3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Α, λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος, ώστε για κάθε να ισχύει ότι και ( ) και ( ). Ο αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης. Οι πιο γνωστές περιοδικές συναρτήσεις είναι οι,, τις οποίες και θα μελετήσαμε. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού, είναι περιοδική με περίοδο Τ=π, είναι περιττή συνάρτηση άρα ισχύει ( ) για κάθε (πράγματι ( ) ( ) για κάθε ), άρα η γραφική παράσταση της έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης στο διάστημα μιας περιόδου Τ=π φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Έτσι προκύπτει και η γραφική παράσταση της συνάρτησης περιόδου Τ=π στο διάστημα μιας Επειδή η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο Τ=π η γραφική της παράσταση έχει την ίδια μορφή και στα διαστήματα [π,4π], [4π,6π], [-π,0], [-4π,-π] κτλ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 1

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ( ) Η συνάρτηση με, 0 είναι περιοδική με περίοδο, έχει μέγιστο το ρ και ελάχιστο το ρ. Για να χαράξουμε τη γραφική παράσταση της 3 δίνουμε στο τις βασικές τιμές 0,,, και αφού όμως πρώτα 3 τις διαιρέσουμε με τον αριθμό ω. Δηλαδή 0,,, και, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης 3 0 ( ) 0 1 0 1 0 γίνεται για την 3 0 ( ) 0 0 0 και η αντίστοιχη γραφική παράσταση της παίρνει τη μορφή στο διάστημα 0, Παρατηρήσεις Αν έχω να σχεδιάσω τη συνάρτηση, τότε σχεδιάζουμε πρώτα την και μετατοπίζουμε τη γραφική παράσταση της προς τα πάνω αν α>0 ή προς τα κάτω αν α<0, κατά α μονάδες. Αν έχω να σχεδιάσω τη συνάρτηση, τότε σχεδιάζουμε πρώτα την και μετά παίρνουμε τη συμμετρική της ως προς τον άξονα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. (Άσκηση 1 σελ. 81 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, κάθε φορά στο ίδιο σύστημα αξόνων. i., g( ) 0,5, h( ), 0 Λύση i. Για τις συναρτήσεις, g( ) 0,5, h( ) ισχύει άρα σχηματίζουμε τον πίνακα 3 0 0 1 0 1 0 0 g( ) 0,5 0 0, 5 0 0, 5 h( ) 0 0 0 0 0 0 Οπότε προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων. (Άσκηση σελ. 81 Α ομάδας) Σε ένα σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και στη συνέχεια τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g( ) 1 και h( ) 1. Λύση Η γραφική παράσταση της g( ) 1 προκύπτει αν μεταφέρουμε κατακόρυφα κατά μια μονάδα προς τα πάνω τη γραφική παράσταση της, ενώ της h( ) 1 αν μεταφέρουμε κατακόρυφα κατά μια μονάδα προς τα κάτω τη γραφική παράσταση της. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 3

3. (Άσκηση 3 σελ. 81 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g( ) 3 0 Λύση Η συνάρτηση g( ) 3 είναι περιοδική με περίοδο, άρα τις βασικές τιμές 3 0,,, και θα τις διαιρέσουμε με το 3. Δηλαδή 0,,, και, έτσι ο 6 3 3 βασικός πίνακας της συνάρτησης g( ) 3 3 0 0 6 g( ) 3 Έτσι οι γραφικές παραστάσεις των ) 3 3 3 0 1 0 1 0 ( και g( ) 3 είναι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 4

4. (Άσκηση 5 σελ. 81 Α ομάδας) Έστω η συνάρτηση. Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αυτής; Ποια είναι η περίοδος της εν λόγο συνάρτησης; Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της () σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου. Λύση 1 Η συνάρτηση είναι της μορφής, με και. Άρα έχει μέγιστη τιμή και ελάχιστη τιμή. Η περίοδος της συνάρτησης 3 είναι 4, άρα τις βασικές τιμές 0,,, και θα τις διαιρέσουμε 1 με το 1 ή αλλιώς θα τις πολλαπλασιάσουμε επί δηλαδή 0,,, 3 και 4, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης 3 0 0 3 4 0 0 0 Με τη βοήθεια του πίνακα σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 5

