Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιση των εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης στην ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί στην τυχαία µεταβλητή. 9 3 6 ( ω ω 9 36 44 Τααποτελέσµαταενόςπειράµατοςτύχηςορίζουνµιατυχαίαµεταβλητή (rdom vrible. Συνεχείς - ιακριτές τυχαίες µεταβλητές
ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (cumultive distributio uctio (DF µίας τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως F ( ω Ω : ( ( P ω F ( F ( 6 4 6 F ( N P ( u ( -
Ιδιότητες της Αθροιστικής Συνάρτησης Κατανοµής ( F Η F (είναιµηφθίνουσα F ( df ( df P [ d ] ( < + + d lim ( F και lim ( + F F ( F ( αν < P ( < F F ( ( -3
F ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ( d F ( ( d F ( Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probbility desity uctio (PDF µίας τυχαίας µεταβλητής ορίζεταιωςηπαράγωγοςτης F ( δηλαδή ( 6 ( 6 4 6 4 6 N ( P ( δ ( -4
Για διακριτές τυχαίες µεταβλητές συνηθίζεται να ορίζουµε τη συνάρτηση πιθανότητας µάζας (probbility mss uctio (PMFηοποίαορίζεταιως {. p i } όπου p P.. i ( i Προφανώςγιακάθε iισχύει p i και i pi -5
Ιδιότητες της Συνάρτησης Πυκνότητας Πιθανότητας F ( ( γιακάθε F df ( ( P + d ( ( P( d F ( d ( d dp( [ < ] F F ( ( + F P ( ( d (ξ dξ ( < df ( ( d ( d [ < + d] P dp( + d dp ( ( d Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας -6
Συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Μίασυνάρτησηµίαςτυχαίαςµεταβλητής έστω Yg(είναιεπίσηςµίατυχαίαµεταβλητή. Για την οποία η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής είναι F Y Y ( ω Ω : g ( ( y ( y P ω g ( ( ( y Y Y Στην ειδική περίπτωση για την οποία για κάθε y η εξίσωση g( y έχει αριθµήσιµο σύνολολύσεων { i } και γιαόλεςαυτέςτιςλύσειςυπάρχειηπαράγωγος g ( i καιείναιµη µηδενική τότε Y ( y ( i g ( i i -7
Παράµετροι κατανοµής τυχαίας µεταβλητής Η κατανοµή πιθανότητας µιας τυχαίας µεταβλητής όπως έχουµε ήδη αναφέρει δύναται να εκφραστεί είτε από την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής είτε από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Στησυνέχειαθαπεριγραφούνοιβασικέςπαράµετροιτηςκατανοµήςµιαςτυχαίαςµεταβλητής. Οι βασικές αυτές παράµετροι της κατανοµής δίδουν µία περιληπτική περιγραφή της πιθανοθεωρητικής συµπεριφοράς µιας τυχαίας µεταβλητής. -8
Στατιστικοί Μέσοι Όροι Η αναµενόµενη τιµή ή µαθηµατική ελπίδα ή απλά µέση τιµή µιας διακριτής τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως E [ ] i P( i i όπου p i P( i είναι η συνάρτηση πιθανότητα µάζας της διακριτής τυχαίας µεταβλητής. Ηµέσητιµήσυνήθωςδηλώνεταιµε m ή. Η αναµενόµενη τιµή ή µαθηµατική ελπίδα ή απλά µέση τιµή µιας συνεχούς τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως E[ ] ( d όπου ( είναιησυνάρτησηπυκνότηταςπιθανότητας. Ηµέσητιµήσυνήθωςδηλώνεται µε m ή. -9
