Kapitola 2 Jednoduché rezistívne obvody. V ďalšom uvedieme základné metódy analýzy jednoduchých rezistívnych elektrických obvodov. Myslíme tým obvody, ktoré sa skladajú z jedného zdroja napätia(prúdu), ktorý napája sústavu ľubovoľného množstva rezistorov. Zameriame sa na typické štruktúry, ktoré je dobré poznať a rutinne s nimi narábať. V praxi elektrických obvodov sa s nimi často stretneme- delič prúdu a napätia, sériovo-paralelný obvod a usporiadania do hviezdy a do trojuholníka. Všeobecnejším metódam analýzy aj zložitejších elektrických sietí sa potom budeme venovať v ďalších kapitolách. 2.1 Sériové spojenie rezistorov. Odporový delič napätia. Odporový delič napätia je zložený z N rezistorov zapojených do série(obr. 2.1). Obr. 2.1: Odporový delič napätia. Uvažujme, že na celej takejto sériovej kombinácii je napätie u. Napíšeme rovnicu 2. Kirchhoffovho zákona preslučku S u+u 1 + u 2 + +u N =0 (2.1) Hovoríme,žecelkovénapätie usanarezistorochdelínanapätia(u 1, u 2,...,u N ).Všetkýmirezistormitečie rovnaký prúd i. Napätie na ľubovoľnom rezistore vyjadríme z Ohmovho zákona u k = R k.i; k=1,...,n (2.2) Dosadíme napätie na k tom rezistore z(2.2) do(2.1) a vyjadríme celkové napätie u u=i. N R k. (2.3) Dorovnice(2.2)dosadímezaprúdz(2.3)adostanemevzťahprenapätiena k tomrezistore u k = k=1 R k R 1 + R 2 + +R N u. (2.4)
2.2. PARALELNÉ SPOJENIE REZISTOROV. ODPOROVÝ DELIČ PRÚDU. 21 Akbysmecelúsériovúkombináciujednýmnahradilirezistorom Rtak,abypriprúde ibolonaňomtaké isté napätie u, ako v prípade sériovej kombinácie rezistorov, jeho odpor by musel byť rovný súčtu odporov sériovo zapojených rezistorov N R= R k. (2.5) k=1 Obr. 2.2: Delič napätia zložený z dvoch rezistorov. V praxi sa v elektrických obvodoch často stretávame s deličom napätia zloženým z dvoch rezistorov (obr.2.2).jepretopraktickézapamätaťsivzťahprenapätie u 2 navýstupetakéhotodeliča u 2 = R 2 R 1 + R 2 u (2.6) 2.2 Paralelné spojenie rezistorov. Odporový delič prúdu. Odporový delič prúdu sa skladá z N paralelne zapojených rezistorov(obr. 2.3). Obr. 2.3: Odporový delič prúdu. Napíšeme rovnicu 1. Kirchhoffovho zákona pre uzol 1 i=i 1 + i 2 + +i N (2.7) Hovoríme,žeprúd isadelínaprúdy i 1, i 2,...,i N.Takútoparalelnúkombináciurezistorovpretonazývame odporovýdeličprúdu.navšetkýchrezistorochjerovnakénapätie u.prúd k tymrezistorom i k vyjadríme pomocou Ohmovho zákona a dosadíme do rovnice(2.7). Pre prúd k tym rezistorom platí i k = 1 R k u=g k.u; k=1,...,n (2.8) i k = G k G 1 + G 2 + +G N i. (2.9) Ak by sme celú paralelnú kombináciu rezistorom nahradili jedným rezistorom R tak, aby pri prúde i bolo na ňom také isté napätie u, jeho vodivosť by musela byť rovná súčtu vodivostí paralelne zapojených rezistorov G= N G k, (2.10) k=1
