ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ ΕΞ. ΠΕΡΙΟΔΟΣ Β ΧΕΙΜ. 00 - ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Για τα παρακάτω συστήματα εισόδου εξόδου α. y ( 3x( x( n ) β. y ( x( n ) / γ. y ( x( x( n ) δ. y( x( n ) Α. Αιτιολογήστε αν είναι γραμμικά ή όχι και χρονικά αμετάβλητα ή όχι. B. Για τα συστήματα που θεωρείτε ότι είναι LTI βρείτε την κρουστική τους απόκριση με όποια μέθοδο επιθυμείτε. Α. α. Δοκιμάζουμε είσοδο x( x(. Τότε η έξοδος είναι 3x ( x( n ) 3x ( x( n ) ενώ y ( y( 3x( x( n ) 3x( x( n ) άρα είναι γραμμικό. Δοκιμάζουμε είσοδο x( n n0 ). Τότε η έξοδος είναι 3x( n no ) x( n no ). Αν τώρα θέσουμε όπου n το n no y ( n no ) 3x( n no ) x( n no ) που είναι το ίδιο με την προηγούμενη σχέση. Άρα το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο. Προσέξτε τη διαφορά στο δεύτερο όρο των σχέσεων: n--n o vs n-n o - που όμως τελικά δίνουν την ίδια εξίσωση. β. Δοκιμάζουμε είσοδο x( x (. Τότε η έξοδος είναι x ( n ) x ( n ) / ενώ y ( y( x( n ) x( n ) άρα είναι μη γραμμικό. Δοκιμάζουμε είσοδο x( n n0 ). Τότε η έξοδος είναι x ( n no ) /. Αν τώρα θέσουμε όπου n το n no y ( n no ) x( n no ) / που είναι το ίδιο με την προηγούμενη σχέση. Άρα το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο. γ. Όμοια με το α δ. Δοκιμάζουμε είσοδο x( x (. Τότε η έξοδος είναι x( n ) x( n ) ενώ y( y( x( n ) x( n ) άρα είναι γραμμικό. Έστω x' ( x( n ). Τότε x' ( n no ) x( n n o ) και η έξοδος με αυτή την είσοδο είναι x( n no ). Αν τώρα θέσουμε όπου n το n no y( n no ) x[( n n o ) ] που δεν είναι το ίδιο με την προηγούμενη σχέση. Άρα το σύστημα είναι χρονικά μεταβαλλόμενο.
Β. Εδώ μπορούμε να πάρουμε και στα μέλη της εξίσωσης εισόδου-εξόδου του LTI j j συστήματος τον DTFT ή Ζ, να σχηματίσουμε το πηλίκο Y ( ) / X ( ) ή Y ( z) / X ( z) και να βρούμε την h ( με τον αντίστροφο μετασχηματισμό. Πιο γρήγορος τρόπος είναι να θέσουμε είσοδο x( ( και να υπολογίσουμε την έξοδο y(. Τα συστήματα LTI είναι τα α και γ. Για αυτά έχουμε απευθείας: 3 ( ( n ) ( ( n ) ΘΕΜΑ Το φίλτρο μέσης τιμής (Ν όρων) δίνεται από την εξίσωση διαφοράς: y ( k0 x( n k) Α. Αιτιολογήστε αν το φίλτρο είναι FIR ή IIR. Β. Ποια είναι η συνάρτηση κρουστικής απόκρισης; Γ. Ποια η συχνοτική απόκριση; Δ. Σχεδιάστε το φάσμα πλάτους για 4 και (, ]. Ποιες ψηφιακές κυκλικές συχνότητες ω κόβει το φίλτρο για αυτήν την τιμή του ; Α. Από την εξίσωση διαφοράς παρατηρούμε ότι αφού δεν υπάρχουν όροι y n n ) ( n 0), το φίλτρο είναι FIR. o ( o Β. Είτε από απευθείας σύγκριση με τη σχέση συνέλιξης εισόδου-εξόδου k y ( k) x( n k) είτε θέτοντας όπως και πριν x( (, λαμβάνουμε: k0 ( n k) (δηλαδή για 0 n και 0 αλλού, σαν ορθογώνιο παράθυρο) Γ. Παίρνοντας τον DTFT στο προηγούμενο αποτέλεσμα: DTFT{ } DTFT{ k0 ( n k)} j j jk H ( ) j k0 όπου χρησιμοποιήσαμε και το βοήθημα στο τελευταίο βήμα.
