Bez odporu k odporom

Transcript

1 ez odporu k odporom Už na základnej škole sa učíme vypočítať odpor sériovo a paralelne zapojených rezistorov. Čo však vtedy, ak úloha nie je takáto jednoduchá? ni vtedy nie je všetko stratené! Úvodné poznámky Tento text obsahuje sadu úloh, ktoré majú za úlohy zoznámiť poslucháča s výpočtom odporu komplikovanejších rezistorových schém. Riešenie týchto príkladov môže byť súčasťou prednášky i seminára časová náročnosť totiž závisí od toho, koľko z uvedených príkladov chceme vypočítať (napríklad záverečná časť o transformácii trojuholníka na hviezdu je možné vynechať úplne). Navyše, ďalšie podobné príklady sa dajú ľahko vymyslieť. V niektorých prípadoch dokonca môžu byť veľmi užitočné na lepšie precvičenie si fígľov, s ktorými sa tu stretneme. Veľký vplyv na časovú náročnosť má aj to, koľko voľnosti pri riešení ponecháme deťom. Toto samozrejme závisí od skupiny. V niektorých prípadoch sa dá čakať kým úlohu vyriešia skoro všetci (ostatní môžu zatiaľ riešiť podobný príklad, prípadne diskutovať o tom ako postupovali), inokedy je vhodnejšie potom čo sa nájde niekoľko správnych riešení nechať dobrovoľníka riešenie predviesť ostatným. Vo všeobecnosti je prirodzene odporúčaním prenechať čo najväčšiu časť aktivity samostatne pracujúcim poslucháčom. Ďalší postup však nemôže závisieť iba na nich vo všetkých častiach tohto textu. Tu máme na mysli najmä riešenie prvého netriviálneho príkladu (odpor štvorstena), kedy je potrebné postupne uviesť trik, ktorý (resp. rôzne jeho variácie) bude nápomocný v nasledujúcich príkladoch. j v tomto príklade však nemusí ísť o výklad riešenia učiteľom, dá sa postupne navádzať deti otázkami, na ktoré musia odpovedať samé. Miera nápomocnosti týchto otázok je závislá od šikovnosti detí. Vo všeobecnosti sa dá povedať, že napriek tomu akou nudnou témou je výpočet hodnoty odporu, hľadanie symetrií, prekresľovanie schém, spájanie či rozpájanie je omnoho väčšou zábavou. Samozrejme, na jej ocenenie je potrebný istý odstup úvodný zážitok spojený so zlyhaním overených spôsobov výpočtu je dôležitou motiváciou. Na jeho skutočné prežitie je však prirodzene nutné mať tieto spôsoby skutočne overené a zažité. Tento materiál už bol prezentovaný ako prednáška i seminár, v oboch prípadoch boli medzi účastníkmi prváci iba v menšej miere, aj to skôr tí šikovnejší. Na druhej strane, neučebnicovosť riešených úloh má za následok to, že rozdiely medzi žiakmi rôznych ročníkov nie sú také veľké ako obvykle. Skôr než vek je dôležitá šikovnosť (a prípadne to, či sa už dotyčný s podobnými úlohami stretol). Sériové a paralelené zapojenia Najprv pripomeňme, že pri sériovom zapojení rezistorov sa ich odpory spočítavajú, pri paralelnom sa spočítavajú prevrátené hodnoty (a z výsledku sa spraví prevrátená hodnota). Teda R sériové = R + R 2, R paralelné = R + = R R 2. R 2 R + R 2 Je dobré si na úvod pripomenúť použitie týchto vzťahov v praxi. Na nasledujúcom obrázku je zapojenie, v ktorom si s nimi vystačíme. Ω 3 Ω Ω 2 Ω

