkami. Primeri: A = {,, 3} B = {, } množica A ima 3 elemente množica B ima elementa A, 4 A pripada, ne pripada Množica lahko ima neskončno število elementov, npr. množica sodih števil. Osnovne številske množice imajo svoje oznake: Æ - naravna števila:,, 3, 4,... - cela števila:,,,,,... É - racionalna števila:, 3,, 4, 3 4, 5 4,... Ê - realna števila:, 3,π,...
.. UVOD POGLAVJE. FUNKCIJE S pomočjo teh oznak lahko zapišemo številne številske množice, npr.: S = {x x = k,k Æ} Oznaka za neskončno je, vendar moramo biti pri uporabi tega znaka zelo previdni, ker ni število! Kartezični produkt dveh množic je množica parov: A B = {(, ), (, ), (, ), (, ), (3, ), (3, )} Relacijo je podmnožica označimo s simboloma in. Interval je podmnožica realnih števil. Primeri: [a,b] = {x x Ê,a x b} (a,b) = {x x Ê,a < x < b} [a,b) = {x x Ê,a x < b} zaprt interval odprt interval delno odprt interval oz. delno zaprt interval Preslikava množice A v množico B je predpis, ki vsakemu elementu iz množice A priredi natančno določen element iz množice B. Definiramo jo lahko kot: f : A B, kjer je A definicijsko območje preslikave, B pa zaloga vrednosti preslikave, f : a b, a b,..., kjer so a,a,... elementi, ki se preslikujejo, b,b,... pa njihove slike. Preslikave oblike A Ê, kjer je A Ê, imenujemo realne funkcije. Upodobitev realne funkcije v kartezičnem sistemu imenujemo graf realne funkcije. Realne funkcije, ki jih znamo zapisati s formulo, so elementarne funkcije. Osnovne elementarne funkcije so: potenčna funkcija, eksponentna funkcija, logaritemska funkcija, kotne (trigonometrijske) funkcije. Najbolj znane sestavljene elementarne funkcije so: linearna funkcija, kvadratna funkcija, polinomska funkcija, racionalna funkcije.
POGLAVJE. FUNKCIJE.. POTENČNA FUNKCIJA. Potenčna funkcija Potenčna funkcija ima obliko y = x a,a Ê. Naloge: Skiciraj funkcije y = x,y = x,y = x 3 3 x** x** x**3 - - -3-4 -3 - - 3 4 Skiciraj funkcije y = x,y = x,y = x 6 5 x** x** x**6 4 3 - -4-3 - - 3 4 3
.. POTENČNA FUNKCIJA POGLAVJE. FUNKCIJE Skiciraj funkcije y = x,y = x 3,y = x 7 x** x**3 x**7 - - -3 - - 3 Skiciraj funkcije y = x,,y = x,5,y = x,8 3 x**. x**.5 x**.8.5.5.5.5.5.5 3 3.5 4 4
POGLAVJE. FUNKCIJE.. POTENČNA FUNKCIJA Skiciraj funkcije y = x,,y = x,5,y = x,5 3 x**. x**.5 x**.5.5.5.5.5.5.5 3 3.5 4 Skiciraj funkcije y = x,y = x 3,y = x 7 3 x**- x**-3 x**-7 - - -3-4 -3 - - 3 4 5
.. POTENČNA FUNKCIJA POGLAVJE. FUNKCIJE Skiciraj funkcije y = x,y = x 4,y = x 6 x**- x**-4 x**-6.5.5 -.5 - - -.5 - -.5.5.5 Skiciraj funkcije y = x,,y = x,5,y = x,8 3 x**-. x**-.5 x**-.8.5.5.5.5.5.5 3 3.5 4 6
POGLAVJE. FUNKCIJE.. POTENČNA FUNKCIJA Skiciraj funkcije y = x,,y = x,5,y = x,5 3 x**-. x**-.5 x**-.5.5.5.5 Pojasnilo:.5.5.5 3 3.5 4 y = x,5 = x,5 = x = y = x,5 = x,5 = x 3 x = x 3 = x 3 V splošnem je definicijsko območje potenčnih funkcij nadmnožica intervala (, ). Funkcije y = x,y = x 4,y = x,y = x 4,... so sode funkcije (simetrične na os y). Funkcije y = x,y = x 3,y = x,y = x 3,... so lihe funkcije (simetrične na y = x). 7
.3. EKSPONENTNA FUNKCIJA POGLAVJE. FUNKCIJE.3 Eksponentna funkcija Eksponentna funkcija ima obliko y = a x,a Ê,a >. Naloge: Skiciraj funkcije y =, 5 x,y = x,y = 3 x 5.5**x **x 3**x 4 3 - -4-3 - - 3 4 Skiciraj funkcije y =, x,y =, 5 x,y =, 8 x 5.**x.5**x.8**x 4 3 - -4-3 - - 3 4 8
POGLAVJE. FUNKCIJE.4. LOGARITEMSKA FUNKCIJA.4 Logaritemska funkcija Logaritemska funkcija ima obliko y = log a x,a Ê,a >,a. Naloge: Skiciraj funkcije y = log x,y = log 3 x,y = log 5 x 3 log(x)/log() log(x)/log(3) log(x)/log(5) - - -3 - - 3 4 5 6 Skiciraj funkcije y = log, x,y = log,5 x,y = log,8 x 3 log(x)/log(.) log(x)/log(.5) log(x)/log(.8) - - -3 - - 3 4 5 6 Izračunaj vrednosti naslednjih logaritmov: log, log 5, log 3 domača naloga 9
.5. KOTNE FUNKCIJE POGLAVJE. FUNKCIJE.5 Kotne funkcije Osnovne kotne funkcije so y = sinx, y = cosx in y = tg x. 3 sin(x) cos(x) tan(x) - - -3-3 - - 3 V splošni obliki sinusno funkcijo zapišemo kot y = A sin(ω x + ϕ), kjer je: A - amplituda, ω - frekvenca in ϕ - fazni premik (+ϕ = levo, ϕ = desno) Naloge: Skiciraj funkcijo y = sin x 3 sin(x) *sin(x) - - -3-4 -3 - - 3 4
POGLAVJE. FUNKCIJE.5. KOTNE FUNKCIJE Skiciraj funkcijo y = sin( x) 3 sin(x) sin(*x) - - -3-4 -3 - - 3 4 Skiciraj funkcijo y = sin(x + π ) 3 sin(x) sin(x+(pi/)) - - -3-4 -3 - - 3 4
.6. LINEARNA FUNKCIJA POGLAVJE. FUNKCIJE Skiciraj funkcijo y = sin( x + π ) 3 sin(x) *sin(*x+(pi/)) - - -3-4 -3 - - 3 4.6 Linearna funkcija Linearna funkcija ima obliko y = ax +b, a, b Ê. Koeficient a vpliva na strmino premice, koeficient b pa na presečišče z osjo y. Naloga: Skiciraj funkciji y = x +,y = x + 6 *x+ -*x+ 4 - -4-6 -8-6 -4-4 6 8
POGLAVJE. FUNKCIJE.7. KVADRATNA FUNKCIJA.7 Kvadratna funkcija Kvadratna funkcija ima obliko y = ax + bx +c,a,b,c Ê,a. Obliko kvadrante funkcije določimo glede na vodilni koeficient a in glede na vrednost diskriminante D = b 4 ac. Ekstrem kvadratne funkcije je točka (p, q), ki jo imenujemo teme in jo izračunamo kot p = b a, q = D 4a. Naloge: Skiciraj funkcije y = x + x +,y = x x +, y = x 4x + 8 6 x**+*x+ x**-*x+ x**-4*x+ 4 - -4-6 -4-4 6 8 Skiciraj funkcije y = x + x,y = x + x, y = x + 3x + 4 8 6 -x**+x- -x**+*x- -x**+3*x+4 4 - -4-6 -8 - -5 5 3
