Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν μόνο στοιχείο R To ονομάζετι τιμή της στο κι συμβολίζετι = ( ) Γι ν εκφράσουμε τη διδικσί υτή, γράφουμε: : A R ή ( ) Συμβολισμοί που φορούν την συνάρτηση Το γράμμ, που πριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγετι νεξάρτητη μετβλητή, ενώ το γράμμ, που πριστάνει την τιμή της στο, λέγετι εξρτημένη μετβλητή Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης συνήθως συμβολίζετι με D Το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της σε όλ τ A, λέγετι σύνολο τιμών της κι συμβολίζετι με ( A ) Είνι δηλδή: ( A) = { = ( ) γι κάποιο A} Προσοχή: κάθε (A) μπορεί ν προέρχετι πό έν ή περισσότερ πό το πεδίο ορισμού Α (δηλδή δύο η περισσότερ μπορεί ν δίνουν το ίδιο ) Ενώ σε κάθε A ντιστοιχεί μονδικό Πρτηρήσεις που φορούν την συνάρτηση 5
Θ σχοληθούμε μόνο με συνρτήσεις που έχουν πεδίο ορισμού διάστημ ή ένωση διστημάτων Δεν θ μελετήσουμε συνρτήσεις που ορίζοντι κι σε 3 μεμονωμέν σημεί όπως πχ η ( ) D = 0, + = που έχει { } [ ) Οτν θ λέμε ότι Η συνάρτηση είνι ορισμένη σ έν σύνολο Β, θ εννοούμε ότι το Β είνι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της Στην περίπτωση υτή με ( B ) θ συμβολίζουμε το σύνολο των τιμών της σε κάθε B Είνι δηλδή: ( B) = { = ( ) γι κάποιο B} Επίσης ότν γράφουμε : A R εννοούμε ότι το Α είνι το πεδίο ορισμού Το σύνολο τιμών δεν σημίνει ότι είνι υποχρεωτικά όλο το R, λλά ότι είνι υποσύνολο του R Γι ν κτλάβουμε τι είνι η συνάρτηση θ την προμοιάσουμε με μι μηχνή που της ρίχνεις κι βγάζει, κι σε κάθε ντιστοιχεί μονδικό A = ( ) (A) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, δηλδή το σύνολο των, τους ριθμούς που μπορούμε ν ρίξουμε στη μηχνή ή τύπο της συνάρτησης η μηχνή δηλδή ο τύπος της συνάρτησης, η διδικσί που μεττρέπει τ πό το Α σε στο (A) το σύνολο τιμών της συνάρτησης, δηλδή όλ τ ποτελέσμτ ή οι τιμές της συνάρτησης που θ προκύψουν ν ρίξουμε όλ τ πό το πεδίο ορισμού Α στη μηχνή ή τύπο της συνάρτησης Πράδειγμ: Έστω η συνάρτηση με τύπο () = κι πεδίο ορισμού Α = {-, -, 0, } Γι = - έχουμε = (-) = -(-) = - = - >> = (-) = -(-) = = 0 >> = (0) = - 0 = = >> = () = - = Άρ το σύνολο τιμών της είνι: (A) = {-,, } Γι ν οριστεί μι συνάρτηση ρκεί ν δοθούν δύο στοιχεί: το πεδίο ορισμού της κι η τιμή της, ( ), γι κάθε του πεδίου ορισμού της 6
Συνήθως, όμως, νφερόμστε σε μι συνάρτηση δίνοντς μόνο τον τύπο με τον οποίο εκφράζετι το ( ) Σε μι τέτοι περίπτωση θ θεωρούμε ότι το πεδίο ορισμού της είνι το σύνολο όλων των πργμτικών ριθμών, γι τους οποίους το ( ) έχει νόημ Έτσι, γι πράδειγμ, ντί ν λέμε δίνετι η συνάρτηση :(,] R, με ( ) = 4 θ λέμε δίνετι η συνάρτηση ( ) = 4 Πολλές φορές μι συνάρτηση δίνετι με την πρκάτω μορφή: ( ) A ( ) A ( ) = όπου Α, Α,,Α ν διστήμτ του R που δεν έχουν ν ( ) Aν κνέν κοινό στοιχείο Η συνάρτηση υτή ονομάζετι πολλπλού τύπου κι έχει πεδίο ορισμού D = A A A ν Γρφική πράστση συνάρτησης Τι ονομάζουμε γρφική πράστση συνάρτησης; Έστω μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο Το σύνολο των σημείων M (, ) γι τ οποί ισχύει = ( ), δηλδή το σύνολο των σημείων M (, ( )), A, λέγετι γρφική πράστση της κι συμβολίζετι συνήθως με C Πρτηρήσεις Πιο πλά, ν τ ζεύγη (, ) που φτιάχνει η συνάρτηση τ κάνουμε τελείες στο επίπεδο, η γρμμή που θ προκύψει είνι η γρφική πράστση της Η = ( ) είνι η εξίσωση της γρφικής πράστσης της Κάθε κτκόρυφη ευθεί τέμνει τη γρφική πράστση της το πολύ σε έν σημείο (επειδή κάθε A ντιστοιχίζετι σε έν μόνο R, δεν υπάρχουν σημεί της γρφικής πράστσης της με την ίδι τετμημένη) 7