2 2 Výpočet začíname zvnútra paralelnou kombináciou odporov Ω a 3 Ω (výsledok je 3 Ω), toto skombinujeme sériovo s odporom 2 Ω (výsledok je Ω) a nakoniec paralelne s odporom Ω. Takto dostaneme konečný výsledok Ω. Oplatí sa vyskúšať aj ďalší príklad tohto typu, 27 takto posilníme uvedomenie, že skutočne ide iba o mechanické používanie spomenutých dvoch vzorcov. Spájanie a rozpájanie Situácia však nie je vždy taká jednoduchá ako pri predchádzajúcej schéme, iba so sériovými a paralelnými zapojeniami si často nevystačíme. Príkladom takého zapojenia je štvorsten, ktorého každá hrana má odpor Ω. ký odpor nameriame medzi jeho dvoma vrcholmi? Tu je vhodné nechať čas na rozmyslenie, aby si mohol každý vyskúšať, že doteraz spoľahlivé pravidlá nefungujú. Vhodnou otázkou je samozrejme prečo?, odpoveď je ľahká v obvode nie je žiadna dvojica rezistorov, ktoré by boli zapojené paralelne alebo sériovo a uvedené pravidlá by sa na ňu preto dali použiť. Máme iba komplikovaný celok, ktorý nevieme rozobrať na časti a tak ho vyriešiť. Zjavne je potrebný nejaký trik. Ukážeme si však, že to nie je žiadny podlý trik, ale v skutočnosti iba nám už teraz dobre známe vedomosti použité trochu iným spôsobom, než sme bežne zvyknutí. Pre názornosť sme si dva merané vrcholy na obrázku označili ako a a trochu sme ich zvýraznili. Teraz si premyslime, ako vlastne meranie elektrického odporu prebieha. V skutočnosti nikdy nemeriame priamo odpor, ale prúd I predchádzajúci obvodom pri nejakom skúšobnom (väčšinou malom) napätí U. Hodnota odporu sa potom dopočíta pomocou Ohmovho zákona ako R = U/I (merače elektrického odporu, Ohmmetre, majú tento prepočet vstavaný, na stupnici ukazujú priamo výsledok). Predstavme si preto, že bod má potenciál 0 Voltov a bod má potenciál 0 Voltov medzi nimi je teda napätie 0 0 = 0 Voltov. ôležité pozorovanie teraz spočíva v tom, že sa zamyslíme na potenciálmi bodov a. Začnime bodom. ký má potenciál? Keďže sieť naľavo od neho (na obrázku) vyzerá úplne rovnako ako napravo od neho, to o koľko sa bod potenciálom líši od bodu by mala byť rovnaká hodnota ako to o koľko sa líši od bodu. Inými slovami, potenciál bodu by sa mal nachádzať presne v strede medzi nimi dvoma, jeho potenciál je preto Voltov. povedzme ešte aj dôvod pre toto tvrdenie inými slovami: naša schéma je osovo súmerná (nielen geometricky, ale aj hodnotami odporov) podľa priamky, na ktorej leží aj náš skúmaný bod. Takéto súmerné schémy sú pre nás dobré, o chvíľu sa ukáže čím. k sa rovnakým spôsobom zamyslíme nad bodom, jeho potenciál je z rovnakých dôvodov tiež rovný Voltov. teraz sa dostávame k dôležitému skoku. Keďže body a majú rovnaký potenciál, napätie medzi nimi je nulové, a preto medzi nimi netečie prúd. No a keď máme v obvode vodič cez ktorý netečie prúd, môžeme ho odstrániť a nič sa nestane, nikomu chýbať nebude a, čo je dôležité, hodnoty všetkých ostatných prúdov tečúcich obvodom sa nezmenia. Nezmení sa preto ani odpor meraný medzi bodmi a.

3 3 ko vyzerá naša schéma po odstránení vodiča medzi bodmi a? Hodnotu odporu medzi bodmi a tu už ľahko vypočítame, ide o obyčajné paralelné zapojenie troch rezistorov s hodnotami 2 Ω, 2 Ω a Ω. Výsledok je R = + + = Ω Hľadanie bodov s rovnakým potenciálom je užitočný trik pri výpočtoch elektrických odporov komplikovanejších schém. Vyskúšať si to môžeme na nasledujúcom príklade. Z drôtu zostrojíme kocku, každá hrana má odpor Ω. ký odpor R nameriame medzi dvoma vrcholmi kocky ležiacimi na uhlopriečke jednej z jej stien? ký odpor R 2 nameriame medzi dvoma vrcholmi na jej telesovej uhlopriečke (táto úloha už je trochu ťažšia)? Hlavný problém je v rozumnom zakreslení skúmanej elektrickej siete. Namiesto priestorovej kocky totiž chceme mať odpory nakreslené pekne v rovine. Jedna z možností je zobrať kocku, položiť ju dole stenou, ktorej telesovú uhlopriečku skúmame a pozrieť sa na kocku zhora. Uvidíme zhruba to, čo je nakreslené na nasledujúcom obrázku (odpory veľkosti Ω sú kvôli prehľadnosti vyznačené iba hrubými čiarami, obvyklé obdĺžniky chýbajú). Opäť je to sieť, kde si bez rozpájania nejakých vodičov neporadíme. Všimnime si vrcholy označené na obrázku štvorčekmi. Ležia na osi súmernosti obrázka, preto majú rovnaký potenciál, prúd preto medzi nimi netečie a zodpovedajúci vodič preto môžeme ostrániť. Podobne môžeme postupovať v spodnej polovici obrázka. Po odstránení druhého vodiča v nej dostaneme nasledujúcu schému. Jej odpor už ľahko vypočítame. Najprv si všimnime prostrednú vetvu. Sú na nej paralelne dva odpory veľkosti 2 Ω odpor takéhoto zapojenia je 2 Ω 2 Ω/(2 Ω+2 Ω) = Ω. Prostredná vetva má preto odpor Ω + Ω + Ω = 3 Ω. Ostáva nám paralelné zapojenie troch vetiev s elektrickými odpormi, ktorých veľkosti sú 2 Ω, 2 Ω a 3 Ω. Výsledok je preto R = + + = 3 Ω

