Τεχνολογικό Eκπαιδευτικό Ίδρυμα Kρήτης Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής" Βιομηχανική Ρομποτική «Κινηματική στερεών σωμάτων» Δρ. Φασουλάς Γιάννης Τα ρομπότ στην βιομηχανία 2
Στόχος: Παροχή και κατανόηση βασικών γνώσεων που σχετίζονται με την κινηματική στερεών σωμάτων Εισαγωγή στη θεωρία μετασχηματισμών Δρ. Φασουλάς Γιάννης 3 Περιεχόμενα Παρουσίασης ΘΕΣΗ & ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ Ανύσματα θέσης Πίνακες Στροφής Πλαίσια συντεταγμένων ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΣΤΡΟΦΗΣ Γωνίες Euler Γωνίες γύρω από σταθερούς άξονες Equivlent ngle- is Δρ. Φασουλάς Γιάννης 4 2
Περιγραφή στερεού σώματος στον χώρο Θέση αντικειμένων: - Ρομποτικών Συνδέσμων, κομματιών, Εργαλείων Προσδιορίζονται από: - Συστήματα Συντεταγμένων Το ρομπότ απαιτεί την γνώση εσωτερικής και εξωτερικής πληροφορίας (που βρίσκεται αυτό, καθώς και τα αντικείμενα γύρω του). Για να προσδιορίσουμε τη θέση και τον προσανατολισμό αντικειμένων επισυνάπτουμε σε αυτά ένα πλαίσιο συντεταγμένων 5 Δεξιόστροφα και ορθομοναδιαία συστήματα συντεταγμένων.8.6.4.2.5.5 Δρ. Φασουλάς Γιάννης 6 3
Δρ. Φασουλάς Γιάννης 7 Βασικά Συστήματα (πλαίσια) Συντεταγμένων ΣΣ Κάμερας ΣΣ Εργαλείου ΣΣ Συνδέσμου ΣΣ Στόχου Βασικό ΣΣ Δεξιόστροφα ΣΣ 8 4
Ένα απλό πρόβλημα ρομποτικής και οι γνώσεις που απαιτούνται για την επίλυσή του Στο σχήμα παρουσιάζεται ένα ρομπότ και ο πάγκος εργασίας πάνω στον οποίο υπάρχει ένας κύβος. Επίσης έχουν ορισθεί τα πλαίσια {Β} στη βάση του ρομπότ, {Τ} στο άκρο της αρπάγης του ρομπότ, {S} στην άκρη από το πάγκο εργασίας, {G} του κύβου. Έστω ότι γνωρίζουμε την θέση και τον προσανατολισμό του άκρου της αρπάγης ως προς τη βάση του ρομπότ, του πάγκου εργασίας ως προς τη βάση του ρομπότ, και του κύβου ως προς τον πάγκο εργασίας. Να υπολογιστεί η θέση και ο προσανατολισμός του κύβου ως προς το εργαλείο του βραχίονα. {B} {S} {G} {T} Δρ. Φασουλάς Γιάννης 9 Περιγραφή θέσης Σημείο Άνυσμα θέσης Συντεταγμένες σημείου p p b p p p b B Μέτρο ανύσματος p b MATLAB A 2 2 2 ( ) ( ) ( ) pb p + p + p g Εκφράζει την απόσταση b του σημείου p b από την αρχή του {Α} VRML {Α}, {Β}: Δεξιόστροφα σύστηματα συντεταγμένων Δρ. Φασουλάς Γιάννης 5
ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια είναι η θέση του πλαισίου {B} ως προς το πλαίσιο {A}; X 3 Z {A} Y X {B} Y 5 Z Επιλέξτε απάντηση A: P 5 B: AB 3 PAB 3 5 P 3 3 C: AB D: PAB 5 3 Δρ. Φασουλάς Γιάννης ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια είναι η απόσταση της αρχής του πλαισίου {B} από το πλαίσιο {A}; X 3 Z {A} Y {B} X Y 5 Επιλέξτε απάντηση Z A: B: C: 4.2426 D: 5.96.732 5.83 Δρ. Φασουλάς Γιάννης 2 6
