ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Α ΕΚΔΟΣΗ:7/0/0 ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΑΣΚΗΣΗ 4 (από Περικλή Παντούλα) α. Αν η είναι συνεχής στο [0,] να δείξετε ότι υπάρχει 0 (0,) τέτοιο ώστε ( 0 ) =. 0 0 β. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη στο για την οποία ισχύει + ( ) e για κάθε. Να αποδείξετε ότι : i. Η είναι συνεχής στο 0 = 0 ( 0 ) ii. Αν η είναι συνεχής στο, να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 (,), ώστε = 0. 004 iii. Να υπολογίσετε το lim ( ) + ΑΣΚΗΣΗ 4 (από Χρήστο Τσιφάκη) 5 3 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: ( ) = z + z με και z 5 * C. α. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) = 0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (0, z ) δ. Αν 5 ( ) + z lim =, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z. 0 3 ηµ Πηγή: http://www.study4eams.gr ΑΣΚΗΣΗ 43 (από pit) Δίνεται η συνεχής στο συνάρτηση και η συνάρτηση g: με την ιδιότητα g ( ) ( ) = eg ( ) + για κάθε και (0) <. α. Να βρείτε το lim ( ) β. Να βρείτε το lim g ( ) Επιμέλεια: parmenides5
γ. Να δείξετε ότι g(0) δ. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( )( e+ )[ g ( ) + e] = [ ( ) + ] έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [0,) και μία τουλάχιστον μη θετική ρίζα. ΑΣΚΗΣΗ 44 (από Περικλή Παντούλα) Μια συνεχής συνάρτηση : * για κάθε y, α. Να αποδειχθεί ότι: i. ( 3) = 3 ii. = ( ), iii. ( y) = ( ) ( y) και ( ) β. Να βρεθεί ο τύπος της. 3 3 y y y με ( ) = έχει την ιδιότητα ( ) = ( ) + ( ) = για κάθε 4 ΑΣΚΗΣΗ 45 (από Δημήτρη Κατσίποδα) Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση : και η συνάρτηση g : ώστε για κάθε να ισχύει η σχέση ( ( )) = g ( ) α. Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο. β. Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της h ( ) = ( ) g ( ) γ. Έστω 0 με ( 0) = 0 i. Να δείξετε ότι η C και η C g τέμνονται σε ένα μόνο σημείο. ii. Να λύσετε την εξίσωση ( ( + 0 )) + + 0 = ( + 0 ) + iii. Να λύσετε την ανίσωση ( (ln + 0 + )) + ln + < 0 Πηγή: Χ.Πατήλας (εκδόσεις Κωστόγιαννος) ΑΣΚΗΣΗ 46 (από pit) Έστω η συνάρτηση : (0, + ) για την οποία ισχύει ( ) ( y) = ( ) για κάθε y>, 0 και η y εξίσωση ( ) = 0 που έχει μοναδική ρίζα. α. Να βρείτε το () β. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται. Επιμέλεια: parmenides5
γ. Να λύσετε την εξίσωση ( ) + ( ) = (5 6) δ. Αν ( ) < 0 για κάθε >, να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, + ). ΑΣΚΗΣΗ 47 (από Δημήτρη Κατσίποδα) Δίνεται η συνάρτηση ( ) = ln( + ) α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. β. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα. γ. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την δ. Να λύσετε την εξίσωση ( ) = ε. Να βρείτε τα κοινά σημεία της C και της y = Πηγή: Α.Μπάρλας (εκδόσεις Eλληνοεκδοτική) ΑΣΚΗΣΗ 48 (από Μπάμπη Στεργίου) Δίνεται η συνάρτηση : με την ιδιότητα: ( + ( + y)) = ( ) + y για κάθε y,. Να αποδείξετε ότι : α. (0) = 0 β. ( )( ) = για κάθε γ. η είναι δ. η έχει σύνολο τιμών το. ε. ( ) = για κάθε ΑΣΚΗΣΗ 49 (από dennys) Έστω η συνάρτηση ( ) ( = ln e ) ln( + e ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού D β. Να Βρείτε το πρόσημο της ( ) γ. Να βρείτε την μονοτονία της δ. Να βρείτε την ε. Βρείτε το m < 0 έτσι ώστε ( m) = m στ. Αν g ( ) = ( ), < 0, να βρείτε την μονοτονία της g ( ) ζ. Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( ) < + η. Αν h( ) =ln( ), να αποδείξετε ότι υπάρχει c έτσι ώστε () c = hc () 3 ( ) + + 6 θ. Να βρείτε τα όρια: A =, B= lim lim ( 3) ( e ) ( ) e ( ) Επιμέλεια: parmenides5