Αν υπάρχει ευθεί πράλληλη στον η οποί τέμνει τη γρφική πράστση σε περισσότερ πό έν σημείο τότε δεν είνι γρφική πράστση συνάρτησης (πχ ο κύκλος) 7 C C Α είνι συνάρτηση (β) δεν είνι συνάρτηση Ποι στοιχεί προκύπτουν πό την γρφική πράστση μις συνάρτησης; Οτν δίνετι η γρφική πράστση C μις συνάρτησης, τότε: Το σύνολο των τετμημένων όλων των σημείων της C είνι το πεδίο ορισμού Α της (ν προβάλουμε τη γρφική πράστση της, ( C ) στον άξον το διάστημ που προκύπτει είνι το πεδίο ορισμού) Α=[,9 ] C Α 9 Το σύνολο των τετγμένων όλων των σημείων της C είνι το σύνολο τιμών ( A ) της (ν προβάλουμε τη γρφική πράστση της, ( C ) στον άξον το διάστημ που προκύπτει είνι το σύνολο τιμών) 5 (Α) (Α) = [,5 ] C Η τιμή της στο 0 A (δηλδή το ) είνι η τετγμένη του σημείου τομής της κτκόρυφης ευθείς = 0 κι της C ( 0 ) = 0 C A( 0,( 0 )) 0 8
Γρφικές πρστάσεις βσικών συνρτήσεων Η πολυωνυμική συνάρτηση ( ) = + β Σύνολο τιμών: R a>0 a<0 a=0 Η πολυωνυμική συνάρτηση ( ) =, 0 Σύνολο τιμών: [ 0, + ) ν >0 (,0] ν < 0 >0 <0 Η πολυωνυμική συνάρτηση 3 ( ) =, 0 Σύνολο τιμών: R >0 <0 Η ρητή συνάρτηση ( ) =, 0 Πεδίο ορισμού: Σύνολο τιμών: * R * R >0 <0 9
Η άρρητη συνάρτηση ( ) = Πεδίο ορισμού: [ 0, + ) Σύνολο τιμών: [ 0, + ) Οι τριγωνομετρικές συνρτήσεις ( ) = ημ, ( ) = συν Σύνολο τιμών: [,] Οι συνρτήσεις ( ) = ημ κι ( ) = συν είνι περιοδικές με περίοδο T = π π π π π =ημ =συν Η τριγωνομετρική συνάρτηση ( ) = εφ Πεδίο ορισμού: π R = κπ +, κ R Σύνολο τιμών: R Η συνάρτηση ( ) = εφ είνι περιοδική με περίοδο T = π π/ π/ 3π/ Η εκθετική συνάρτηση ( ) =, 0 < Σύνολο τιμών: ( 0, + ) > 0<< 0
Η λογριθμική συνάρτηση ( ) = log, 0 < Πεδίο ορισμού: ( 0, + ) Σύνολο τιμών: R Χάρξη γρφικών πρστάσεων Η γρφική πράστση της συνάρτησης: = ( ) + c προκύπτει πό μι κτκόρυφη μεττόπιση της γρφικής πράστσης της κτά c μονάδες: προς τ πάνω ν το c > 0 προς τ κάτω ν το c < 0 = + 4 ( ) = - = - Η γρφική πράστση της συνάρτησης: = ( + c) προκύπτει πό μι οριζόντι μεττόπιση της γρφικής πράστσης της κτά c μονάδες: προς τ ριστερά ν το c > 0 προς τ δεξιά ν το c < 0 ( ) 3 = + -4-8 6 4 3 ( ) = 4 - -4-6 ( 3) 3 = -8
3 Η γρφική πράστσης της συνάρτησης είνι συμμετρική, ως προς τον άξον, της γρφικής πράστσης της, γιτί γι τ ίδι έχουν ντίθετ Δηλδή ν (, ) C τότε (, ) C Μ(,) =() Μ (, ) = () 4 Η γρφική πράστσης της συνάρτησης = είνι συμμετρική, ως προς τον άξον ( ), της γρφικής πράστσης της, γιτί γι τ ίδι C, έχουν ντίθετ Δηλδή ν (, ) τότε το ( ) νήκει στην γρφική πράστσης της = ( ) = ( ) = ( ) 5 Η γρφική πράστση της ποτελείτι πό τ τμήμτ της C που βρίσκοντι πάνω πό τον άξον κι πό τ συμμετρικά, ως προς τον άξον, των τμημάτων της C που βρίσκοντι κάτω πό τον άξον υτόν Δηλδή ν ( ) τότε ( ), C, C = () =() Πότε μι συνάρτηση λέγετι άρτι κι πότε περιττή; Μι συνάρτηση λέγετι άρτι ν γι κάθε Aισχύει: Aκι ( ) = ( ) Η γρφική πράστση της είνι συμμετρική ως προς τον άξον Πράδειγμ άρτις συνάρτησης είνι η ( ) = Μι συνάρτηση λέγετι περιττή ν γι κάθε Aισχύει: Aκι ( ) = ( ) Η γρφική πράστση της είνι συμμετρική ως προς την ρχή των ξόνων Πράδειγμ 3 περιττής συνάρτησης είνι η ( ) =