Εσωτερικό γινόμενο ανύσματος με μοναδιαίο άνυσμα e,i i,, Εσωτερικό γινόμενο e e e e ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Εκφράζει την προβολή του πάνω στο μοναδιαίο άνυσμα e i i i? e e i e i e i ei > ei < ei Δρ. Φασουλάς Γιάννης 3 Υπολογισμός εσωτερικού γινομένου!e i e,i i,, e e e e e e e!e " #$ % &' e ei ei cos(,e i) Δρ. Φασουλάς Γιάννης 4 7
Περιγραφή προσανατολισμού Πίνακας στροφής Εκφράζει τις διευθύνσεις R b R 3 3 του {B}: X B, Y B και Z B στο πλαίσιο {A}. B p b X B, Y B και Z B τα μοναδιαία ανύσματα του {Β} A g b VRML Δρ. Φασουλάς Γιάννης 5 Περιγραφή προσανατολισμού.8.6.8.6.4.2.2.4.6.8 {Α}.5.4.2 -.5.5 {Β} {Α} Για να περιγράψουμε τον προσανατολισμό του {Β} ως προς το {Α} πρέπει να βρούμε τον πίνακα στροφής R AB.5 R AB ΠΡΟΣΟΧΗ Τα σημεία δεν έχουν προσανατολισμό Δρ. Φασουλάς Γιάννης 6 8
.8.6 Περιγραφή προσανατολισμού Η πρώτη στήλη του R AB εκφράζει πως προβάλλεται το μοναδιαίο άνυσμα e B του πλαισίου {Β} στους μοναδιαίους άξονες e A, e A, e A του {Α}.4.2 -.5 {Α}.5 r r2 r3 RAB r2 r22 r 23 r3 r32 r 33 {Β}.5 Η δεύτερη στήλη του R AB εκφράζει πως προβάλλεται το μοναδιαίο άνυσμα e B του πλαισίου {Β} στους μοναδιαίους άξονες e A, e A, e A του {Α} Η τρίτη στήλη του R AB εκφράζει πως προβάλλεται το μοναδιαίο άνυσμα e B του πλαισίου {Β} στους μοναδιαίους άξονες e A, e A, e A του {Α} Οι τρις στήλες αποτελούν μοναδιαία ανύσματα και συνθέτουν έναν (33) πίνακα στροφής Τελικά ο πίνακα στροφής R AB περιγράφει τον προσανατολισμό του {Β} ως προς το {Α} Δρ. Φασουλάς Γιάννης 7 Κατασκευή του πίνακα στροφής b {A} b Rb [ b b b ] b {B}. b. b. b b. b b. b b. b.. b b. b R b Στήλες : μοναδιαία ανύσματα του {B} εκφρασμένα στο {A} R b Γραμμές : μοναδιαία ανύσματα του {Α} εκφρασμένα στο {Β} T R R b b 8 9
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ι Περιγραφή προσανατολισμού Πίνακας στροφής που συσχετίζει δύο πλαίσια συντεταγμένων με παράλληλους άξονες.5.5 -.5 A 2 B 3 -.5.5 Όταν ο πίνακας στροφής είναι ο μοναδιαίος πίνακας Ι 33 τότε τα πλαίσια συντεταγμένων που συσχετίζει έχουν τον ίδιο προσανατολισμό.5 R AB? RAB I 33 Δρ. Φασουλάς Γιάννης 9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΙΙ Περιγραφή προσανατολισμού Πίνακας στροφής που συσχετίζει δύο πλαίσια συντεταγμένων με παράλληλους άξονες.5.5 R AB? A -.5 2 B 3 - RAB Δρ. Φασουλάς Γιάννης 2