4 Prvú časť príkladu máme za sebou. Čo sa bude diať pri skúmaní telesovej uhlopriečky a hľadaní veľkosti R 2? k začneme s kockou v priestore (obrázok vľavo) a jej vrcholy očíslujeme, môžeme toto zapojenie ľahko prekresliť do roviny (obrázok vpravo) = Zvládli sme to najdôležitejšie, nakreslili sme si schému. Ktoré body v nej majú rovnaký potenciál? No predsa body 0,, a tiež body 7,, 8. Prečo? Pretože sú navzájom rovnocenné. Vezmime si napríklad trojicu 2,,. o každého z nich vedie z bodu jeden vodič s rovnakým odporom Ω, z každého z nich vedú dva rovnaké vodiče ďalej, do trojice rovnocenných vrcholov 3, 6, 8... No dobre, majú rovnaký potenciál. čo z toho keď aj tak nie sú spojené a nemôžeme žiadne vodiče odstrániť? No predsa môžeme vodiče pridať ak medzi dvoma bodmi nie je napätie, môžeme ich dokonale vodivo spojiť (odpor bude nulový) a nič zlé sa nestane. Takto spojené body potom môžeme zakresliť vlastne ako jeden bod, nič sa tým nezmení, všetky prúdy budú tiecť ako doteraz (premyslite si to!). ostali sme tak schému, s ktorou si už vieme jednoducho poradiť. Výsledkom paralelných a sériových zapojení, ktoré sa na nej vyskytujú je R 2 = 3 Ω + 6 Ω + 3 Ω = 6 Ω. Rovnako by sme sa mohli zamyslieť nad odporom kocky meraným medzi jej dvoma susediacimi vrcholmi. To je príklad ešte o niečo náročnejší na dobré zakreslenie situácie. Nakreslime si opäť kocku v priestore (vľavo). : zboku: 7&8 &6 3& &2 & k sa na ňu teraz pozrieme z boku (tak aby sa nám úsečka 2 javila ako bod), z ľavopravej symetrie toho čo uvidíme (vpravo) je jasné, že body 3 a 6 majú rovnaký potenciál (prekrývajú sa nám pritom dvojice bodov, každý bod na obrázku je preto označený dvoma číslami). Netečie preto medzi nimi prúd, môžeme ich úplne vodivo spojiť. Rovnaké zistenie platí aj pre body a. Nakreslime si to celé ešte raz priestorovo už aj s dodávanými vodičmi (sú vyznačené čiarkovanými čiarami). Potom nakreslíme to isté, ale spojíme do jedného dvojice bodov, ktoré sú vodivo spojené.