.8. POLINOMSKA FUNKCIJA POGLAVJE. FUNKCIJE.8 Polinomska funkcija Polinomska funkcija stopnje n ima obliko y = a n x n + a n x n +... + a x + a,a i Ê,a n. Daleč od osi y se polinomska funkcija obnaša približno tako, kot če bi vse koeficiente a i, razen a n, postavili na. Naloge: Skiciraj funkciji y = x 4 3x x +,y = x 3 + x + x + 4 x**4-3*x**-x+ -x**3+x**+x+ 3 - - -3-4 -6-4 - 4 6 Skiciraj funkcije y = x 3 + x,y = x 4 x 3,y = x 4 + x 3 x**3+x** x**4-x**3 -x**4+x** - - -3-4 -3 - - 3 4 4
POGLAVJE. FUNKCIJE.9. RACIONALNA FUNKCIJA Točke, v katerih funkcija seka os x imenujemo ničle funkcije. Ničle polinomske funkcije lahko določimo na različne načine:. Po formuli (za polinomske funkcije do vključno tretje stopnje). Z razčlenjevanjem 3. S pomočjo Hornerjevega algoritma 4. Z numeričnimi metodami.9 Racionalna funkcija Racionalna funkcija ima obliko y = P(x), kjer sta P(x) in Q(x) polinomski funkciji. Q(x) Pri racionalnih funkcijah določamo: ničle - so enake ničlam polinomske funkcije v števcu, pole - so enaki ničlam polinomske funkcije v imenovalcu, asimptoto - dobimo jo z deljenjem polinomov in presečišče z osjo y - dobimo ga tako, da vstavimo x =. Ničle in poli so lahko lihe ali pa sode stopnje. Naloge: Skiciraj funkcijo y = x x + Ničla: + (prve stopnje) Pol: (prve stopnje) Asimptota: y = Presečišče z y: y = 8 (*x-)/(x+) 6 4 - -4-6 -8 - -5 5 5
.9. RACIONALNA FUNKCIJA POGLAVJE. FUNKCIJE Skiciraj funkcijo y = x 4 x + x + Ničle:, + (obe ničli prve stopnje) Pol: (druge stopnje) Asimptota: y = Presečišče z y: y = 4 = (x )(x + ) (x + ) 8 (x**-4)/(x**+*x+) 6 4 - -4-6 -8 - -5 5 Skiciraj funkcijo y = x + 7x + x + Ničle: 3, 4 (obe ničli prve stopnje) Pol: (prve stopnje) Asimptota: y = x + 5 Presečišče z y: y = 6 = (x + 3)(x + 4) x + (x**+7*x+)/(x+) x+5 8 6 4 - -4-6 -5 - -5 5 6
POGLAVJE. FUNKCIJE.9. RACIONALNA FUNKCIJA Skiciraj funkcijo y = x x + x + Ničla: + (druge stopnje) Pol: (prve stopnje) = (x )(x ) (x + ) Asimptota: y = x 3 Presečišče z y: y = 8 (x**-*x+)/(*x+) (./.)*x-(3./.) 6 4 - -4-6 -8 - -5 5 Skiciraj funkcijo y = x x x + domača naloga 7
.9. RACIONALNA FUNKCIJA POGLAVJE. FUNKCIJE 8
POGLAVJE ODVODI Matematični priročnik, str. 7-76, 78-8. Definicija in notacija Odvod funkcije v dani točki nam pove, kako strma je funkcija v tej točki. y y y y x x x x Ugotovitev s slike zapišemo s formulo: f (x) = y x = y y x = f(x + x) f(x) x Če je graf funkcije neravna krivulja, je rezultat te formule odvisen od velikosti x in je le približek prave vrednosti. Manjši kot je x, boljši približek dobimo. Natančen rezultat dobimo, če v formulo vpeljemo limito: f (x) = lim x f(x + x) f(x) x = f(x + dx) f(x) dx 9
.. PRAVILA ZA ODVAJANJE POGLAVJE. ODVODI V zvezi z odvodom uporabljamo različne simbole. Naj bo y = f(x). Potem lahko zapišemo: f (x) = y = dy dx = d dx y Če naredimo odvod večkrat zapored, dobimo odvode višjih stopenj. f (x) = y = d d dx dx y = d dx y = d y dx Primera: Zapis d dx (x3 + ) pomeni odvod funkcije f(x) = x 3 +. Zapis d dx (x3 + ) pomeni drugi odvod funkcije f(x) = x 3 +. Člen dy = f (x) dx imenujemo diferencial funkcije f(x) in nam pove, za koliko se spremeni vrednost funkcije, če se pomaknemo za malenkost v levo oz. desno. Odvod funkcije je tudi funkcija! Izračunamo jo tako, da rešimo limito. Ker je to težavno, si pomagamo s pravili za odvajanje in tabelo odvodov elementarnih funkcij.. Pravila za odvajanje. y = c f(x) y = c f (x). y = f(x) ± g(x) y = f (x) ± g (x) 3. y = f(x) g(x) y = f (x) g(x) + f(x) g (x) 4. y = f(x) g(x) y = f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) g(x) 5. y = f(g(x)) y = f (g(x)) g (x) Naloge: Odvajaj y = x y = x Odvajaj y = x 3 y = 3x Odvajaj y = x + x 3 y = x + 3x
POGLAVJE. ODVODI.3. ODVODI ELEMENTARNIH FUNKCIJ Odvajaj y = x x 3 y = x x 3 + x 3x = x 4 + 3x 4 = 5x 4 Odvajaj y = x x 3 y = x x3 x 3x = x4 3x 4 x 3 x 3 x 6 Odvajaj y = (x 3 ) y = (x 3 ) 3x = 6x 5 = x4 x 6 = x.3 Odvodi elementarnih funkcij. y = x a y = a x a. y = a x y = a x ln a a >,a 3. y = log a x y = x ln a 4. y = sinx y = cos x 5. y = cos x y = sin x a >,a Naloge: Odvajaj y = x = x y = x = x Odvajaj y = x = x y = x = = x x Odvajaj y = x y = x ( ) = x Odvajaj y = x x y = x + x x Odvajaj y = x x + domača naloga Odvajaj y = sin x domača naloga =... = 3x x
.4. UPORABA ODVODA PRI RAČUNANJU KOTOV POGLAVJE. ODVODI.4 Uporaba odvoda pri računanju kotov Kot ϕ, pod katerim premica y = k x + n seka os x izračunamo iz formule tg ϕ = k. Če krivulja f(x) seka os x v točki x, potem je kot ϕ med to krivuljo in osjo x enak kotu med tangento na to krivuljo v točki x in osjo x. Izpeljemo lahko naslednji izrek: Če krivulja f(x) seka os x v točki x, potem za kot ϕ med to krivuljo in osjo x velja formula tg ϕ = f (x ). Če se krivulji f(x) in g(x) sekata v točki x, potem je kot med krivuljama v tem presečišču enak kotu med tangentama na ti dve krivulji v točki x. Naloge: Pod kakšnim kotom seka os x parabola y = x + x? Najprej izračunamo točke, v katerih parabola seka os x. Najdemo taki točki: x, = ± 8 4 x =, x =, 5 y = 4x + y (x ) = 9, y (x ) = 9 tg ϕ = 9 ϕ = 83, 66 = 83 39 35 tg ϕ = 9 ϕ = 83, 66 = 96, 34 = 96 5 5 *(x**)+x- 9*x-8-9*x-.5 5-5 - - -5 5