Μέση τιµή συνάρτησης τυχαίας µεταβλητής Ας θεωρήσουµε τη τυχαία µεταβλητή Y οι τιµές της οποίας ορίζονται από την πραγµατική συνάρτηση y g( όπου είναιοιτιµέςµιαςτυχαίαςµεταβλητής. Η µέση τιµή της διακριτής τυχαίας µεταβλητής Y g( δίνεται από τη E( Y E [ ] g ( g( P( Η µέση τιµή της συνεχούς τυχαίας µεταβλητής Y g( δίνεται από τη [ g ( ] E( Y E g ( ( d -
ιασπορά και Τυπική Απόκλιση Η ύπαρξη κατανοµών οι οποίες έχουν την ίδια µέση τιµή και των οποίων οι τιµές είναι περισσότερο ή λιγότερο διασπαρµένες και αποµακρυσµένες από αυτήν καθιστά αναγκαία την εισαγωγή της διακύµανσης η οποία είναι ένα µέτρο του βαθµού συγκέντρωσης ή του βαθµού µεταβολής της κατανοµής µιας τυχαίας µεταβλητής. Η διακύµανση (vrice ή η διασπορά της τυχαίας µεταβλητής είναι η µέση τιµή του τετραγώνουτηςαπόκλισης g( ( m τηςτυχαίαςµεταβλητής απότηµέσητηςτιµής m E(. Ηδιακύµανσηήηδιασποράτης συµβολίζεταιµε VAR( ήσ τη σχέση ήαπλάσ καιορίζεταιαπό σ E ( m Ηθετικήτετραγωνικήρίζατηςδιασποράςσ καλείταιτυπικήαπόκλιση (stdrd devitio της τυχαίας µεταβλητής. -
Για τη διακύµανση έχουµε σ ( E E E ( E E + E ( E Γιακάθεσταθερά cέχουµετιςακόλουθεςσχέσειςγιατηµέσητιµή. E c c E. E c c 3. E + c E + c και τις ακόλουθες σχέσεις για τη διακύµανση. VAR ( c c VAR (. VAR ( c 3. VAR ( + c VAR ( -
Χαρακτηριστική συνάρτηση τυχαίας µεταβλητής Ηχαρακτηριστικήσυνάρτησηµίαςτυχαίαςµεταβλητής δηλώνεταιωςψ (ν καιορίζεταιως Ψ ορισ. ( ν ( e jν d Ηχαρακτηριστικήσυνάρτησητυχαίαςµεταβλητής συνδέεταιµετοµετασχηµατισµό Fourier (διαφέρει στο πρόσηµο στον εκθετικό όρο της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητάς της. Η χαρακτηριστική συνάρτηση τυχαίας µεταβλητής παρέχει ένα εύκολο τρόπο υπολογοσµού των ροπών της τυχαίας µεταβλητής. Για να προσδιορίσουµε την -στη ροπή της τυχαίας µεταβλητής χρησιµοποιούµε τη σχέση m ( ορισ. d j dν ν ( d Ψ ( ν Η χαρακτηριστική συνάρτηση τυχαίας µεταβλητής είναι φραγµένη από την τιµή της στο µηδέν Ψ ( Ψ ( ν -3
Πολλαπλές Έστω και Y δύο τυχαίες µεταβλητές. Για τις δύο αυτές τυχαίες µεταβλητές ορίζουµε τη συνδυασµένηαθροιστικήσυνάρτησηκατανοµής (joit (DF F Y ( y P ( ω Ω : ( ω Y ( ω y ήπιοαπλά F Y ( y P ( Y y και τη συνδυασµένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( joit (PDF Y ( y ϑ F Y ( y ϑϑ y -4
Βασικές ιδιότητες των συνδυασµένων και περιθώριων (mrgil DF και PDF F F Y ( F ( Y ( y F ( y Y ( y Y ( dy Y ( y y Y ( d Y ( y d dy F Y ( y y ( u υ du dυ Y -5