5 = Každá čiara predstavuje jednu hranu pôvodnej kocky s elektrickým odporom veľkosti Ω. V poslednej schéme už vidíme iba sériové a paralelné zapojenia rezistorov, výpočet už preto ľahko dokončíme. Výsledok je R 3 = 7 Ω. 2 Rovnakým spôsobom by sme mohli skúšať počítať elektrický odpor ostatných Platónskych telies (oktaéder s ôsmymi stenami, dodekaéder s dvanástimi a ikozaéder s dvadsiatimi). Je však veľa ďalších schém, kde je spájanie a rozpájanie vrcholov užitočné a navyše aj o niečo jednoduchšie. Tu sú niektoré z nich (odpor každej hrubej čiary je rovný Ω): Ω Ω Ω Ω Ω Na prvom obrázku nás zaujíma odpor medzi bodmi a i odpor medzi bodmi a (výsledky sú R = Ω, R 3 = 2 Ω). Na druhom obrázku je výsledok R 3 = Ω, na treťom zase (predpokladáme, že sivá sivá plocha v strede je dokonale vodivá) R = 8 Ω. V prípade schémy na poslednom obrázku pomôže prekreslenie, ktoré odhalí na prvý pohľad neviditeľnú symetriu obvodu potom je jasné, že medzi bodmi a je nulové napätie. Konečný výsledok je R = Ω. Z uvedených schém je jasné, že vymýšľať podobné príklady, kde by sa spájanie a rozpájanie využívalo, je naozaj ľahké. Stačí, aby bol nakreslený obrázok súmerný podľa nejakej osi a komplikovaná schéma sa potom dá zmeniť jednucho vyriešiť. Ešte poznamenajme, že prvá a druhá schéma vyžadujú trik, ktorý sme doteraz vlastne priamo nepoužili, je však iba obrátením už spomenutého spájania bodov spojených dokonalým vodičom. Ilustrujeme si to na príklade na obrázku na nasledujúcej strane. V ňom počítame odpor medzi bodmi a. od v strede obrázka môžeme najprv rozdeliť na dva a spojiť ich dokonalými vodičmi. Potom vďaka tomu, že oba body sa nachádzajú na osi súmernosti môžeme tieto vodiče odstrániť a dostávame tak poslednú schému, ktorej odpor už ľahko vypočítame. Konečný výsledok je potom R = Ω. 3

6 6 Trojuholník a hviezda Transformácia trojuholníka na hviezdu je časté magické zaklínadlo, ktoré môže pomôcť vtedy, keď žiadna symetria obvodu nesľubuje pomoc. Zároveň je to však oproti zvyšným tu diskutovaným úlohám omnoho menej tvorivá a estetická časť problematiky. Uvádzame ho tu však jednak pre úplnosť, ale tiežp preto, že doteraz spomínanými trikmi sa dajú riešiť iba na to vhodné obvody. Inými slovami, niekedy si bez tejto transformácie neporadíme. O čo vlastne ide? Jednoducho povedané, ak v obvode nájdeme trojuholník, môžeme ho previesť na hviezdu. ko to vyzerá? R R 3 R 3 R 2 R 2 R Zadané rezistory s hodnotami odporov R, R 2, R 3 sa zmenili na rezistory s inými hodnotami (R, R 2, R 3) v inej sieti. ko nájdeme tie nové hodnoty? Stačí si uvedomiť, že nová sieť ( hviezda ) má v starom obvode fungovať presne tak ako tam fungovala stará sieť ( trojuholník ). To znamená, že odpor medzi bodmi a musí byť v oboch prípadoch rovnaký a tá istá podmienka platí i pre odpor medzi bodmi a i bodmi a. Tieto tri podmienky nám dávajú tri rocnice pre neznáme R, R 2, R 3, ktoré môžeme ľahko vyriešiť. Samotná sústava rovníc má tvar odpor medzi a : R + R 3 = (R + R 3 )R 2 R + R 2 + R 3, odpor medzi a : R 2 + R 3 = (R 2 + R 3 )R R + R 2 + R 3, odpor medzi a : R + R 2 = (R + R 2 )R 3 R + R 2 + R 3. Túto sústavu nie je potrebné vždy znova riešiť (je to však jednoduché, stačí všetky tri rovnice sčítať, výsledok vydeliť dvoma a od neho odčítať niektorú z rovníc, dostaneme tak hneď jednu z neznámych). Jej riešenie má totiž pomerne ľahko zapamätateľný tvar R = R 2 R 3 R + R 2 + R 3, R 2 = R R 3 R + R 2 + R 3, R 3 = R R 2 R + R 2 + R 3. Vyskúšajme si transformáciu trojuholníka na hviezdu aj na jednom konkrétnom príklade. Schému na nasledujúcom obrázku vľavo pomocou nej vieme zmeniť na schému vpravo, ktorej odpor už ľahko vypočítame. Výsledok je R = 0 7 Ω. Ω 2 Ω 2/ Ω 2 Ω 2 Ω 2/ Ω 2 Ω Ω / Ω Ω Zároveň je jasné, že pôvodná schéma nemá žiadnu symetriu, bez tejto transformácie by sme preto úlohu nevyriešili.