POGLAVJE. ODVODI.5. UPORABA ODVODA PRI RAČUNANJU PRIBLIŽKOV Pod kakšnim kotom se sekata krivulji y = x in y = x 4? Dani krivulji se sekata v točki x =. y = x y = 4x 3 tg ϕ = ϕ = 63, 43 tg ϕ = 4 ϕ = 75, 96 ϕ ϕ =, 53 x** x**4 *x- 4*x-3.5.5 -.5 - - -.5 - -.5.5.5.5 Uporaba odvoda pri računanju približkov Če v definicijo odvoda namesto spremenljivke x vstavimo neko določeno točko x dobimo naslednjo formulo: f(x + dx) = f(x ) + f (x ) dx Formula je pravilna le, če je dx neskončno majhen. Če temu ni tako, dobimo naslednjo formulo, ki ni enakost a je kljub temu uporabna: f(x + x) f(x ) + f (x ) x 3
.6. UPORABA ODVODA PRI RISANJU FUNKCIJ POGLAVJE. ODVODI Naloge: Izračunaj 6 65 Za funkcijo f(x) = 6 x poznamo natančno vrednost v točki x = 64 in sicer 6 64 =. f(x) = 6 x = x 6 f (x) = 6 x 5 6 = 6 ( 6 x) 5 f(65) = f(64 + ) x = 64, x = f(64 + ) f(64) + f (64) = + 6 Točna vrednost: 6 65 =, 57 =, 5 3 Določi približek za a + k, kjer je k precej manjše število od a Vzamemo f(x) = x, x = a in x = k. f (x) = x f(x + x) f(x ) + f (x ) x a + k a + a k = a + k a Primer uporabe:, 8 6, 8 4 + = 4, 8 Točna vrednost: 6, 8 = 4, 999.6 Uporaba odvoda pri risanju funkcij Če poznamo eno točko na funkciji in odvod funkcije v vseh točkah, lahko to funkcijo v celoti narišemo z izbrano natančnostjo. Odvod pa lahko uporabimo pri risanju funkcij tudi na druge načine. Če je odvod funkcije v neki točli enak nič, potem je tangenta v tej točki vodoravna. Takšne točke imenujemo stacionarne točke in jih delimo na: minimum maksimum in prevoj. 4
POGLAVJE. ODVODI.6. UPORABA ODVODA PRI RISANJU FUNKCIJ 6 4 (x+3)**+ 3-(x-)**4 (x+)**3-3 -33 - -4-6 -8-6 -4-4 6 8 Naj bo x stacionarna točka funkcije y = f(x). Potem velja: y (x ) = če je x minimum, potem velja y (x ) > če je x maksimum, potem velja y (x ) < če je x prevoj, potem velja y (x ) = Pri sklepanju v obratni smeri moramo biti nekoliko previdni. če velja y (x ) >, potem je x minimum če velja y (x ) <, potem je x maksimum če velja y (x ) =, potem ni nujno, da je x prevoj, lahko je tudi minimum ali pa maksimum! Naloge: y = 6x 4 8x 3 = 8x 3 (x ) y = 64x 3 4x y = 9x 48x Najprej poiščemo stacionarne točke. y = 8x (8x 3) = Stacionarni točki sta x =, y = in x = 3 8, y,. y (x ) = z drugim odvodom ne moremo zanesljivo določiti tipa točke x y (x ) = 9 točka x je minimum 5
.6. UPORABA ODVODA PRI RISANJU FUNKCIJ POGLAVJE. ODVODI.5 6*x**4-8*x**3.4.3.. -. -. -.3 -.4 -...4.6 y = x 4 y = 4x 3 edina stacionarna točka je x = y = x Velja y (x ) =, vendar pa v točki x ni prevoj ampak minimum. 3 x**4- - - -3-4 -3 - - 3 4 6
POGLAVJE. ODVODI.6. UPORABA ODVODA PRI RISANJU FUNKCIJ Natančno pravilo za določanje tipa stacionarne točke je naslednje. Zaporedoma izračunamo vrednosti drugega, tretjega, četrtega itd. odvoda v stacionarni točki, dokler ni rezultat različen od nič. Če je rezultat prvič različen od nič pri odvodu sode stopnje, potem je v točki minimum (rezultat je pozitiven) oz. maksimum (rezultat je negativen). Če je rezultat prvič različen od nič pri odvodu lihe stopnje, potem je v tej točki prevoj. Naloge: y = 6x 4 8x 3 = 8x 3 (x ) y = 64x 3 4x Zanima nas tip stacionarne točke x =, y = y = 9x 48x y () = y = 384x 48 y () = 48 V tej točki je prevoj (glej sliko na prejšnji strani). y = x 4 y = 4x 3 Zanima nas tip stacionarne točke x =, y = y = x y () = y = 4x y () = y = 4 y () = 4 V tej točki je minimum (glej sliko na prejšnji strani). Če za vrednosti funkcije na nekem intervalu velja, da od leve na desno naraščajo, potem je ta funkcija na tem intervalu naraščajoča. Če za vrednosti funkcije na nekem intervalu velja, da od leve na desno padajo, potem je ta funkcija na tem intervalu naraščajoča. Pri določanju, ali funkcija v okolici neke točke narašča ali pada, si lahko pomagamo s prvim odvodom. če velja y (x ) >, potem funkcija v okolici točke x narašča če velja y (x ) <, potem funkcija v okolici točke x narašča če velja y (x ) =, potem funkcija v okolici točke x ali pada ali narašča ali pa se spremeni iz padajoče v naraščajočo oz. obratno. Točke, v katerih se funkcija spremeni iz padajoče v naraščajočo sovpadajo z minimumi te funkcije. Točke, v katerih se funkcija spremeni iz naraščajoče v padajočo sovpadajo z maksimumi te funkcije. Če leži funkcija na nekem intervalu nad tangentami v vseh točkah tega intervala, potem je ta funkcija na tem intervalu konveksna. 7
.6. UPORABA ODVODA PRI RISANJU FUNKCIJ POGLAVJE. ODVODI Če leži funkcija na nekem intervalu pod tangentami v vseh točkah tega intervala, potem je ta funkcija na tem intervalu konkavna. Pri določanju, ali je funkcija v okolici neke konveksna ali konkavna, si lahko pomagamo s drugim odvodom. če velja y (x ) >, potem je funkcija v okolici točke x konveksna če velja y (x ) <, potem je funkcija v okolici točke x konkavna če velja y (x ) =, potem je funkcija v okolici točke x ali konveksna ali konkavna ali pa se spremeni iz konveksne v konkavno oz. obratno. Naloga: y = x y = x y = 4 x 3 = 4 x 3 Za vsak x > velja y (x) <, torej je funkcija konkavna. 3 sqrt(x) (./.)*x+(./.).5.5.5.5.5.5 3 3.5 4 8