j / Δ. Εδώ βγάζουμε έξω τον παράγοντα από τον αριθμητή και τον παράγοντα j / j από τον παρονομαστή για να φέρουμε την μιγαδική H ( ) στην πολική μορφή j H ( ) : H ( j ) H ( j ) j jarg[ H ( )] και να απομονώσουμε το φάσμα πλάτους H ( j ) j j j / j / j / j / j / j / j( ) / sin( / ) sin( / ) Άρα το φάσμα πλάτους που θέλουμε είναι sin( / ) H ( j ) sin( / ) Και για Ν=4: j sin() H ( ) sin( / ) Το παραπάνω έχει ένα σημείο απροσδιοριστίας 0/0 στο 0 και με τον κανόνα του D L' Hospital έχουμε στο 0: sin()' cos() 4 sin( / )' / cos( / ) / 0 0 j Τα σημεία μηδενισμού της H ( ) στο (-π,π] είναι για sin( ) 0 l, l,, 3... αλλά αφού κινούμαστε στο (-π,π] παίρνουμε τελικά και που δίνουν ω={-π, -π/, π/, π} ως σημεία μηδενισμού. Αρα η γραφική παράσταση είναι: 4 3.5 3.5 H (jω ).5 0.5 0-4 -3 - - 0 3 4 ω Δω=π/Ν Δf=/(T)
ΘΕΜΑ 3 Επιθυμούμε να μελετήσουμε το σήμα y( t) sin(0000t ) στο πεδίο της συχνότητας με τον DFT. A. Τι συχνότητα δειγματοληψίας θα παίρναμε ώστε να έχουμε σωστή απεικόνιση των αρμονικών και γιατί; Β. Αν θέλουμε να μπορούμε να διακρίνουμε μεταβολές στο φάσμα DFT κατά βήματα τουλάχιστον 0Hz (0Hz rsolutio, τι μήκος παραθύρου DFT πρέπει να διαλέξουμε; Α. Το σήμα μας έχει μέγιστη συχνότητα 5kHz. Άρα θα πρέπει να λάβουμε (σύμφωνα με το θεώρημα δειγματοληψίας) συχνότητα δειγματοληψίας f 0kHz Β. Έυκολη μέθοδος: Η διακριτότητα του DFT είναι περίπου Δω=π/Ν γιατί υπολογίζεται σε συχνότητες που απέχουν Δω μεταξύ τους. Άρα ΔΩ=π/(ΝΤ) ή Δf=/(T) Hz είναι η διακριτότητα του DFT. Για να μπορούμε να διακρίνουμε μεταβολές κατά βήματα 0 Hz τουλάχιστον πρέπει: f 0 0 T 0. T Όμως Τ=/f s =0-4 sc. Άρα πρέπει 000 s Δύσκολη αλλά πιο αναλυτική μέθοδος: Από τη γραφική παράσταση του ορθογώνιου παραθύρου του ερωτήματος.δ βλέπουμε ότι ο κεντρικός λοβός (λόφος) του DFT παραθύρου έχει εύρος Δω=π/Ν+π/Ν=4π/Ν (στο σχήμα είναι π) δηλαδή είναι η απόσταση μεταξύ των πρώτων σημείων μηδενισμού. Αφού Δω=4π/Ν τότε στο πεδίο της αναλογικής συχνότητας ΔΩ=4π/(ΝΤ) και Δf=/(T). Αν θεωρήσουμε ότι μόνο ο κεντρικός λοβός είναι αρκετά μεγάλος ενώ οι υπόλοιποι είναι πολύ μικροί (δηλαδή στο σχήμα οι πλευρικοί είναι πολύ μικροί) τότε αν πολλαπλασιαστεί αυτός ο λοβός με φασματικές γραμμές που απέχουν μεταξύ τους κατά Δf k και με την μία φασματική γραμμή να βρίσκεται στο f=0 ( δηλαδή δ(f) και δ(f±δf k ) ), τότε θα εμφανιστούν φασματικές γραμμές αν Δf > Δf k ενώ αν Δf < Δf k θα εμφανιστεί μόνο η μία, το οποίο είναι και το επιθυμητό αποτέλεσμα γιατί έτσι μπορούμε να τις ξεχωρίσουμε. (Ο παραπάνω πολλαπλασιασμός αποτελεί ένα βήμα/μέρος της συνέλιξης του ορθογώνιου παραθύρου με ένα πλήθος δέλτα συναρτήσεων στο πεδίο της συχνότητας. Στο επόμενο βήμα έχουμε πολλαπλασιασμό με τον λόφο μετατοπισμένο κατά Δf και πρόσθεση στο προηγούμενο αποτέλεσμα άρα τώρα η μία φασματική γραμμή προκαλεί παρεμβολή στην άλλη για εύρος λοβού Δf > f k - δείτε τις σημειώσεις του μαθήματος για λεπτομέρειες).
Άρα για να διακρίνουμε φασματικές γραμμές που απέχουν Δf k =0Hz μεταξύ τους ως ξεχωριστές φασματικές πρέπει f 0 0 T 0. T Όμως Τ=/f s =0-4 sc. Άρα πρέπει 000 Αυτή η δύσκολη μέθοδος είναι χρήσιμη για να μελετήσετε την επίπτωση διαφόρων ειδών παραθύρου εκτός του ορθογώνιου (π.χ. Hanning) στη διακριτική ικανότητα του DFT. (Βοήθημα: x k0 k x x )