ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ «ΘΕΣΜΟΣ» 7 ΧΡΟΝΙ ΕΜΠΕΙΡΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΕΥΣΗ ΜΘΗΜΤΙ Ι ΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΤΙΣΤΙΗΣ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΘΕΜΤ ΘΕΜ 1. ν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές του ισχύει: P 1 P A Μονάδες 7. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων.. Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 ;. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) ν και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με, τότε P A P. για τις πιθανότητές τους ισχύει β) Ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος ή σταθμικός μέσος είναι μέτρο διασποράς. γ) ν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες, τότε ισχύει ότι: f g f g f g δ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. ε) ν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Μονάδες 10 ΘΕΜ Β Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 5 f 6 1,. Β1. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες 9 ΠΕΙΡΙΣ: γ. ωνσταντίνου 11 (5 ος όροφος), τηλ.: 10151-10151 e-mal : thesmos@otenet.gr
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ «ΘΕΣΜΟΣ» 7 ΧΡΟΝΙ ΕΜΠΕΙΡΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΕΥΣΗ Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της 0,f 0. Β. Να υπολογίσετε το όριο 1 f 1 lm. 1 Μονάδες 8 Μονάδες 8 ΘΕΜ Γ Μεταξύ των οικογενειών με τρία παιδιά επιλέγουμε τυχαία μία οικογένεια και εξετάζουμε τα παιδιά της ως προς το φύλλο και ως προς τη σειρά γέννησής τους. Γ1. Να προσδιορίσετε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος χρησιμοποιώντας ένα δενδροδιάγραμμα. Γ. Να παρασταθούν με αναγραφή των στοιχείων τους τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται από την αντίστοιχη ιδιότητα: : «το πρώτο παιδί είναι κορίτσι» Β: «ο αριθμός των κοριτσιών υπερβαίνει τον αριθμό των αγοριών» Γ: «τα δύο πρώτα παιδιά είναι του ίδιου φύλου». Μονάδες 6 Γ. Υποθέτουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. α) Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων:,, β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: Η: «δεν πραγματοποιείται κανένα από τα, Β» Θ: «πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα,β». (μονάδες 9) (μονάδες 6) Μονάδες 15 ΘΕΜ Δ Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν ν υπολογιστές για να τρέξουν ένα πρόγραμμα, έχουν ομαδοποιηθεί σε ισοπλατείς κλάσεις πλάτους c, όπως στον παρακάτω πίνακα: Χρόνος (σε λεπτά) εντρική Τιμή Συχνότητα [8, ) 0 [, ) 1 15 [, ) 10 [, ) ΣΥΝΟΛΟ... ΠΕΙΡΙΣ: γ. ωνσταντίνου 11 (5 ος όροφος), τηλ.: 10151-10151 e-mal : thesmos@otenet.gr
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ «ΘΕΣΜΟΣ» 7 ΧΡΟΝΙ ΕΜΠΕΙΡΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΕΥΣΗ Δ1. Να αποδείξετε ότι c. Δ. ν η μέση τιμή των χρόνων είναι 1, να αποδείξετε ότι 5 (μονάδες ) και στη συνέχεια να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα κατάλληλα συμπληρωμένο (μονάδες ) Μονάδες 6 Δ. ν οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες σε κάθε κλάση, να βρείτε πόσοι υπολογιστές χρειάστηκαν τουλάχιστον 9 λεπτά για να τρέξουν το πρόγραμμα. Μονάδες 5 Δ. Να αποδείξετε ότι η τυπική απόκλιση των χρόνων είναι s = κα να εξετάσετε αν το δείγμα των χρόνων είναι ομοιογενές. Μονάδες 6 Δ5. ντικαθιστούμε τον επεξεργαστή κάθε υπολογιστή με έναν ταχύτερο και βρίσκουμε ότι κάθε υπολογιστής τρέχει τώρα το πρόγραμμα στο 80% του χρόνου που χρειαζόταν πριν. Να εξετάσετε ως προς την ομοιογένεια το καινούργιο δείγμα χρόνων. ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜ A 1. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ. 150-151. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ. 87. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ. 1. α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Λάθος ΘΕΜ Β Β1. Η συνάρτηση f με 5 f 6 1, και παραγωγίσμη στο με ως πολυωνυμική είναι συνεχής f 5 6,. f 0 5 6 0 ή f 0 5 6 0,,. Η f στο, είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο, είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο, είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα. ΠΕΙΡΙΣ: γ. ωνσταντίνου 11 (5 ος όροφος), τηλ.: 10151-10151 e-mal : thesmos@otenet.gr
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ «ΘΕΣΜΟΣ» 7 ΧΡΟΝΙ ΕΜΠΕΙΡΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΕΥΣΗ Επομένως στο 1 11 και στο πα- ρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f 7. Β. Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι της μορφής : y με και το σημείο A 0,f 0 1 ανήκει σε αυτήν άρα 1 6 0 1. Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης είναι : y 6 1. f 0 6 Β. Είναι f 1 5 6 1 5 6 lm lm lm 1 1 1 1 6 lm lm 6 7 1 1 1 1 1 1 ΘΕΜ Γ Γ1. Έστω αγόρι και κορίτσι τότε: 1ο παιδί ο παιδί ο παιδί,,,,,,, Γ. ώ ί ί ί,,,,,, ώ ά ί ί ύ,,, ό ώ ί ό ώ ΠΕΙΡΙΣ: γ. ωνσταντίνου 11 (5 ος όροφος), τηλ.: 10151-10151 e-mal : thesmos@otenet.gr
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ «ΘΕΣΜΟΣ» 7 ΧΡΟΝΙ ΕΜΠΕΙΡΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΕΥΣΗ Γ. α) φού ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχό-,,, και 8 άρα μενα έχουμε:. 8,,,,, 5 5. 8,, άρα άρα 1. 8 5 1 1 8 8 β) άρα άρα 5 1. 8 8 8 ΘΕΜ Δ Δ1. Το αριστερό άκρο της πρώτης κλάσης είναι 8 και η κεντρική τιμή της δεύτερης c c κλάσης είναι 1άρα 8 c 1 6 c. 1v1 v v v Δ. Είναι 1 1 (1) v Όμως είναι : Χρόνος (σε λεπτά) εντρική Τιμή Συχνότητα [8, 1 ) 10 0 [ 1, 16 ) 1 15 [ 16, 0 ) 18 10 [ 0, ) ΣΥΝΟΛΟ... 10 0 1 15 1810 v (1) 0 15 10 v 1 00 10 180 v 60 1v 8v 0 v 5 και 1 Άρα : v v v v v 0 15 10 5 50. ΠΕΙΡΙΣ: γ. ωνσταντίνου 11 (5 ος όροφος), τηλ.: 10151-10151 e-mal : thesmos@otenet.gr
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ «ΘΕΣΜΟΣ» 7 ΧΡΟΝΙ ΕΜΠΕΙΡΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΕΥΣΗ Χρόνος (σε λεπτά) εντρική Τιμή Συχνότητα [8, 1 ) 10 0 [ 1, 16 ) 1 15 [ 16, 0 ) 18 10 [ 0, ) 5 ΣΥΝΟΛΟ 50 Δ. φού οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες σε κάθε κλάση, έχουμε: σε πλάτος 1 8 είναι 1 0 παρατηρήσεις 1 σε πλάτος 9 8 1 είναι 0 5 παρατηρήσεις Άρα οι υπολογιστές που χρειάστηκαν τουλάχιστον 9 λεπτά για να τρέξουν το πρόγραμμα είναι 5 5. 1 s v Δ. Είναι v 1 1 10 1 0 1 1 15 18 1 10 1 5 50 1 16 0 0 16 10 6 5 16. 50 Επομένως η τυπική απόκλιση είναι s s 16 και s 1 CV άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. 1 7 10 Δ5. Έστω y ο χρόνος που κάνει τώρα ο κάθε υπολογιστής για να τρέξει το πρόγραμμα τότε y 0,8, 1,,..,50. Είναι y 0,8 και sy 0,8 s 0,8s Άρα CV s 0,8s s y 0,8 y y CV. Επομένως το καινούργιο δείγμα χρόνων δεν είναι ομοιογενές. Επιμέλεια: ΣΙΜΙΤΖΟΓΛΟΥ Μ. ΛΥΓΩΝΗΣ Π. ΟΥΤΣΟΥΒΕΛΗΣ Σ.- ΝΤΖΟΥΡΟΠΝΟΣ Δ. ΠΕΙΡΙΣ: γ. ωνσταντίνου 11 (5 ος όροφος), τηλ.: 10151-10151 e-mal : thesmos@otenet.gr