POGLAVJE. ODVODI.7. UPORABA ODVODA V FIZIKI.7 Uporaba odvoda v fiziki Odvod je pogosto uporabljena operacija v fiziki. Tukaj je primer iz poglavja o gibanju teles. Tam velja, da če je s = f(t) funkcija poti po času, potem je ds ds funkcija hitrosti po času in je funkcija pospeška po času. dt dt Na primer, pri navpičnem metu je pot podana s funkcijo s = v t gt, kjer je v začetna hitrost in g zemeljski pospešek. Kako se spreminja hitrost? v = ds dt = v gt = v gt Kako se spreminja pospešek? a = d s dt = dv dt = g Naloga: (pri navpičnem metu imamo ves čas konstanten pojemek) Mož s prtljago je v čolnu 5 km od obale in bi rad dosegel točko, ki je 6 km po obali navzgor. Mož lahko vesla s hitrostjo km/h, hodi pa s hitrostjo 4 km/h. Kje naj pristane, da bo najhitreje dosegel cilj? MORJE OBALA cilj 6 x 6 km pristanek x start 5 km 9
.7. UPORABA ODVODA V FIZIKI POGLAVJE. ODVODI v = s t t = s v t skupaj = 5 + x + 6 x 4 5 + x dt dx = 5 + x x + 4 ( ) = x 5 + x 4 = x 4 5 + x Zanima nas, kdaj je dt dx = x 5 + x = 4x = 5 + x 3x = 5 5 x =, 89 km 3 3
POGLAVJE 3 NEDOLOČENI INTEGRALI Matematični priročnik, str. 35-3, tabela nedoločenih integralov je na str. 856-89 3. Definicija in notacija Nedoločeni integral f(x) dx je vsaka funkcija, ki ima za odvod funkcijo f(x). F(x) = f(x) dx Odvod katerekoli funkcije F(x) je enak odvodu F(x) + c. f(x) dx = F(x) + c 3. Integrali elementarnih funkcij. x a dx = xa+ a + + c x dx = lnx + c a. a x dx = ax ln a + c a >,a 3. log a x dx = x log a x x ln a + c a >,a 4. sin x dx = cos x + c 5. cos x dx = sin x + c 3
3.3. PRAVILA ZA INTEGRIRANJE POGLAVJE 3. NEDOLOČENI INTEGRALI Naloge: x dx = x dx = x3 3 e x dx = ex ln e + c = ex + c + c = 3 x3 + c 3.3 Pravila za integriranje. a f(x) dx = a f(x) dx. f(x) ± g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx Naloge: ( x + x ) dx = x dx + x dx = ln x + c + x + c = lnx x + c dx x ln a = ln a x dx = ln a (lnx + c ) = ln x ln a + c ln a = log a x + c x x dx =?? domača naloga (x + ) dx =?? domača naloga 3.4 Metoda substitucije Če velja t = g(x) potem velja: f(g(x)) g (x) dx = f(t) dt. Dokaz poteka tako, da računamo z diferenciali: t = g(x) = dt = g (x) dx Sedaj izrazimo dx = dt in vstavimo: g (x) f(g(x)) dx = f(t) dt g (x) f(g(x)) g (x) dx = f(t) dt Če sta enaka diferenciala, potem sta enaka tudi integrala! 3
POGLAVJE 3. NEDOLOČENI INTEGRALI 3.4. METODA SUBSTITUCIJE Naloge: + x dx = t = + x dt = t dx = dx dx = dt t = + x + x dx = dt = t dx = dx dx = dt = t dt = t3 + c = 3 ( + x)3 + c 3 = t dt = = t dt = t3 + c = 3 ( + x)3 + c 3 x x + dx = t = x + x = t dx = dt = t dt = t t t dt = ( t ) dt = = dt dt = t ln t + c = x + ln(x + ) + c t x t = x x dx = dt = x dx x dx = = dt x x dx = t dt = t dt = = ln t + c = ln(x ) dx x x = t = x x = t dx = t dt = t dt ( t ) t = t dt = = ( t + + t ) dt = dt t dt + t = p = t,q = + t t = p,t = q dt = dp, dt = dq = = du u dv v = ln( x + x ) + c sin x cos x dx = = ln u ln v + c = ln( t) ln( + t) + c = ln( t + t ) + c = t = cos x dt = sin x dx sin x dx = dt = dt = ln t + c = ln(cos x) + c t sin x cos x dx = t = sin x dt = cosx dx = t dt = t + c = sin x + c 33
3.5. INTEGRIRANJE RACIONALNIH FUNKCIJ POGLAVJE 3. NEDOLOČENI INTEGRALI 3.5 Integriranje racionalnih funkcij Pri integriranju racionalnih funkcij uporabimo metodo substitucije. Še preden pa začnemo integrirati, racionalno funkcijo preoblikujemo po metodi nedoločenih koeficientov. Postopek za izračun integrala P(x) je naslednji: Q(x). Če polinom v števcu ni manjše stopnje kot polinom v imenovalcu, potem delimo polinoma. Integral rezultata je integral polinoma in ga izračunamo posebej.. Ostanek razstavimo na vsoto parcialnih ulomkov: P(x) Q(x) = P(x) (x a ) r... (x an ) rn (x + b x + c ) s... (x + b m x + c m ) sn Za razstavljanje uporabimo metodo nedoločenih koeficientov. Iz vsakega (x a) r A dobimo: x a + A (x a) +... + A r (x a) r Iz vsakega (x +bx +c) s dobimo: B x + C x + bx +c + B x + C (x + bx +c) +...+ B sx + C s (x + bx +c) s 3. Za integriranje parcialnih ulomkov uporabimo naslednje formule: A x ± a dx = A dx = A ln(x ± a) + c x ± a A (x a) dx = A dx (x a) = A x a + c dx x + c dx = c arctg x c + c dx (x + c ) dx = c ( x x + c + dx x + c ) Druge formule najdemo v matematičnem priročniku. Naloge: dx x 5x 6 = Zapišemo: Dobimo: x 5x 6 = dx (x 6)(x + ) A x 6 + B x + x 5x 6 = 7(x 6) 7(x + ) S pomočjo dobljenega rezultata preoblikujemo integral. Nato uporabimo formule za integriranje parcialnih ulomkov. dx x 5x 6 = dx 7 x 6 dx 7 x + = 7 ln(x 6) ln(x + ) + c = 7 = 7 ln(x 6 x + ) + c 34
POGLAVJE 3. NEDOLOČENI INTEGRALI 3.5. INTEGRIRANJE RACIONALNIH FUNKCIJ 3x + 5 x 3 x x + dx = Zapišemo: Dobimo: 3x + 5 x 3 x x + = 3x (x + )(x ) dx A x + + B x + C (x ) 3x + 5 x 3 x x + = (x + ) (x ) + 4 (x ) S pomočjo dobljenega rezultata preoblikujemo integral. Nato uporabimo formule za integriranje parcialnih ulomkov. 3x + 5 x 3 x x + dx = = dx (x + ) = ln(x + ) = ln(x + x ) 4 x + c dx (x + ) dx (x ) + 4 dx (x ) = dx (x ) + 4 dx (x ) = ln(x ) + 4 ( x ) + c = x 3 + x + x + x 4 + 3x + dx = x 3 + x + x + dx =?? (x + )(x + ) domača naloga x dx ( + x)( + x ) =?? domača naloga 35
3.5. INTEGRIRANJE RACIONALNIH FUNKCIJ POGLAVJE 3. NEDOLOČENI INTEGRALI 36