εσµευµένη ή υποσυνθήκη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Η δεσµευµένη ή υποσυνθήκη PDF της τυχαίας µεταβλητής υπό την προϋπόθεση ότι η τιµή της τυχαίας µεταβλητής Y είναι ίση µε y ορίζεται ως Y Y ( ( y ( y Y y Y ( y αλλιως ɺ Ησυνάρτηση Y ( y µπορείναθεωρηθείωςσυνάρτησητηςµεταβλητής µετηµεταβλητή y αυθαίρετη αλλά σταθερή συνεπώς ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας Y ( y Y ( y d F Y ( y Y P ( < y ( ξ y dξ Y ( ξ y dξ -6
Αν συµβαίνει η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας µετά την γνωστοποίηση της Y να είναι η ίδια µε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας πριν τη γνωστοποίηση της Y τότε οι τυχαίες µεταβλητές ονοµάζονται στατιστικά ανεξάρτητες (sttisticl idepedet και ισχύει Y ( y ( Y ( y Αν οι τυχαίες διαδικασίες και Y είναι στατιστικά ανεξάρτητες τότε η έκβαση της Y δεν επηρεάζει την κατανοµή της. Η υποσυνθήκη πιθανότητα Y ( y απλοποιείται στην περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Y ( y ( -7
Μία συνάρτηση δύο τυχαίων µεταβλητών και Y g(y είναι επίσης τυχαία µεταβλητή. Η αναµενόµενη τιµή της g( Y δίνεται από την [ g ( Y ] E g ( y Y ( y d dy Στην ειδική περίπτωση όπου g( Y Y λαµβάνουµε την E[ Y] που ονοµάζεται συσχέτιση (correltio των και Yκαισυµβολίζεταιµε R Y R Y E[ Y] y y Y ( d dy Αν η συσχέτιση γράφεται ως R Y E[] E[Y] τότε οι τυχαίες µεταβλητές λέγονται ασυσχέτιστες (ucorrelted. Αν οι τυχαίες µεταβλητές και Y είναι στατιστικά ανεξάρτητες τότε είναι και ασυσχέτιστες. Το αντίθετο δεν ισχύει γενικά. Ανησυσχέτισηγράφεταιείναιίσηµεµηδέν R Y ορθογώνιες (orthogol. τότεοιτυχαίεςµεταβλητέςλέγονται -8
Στην περίπτωση κατά την οποία g(y ( m (Y m Υ λαµβάνουµε την E[( m (Y m Y ] ηοποίακαλείταισυµµεταβολή (covrice - OV των και Y ηοποίασυµβολίζεταιµε Y ή µε OV(Y και είναι Y E [( m ( Y m ] αποδεικνύεταιότι Y R Y - E[] E[Y] ( m ( y m Y Y Y ( y d dy Ανοι και Yείναιανεξάρτητεςήασυσχέτιστες (R Y E[] E[Y] τότεησυµµεταβολήτους είναιίσηµεµηδέν Y. Ανοι και Yείναιορθογώνιες (R Y τότεησυµµεταβολήτουςείναι Y - E[] E[Y]. Ανεπιπλέονµίατουλάχιστοναπότις και Yέχειµέσητιµήίσηµεµηδέντότεησυµµεταβολή τουςείναιίσηµεµηδέν Y. -9
Ηκανονικοποηµένηµορφήτηςσυµµεταβολήςκαλείταισυντελεστήςσυσχέτισης (correltio coeiciet συµβολίζεταιµερ Y καιορίζεταιως ρ Y Y σ σ Y m E σ Y m σ Y Y αποδεικνύεταιότι ρ Y -
Σηµαντικές Οι συχνότερα χρησιµοποιούµενες τυχαίες µεταβλητές είναι Οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή Η Gussi τυχαία µεταβλητή ιωνυµική (Biomil Τυχαία µεταβλητή Beroulliτυχαίαµεταβλητή Poissoτυχαίαµεταβλητή Εκθετική τυχαία µεταβλητή Ryleighτυχαίαµεταβλητή -
Οµοιόµορφη Τυχαία Μεταβλητή Οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή είναι µία συνεχής τυχαία µεταβλητή που λαµβάνει τιµές µεταξύ και bµείσεςπιθανότητεςσεδιαστήµατατιµώνπουέχουνίσαµήκη. Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας F ( b b < b < b ( < < b αλλιώς b F ( ( b b b -
Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι Η Gussi Τυχαία Μεταβλητή ( m ( e σ πσ όπου mείναιηµέσητιµήκαισητυπικήαπόκλιση ( πσ 67 πσ mσ m m+ σ Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Gussi τυχαίας µεταβλητής -3
Η συνάρτηση κατανοµής είναι F ( πσ e ( ξm σ dξ F ( 84 5 59 mσ m m+σ Η συνάρτηση κατανοµής της Gussi τυχαίας µεταβλητής -4
Ησυνάρτηση κατανοµής της Gussi τυχαίας µεταβλητής για m καισ δηλώνεται µε Φ( και δίνεται από τη σχέση Η συνάρτηση Q του Mrcum ορίζεται ως π ξ Φ( P ( e dξ Q( y P π ( > y e d y ( e π Εµβαδɺ ο Q( y y -5
ιάφορες παρουσιάσεις του ολοκληρώµατος αυτού δίνονται σε µορφή εύχρηστων πινάκων ή διαγραµµάτων. y Q ( y y Q ( y y Q ( y 5e- 4 8975e-3 48 7933e-7 467e- 5 696e-3 49 4798e-7 474e- 6 466e-3 5 8665e-7 3 388e- 7 34669e-3 5 698e-7 4 34458e- 8 555e-3 5 99644e-8 5 3853e- 9 8658e-3 53 579e-8 6 745e- 3 3498e-3 54 333e-8 7 496e- 3 9676e-4 55 8989e-8 8 85e- 3 6873e-4 56 77e-8 9 846e- 33 4834e-4 57 5993e-9 5865e- 34 3369e-4 58 3357e-9 3566e- 35 36e-4 59 875e-9 56e- 36 59e-4 6 98658e- 3 968e- 37 779e-4 6 5334e- 4 8756e- 38 7348e-5 6 83e- 5 6687e- 39 4896e-5 63 488e- 6 54799e- 4 367e-5 64 77688e- 7 44565e- 4 657e-5 65 46e- 8 3593e- 4 3345e-5 66 557e- 9 876e- 43 85398e-6 67 4e- 75e- 44 545e-6 68 539e- 7864e- 45 33976e-6 69 6e- 393e- 46 4e-6 7 798e- 3 74e- 47 38e-6-6
Παρατηρούµε ότι Q ( Φ ( και m P ( > Q σ -7
BeroulliΤυχαίαΜεταβλητή Αυτή είναι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή που παίρνει δύο τιµές το ένα και το µηδέν µε πιθανότητες p και - p. Η τυχαία µεταβλητή Beroulli είναι ένα καλό µοντέλο για µια γεννήτριαδυαδικώνδεδοµένων. Όταν δυαδικά δεδοµένα µεταβιβάζονται µέσω ενός καναλιού επικοινωνίας και µερικά bits λαµβάνονται εσφαλµένα µπορούµε να µοντελοποιήσουµε ένα σφάλµα µε µία πρόσθεση modulo- του στο bitεισόδου µεταβάλλονταςέτσιτο σε καιτο σε. Η τυχαία µεταβλητή Beroulli χρησιµοποιείται για τη µοντελοποίηση των σφαλµάτων καναλιού. -8
Beroulli trils Σύνολο έχει στοιχεία. Ο ολικός αριθµός των υποσυνόλων µε στοιχεία είναι ( ( +!!(! Παράδειγµα.Ταστοιχείαενόςσυνόλουείναι b cκαι d. Ποιοςοαριθµόςτωνυποσυνόλων µε δύο στοιχεία; Έχουµε 4 και εποµένως το πλήθος των υποσυνόλων µε στοιχεία είναι 4 4 3 Πράγµατιέχουµετασύνολα b c d bc bdκαι cd 6 Το παραπάνω συµπέρασµα χρησιµοποιείται για να βρεθεί η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ένα γεγονός φορές σε ανεξάρτητες πραγµατοποιήσεις ενός πειράµατος τύχης. Το πρόβληµα αυτό είναι βασικά το ίδιο µε το πρόβληµα να έχουµε φορές κεφάλι σε στριψίµατα ενός νοµίσµατος. -9
Παράδειγµα. Ανστρίψουµεένανόµισµαηπιθανότηταναέχουµεκεφάλιείναι P(K p. Σχηµατίζεται µία ακολουθία από N στριψίµατα του νοµίσµατος. Ηπιθανότηταστηνακολουθίανα έχουµε φορέςκεφάλικαι N φορέςγράµµαταθα είναι λόγω της ανεξαρτησίας P( K P( K P( K P( Γ P( Γ P( Γ p ( p εδοµένου ότι οι πιθανές ακολουθίες µήκους N στις οποίες παρουσιάζονται κεφάλια ανεξαρτήτου θέσης είναι έχουµε τη πιθανότητα P N N!!( N! N N ( K νασυµβεί ακριβώς φορές p ( p N -3