ΑΣΚΗΣΗ 50 (από Μπάμπη Στεργίου) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ( ) = + ln. α. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής. β. Να λύσετε την εξίσωση ( ) = γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της και να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) = 0 έχει μία ακριβώς ρίζα. δ. Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης της. ε. Να λύσετε την εξίσωση ( ) = στ. Να λύσετε την ανίσωση ( ) > ΑΣΚΗΣΗ 5 (από Γιάννη Σταματογιάννη) Δίνεται συνάρτηση για την οποία ισχύει ( ) ηµ ( ) = για κάθε χ πραγματικό αριθμό α. Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) β. Να αποδείξετε ότι ( ) ηµ ( ) γ. Να υπολογίσετε το όριο lim 0 ( ) ( ) δ. Να υπολογίσετε το όριο lim 0 ΑΣΚΗΣΗ 5 (από Δημήτρη Κατσίποδα) 3 Δίνονται οι συναρτήσεις g ( ) 3 30 95 λ 4 5 = + + (3+ 5),, λ και h ( ) =, 4 4 3 α. Να αποδείξετε ότι η σύνθεση = gh ορίζεται για κάθε τιμή του και έχει τύπο ( ) = ( gh)( ) = + 5 + 0 λ β. Για τις διάφορες τιμές του λ να υπολογίσετε το lim ( ) + + γ. Για εκείνη την τιμή του λ που το lim ( ) είναι πραγματικός αριθμός να υπολογίσετε το ( ) + lim 4 + 4 δ. Για την ίδια τιμή του λ να υπολογίσετε το 3 ηµ lim ( ) + + Επιμέλεια: parmenides5
ΑΣΚΗΣΗ 53 (από aleandrpuls) Έστω συνάρτηση : Να δειχθεί ότι : α. η είναι αντιστρέψιμη. β. ισχύει ( ) ( ) για την οποία ισχύει ( ) = + ( ) + γ. η δεν είναι περιττή. δ. ( ) = 0 ( ) ( ) + y = + y+ για κάθε y,. ΑΣΚΗΣΗ 54 (από Μίλτο Παπαγρηγοράκη) Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί αβ, με α < β και η συνεχής συνάρτηση :, τέτοια ώστε να ισχύουν: ( α) = β, ( ) β = α και ( ) < 0 για κάθε. α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = ( β ) ηµ + ( α ) έχει μια τουλάχιστον λύση στο ( 0,α + β] β. Αν η είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα = [ αβ, ] τότε: i. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός ξ ( αβ, ) τέτοιος ώστε ( ξ) = α + β. ii. Να αποδείξετε ότι η C της τέμνει την y = σ ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη ( αβ, ). ( ) ηµ 4 γ. Να υπολογίσετε το lim + + δ. Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση h: τέτοια ώστε ( ) h ( ) = 004, για κάθε. Υποθέτουμε ακόμη ότι η εξίσωση ( ) 0 = έχει δύο λύσεις ετερόσημες ρ, ρ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση h( ) = 0 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα ( ρ, ρ ) ΑΣΚΗΣΗ 55 (από dennys) Δίνονται οι συναρτήσεις, g: και ισχύει ( ) ( g )( ) = 8 και 3( g)( ) + ( g )( ) = 0 7 για κάθε α. Να βρείτε τις ( ), g ( ) β. Έστω συνάρτηση h ( ): και hg ( ( ( ))) = e 4 για κάθε τότε i. να βρείτε την h ( ) ii. να αποδείξετε ότι η h ( ) αντιστρέφεται. e e iii. να λυθεί η ανίσωση > 6 3 e e 3 h ( ) h ( + ) h () e + + 3 iv. να βρείτε τα όρια : lim, lim, lim + + e + + + 5 γ. Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση h( ) = ln έχει μια τουλάχιστον ρίζα θετική. Επιμέλεια: parmenides5