POGLAVJE 4 DOLOČENI INTEGRALI Matematični priročnik, str. 36-33 in 337-34 4. Definicija in notacija Imejmo krivuljo f(x). Zanima nas ploščina pod to krivuljo na intervalu od do x. Oglejmo si na primer tabelo ter graf za funkciji f(x) = x in g(x) = x. x približna ploščina za f(x) od do x približna ploščina za g(x)od do x,5,5,4 4 8 4 a a a a 5 x sqrt(x) 4 3 - - 3 4 5 6 7 37
4.. DEFINICIJA IN NOTACIJA POGLAVJE 4. DOLOČENI INTEGRALI Ker je krivulja funkcije g(x) = x ukrivljena, so navedene vrednosti premajhne. Iz slike lahko razberemo, da so premajhne. Zanima nas, kako bi izračunali točne vrednosti. Zanima nas ploščina S, ki je ploščina pod krivuljo od točke x do točke x + x. Označimo ploščino s F(x). Če je x točka, ki je nekje med točko x in točko x + x, potem lahko zapišemo: ploščina S = F(x + x) F(x ) = f(x ) x Iz tega izraza dobimo: f(x ) = F(x + x) F(x ) x Če je x zelo majhen, potem je x zelo blizu x, torej dobimo: f(x ) = F(x + dx) F(x ) dx f(x ) = F (x ) F(x ) = f(x ) dx Konstanto, ki se pojavi v rezultatu nedoločenega integriranja, je potrebno ustrezno prilagoditi. y y S S S c= x c=s x Lastnosti:. Če je funkcija pod osjo x, potem kot rezultat dobimo negativno število, katerega absolutna vrednost je iskana ploščina.. Če je funkcija deloma nad, deloma pa pod osjo x, potem kot rezultat dobimo razliko med ploščino nad osjo x in ploščino pod osjo x. 38
POGLAVJE 4. DOLOČENI INTEGRALI 4.. NEWTON-LEIBNITZOVA FORMULA 4. Newton-Leibnitzova formula B Označimo z f(x) dx ploščino pod krivuljo med točkama A in B. Potem velja: B A A f(x) dx = F(B) F(A) = F(X) B A B Zapis f(x) dx imenujemo določeni integral. A Newton-Leibnitzova formula velja le, če je f(x) zvezna na intervalu od A do B. Naloge: π x dx = ( 3 x3 ) = 3 3 3 3 = 3 x dx = ( 3 x 3 ) = 3 3 3 3 = 3 x dx = (lnx) = ln ln =, 6935 sin x dx = ( cos x) π = cos π ( cos ) = + = Izračunaj ploščino lika, ki ga oklepata funkciji f = x 4 in g = 4 x. 6 x**-4 4-x** 4 - -4-6 -8-6 -4-4 6 8 39
4.3. POSPLOŠENI INTEGRALI POGLAVJE 4. DOLOČENI INTEGRALI Funkciji f(x) in g(x) se sekata v točkah in +. Na celotnem intervalu od do + so vrednosti funkcije g(x) večje od vrednosti funkcije f(x). (g(x) f(x)) dx = ((4 x ) (x 4)) dx = = (8x 3 x3 ) + = (8 3 3 ) (8 ( ) 3 ( )3 ) = = (6 6 3 6 3 ) ( 6 + ) = 3 3 3 = 64 3 4.3 Posplošeni integrali Posplošeni integral je določeni integral, pri katerem:. je vsaj ena od mej v neskončnosti ali. gre funkcija na danem intervalu v neskončnost. (8 x ) dx = =, 33333 Posplošene integrale, ki imajo meje v neskončnosti, prevedemo na razreševanje limit po naslednjem vzorcu: B b f(x) dx = lim f(x) dx A A a a B b Posplošene integrale. pri katerih gre funkcija v točki C, ki je na intervalu od A do B, v neskončnost, prevedemo na razreševanje limit po naslednjem vzorcu: B c B f(x) dx = lim f(x) dx + lim f(x) dx c C c C + A A c Če kot rezultat posplošenega integrala dobimo, potem ta integral ne obstaja in ga imenujemo divergenten integral. Posplošeni integral, ki obstaja, imenujemo konvergenten integral. 4
POGLAVJE 5 LIMITE Matematični priročnik, str. 37-4 5. Definicija in notacija Zapis x a pomeni, da se x približuje vrednosti a. približevanje zapišemo še bolj natančno in sicer: Če je to pomembno, potem to x a (x se približuje a z leve) in x a + (x se približuje a z desne). Limita lim x a f(x) je vrednost, kateri se približuje f(x), ko se x približuje a z leve. Limita lim x a +f(x) je vrednost, kateri se približuje f(x), ko se x približuje a z desne. Če velja lim x a f(x) = lim x a +f(x) = y, potem lahko zapišemo limf(x) = y. x a Če se x približuje a, f(x) pa raste preko vseh mej, to zapišemo z znakom. Izraza lim f(x) in lim f(x), pri katerih nas zanima vrednost funkcije, ko x raste preko x + x vseh mej, imenujemo limita v neskončnosti. 4
5.. PRAVILA ZA RAČUNANJE LIMIT POGLAVJE 5. LIMITE Nekatere osnovne limite:. lim x + x = + lim x x =. lim x ± x = 3. lim x + log a x =, če a > lim log x + a x = +, če a < 4. lim( + x) x = e x 5. lim x + ( + x )x = e 5. Pravila za računanje limit. Če je b konstanta, potem za vsak a limb = b in tudi lim b = b x a x ±. Če je f(x) v točki a definirana in zvezna, potem je lim x a f(x) = f(a). 3. lim x a (f(x) ± g(x)) = lim x a f(x) ± lim x a g(x) 4. lim x a (f(x) g(x)) = lim x a f(x) lim x a g(x) f(x) limf(x) 5. lim x a g(x) = x a lim g(x) x a 6. L Hospitalovo pravilo: f(x) Če limf(x) = in limg(x) =, potem: lim x a x a x a g(x) = lim f (x) x a g (x) L Hospitalovo pravilo velja tudi, če lim x a f(x) = in lim x a g(x) = Naloge: lim x 3 x = 9 lim x x x = 4
POGLAVJE 5. LIMITE lim x + x x = t = x x = t + 3 = lim t + t + t 5.. PRAVILA ZA RAČUNANJE LIMIT = lim t + + lim t + t = + = + x/(x-) - - -3-4 -3 - - 3 4 x lim x x = lim x x (x )(x + ) = lim x x + = To limito lahko rešimo tudi po L Hospitalovem pravilu: x lim x x = lim x x = 3 (x-)/(x**-) - - -3-4 -3 - - 3 4 43
5.. PRAVILA ZA RAČUNANJE LIMIT POGLAVJE 5. LIMITE lim x sin(x) x = lim x cos(x) = = 3 sin(x)/x - - -3-4 -3 - - 3 4 lim x + sin(x) x = lim x + cos(x) x = = + 3 sin(x)/(x**) - - -3-4 -3 - - 3 4 44