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΙΙΙ Περιγραφή προσανατολισμού Πίνακας στροφής που συσχετίζει δύο πλαίσια συντεταγμένων με παράλληλους άξονες.5 R AB? -.5 - A 2 3 B - RAB Δρ. Φασουλάς Γιάννης 2 Ιδιότητες του πίνακα στροφής r r2 r3 RAB r2 r22 r 23 r3 r32 r 33 A A A RAB eb eb e B Πίνακας στροφής Ορθογώνιος Ορίζουσα πίνακα στροφής + Στήλες Ορθομοναδιαία Ανύσματα A A A B B B T e e e A A ( B ) ( B ) A A ( B ) ( B ) A A ( B ) ( B ) e e e e e e T R R RR I R R T R R R R + T AB BA AB Δρ. Φασουλάς Γιάννης 22
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ι Ιδιότητες του πίνακα στροφής ΕΡΩΤΗΣΗ Ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα για τους πίνακες στροφής; Δηλαδή, RABRCD RCDRAB Όπου R AB,RCD αποτελούν πίνακες στροφής Επιλέξτε απάντηση A: Ναι B: Όχι Δρ. Φασουλάς Γιάννης 23 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΙI Ιδιότητες του πίνακα στροφής ΕΡΩΤΗΣΗ Ποιος από τους παρακάτω πίνακες είναι ένας πίνακας στροφής A: B: 2 RAB 2 2 RAB.2.2 C: RAB D: RAB Δρ. Φασουλάς Γιάννης 24 2
Βασικές Στροφές Rot(, θ) cθ sθ sθ cθ {A} θ {Β} {B} cθ cos( θ) sθ sin( θ) cθ sθ Rot(,θ) sθ cθ cθ sθ Rot(, θ) sθ cθ Rot( i, θ) Rot( i, θ) i,, VRML Δρ. Φασουλάς Γιάννης 25 Στροφή ανύσματος θέσης με τη βοήθεια του πίνακα στροφής {A} cθ sθ R rot(, θ ) s c θ θ θ p q p Rq [ ] q T MATLAB Δρ. Φασουλάς Γιάννης 26 3
Παράδειγμα 27 Δρ. Φασουλάς Γιάννης Πίνακας στροφής για τον μετασχηματισμό συντεταγμένων {A} q q [ ] b b b b {B} {Β} T [ ] q? T q R q b b Δρ. Φασουλάς Γιάννης 28 4
Παράδειγμα 29 Δρ. Φασουλάς Γιάννης Σύνθεση πινάκων στροφής {Α} R b {B} R bc {C} Rc RbRbc Δρ. Φασουλάς Γιάννης 3 5
Παράδειγμα 3 Δρ. Φασουλάς Γιάννης Κανόνες Σύνθεσης στροφών R*R2 δεν είναι το ίδιο με R2*R Στροφή γύρω από το σταθερό πλαίσιο: Πολλαπλασιασμός από αριστερά Στροφή γύρω από το στρεφόμενο πλαίσιο Πολλαπλασιασμός από δεξιά Δρ. Φασουλάς Γιάννης 32 6
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ι Σύνθεση στροφών Θεωρήστε την παρακάτω ακολουθία στροφών :. Στροφή κατά γωνία φ γύρο από τον άξονα- του πλαισίου βάσης. 2. Στροφή κατά γωνία ψ γύρο από τον άξονα- του πλαισίου βάσης. 