ιωνυµική (Biomil Τυχαία Μεταβλητή όπου < p < και. Αυτήείναιµίαδιακριτήτυχαίαµεταβλητήπουδίνειτοπλήθοςτων σεµίαακολουθίααπό ανεξάρτητα πειράµατα Beroulli. Η PMF δίνεται από αλλιώς ( ( p p P και η αθροιστική διωνυµική συνάρτηση κατανοµής u p p F ( ( ( Αυτή η τυχαία µεταβλητή µοντελοποιεί για παράδειγµα τον ολικό αριθµό των bits τα οποία λαµβάνονται εσφαλµένα όταν µια ακολουθία από bits µεταβιβάζεται µέσα από ένα κανάλι µε πιθανότητα σφάλµατος-bit ίση µε p. p p ( ( ( δ Η διωνυµική συνάρτηση πυκνότητα πιθανότητας είναι -3
Αυτή είναι µία διακριτή τυχαία µεταβλητή της οποίας η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι b ( e δ (! όπου b > πραγµατικήσταθερά. Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής PoissoΤυχαίαΜεταβλητή F ( e b b b u(! Αυτήητυχαίαµεταβλητήεφαρµόζεταισεπολλέςεφαρµογέςσυνεχούςχρόνου. Μοντελοποιεί για παράδειγµα τον αριθµό των τηλεφωνικών κλήσεων που πραγµατοποιούνται σε ένα τηλεφωνικό κέντρο κατά τη διάρκεια µιας χρονικής περιόδου. Αν το χρονικό διάστηµα ενδιαφέροντος έχει διάρκεια T και τα γεγονότα τα οποία καταµετρώνται πραγµατοποιούνται µε µέσο ρυθµό λ και ακολουθούν κατανοµή Poisso τότε εποµένως ( e λ T b λt ( λ T! δ ( -3
Παράδειγµα: Σε ένα τηλεφωνικό κέντρο δηµιουργείται ουρά όταν φτάνουν τηλεφωνικές κλήσεις ενώ όλες οι γραµµές είναι απασχοληµένες. Υποθέτοντας ότι οι τηλεφωνικές κλήσεις σε ένα τηλεφωνικό κέντρο ακολουθούν κατανοµή Poisso και πραγµατοποιούνται µε µέσο ρυθµό 5 κλήσεις/h. Το τηλεφωνικό κέντρο έχει τη δυνατότητα να εξυπηρετήσει µόνο ένα συνδροµητή και κάθε τηλεφωνική κλήση διαρκεί ένα λεπτό. Ποια είναι η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ουρά αναµονής στο τηλεφωνικό κέντρο; Η ουρά αναµονής θα πραγµατοποιηθεί αν δύο ή περισσότερη συνδροµητές εκδηλώσουν επιθυµία να πραγµατοποιήσουν κλήση σε χρονικό διάστηµα ενός λεπτού. Η πιθανότητα πραγµατοποιηθεί ουρά αναµονής στο τηλεφωνικό κέντρο είναι ένα µείον την πιθανότητα να έχουµε περισσότερες από µία τηλεφωνικές κλήσεις. Έχουµε λ 5/6 τηλεφωνικέςκλήσεις / miκαιτ miέτσι b 5/6. Έχουµελοιπόν P( πραγµατοπο ιηθεί ουρά F 5 e 6 3 ( 5 ( + Αναµένεται λοιπόν να υπάρχει ουρά στο τηλεφωνικό κέντρο περίπου κατά το 3% του χρόνου. 6-33
Εκθετική τυχαία µεταβλητή για πραγµατικούς αριθµούς και b για του οποίους ισχύει < < και b >. ( F b e ( b b e b Γιαα καιλ /bέχουµε < > ( e F λ < > ( e λ λ < > e F b ( Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής < > e b b ( Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας -34