POGLAVJE 5. LIMITE 5.3. UPORABA LIMITE ZA RAČUNANJE ODVODOV 4x x lim x ± x + = lim 8 x ± 8x x = lim 4 = 4 x ± (4*x**-x)/(x**+) 6 4 - -4-8 -6-4 - 4 6 8 5.3 Uporaba limite za računanje odvodov V poglavju o odvodih so bili predstavljeni odvodi elementarnih funkcij. Te odvode si matematiki niso izmislili kar tako, ampak so jih izračunali s pomočjo limit. Naloga: Z uporabo limit izračunaj odvod funkcije f(x) = x f f(x + x) f(x) (x) = lim x x x + x x + x x = lim x x (x + x) x = lim x x = = lim (x + x) = x x 5.4 Uporaba limite za računanje posplošenih integralov Naloge: e x dx = lim a a + = lim a + ( e a) = = e x dx = lim a + ( e x ) a = lim a + ( e a + e ) = 45
5.4. UPORABA LIMITE ZA RAČUNANJE POSPLOŠENIH INTEGRALOVPOGLAVJE 5. LIMITE dx = lim 4 x a + 6 Izračunaj 3 a 4 (4 x) dx x dx = lim a + ( x ) a = lim ( 4 a + a + 4 ) = 4 To je posplošeni integral, ker gre dana funkcija v točki 4, ki je na intervalu od do 6 v neskončnost. Zato razdelimo integral v dva dela: 6 a 6 dx = lim dx + lim dx 3 (4 x) 3 (4 x) 3 (4 x) a 4 a 4 + a Ker integral ni enostaven, najprej posebej izračunamo nedoločen integral. Uporabimo metodo substitucije: dx = t = 4 x 3 (4 x) dt = dx dx = dt = 3 ( dt) = t 3 dt = 3 t t 3 + c = = 3 3 4 x Sedaj uporabimo Netwon-Leibnitzovo formulo: a 6 lim dx + lim dx = 3 (4 x) 3 (4 x) a 4 a 4 + a = lim a 4 ( 3 3 4 x) a + lim a 4 +( 3 3 4 x) 6 = a = lim a 4 (( 3 3 4 a) ( 3 3 4 )) + lim a 4 +(( 3 3 4 6) ( 3 3 4 a)) = = (3 3 ) + ( 3 3 ) = 6 3 5 ((/(4-x))**)**(./3.) 4 3 - - 3 4 5 6 7 8 46
POGLAVJE 6 TAYLORJEVA IN FOURIERJEVA VRSTA Matematični priročnik, str. 35-36, 39-3 in tabele str. 848-855 6. Dotik funkcij Pri definiciji odvoda smo zapisali: f(x + x) f(x ) + f (x o ) x V to formulo vstavimo x = x x in dobimo: f(x) f(x ) + (x x ) f (x ) Leva in desno stran sta različni funkciji, ki pa imata v točki x isto vrednost in isti prvi odvod. Pravimo, da obstaja med njimav točki x dotik prve stopnje. Če je na levi strani funkcija f(x), potem desno stran označimo z oznako f (x). Primer: f(x) = x f (x) = f(x ) + (x x ) f (x ) = f(x ) + x (x x ) V točki x = 3 dobimo: f(3) = 9 f (3) = 6 f (x) = 9 + 3 (X 3) = 6x 9 47
6.. TAYLORJEVA VRSTA POGLAVJE 6. TAYLORJEVA IN FOURIERJEVA VRSTA Naredimo preizkus: f (3) = 6 3 9 = 9 f (3) = 6 Če imata funkciji v neki točki dotik, potem sta v ozki okolici te točke podobni. 5 x** 6*x-9 5 5-5 - -5 5 5 V zgornjem primeru je dobljena funkcija f tangenta na funkcijo f. V splošnem velja, da imata poljubna funkcija in tangenta na njo v točki dotika dotik vsaj prve stopnje. Če imata dve funkciji v neki točki enako vrednost, enak prvi in tudi enak drugi odvod, potem imata v tej točki dotik druge stopnje. Če so enaki vsi odvodi do vključno n-tega odvoda, potem imata funkciji dotik stopnje n. Višje stopnje je dotik, bolj podobni sta si funkciji v okolici točke dotika. 6. Taylorjeva vrsta V praksi je zelo koristno, če znamo za dano funkcijo f(x) poiskati polinom, ki je čimbolj podoben originalni funkciji. Polinom, ki ima s funkcijo f(x) dotik prve stopnje, enostavno izračunamo po postopku predstavljenem v prejšnjem podrazdelku. Še boljši pa so polinomi, ki imajo dotike višje stopnje. Imenujemo jih Taylorjevi polinomi. T (x) = f(x ) + (x x ) f (x ) T (x) = f(x ) + (x x ) f (x ) + (x x ) f (x ) T n (x) = f(x ) + (x x ) f (x ) + (x x ) f (x ) +... + (x x ) n!! n! f (n) (x ) 48
POGLAVJE 6. TAYLORJEVA IN FOURIERJEVA VRSTA 6.. TAYLORJEVA VRSTA Taylorjev polinom T n ima v točki x s funkcijo dotik vsaj stopnje n. Tukaj je en primer: f(x) = + x f (x) = ( + x) f (x) = f (x) = f (x) = ( + x) ( + x) 4 = ( + x) 3 3 ( + x) ( + x) 6 = 6 ( + x) 4 6 4 ( + x)3 ( + x) 8 = T 4 (x) = + x x + x! 4 ( + x) 5 ( + x ) + (x x )! ( + x ) + (x x ) 3 3 3! 6 ( + x ) 4+ + (x x ) 4 4! 4 ( + x ) = x x 5 + x ( + x ) + (x x ) ( + x ) (x x ) 3 3 ( + x ) + (x x ) 4 4 ( + x )5 Izračunajmo Taylorjev polinom za funkcijo T 4 () = x + x x 3 + x 4 T 4 ( ) = (x + ) (x + ) (x + ) 3 (x + ) 4 + x v točki x = in v točki x =. 8 /(+x) -x+x**-x**3+x**4 6 4 - -4-8 -6-4 - 4 6 8 49
6.. TAYLORJEVA VRSTA POGLAVJE 6. TAYLORJEVA IN FOURIERJEVA VRSTA 4 /(+x) --(x+)-(x+)**-(x+)**3-(x+)**4 - -4-6 -8-8 -6-4 - 4 6 8 Če število členov Taylorjevega polinoma večamo v neskončnost, dobimo Taylorjevo vrsto. Taylorjevo vrsto razvito okoli točke x = imenujemo MacLaurinova vrsta. Naloge: Izračunaj vrednost sin() s pomočjo MacLaurinove vrste. sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9!... x = x x3 3! = 6 =, 833333333 x x3 3! + x5 5! = 6 + =, 84666667 x x3 3! + x5 5! x7 7! = 6 + =, 8446854 54 x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! = 6 + 54 + 3688 Natančen rezultat: sin =, 8447985 Izračunaj vrednost cos( π ) s pomočjo MacLaurinove vrste. 3 cosx = x! + x4 4! x6 6! + x8 8!... domača naloga Izračunaj vrednost e s pomočjo MacLaurinove vrste. e x = + x! + x! + x3 3! + x4 4! +... domača naloga =, 8447 5
POGLAVJE 6. TAYLORJEVA IN FOURIERJEVA VRSTA 6.3. FOURIERJEVA VRSTA 6.3 Fourierjeva vrsta Funkcija je periodična s periodo c, če velja f(x) = f(x + k c), kjer je k = ±,, 3,... Funkciji sin x in cos x imata periodo π. Funkcija tg x ima periodo π. Če imamo f(x) in si izberemo periodo c, lahko tvorimo Fourierjevo vrsto, ki je periodična formula z izbrano periodo in se na osnovni periodi ujemo s funkcijo f(x). Formula, po kateri tvorimo Fourierjevo vrsto za funkcijo f(x), je naslednja: F(x) = a + a cos ωx + a cos ωx + a 3 cos 3ωx +...+b sin ωx + b sin ωx + b 3 sin 3ωx +... Konstanta ω, ki nastopa v formuli je enaka ω = π, pri čemer je c perioda, ki si jo c izberemo. Če izberemo c = π, potem je ω =. Konstante a, a,... in b, b,..., ki nastopajo v formuli, so določeni integrali, ki jih izračunamo po naslednjih formulah, v katerih sta ω in c enaka kot v osnovni formuli: a k = c c f(x) cos kωx dx b k = c Naloge: c f(x) sin kωx dx Izračunaj Fourierjevo vrsto za funkcijo f(x) = x, interval naj bo (, π), c = π F(x) = π ( sin x + sin x + sin 3x 3 +...) 8 x+*pi x pi-*((sin(x))/.) pi-*((sin(x))/.+(sin(*x))/.) 6 4 - -8-6 -4-4 6 8 5