22 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ REZISTÍVNE OBVODY. resp. 1 N R = 1. (2.11) R k k=1 Obr. 2.4: Delič prúdu zložený z dvoch rezistorov. V praxi sa v elektrických obvodoch často stretávame s deličom prúdu zloženým z dvoch rezistorov (obr. 2.4). Je preto praktické zapamätať si vzťah pre výsledný odpor R takejto paralelnej kombinácie dvoch rezistorov R= R 1.R 2 R 1 + R 2 (2.12) a taktiež vzťah pre prúd ramenom takéhoto deliča i 2 = R 1 R 2 i, i 1 = i. (2.13) R 1 + R 2 R 1 + R 2 2.3 Sériovo paralelná kombinácia rezistorov. Viacnásobným kombinovaním sériovo a paralelne spojených skupín rezistorov vytvárame viac, či menej zložité sériovo paralelné obvody. Obr. 2.5: Rezistory zapojené sériovo-paralelne(a) a ich náhrada(b). Na obr. 2.5a je najjednoduchší možný sériovo-paralelne usporiadaných rezistorov. Takúto skupinu rezistorov môžeme vzhľadmo na uzly 1 a 2 považovať za dvojpól. Predstavme si, že takýto dvojpól potrebujeme zjednodušiť- nahradiť jedným rezistorom R(obr. 2.5b). Inými slovami, potrebujeme nájsť celkový odpor R medziuzlami1a2.rezistorsodporom Rjevzhľadomnauzly1a2ekvivalentnýpôvodnejsériovoparalelnej kombinácii rezistorov. Pri napätí u ním musí pretekať taký istý prúd i, aký pretekal celou sériovo-paralelnou kombináciou. Pri zjednodušovaní treba v sériovo paralelnom obvode vždy nájsť skupinu rezistorov zapojených paralelne alebo sériovo, a nahradiť ju jedným. Tento postup treba opakovať dovtedy, kým sa obvod nezjednoduší na jeden rezistor. Vnašomprípadevidno,žerezistory R 2 a R 3 súzapojenéparalelne,pretoichmôžemenahradiťjedným, ktorýoznačíme R 23,pričom Rezistory R 1 a R 23 súzapojenédosérie,tedaprevýslednýodpor Rplatí R 23 = R 2.R 3 R 2 + R 3 (2.14) R=R 1 + R 23 (2.15)
2.4. ELEKTRICKÉ OBVODY S ODPOROVOU HVIEZDOU A TROJUHOLNÍKOM. 23 Po dosadení(2.14) do(2.15) dostaneme pre výsledný odpor R vzťah R= R 1.R 2 + R 2.R 3 + R 3.R 1 R 2 + R 3. (2.16) 2.4 Elektrické obvody s odporovou hviezdou a trojuholníkom. Pri úpravách rezistívnych sietí sa môžeme stretnúť s prípadom, kedy v elektrickom obvode nájdeme skupiny rezistorov, ktoré nie sú zapojené ani do série, ani paralelne. Na základe vyššie uvedených postupov obvod nevieme zjednodušiť. Obr. 2.6: Odporový trojuholník(a) a odporová hviezda(b). V takomto prípade v sieti pravdepodobne nájdeme skupiny rezistorov zapojené do trojuholníka, alebo do hviezdy(obr. 2.6). Takéto trojpóly sa dajú vzájomne nahrádzať, pričom sa vo zvyšku siete mimo nahradzovaného trojpólu nezmenia žiadne napätia, ani prúdy. Hovoríme, že odporový trojuholník sa dá transfigurovať na ekvivalentnú hviezdu, resp. odporová hviezda sa dá transfigurovať na ekvivalentný odporový trojuholník. Hodnoty rezistorov náhradného trojpólu vypočítame pomocou transfiguračných vzťahov(2.17) a(2.18). 2.4.1 Transfigurácia trojuholník hviezda( -Y). Vtomtoprípadepoznámeodporyrezistorovtrojuholníka R 12, R 23, R 31 apotrebujemevypočítaťodpory rezistorovekvivalentnejhviezdy R 10, R 20, R 30.Prezámenuplatianasledovnévzťahy: R 10 = R 31.R 12 R 12 + R 23 + R 31, R 20 = R 12.R 23 R 12 + R 23 + R 31, R 30 = R 23.R 31 R 12 + R 23 + R 31 (2.17) Tieto transfiguračné vzťahy sa dajú ľahko zapamätať, ak nakreslíme náhradnú hviezdu do vnútra trojuholníka. Potom vo vzťahoch(2.17) bude v čitateli súčin odporov priľahlých rezistorov a v menovateli súčet odporov všetkých rezistorov trojuholníka. 2.4.2 Transfigurácia hviezda trojuholník(y- ). Vtomtoprípadepoznámeodporyrezistorovhviezdy R 10, R 20, R 30 apotrebujemevypočítaťodporyrezistorov trojuholníka R 12, R 23, R 31.Pretakútozámenuplatianasledovnévzťahy: R 12 = R 10 + R 20 + R 10.R 20 R 30, R 23 = R 20 + R 30 + R 20.R 30 R 10, R 31 = R 30 + R 10 + R 30.R 10 R 20 (2.18)