3. Στροφή κατά γωνία θ γύρο από τον τρέχον άξονα-. Ποιο γινόμενο πινάκων αντιστοιχεί στον τελικό πίνακα στροφής των παραπάνω διαδοχικών στροφών; Επιλέξτε απάντηση A: Rot(,θ) Rot(,φ) Rot(, ψ) B: Rot(, ψ) Rot(,φ) Rot(,θ) C: Rot(,φ) Rot(, ψ) Rot(,θ) D: Rot(,θ) Rot(, ψ) Rot(,φ) Δρ. Φασουλάς Γιάννης 33 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΙΙ Σύνθεση στροφών Θεωρήστε την παρακάτω ακολουθία στροφών :. Στροφή κατά γωνία φ γύρο από τον άξονα- του πλαισίου βάσης. 2. Στροφή κατά γωνία θ γύρο από τον τρέχον άξονα-. 3. Στροφή κατά γωνία ψ γύρο από τον τρέχον άξονα-. 4. Στροφή κατά γωνία α γύρο από τον άξονα- του πλαισίου βάσης. Ποιο γινόμενο πινάκων αντιστοιχεί στον τελικό πίνακα στροφής των παραπάνω διαδοχικών στροφών; A: B: C: D: Επιλέξτε απάντηση Rot(,φ) Rot(,α) Rot(,θ) Rot(, ψ) Rot(,α) Rot(,φ) Rot(,θ) Rot(, ψ) Rot(, ψ) Rot(,φ) Rot(,θ) Rot(,α) Rot(,θ) Rot(,φ) Rot(,α) Rot(, ψ) Δρ. Φασουλάς Γιάννης 34 7
Συνδυάζει την πληροφορία της θέσης (διάνυσμα μετατόπισης) και του προσανατολισμού (πίνακας στροφής) σε μία ενιαία αναπαράσταση, εφόσον αυτά εκφράζονται ως προς κοινό σύστημα αναφοράς {B} ( p, R ) b b {Α} {Β} Δρ. Φασουλάς Γιάννης 35 {B} ( p, R ) b b {Α} {Β} 33 πίνακας στροφής r r2 r3 r4 r5 r6 3 μεταφορά r7 r8 r9 3 προοπτική κλίμακα Ομογενής μετασχηματισμός Δρ. Φασουλάς Γιάννης 36 8
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΡΩΤΗΣΗ Ποιος από τους παρακάτω πίνακες είναι ένας ομογενής μετασχηματισμός Επιλέξτε απάντηση 2.5 2.4 2.5 2 2.54 2 3.2 2.54 A: B: C: 6 3 5 6 Δρ. Φασουλάς Γιάννης 37 για τον μετασχηματισμό συντεταγμένων [ ] q b b b b [ ] q T T {A} q q b {Β} {B} q pb + Rbqb Η πρόσθεση ανυσμάτων πρέπει να γίνεται στο ίδιο ΣΣ Αντικαθίσταται από την περισσότερο παραστατική εξίσωση: q Rb pb qb g b q q p b g R b, q R 4 b q b b Rb pb 38 9
Ο ως τελεστής [ ] T q Προκαλεί πρώτα στροφή του q όπως περιγράφει ο πίνακας στροφής R και έπειτα μεταφορά όπως περιγράφει το άνυσμα p q p Rq q! " T # $ {A} p R p g p gq Δρ. Φασουλάς Γιάννης 39 Ομογενείς μετασχηματισμοί μεταφοράς και στροφής Γενική μορφή ομογενούς μετασχηματισμού! g # # " R 33 p 3 3 $ & & %! g p # # " g g p g r I 33 p 3 3 $ & & % Ο.Μ. καθαρής Μεταφοράς! g r # # " R 33 3 3 $ & & % Ο.Μ. καθαρής Στροφής 2
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ομογενείς μετασχηματισμοί καθαρής μετατόπισης Ένα σετ οµογενών µετασχηµατισµών για µετατόπιση δίνεται από: Trns, α α Trns b, b Trns c, c Δρ. Φασουλάς Γιάννης 4 Ομογενείς μετασχηματισμοί καθαρής στροφής Ένα σετ οµογενών µετασχηµατισµών για περιστροφές δίνεται από: Rot, α Cα Sα Sα Cα Rot, φ Cφ Sφ Sφ Cφ Rot, θ Cθ Sθ Sθ Cθ Δρ. Φασουλάς Γιάννης 42 2