6.3. FOURIERJEVA VRSTA POGLAVJE 6. TAYLORJEVA IN FOURIERJEVA VRSTA 8 x+*pi x pi-*((sin(x))/.+(sin(*x))/.+(sin(3*x))/3.) 6 4 - -8-6 -4-4 6 8 Izračunaj Fourierjevo vrsto za funkcijo f(x) = x, interval naj bo ( π,π), c = π F(x) = ( sin x sin x + sin 3x 3...) 6 4 x+*pi x x-*pi *((sin(x))/.) *((sin(x))/.-(sin(*x))/.) - -4-6 -8-6 -4-4 6 8 5
POGLAVJE 6. TAYLORJEVA IN FOURIERJEVA VRSTA 6.3. FOURIERJEVA VRSTA 6 x+*pi x x-*pi *((sin(x))/.-(sin(*x))/.+(sin(3*x))/3.) 4 - -4-6 -8-6 -4-4 6 8 Izračunaj Fourierjevo vrsto za funkcijo f(x) = a, interval naj bo (,π), c = π F(x) = 4a π 6 4 (sin x + sin 3x 3 + sin 5x 5 +...) - (8./pi)*(sin(x)) (8./pi)*(sin(x)+(sin(3*x))/3.) - -4-6 -8-6 -4-4 6 8 53
6.3. FOURIERJEVA VRSTA POGLAVJE 6. TAYLORJEVA IN FOURIERJEVA VRSTA 6 - (8./pi)*(sin(x)+(sin(3*x))/3.+(sin(5*x))/5.) 4 - -4-6 -8-6 -4-4 6 8 54
POGLAVJE 7 NUMERIČNA MATEMATIKA Matematični priročnik, str. 75-78 in str. 78-73 7. Iskanje ničel Navadna iteracijska metoda poglavje-v3.tex Postopek navadne iteracijske metode:. Enačbo f(x) = zapišemo v obliki x = g(x), kar imenujemo oblika s fiksno točko.. Izberemo primeren začetni približek x. 3. Izračunamo zaporedje približkov x n+ = g(x n ). Če je izpolnjen spodnji pogoj, potem zaporedje približkov konvergira k rešitvi enačbe f(x) =. Pogoj za konvergenco navadne iteracijske metode: Naj bo X rešitev enačbe f(x) = in naj bo f(x) povsod odvedljiva funkcija. Če obstaja tak interval od A do B, da:. sta začetni približek x in prava rešitev enačbe X znotraj intervala [A,B] in. obstaja konstanta k, da velja g (x) k < za vse x [A,B], potem je navadna iteracijska metoda uspešna. Konvergenca navadne iteracijske metode je tem hitrejša, čim manjše je število k v pogoju. 55
7.. ISKANJE NIČEL POGLAVJE 7. NUMERIČNA MATEMATIKA Naloga: Reši enačbo x 3 5x + =. Najprej preoblikujemo enačbo. To lahko naredimo na več načinov, npr.: x = 3 5x, x = x3 +, 5 x = x 3 4x +,... Vzemimo obliko x = x3 +, torej g(x) = x3 +. 5 5 Preverimo pogoj za konvergenco: g (x) = 3x 5 3x 5 < 3x < 5 x < 5 3 5 5 3 < x < 3 Dobljen rezultat nam pove, da lahko z izbrano obliko s fiksno točko iščemo le ničle na 5 5 5 intervalu od 3 < x <, pri čemer je, 9. Tudi začetni približek moramo 3 3 izbrati znotraj tega intervala. 6 x**3-5*x+ (3*x**)/5. 4 - -4-6 -8-6 -4-4 6 8 56
POGLAVJE 7. NUMERIČNA MATEMATIKA 7.. ISKANJE NIČEL Iz grafa vidimo, da ima funkcija 3 ničle in da lahko z izbrano obliko s fiksno točko poiščemo le ničlo, ki leži na intervalu od do. Izberemo začetni približek x = in izračunamo zaporedje približkov. x = x = x3 + 5 x = x3 + 5 x 3 = x3 + 5 x 4 = x3 3 + = 3 + 5 =, 3 + 5 =, =, 63 + 5 =, 6 =, 6387 =, 63873 + =, 6396 5 5 Poskusimo z isto obliko s fiksno točko določiti ničlo med in 3. Vzemimo začetni približek x =, 5. x =, 5 x = x3 + 5 x = x3 + =, 53 + 5 = 3, 35 = 3, 353 + = 7, 55996 5 5 Dobljene številke so vedno večje in se ne približujejo nobeni vrednosti, zato poskus ni bil uspešen. Vendar pa ni potrebno takoj obupati. Izberimo drugačno obliko s fiksno točko in sicer x = 3 5x in poskusimo z istim začetnim približkom. x =, 5 x = 3 5x =, 57787 x = 3 5x =, 747734 x 3 = 3 5x =, 45338 x 4 = 3 5x 3 =,34656 x 5 = 3 5x 4 =, 37 x 6 = 3 5x 5 =, 9579 x 7 = 3 5x 6 =, 8776 x 8 = 3 5x 7 =, 8536 Vrednosti vseskozi padajo, vendar vedno bolj počasi. Dobljeni približki konvergirajo k pravi vrednosti. 57
7.. ISKANJE NIČEL POGLAVJE 7. NUMERIČNA MATEMATIKA Reši enačbo x = cos(x). Enačba je že zapisana v obliki s fiksno točke. Odvod funkcije cos(x) je enak sin(x), kar je po absolutni vrednosti vedno manjše od, razen pri..., π, π, 3π, 5π,....5 x cos(x).5 -.5 - -.5 - -.5 - -.5.5.5 Iz grafa vidimo, da je rešitev enačbe okoli,75. Za začetni približek lahko vstavimo katerokoli vrednost med π in +π. Izberimo x =. x = x = cos(x ) =, 5433 x = cos(x ) =, 857553 x 3 = cos(x ) =, 654897 x 39 =, 73985 Newtonova metoda Newtonovo metodo za iskanje ničel imenujemo tudi tangenta metoda. Postopek Newtonove metode:. Iz enačbe f(x) = tvorimo funkcijo g(x) = x f(x) f (x).. Izberemo primeren začetni približek x. 3. Izračunamo zaporedje približkov x n+ = g(x n ). 58
POGLAVJE 7. NUMERIČNA MATEMATIKA 7.. ISKANJE NIČEL Če je izpolnjen spodnji pogoj, potem zaporedje približkov konvergira k rešitvi enačbe f(x) =. Pogoj za konvergenco Newtonove metode: Naj bo X rešitev enačbe f(x) = in naj bo f(x) povsod odvedljiva funkcija. Če obstaja tak interval od A do B, da:. so vsi približki x,x,x,... in prava rešitev enačbe X znotraj intervala [A,B],. velja f (x) za vse x [A,B] in 3. obstaja konstanta k, da velja f(x) f (x) f (x) f (x) k < za vse x [A,B], potem je Newtonova metoda uspešna. Grafična ponazoritev Newtonove metode: Vzemimo funkcijo f(x) = x 4 in začetni približek x =, 5. Narišemo tangento na funkcijo f(x) in pogledamo, kje tangenta seka os x. Presečišče, ki je v danem primeru enako, 5, postane približek x. Postopek ponavljamo in če je izpolnjen pogoj za konvergenco, potem se približki hitro bližajo ničli. 6 x**-4 *x-5 5*x-.5 4 - -4-6 -4-4 6 8 59