24 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ REZISTÍVNE OBVODY. 2.5 Príklady. Príklad 2 Máme k dispozícii deprézsky merací prístroj, z ktorého potrebujeme vyrobiť voltmeter s rozsahmi 1V,10V,100Va1000V(obr.2.5).Meracíprístrojmávnútornýodpor R M =1kΩaplnúvýchylkupriprúde I M =100mA.Úlohoujenavrhnúťsystémpredradenýchrezistorov. Riešenie odtiaľ R 1 =9kΩ. odtiaľ R 2 =90kΩ. odtiaľ R 3 =900kΩ. odtiaľ R 4 =9MΩ. Obr. 2.5. Prístroj musí ukázať plnú výchylku, ak pripojíme napätie 1V medzisvorkya 1V a 0,tedameracímprístrojommusítiecťprúd I=100mA. Merací prístroj môžeme pri našich úvahách nahradiť rezistorom R M.ZOhmovhozákonavyplýva R 1 + R M = 1V 100µA, Podobne musí prístroj ukázať plnú výchylku, ak pripojíme napätie10vmedzisvorky10va0.môžemetedanapísaťrovnicu R 1 + R 2 + R M = 10V 100µA, Prístroj musí ukázať plnú výchylku, ak pripojíme napätie 100V medzisvorky100va0. R 1 + R 2 + R 3 + R M = 100V 100µA, Taktiež musí vyvolať plnú výchylku prístroja napätie 1000V pripojené medzi svorky 1000V a 0. R 1 + R 2 + R 3 + R 4 + R M = 1000V 100µA, Príklad 3 Máme k dispozícii deprézsky merací prístroj, z ktorého potrebujeme vyrobiť ampérmeter s rozsahmi1ma,10ma,100maa1a(obr.3).meracíprístrojmávnútornýodpor R M =1kΩaplnúvýchylku priprúde I M =100mA.Úlohoujenavrhnúťsystémodporovýchbočníkov. Riešenie. Rozsahmeraciehoprístrojajerozšírimepomocousústavyrezistorov R 1 až R 4 tvoriacichprekaždý rozsah potrebný delič prúdu. Musíme vypočítať odpory týchto rezistorov.
2.5. PRÍKLADY. 25 Obr. 3. (2.13) Začnime najnižším rozsahom. Meraný obvod reprezentujme ideálnym zdrojom prúdu I=1mA, ktorý je zapojený medzi svorky 1mA a 0 (obr.). V takomto prípade musí merací prístroj ukázať plnú výchylku, tedanímmusítiecťprúd I M =100µA.Meracíprístrojjevschémereprezentovanýrezistorom R M.Časťmeranéhoprúdu(I M =100µA)tečie meracím prístrojom, zvyšok(900µa) tečie sériovou kombináciou rezistorov R 1 až R 4.Privýpočtevyjdemezrovnicepredvojramennýdeličprúdu R 1 + R 2 + R 3 + R 4 = 100µA R 1 + R 2 + R 3 + R 4 + R M 1mA. Odtiaľmáme R 1 + R 2 + R 3 + R 4 = 1000 9 Ω. Súčetrezistorov R 1 až R 4 poznáme,teda R 1 = 1 9 Ω. Akpripojímemeranýobvodsprúdom I=1Amedzisvorky 1A a 0, merací prístroj musí ukázať plnú výchylku. Znamená to, že cez sériovúkombináciu R 2 R 3 R 4 R M tečieprúd I M =100µA,zvyšokcez rezistor R 1.Napíšemevzťahpredeličprúdu R 1 = 100µA R 1 + R 2 + R 3 + R 4 + R M 1A. odtiaľ R 2 =1Ω. Akpripojímemeranýobvodsprúdom I = 100mAmedzisvorky 100mA a 0, merací prístroj musí ukázať plnú výchylku. Cez sériovú kombináciuteraz R 3 R 4 R