ΑΣΚΗΣΗ 56 (από Χρήστο Κανάβη) Δίνεται η συνάρτηση : ( 0, + ) ( 0, + ) για την οποία ισχύει ( ) ( ) α. Να βρεθεί το () β. Να λυθεί η εξίσωση ( ) = ( ) + ln ln = 0. ΑΣΚΗΣΗ 57 (από Aleandrpuls) Έστω συνάρτηση : με ( ) για την οποία ισχύει ( ( ) k)( ( y) + 3 k) = k για κάθε y, και k. α. Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού k. β. Για τη μικρότερη θετική ακέραια τιμή του k να δειχθεί ότι η είναι συνεχής. ΑΣΚΗΣΗ 58 (από dennys) Δίνεται συνάρτηση ( ) : (0, + ) ώστε ( ) ( y) = ( + y) η οποία είναι συνεχής στο = 0 και () = e. α. Να αποδείξετε ότι (0) =, ( ) = e β. Nα αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο. γ. Αν είναι γνησίως μονότονη τότε: i. Ποιά είναι η μονοτονία της ; ii. Να βρείτε τα όρια lim ( ) και lim ( ) + δ. Να δειχθεί ότι υπάρχει (0,) έτσι ώστε ε. Να βρείτε τα όρια : στ. Να δειχθεί ότι ζ. Να βρείτε το lim ( ) + 0 ab a b lim +, 3 ( ) = ( ) + (3 ) + (4 ) lim ( ) + ( ) = ( ) + ( ) για ab>, 0 ( ) ( ) η. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα θ. Να βρείτε το όριο lim ( ) ( )( ) > 0: ( ) =, ( + ) lim 0 ( ) Επιμέλεια: parmenides5
ΑΣΚΗΣΗ 59 (από Περικλή Παντούλα) 3 Δίνεται η συνάρτηση ( ) = + 7 5. α. Να αποδείξετε ότι : i. η είναι ii. η εξίσωση ( ) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο ( 0, ) ( ) 3, * β. Αν είναι g( ), να βρείτε το a, ώστε η ( ) = a + 3 a, = lim γ. i. Να βρείτε τα όρια ( ) + και lim ( ) ii. Να δικαιολογήσετε το γεγονός ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα g να είναι συνεχής στο =, ώστε να ισχύει ( ) = 7 iii. Να βρείτε ένα διάστημα της μορφής ( kk+, ), μέσα στο οποίο θα ανήκει αυτό το ακέραιος δ. Να βρείτε: i. το όριο lim + ( ) ηµ 4 3 ii. τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε ( λ 5λ) = ( λ 6), όπου k ΑΣΚΗΣΗ 60 (από Γιάννη Κουτσούκο) Θεωρούμε συνάρτηση συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα [ 0,] για την οποία ισχύει (0) + () + 3 = 6 (0) + 4 (). α. Nα αποδείξετε ότι : i. Η είναι γνησίως φθίνουσα. ii. Υπάρχουν μοναδικά και στο διάστημα (0,) τέτοια ώστε : α. η γραφική παράσταση της τέμνει την y = 3 σε σημείο με τετμημένη. β. ( ) = 3 ( / e) + 4 ( / π ) + 5 ( / ) β. Να λυθεί η ανίσωση ( ( ln + 4) ) > 3 γ. Ορίζουμε τους μιγαδικούς z = ( ) + i( ) με [0,] i. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z. ii. Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z 5. ΑΣΚΗΣΗ 6 (από Χρήστο Τσιφάκη) Να βρεθεί ο τύπος της g όταν y > 0 και g ( ) = lim y + y e + + Επιμέλεια: parmenides5
ΑΣΚΗΣΗ 6 (από Χρήστο Τσιφάκη) Έστω συνεχής συνάρτηση στο [, 4 ] για την οποία ισχύουν: ( ) 0 για κάθε [, 4] () > 0 () () = (3) (4) Να αποδείξετε ότι: α. ( ) > 0 για κάθε [, 4], β. η συνάρτηση g ( ) = ( ) () () έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ). Γ. η συνάρτηση δεν είναι αντιστρέψιμη. ΑΣΚΗΣΗ 63 (από Περικλή Παντούλα) α. Να δειχθεί η ισοδυναμία lim ( ) lim ( ) = l h = l h β. Δίνεται η συνάρτηση : ( 0, + ) για την οποία ισχύει ( y) ( ) ( y) Να δείξετε ότι : i. αν η είναι συνεχής στο ii. αν η είναι συνεχής στο iii. αν η είναι συνεχής στο = και όπου a ( 0,) (, + ) ΑΣΚΗΣΗ 64 (από Μίλτο Παπαγρηγοράκη) Έστω συνάρτηση : α (σταθερό). α. Να αποδείξετε ότι ( 0) = +, για κάθε y,. =, τότε η είναι συνεχής στο ( 0, + ) = a, όπου a ( 0,) (, + ), τότε η είναι συνεχής στο ( 0, + ) ( ) ( ) ( a) lim =, τότε lim a =, a a + y = + y α, για κάθε y,, για την οποία ισχύει ότι: ( ) ( ) ( ) = α β. Να αποδείξετε ότι ( y) = ( ) ( y) + α για κάθε, γ. Να αποδείξετε ότι ( ν) ν ( ) ( ν ) α y. * = για κάθε, ν N. δ. Αν η εξίσωση ( ) = α έχει μοναδική λύση στο, να αποδείξετε ότι η είναι και ισχύει ( + y α ) = ( ) + ( y) για κάθε y, ( ) ε. Αν για κάθε > 0 είναι ( ) α ανίσωση ( ( )) ( (3 ) α ) >, να αποδείξετε ότι η είναι γνήσια αύξουσα στο και να λυθεί η < +. στ. Αν η είναι συνεχής στο = 0 να βρείτε το lim ( ) Πηγή: περιοδικό Απολλώνιος α Επιμέλεια: parmenides5