7.. ISKANJE NIČEL POGLAVJE 7. NUMERIČNA MATEMATIKA Problem se pojavi, če dobimo točko, v kateri je odvod enak. To pomeni, da je tangenta tam vodoravna in torej nikjer ne seka osi x. Problem lahko nastopi tudi takrat, če med začetnim približkom in ničlo leži minimum oz. maksimum. 4 (3*x**+*x)/(x**3+) -.848*x+3.4 -.3*x+.7 3 - - Naloga: 3 4 5 6 7 8 9 Reši enačbo x 3 5x + =. Izračunamo prvi in drugi odvod ter tvorimo funkcijo g(x) = x f(x) f (x). f (x) = 3x 5 f (x) = 6x g(x) = x x3 5x + 3x 5 Preverimo pogoj za konvergenco: Prvi odvod ne sme biti enak. 3x 5 = 5 x = ± ±, 9 3 Izbran interval ne sme vključevati vrednosti, 9 in +, 9. Če iščemo ničlo, ki leži med in moramo torej kot začetno vrednost izbrati nekaj med tema dvema številoma. Če iščemo ničlo, ki leži med in 3 pa moramo začeti z vrednostjo, ki je večja od, 9. 6
POGLAVJE 7. NUMERIČNA MATEMATIKA 7.. ISKANJE NIČEL Ostane nam še preverjanje zadnjega dela pogoja, ki pa je ponavadi precej težavno. f(x) f (x) f (x) f (x) < (x 3 5x + ) 6x (3x 5) (3x 5) < 6x 4 3x + 6x 9x 4 3x + 5 < Dobljeno neenačbo je težko natančno rešiti, pravzaprav še težje, kot originalno nalogo. Iz grafa, ki ga nariše računalnik, lahko razberemo, da je neenačba izpolnjena za vrednosti manjše od, za vrednosti blizu in za vrednosti večje od. 6 x**3-5*x+ (6*x**4-3*x**+6*x)/(9*x**4-3*x**+5) 4 - -4-6 -8-6 -4-4 6 8 Iz grafa vidimo tudi pravilo, ki ga prej nismo izpostavili: izraz, ki nastopa v neenačbi je v ničlah funkcije enak (domača naloga: dokažite, da je to vedno res!). Zato v splošnem velja, da je metoda uspešna, če začetni približek izberemo dovolj blizu prave vrednosti. Izberimo torej začetni približek x = in izračunajmo zaporedje približkov po Newtonovi metodi. x = x = g(x ) = x x3 5x + 3x 5 x = g(x ) = x x3 5x + 3x 5 x 3 = g(x ) = x x3 5x + 3x 5 = 3 5 + 3 5 =, =,, 3 5, + 3, 5 =, 6396 =, 6393 6
7.. ISKANJE NIČEL POGLAVJE 7. NUMERIČNA MATEMATIKA Z Newtonovo metodo pridemo do rezultata z mnogo manjšim številom iteracij kot pri navadni iteracijski metodi. Poiščimo še ničlo, ki leži med in 3. Kot začetni približek vzemimo x =, 5. x =, 5 x = g(x ) = x x3 5x + 3x 5 x = g(x ) = x x3 5x + 3x 5 x 3 = g(x ) = x x3 5x + 3x 5 =, 5 =, 4, 5 3, 75 =,, 648 9, 5 =, 3938 =, 3938, 3636 8, 63544 =, 848 Poišči splošni postopek, kako s pomočjo Newtonove metode rešimo enačbo x a =. Imamo torej funkcijo f(x) = x a. Izračunajmo prvi odvod: f (x) = x g(x) = x f(x) f (x) = x x a x = x x + a x = x + a x Ker je ničla funkcije f(x) = x a enaka a, lahko dobljeno formulo uporabimo za računanje korenov. Izračunaj. V tem primeru imamo a =. Kot začetni približek vzemimo kar x =. x = x = g(x ) = x + a x = + = 6 4 =, 5 x = g(x ) = x + a =, 5 + x, 5 x 3 = g(x ) = x + a x =, 4457 x 4 = g(x 3 ) = x 3 + a x 3 =, 4436 = 4, 5 3 =, 466667 Izračunajmo še 7. Kot začetni približek vzamimo x = 7. x = 7 x = g(x ) = x + a x = 7 + 7 7 = 56 4 = 4 x = g(x ) = x + a = 4 + 7 x 4 = 3 =, 875 8 x 3 =, 6548934 x 4 =,64576744 6
POGLAVJE 7. NUMERIČNA MATEMATIKA 7.. ISKANJE NIČEL Zanima nas, ali izpeljani postopek vedno deluje. Prvi odvod funkcije f(x) = x a je enak x, kar je enako nič le v točki. Oglejmo si sedaj še neenačbo, ki nastopa v pogoju za konvergenco. f(x) f (x) f (x) f (x) < (x a) x x < x a 4x < Asimptota za funkcijo na levi strani je, torej je za vse vrednosti, ki so večje od ničle, neenačba izpolnjena. Oglejmo si dobljene ugotovitve še na grafu. Narišimo funkcijo x 7 in funkcijo x 7 4x. 4 x**-7 (*x**-*7)/(4*x**) - - -4-6 -8-8 -6-4 - 4 6 8 S pomočjo Newtonove metode poišči postopek, kako izračunamo ln x, če imamo na voljo le osnovne računske operacije in funkcijo e x. domača naloga 63
7.. VREDNOST POLINOMA IN NJEGOVIH ODVODOV POGLAVJE V DANI 7. TOČKI NUMERIČNA MATEMATIKA 7. Vrednost polinoma in njegovih odvodov v dani točki Dan je polinom P(x) in točka x. Izračunaj vrednosti P(x ),P (x ),P (x ),... Naloga sama po sebi ni težka, saj odvode polinoma znamo izračunati, z zaporednim odvajanjem pa dobimo tudi vedno enostavnejši rezultat. Hornerjev algoritem je numerični postopek, kako takšno nalogo rešimo brez računanja odvodov, kar je v marsikaterem primeru hitreje. Hkrati je to tudi primerna rešitev, če nalogo rešujemo z računalnikom. Hornerjev algoritem si bomo ogledali na primeru. Naloge: Naj bo P(x) = x 5 + 3x 4 4x 3 x + 7x. Izračunaj vrednost polinoma in vrednosti prvih treh odvodov v točki 3. P(x) = x 5 + 3x 4 4x 3 x + 7x P (x) = 5x 4 + x 3 x x + 7 P (x) = x 3 + 36x 4x P (x) = 6x + 7x 4 Rezultati naloge so: P(3) = 389,P (3) = 6,P (3) = 79,P (3) = 73 Po Hornerjevem algoritmu dobimo: 3-4 - 7-3 8 4 3 39 3 6 4 4 3 389! = 389 = P(3) 3 7 3 49 3 9 4 64 6! = 6 = P (3) 3 36 3 3 77 395! = 79 = P (3) 3 45 3 5 3! = 73 = P (3) Naj bo P(x) = 3x 3 4x. Izračunaj vrednost polinoma in vrednosti prvih treh odvodov v točki -. domača naloga 64