M tečieprúd I M =100µA,zvyšokcezrezistor sériovúkombináciu R 1 R 2.Napíšemevzťahpredeličprúdu R 1 + R 2 = 100µA R 1 + R 2 + R 3 + R 4 + R M 100mA, odtiaľ R 3 =10Ω. Ak pripojíme meraný obvod s prúdom I = 10mA medzi svorky 10mA a 0, merací prístroj musí ukázať plnú výchylku. Cez sériovú kombináciuteraz R 4 R M tečieprúd I M =100µA,zvyšokcezrezistor sériovúkombináciu R 1 R 2 R 3.Napíšemevzťahpredeličprúdu R 1 + R 2 + R 3 R 1 + R 2 + R 3 + R 4 + R M = 100µA 10mA,
26 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ REZISTÍVNE OBVODY. Príklad 4 V obvode na obr. 4 vypočítajte všetky prúdy a overte platnosť Tellegenovej vety. Obr.4 U=24V, R 1 =10Ω, R 2 =40Ω, R 3 =8Ω, R 4 =20Ω, R 5 =30Ω, R 6 =40Ω, R 7 =40Ω. Riešenie. Najprv obvod zjednodušíme tak, že celú jeho pasívnu časť postupne zjednodušíme a nakoniec nahradíme jedným ekvivalentným rezistorom vzhľadom na svorky zdroja. Rezistory R 5, R 6 a R 7 súzapojenéparalelne,tedaichmôžemenahradiťjednýmrezistorom R 57 (obr.a). Pre jeho odpor platí 1 R 57 = 1 R 5 + 1 R 6 + 1 R 7, odtiaľ R 57 =12Ω. Rezistory R 3, R 4 a R 57 súzapojenédosérie,nahradímeichjednýmrezistorom,ktorýoznačíme R 37 (obr.b) R 37 = R 3 + R 4 + R 57 =40Ω. Rezistory R 2 a R 37 súzapojenéparalelne,nahradímeichjednýmrezistorom,ktorýoznačíme R 27 (obr.c) R 27 = R 2.R 37 R 2 + R 37 =20Ω. Rezistory R 1 a R 27 súzapojenédosérie,tedaprecelkovýodpor Rrezistívnejsietevzhľadomnasvorky zdroja U(obr. d) dostaneme R=R 1 + R 27 =30Ω. Vypočítameprúd I 1 I 1 = U R =0,8A. Z obvodu na obr. d už žiadny ďalší prúd vypočítať nevieme. Postupným zjednodušovaním sme strácali prvky pôvodnejsiete,tedaajprúdy,ktorésúvpôvodnomobvode.musímesapretovrátiťspäťkobr.b.vtomto
2.5. PRÍKLADY. 27 obvodeužnájdemeprúdy I 2, I 3 a I 4.Môžemezačaťnapríkladprúdom I 2 vypočítamehopomocouvzťahu pre delič prúdu s dvoma paralelnými rezistormi(2.13) I 2 = I 1 R 37 R 2 + R 37 =0,4A Prúdy I 3 a I 4 vypočítamepomocou1.kirchhoffovhozákona I 3 = I 1 I 2 =0,4A, I 4 = I 3 = 0,4A. Vrátimesadopôvodnéhoobvodu,kdevypočítamenapätie U 57 U 57 = I 3.R 57 =4,8V. Napätie U 57 jenacelejparalelnejkombinácii R 5, R 6 a R 7,tedaprúdytýmitorezistormiužmôžemevypočítať pomocou Ohmovho zákona I 5 = U 57 R 5 =0,16A, I 6 = U 57 R 6 =0,12A, I 7 = U 57 R 7 = 0,12A. Nakoniec sa presvedčíme, že v obvode platí Tellegenova veta. Vypočítame výkony všetkých dvojpólov a overíme, že ich súčet je rovný nule. Prúd zdrojom je orientovaný proti smeru jeho napätia, teda jeho výkon vypočítame podľa vzťahu P U = U.I 1. Výkon P k spotrebovaný k-tymrezistoromvypočítamepodľavzťahu P k = R k.i 2 k; k=1,...,7. Výsledky sú uvedené v tabuľke. Prvok Výkon[W] U 19,2 R 1 6,4 R 2 6,4 R 3 1,28 R 4 3,2 R 5 0,768 R 6 0,576 R 7 0,576 P 0