ΑΣΚΗΣΗ 65 (από Δημήτρη Κατσίποδα) Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει 3 ( ) + 5 ( ) + = 0 για κάθε α. Να προσδιορίσετε το πρόσημο της συνάρτησης β. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται γ. Να δείξετε ότι η έχει σύνολο τιμών το και να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση δ. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο ε. Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο στ. Να λύσετε την εξίσωση ( 9) = + ( ) ζ. Να βρείτε το lim 0 ηµ ΑΣΚΗΣΗ 66 (από ghan) Έστω : συνεχής, για την οποία ισχύει για κάθε : < ( ) < +. α. Να δείξετε ότι η C τέμνει την ευθεία y β. Αν επιπλέον η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα να δείξετε ότι: i. η g ( ) = ( ) + e, είναι γνησίως φθίνουσα ii. η εξίσωση e ( ) e ( ) 0,. γ. Να βρείτε το + = έχει μοναδική ρίζα στο ( ) lim + ln. + 0 0 0,. = σ ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ( ) ΑΣΚΗΣΗ 67 (από Μίλτο Παπαγρηγοράκη) ( ) 5 Έστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση : (0,) για την οποία ισχύουν lim = 3 0 και ηµ ( ) ( ) ( ) για κάθε (0,). α. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g ( ) = ( ) ln 3, (0,). ( ) 3 β. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης h ( ) = e τέμνει τη διχοτόμο των θετικών ημιαξόνων σε ένα μόνο σημείο, με τετμημένη ( 0,) 3 ( ) γ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e e 0,, για κάθε α α + = στο διάστημα ( ) Επιμέλεια: parmenides5
ΑΣΚΗΣΗ 68 (από ghan) Έστω : με ( ) ϑ ( 0,). Να δειχθεί ότι: α. η αντιστρέφεται, β. γ. η ( ) ( y) ϑ y = και επιπλέον για κάθε y, ισχύει για κάθε y,, ( ) είναι συνεχής στο, δ. η εξίσωση ( ) = έχει το πολύ μία ρίζα στο. ( ) ( y) y, όπου ϑ ΑΣΚΗΣΗ 69 (από Περικλή Παντούλα) Δίνονται οι συναρτήσεις, g: για τις οποίες ισχύει ( ) + g ( ) + = ( ) + g ( ), για κάθε. α. Να δείξετε ότι ( ) ( ) ( ( ) ) + =, για κάθε g β. Να δείξετε ότι οι και g είναι συνεχείς στο = 0 ( ) γ. Να βρείτε το όριο lim + g δ. Αν η g συνεχής στο, να δείξετε ότι η εξίσωση ( ). = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ΑΣΚΗΣΗ 70 (από Χρήστο Κανάβη) Δίνεται η συναρτήσεις, g με τύπους ( ) ln( ) = και g ( ) ln( ) =. α. Να εξετάσετε αν το μηδέν ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης h της διαφοράς των, g β. Να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση h h + h = ln h ln + eh e ( ) ( ) γ. Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( ) ( ) ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 09/0/0 7/0/0 Πηγή Απαντήσεις (*)http://www.mathematica.gr/rum/viewtpic.php?=5&t=7 Επιμέλεια: parmenides5
ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 09/0/0 7/0/0 Πρότειναν οι: Γιάννης Σταματογιάννης Γιάννης Κουτσούκος Δημήτρης Κατσίποδας Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μπάμπης Στεργίου Περικλής Παντούλας Χρήστος Κανάβης Χρήστος Τσιφάκης aleandrpuls dennys ghan pit Έλυσαν (*) οι: Αλέξανδρος Συγκελάκης Αναστάσης Κοτρώνης Απόστολος Τιντινίδης Βασίλης Κακαβάς Δημήτρης Ιωάννου Δημήτρης Κατσίποδας Δημήτρης Κρικώνης Κώστας Καπένης Κώστας Ρεκούμης Λευτέρης Πρωτοπαπάς Μίλτος Παπαγρηγοράκης Μπάμπης Στεργίου Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης Περικλής Παντούλας Ροδόλφος Μπόρης Σπύρος Καπελλίδης Χρήστος Κανάβης Χρήστος Στραγάλης Χρήστος Τσιφάκης dennys parmenides5 pit Πηγή Απαντήσεις (*)http://www.mathematica.gr/rum/viewtpic.php?=5&t=7 Επιμέλεια: parmenides5