Persamaan Diferensial Parsial Turunan Parsial f (, ) Jika berubah ubah sedangkan tetap, adalah fungsi dari dan turunanna terhadap adalah f (, ) f (, ) f (, ) lim 0 disebut turunan parsialpertama dari f (, Jika berubah ubah sedangkan tetap, adalah fungsi dari dan turunanna terhadap adalah f (, ) lim 0 f (, ) f (, ) disebut turunan parsial pertama dari f (, ) terhadap ) terhadap ( Ir. I Noman Setiawan, MT) 1
( Ir. I Noman Setiawan, MT), Tentukan Contoh : Penelesaian : 0 0
( Ir. I Noman Setiawan, MT) Fungsi dengan lebih dari dua variabel Bebas f f f f ),, ( dan konstan dan konstan dan konstan
( Ir. I Noman Setiawan, MT) Turunan Parsial Tingkat Dua Suatu fungsi (,) Turunan Tingkat Pertama dari :, Turunan Tingkat Dua dari :
( Ir. I Noman Setiawan, MT) 5 5 Contoh : Carilah turunan tingkat dua dari Penelesaian : 10,, 10 6,, 6
( Ir. I Noman Setiawan, MT) 6 Persamaan Diferensial Parsial Persamaan ang mengandung turunan-turunan parsial dari suatu fungsi ang tidak diketahui ang diturunkan terhadap dua atau lebih variabel bebas. Orde persamaan diferensial parsial dapat ditentukan dari turunan tertinggi dari persamaan tersebut. Contoh : Orde 1 v u R R u Orde Orde 1
Persamaan Diferensial Parsial Linear Bentuk umum persamaan diferensial parsial linear orde dua dengan dua variabel bebas : u A A, B, u B C, D, E, u C F dan u D G u E tergantung dari Fu G dan bukan Persamaan diferensial parsial orde dua dengan dua variabel bebas dan tidak dapat dituliskan dalam bentuk umum seperti diatas disebut persamaan taklinear. Jika G0 disebut persamaan homogen, sebalikna jika G 0 disebut tidak homogen u ( Ir. I Noman Setiawan, MT) 7
Contoh Persamaan Diferensial Parsial Linear Orde Dua ang penting u u c t u u c t u u 0 u u u u f (, ) u Persamaan Persamaan Persamaan 0 Gelombang Aliran Panas Dimensi Dimensi Laplace Dimensi Persamaan Poisson Satu Satu Satu Dimensi Persamaan Laplace Dimensi Dua Tiga ( Ir. I Noman Setiawan, MT) 8
Penelesaian Persamaan Diferensial Parsial Contoh : Penelesaian Umum : Penelesaian Khusus : Jika u u 1 u F( ) F( ) 1 sin sin dan G( ) ( Ir. I Noman Setiawan, MT) G( ) 5, 5, maka Penelesaian ang tidak dapat dicari dari penelesaian umum dengan memberikan nilai tertentu pada sembarang fungsi disebut Penelesaian Singular 9
Metode Penelesaian Persamaan Diferensial Parsial Prinsip Superposisi/Prinsip Kelinearan Jika u 1 dan u adalah penelesaian persamaan diferensial parsial homogen, kemudian : u c 1 u 1 c u dengan c 1 dan c adalah konstanta juga merupakan penelesaianna. Penelesaian Umum persamaan diferensial parsial tidak homogen dapat dicari dengan menambahkan penelesaian khusus persamaan tak homogen dengan penelesaian umum persamaan homogen. ( Ir. I Noman Setiawan, MT) 10
Contoh : Carilah penelesaian diferensial parsial u u(, ) u 0 dari persamaan Penelesaian : Dari persamaan didapatkan u u Ae terhadap sehingga persamaanna menjadi u" u 0 penelesaianna u(, u 0, tidak ada u diturunkan Be Barang kali A dan B merupakan fungsi dari, maka ) dengan A dan B konstanta. A( ) e B( ) e ( Ir. I Noman Setiawan, MT) 11
Contoh : Carilah penelesaian persamaan diferensial parsial u u Penelesaian : misal u p p 1, ln p c( ), p Diintegrasikan terhadap maka didapat : u(, ) f p, jadi ( ) e p, g( ) f ( ) dan f ( ) dan g( ) fungsi sembarang. p c( ) e c( ) d ( Ir. I Noman Setiawan, MT) 1
Contoh : Buktikan u(, t) sin( persamaan gelombang t) merupakan penelesaian u u dimensi satu t Penelesaian : u cos( t) u sin( t) u sin( t) t u sin( t) t u sin( t) t u [ sin( t) ] Terbukti ( Ir. I Noman Setiawan, MT) 1
Contoh : Buktikan u t u u(, t) Penelesaian : 8t u(, t) e sin u(0, t) e u( π, t) e u(,0) e u 8e t Subtitusi 8e 8t 8t 8t 0 8t sin 0 sinπ sin sin 0 e 8t u(0, t) 0 ke persamaan sin sin adalah u( π, t) penelesaian 0, u 8t e cos diferensial: ( Ir. I Noman Setiawan, MT) u(,0) persoalan sin u u t [ ] 8t 8e sin terbukti sarat e u 1 8t batas sin