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ( ) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού, είναι περιοδική με περίοδο Τ=π, είναι άρτια συνάρτηση άρα ισχύει ( ) για κάθε (πράγματι ( ) ( ) για κάθε ), άρα η γραφική παράσταση της έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y. Η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης στο διάστημα μιας περιόδου Τ=π φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Έτσι προκύπτει και η γραφική παράσταση της συνάρτησης μιας περιόδου Τ=π στο διάστημα Επειδή η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο Τ=π η γραφική της παράσταση έχει την ίδια μορφή και στα διαστήματα [π,4π], [4π,6π], [-π,0], [-4π,-π] κτλ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 6

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ( ) Η συνάρτηση με, 0 είναι περιοδική με περίοδο, έχει μέγιστο το ρ και ελάχιστο το ρ. Για να χαράξουμε τη γραφική παράσταση της 3 δίνουμε στο τις βασικές τιμές 0,,, και αφού όμως πρώτα 3 τις διαιρέσουμε με τον αριθμό ω. Δηλαδή 0,,, και, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης 3 0 ( ) 1 0 1 0 1 γίνεται για την 3 0 0 0 και η αντίστοιχη γραφική παράσταση της παίρνει τη μορφή στο διάστημα 0, Παρατηρήσεις Αν έχω να σχεδιάσω τη συνάρτηση, τότε σχεδιάζουμε πρώτα την και μετατοπίζουμε τη γραφική παράσταση της προς τα πάνω αν α>0 ή προς τα κάτω αν α<0, κατά α μονάδες. Αν έχω να σχεδιάσω τη συνάρτηση, τότε σχεδιάζουμε πρώτα την και μετά παίρνουμε τη συμμετρική της ως προς τον άξονα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 7

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5. (Άσκηση 1 σελ. 81 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, κάθε φορά στο ίδιο σύστημα αξόνων. ii., g( ) 0,5, h( ) 0 Λύση ii. Για τις συναρτήσεις, g( ) 0,5, h( ) ισχύει άρα σχηματίζουμε τον πίνακα 3 0 1 0 1 0 1 0 0 g( ) 0,5 0, 5 0 0, 5 0 0, 5 h( ) 0 0 Οπότε προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων 6. (Άσκηση 4 σελ. 81 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g( ) 3 0 Λύση Η συνάρτηση g( ) 3 είναι περιοδική με περίοδο, άρα τις βασικές τιμές 3 0,,, και θα τις διαιρέσουμε με το 3. Δηλαδή 0,,, και, έτσι ο 6 3 3 βασικός πίνακας της συνάρτησης g( ) 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 8

3 0 0 6 g( ) 3 3 3 3 1 0 1 0 1 Έτσι οι γραφικές παραστάσεις των και g( ) 3 είναι 7. (Άσκηση 6 σελ. 8 Α ομάδας) Έστω η συνάρτηση. Ποια είναι η μεγίστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αυτής; Ποια είναι η περίοδος της εν λόγο συνάρτησης; Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της () σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου. Λύση 1 Η συνάρτηση είναι της μορφής, με και. Άρα έχει μεγίστη τιμή και ελάχιστη τιμή. Η περίοδος της συνάρτησης 3 είναι 4, άρα τις βασικές τιμές 0,,, και θα τις διαιρέσουμε 1 με το 1 ή αλλιώς θα τις πολλαπλασιάσουμε επί δηλαδή 0,,, 3 και 4, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης 3 0 0 3 4 0 0 Με τη βοήθεια του πίνακα σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 9

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ( ) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού /,, είναι περιοδική με περίοδο Τ=π, είναι περιττή συνάρτηση άρα ισχύει ( ) για κάθε (πράγματι ( ) ( ) για κάθε ), άρα η γραφική παράσταση της έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων. Ορίζεται στο διάστημα, αλλά και σε κάθε διάστημα της μορφής, στα οποία είναι γνησίως αύξουσα και δεν έχει ακρότατα. Τέλος έχει ασύμπτωτες τις κατακόρυφες ευθείες και και η γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχήμα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 10

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8. (Άσκηση 7 σελ. 8 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων i. ii. g( ) 1 iii. h( ) 1 στο ίδιο σύστημα αξόνων. Λύση Η γραφική παράσταση της g( ) 1 προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της κατά μια μονάδα προς τα πάνω, ενώ της h( ) 1 κατά μια μονάδα προς τα κάτω. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 11