28 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ REZISTÍVNE OBVODY. Príklad5Vobvodenaobr.5vypočítajtevšetkyprúdy. Obr. 5. U=35V, R 0 =10Ω, R 1 =25Ω, R 2 =50Ω, R 3 =20Ω, R 4 =10Ω, R 5 =50Ω. Riešenie. Žiadne rezistory v zadanej sieti nie sú zapojené navzájom ani sériovo, ani paralelne. Sieť však obsahuje triodporovéhviezdy-r 0 R 1 R 2, R 1 R 3 R 5, R 2 R 4 R 5 advaodporovétrojuholníky R 1 R 2 R 5 a R 3 R 4 R 5.Skúsmetransfigurovaťniektorýtrojuholníknahviezdu,napríklad R 1 R 2 R 5.Obvod po transfigurácii je na obr. a. Pretože sme použili ekvivalentnú hviezdu, ostatné napätia a prúdy vo zvyšku siete(u AB, I, I 3, I 4 )sanezmenili.prúdy I 1, I 2 a I 5 alevtakejtozmenejsietinenájdeme,pretožesav nej nenachádzajú prvky, ktorými tiekli! Výhodou ale je, že máme sériovo-paralelnú odporovú sieť, ktorú už vieme zjednodušiť. Obr. a. Rezistoryekvivalentnejhviezdy R A, R B a R C určímepomocoutransfiguračnýchvzťahov(2.17) R A = R B = R C = R 1.R 2 R 1 + R 2 + R 5 =10Ω, R 5.R 1 R 1 + R 2 + R 5 =10Ω, R 2.R 5 R 1 + R 2 + R 5 =20Ω. Vypočítame celkový odpor siete R vzhľadom na zdroj napätia R=R 0 + R A + (R B+ R 3 ).(R C + R 4 ) R B + R 3 + R C + R 4 =35Ω
2.5. PRÍKLADY. 29 a celkový prúd I získame pomocou Ohmovho zákona I= U R =1A. Prúd I 3 môžemevypočítaťpomocouvzťahupredeličprúdu(2.13) I 3 = I R C + R 4 R B + R 3 + R C + R 4 =0,5A, prúddruhýmramenomdeliča I 4 užmôžemeurčiťpomocou2.kirchhoffovhozákona I 4 = I I 3 =0,5A Vtransfigurovanejvypočítamenapätie U BC napíšemerovnicu2.kirchhoffovhozákonapreslučku S U BC = R 3.I 3 R 4.I 4 =5V Zvyšné prúdy vypočítame pomocou 1. Kirchhoffovho zákona pre uzly B a A I 1 = I 3 + I 5 =0,6A, I 2 = I I 1 =0,4A. Nájdime v obvode riešenie aj iným spôsobom opačnou transfiguráciou. Skúsime vypočítať prúdy v sieti tak,ženahradímeniektorúodporovúhviezdutrojuholníkom.transfigurujmenapríkladhviezdu R A R C R D (obr.b). A I I 2 R 0 R 2 R AC U U AD R DA R CD C R 4 I 4 D U CD Obr. b. Rezistoryekvivalentnéhotrojuholníka R AC, R CD a R DA určímepomocoutransfiguračnýchvzťahov (2.18). R AC = R 5 + R 1 + R 5.R 1 R 3 =137,5Ω, R CD = R 3 + R 5 + R 3.R 5 R 1 =110Ω, R DA = R 1 + R 3 + R 1.R 3 R 5 =55Ω. Znovasmedostalisériovo-paralelnýobvod.Prevyššiuprehľadnosťzlúčimeparalelnédvojicerezistorov R 2 R AC a R 4 R CD (obr.c) R = R AC.R 2 R AC + R 2 = 110 3 Ω; R = R CD.R 4 R CD + R 4 = 55 6 Ω.
30 KAPITOLA 2. JEDNODUCHÉ REZISTÍVNE OBVODY. Obr. c. Vypočítame celkový odpor R siete vzhľadom na zdroj napätia R=R 0 + R DA.(R + R ) R DA + R + R =35Ω azohmovhozákonacelkovýprúd I I= U R =0,5A. Napíšeme rovnicu 2. Kirchhoffovho zákona pre slučku S U AD U+ R 0.I=0, odtiaľ U AD = U R 0.I=25V. Pomocouvzťahupredeličnapätia(2.6)získamenapätie U CD U CD = R R + R U AD=5V. Toisténapätie U CD jeprítomnéajvsietinaobr.b,tedapreprúd I 4 platí I 4 = U CD R 4 Vrátime sa do sieti na obr. b. Pomocou rovnice 2. Kirchhoffovho zákona R 2.I 2 + U CD U AD =0 získameprúd I 2 I 2 = U AD U CD R 2 =0,4A. Ostatné prúdy vypočítame pomocou 1. Kirchhoffovho zákona(obr. b) I 1 = I I 2 =0,6A, I 3 = I I 4 =0,5A, I 5 = I 1 I 3 =0,1A. Vidíme, že v prípade obidvoch transfigurácií sa podarilo pretvoriť sieť na sériovo paralelnú. Transfigurácia trojuholníka na hviezdu(obr. a) však viedla na jednoduchšiu sieť. Obvod, ktorý sme dostali po úprave, mal menší počet úsekov.