Αντίστροφος Αν g b R p τότε g b T T R R p g b g b Δρ. Φασουλάς Γιάννης 43 Σύνθεση Ομογενών Μετασχηματισμών g {Α} {B} {C} b g bc g gc gbgbc R R R p + p b bc b bc b c gbgbc Δρ. Φασουλάς Γιάννης 44 22
ΑΣΚΗΣΗ Στο σχήμα παρουσιάζεται ένα ρομπότ και ο πάγκος εργασίας πάνω στον οποίο υπάρχει ένας κύβος. Επίσης έχουν ορισθεί τα πλαίσια {Β} στη βάση του ρομπότ, {Τ} στο άκρο της αρπάγης του ρομπότ, {S} στην άκρη από το πάγκο εργασίας και {G} του κύβου. Έστω ότι γνωρίζουμε την θέση και τον προσανατολισμό του άκρου της αρπάγης ως προς τη βάση του ρομπότ, δηλαδή τον g bt, του πάγκου εργασίας ως προς τη βάση του ρομπότ g bs, και του κύβου ως προς τον πάγκο εργασίας g sg. Να υπολογιστεί η θέση και ο προσανατολισμός του κύβου ως προς το εργαλείο του βραχίονα. {B} {S} {G} {T} ΛΥΣΗ Μπορούμε να εκφράσουμε την θέση και τον προσανατολισμό του κύβου ως προς τη βάση του ρομπότ από δύο δρόμους, μέσω του ρομπότ και μέσω τού πάγκου εργασίας. Έτσι δημιουργούμε μία εξίσωση ομογενών μετασχηματισμών την οποία λύνουμε για τον άγνωστο μετασχηματισμό: Δρ. Φασουλάς Γιάννης 45 Σύνθεση Ομογενών Μετασχηματισμών g*g2 δεν είναι το ίδιο με g2*g Στροφή ή μετακίνηση γύρω από το σταθερό πλαίσιο: Πολλαπλασιασμός από αριστερά Στροφή ή μετακίνηση γύρω από το κινούμενο πλαίσιο: Πολλαπλασιασμός από δεξιά Δρ. Φασουλάς Γιάννης 46 23
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Παράδειγμα Ο πίνακας οµογενούς µετασχηµατισµού Η, αναπαριστά µια περιστροφή γύρω από τον -άξονα κατά α µοίρες, µια µετατόπιση κατά b µονάδες κατά µήκος του τρέχοντος -άξονα, µια µετατόπιση κατά d µονάδες κατά µήκος του τρέχοντος -άξονα και µια περιστροφή γύρω από τον τρέχων -άξονα κατά θ µοίρες H Rot Trns Trns Rot, α, b, d, θ b Cθ Sθ Cα Sα Sθ Cθ Sα Cα d Cθ Sθ b CαSθ CαCθ Sα Sαd SαSθ SαCθ Cα Cαd Δρ. Φασουλάς Γιάννης 47 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν οι ομογενείς μετασχηματισμοί g, g 2, g 2 ανάμεσα στα πλαίσια συντεταγμένων που δίνονται και αποδείξτε ότι g 2 g g 2 Δρ. Φασουλάς Γιάννης 48 24
Μετασχηματισμός βίδας: Μια ειδική περίπτωση Δρ. Φασουλάς Γιάννης 49 Ομογενείς μετασχηματισμοί μεταφοράς και στροφής R p g Γενική μορφή ομογενούς μετασχηματισμού g g p g r I g p 3 R g r p Μεταφορά Στροφή Είναι ο g r g p ομογενής μετασχηματισμός στερεού σώματος; r p R Rp g g Είναι ο g r g p - g p g r ομογενής μετασχηματισμός;??g g r p g * g 2 δεν είναι το ίδιο με g 2 *g 5 25