Αποδεικνύεται ότι E[ ] Vr[ ] λ λ Η εκθετική συνάρτηση είναι η µοναδική συνάρτηση µε έλλειψη µνήµης δηλαδή ικανοποιεί τη ( s+ t > t P( s P > > γιακάθε sκαι t > Αυτή η τυχαία µεταβλητή µοντελοποιεί για παράδειγµα τους χρόνου εξυπηρέτησης σε ένα τηλεφωνικόκέντρο. Αντυχαίαµεταβλητή παριστάνειτοχρόνοµεταξύδύοδιαδοχικώντηλεφωνικώνκλήσεων ακολουθείεκθετικήκατανοµήκαιθεωρήσουµεότιµίακλήσηέφτασετηχρονικήστιγµή t τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου µέχρι την επόµενη κλήση θα είναι ( t e λ λ t Επίσης η τυχαία µεταβλητή µοντελοποιεί τη διακύµανση της ισχύος του σήµατος που λαµβάνει το rdr για τους διάφορους τύπους αεροσκαφών. -35
Παράδειγµα: Η ισχύς που ανακλάται από αεροσκάφος σύνθετης µορφής και η οποία λαµβάνεται από διάταξη rdr µοντελοποιείται από εκθετική τυχαία µεταβλητή P. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότηταςείναι P ( p P όπου P είναιηµέσητιµήτηςλαµβανοµένηςισχύος. e p P p> p< Σεκάποιαδεδοµένηχρονικήστιγµή Pέχειτιµήδιάφορηαπότηµέσητηςτιµή. Ποιαείναιη πιθανότητα η λαµβανόµενη ισχύς να είναι µεγαλύτερη από τη ισχύ που λαµβάνει κατά µέσο όρο; P( P > P P( P P FP ( P 368 P ( / P e Αναµένεταιλοιπόν η µέση ισχύς να είναι µεγαλύτερη της µέσης τιµής κατά το 368% του χρόνου. -36
F ( e Ryleighτυχαίαµεταβλητή Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( b < b ( για πραγµατικούς αριθµούς και b για του οποίους ισχύει < < και b >. ( ( e b < F ( 393 e ( b 67 ( b e b b + b Αυτή η τυχαία µεταβλητή έχει πολλές εφαρµογές στα κανάλια επικοινωνίας τα οποία παρουσιάζουν διαλείψεις. Επίσης περιγράφει την περιβάλλουσα του θορύβου όταν αυτός διέρχεται από bdpss φίλτρα. Επίσης βρίσκει εφαρµογή στην ανάλυση των λαθών στα συστήµατα µέτρησης + b -37
PoissoΤυχαία ιαδικασία P ( λ t e! λ t ( ( t... ( ( λ t e! δ ( όπουλονοµάζεταιρυθµόςτηςδιαδικασίας (rte o the process. H αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας διαδικασίας είναι λ t F ( ( λ t e! λ t u( Η µέση τιµή και η διασπορά της τυχαίας µεταβλητής είναι [ ( t ] Vr[ ( t] ( d t E λ και η µέση τιµή του τετραγώνου της τυχαίας διαδικασίας είναι [ ( t ] ( dλ t( + t E λ -38
Η χρονική στιγµή που πραγµατοποιείται ένα γεγονός αντιστοιχεί σε ένα σηµείο στον άξονα των χρόνων. Έχουµε λοιπόν τη γραφική παράσταση Αριθµός εξυπηρετού- µενων συνδροµητών t t t 3 t4 t 5 t6 t 7 t 8 t 9 t Μέγιστος αριθµός εξυπηρετούµενων συνδροµητών t Οι τυχαίες χρονικές στιγµές κατά τις οποίες πραγµατοποιούνται και διακόπτονται τηλεφωνικές κλήσεις οι οποίες δηµιουργούν την τυχαία διαδικασία t t t 3 t4 t 5 t6 t 7 t 8 t 9 t t Ένα δείγµα συνάρτησης της διακριτής τυχαίας διαδικασίας Poisso - Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση (t που παριστάνει τον αριθµό των εξυπηρετούµενων συνδροµητών αυξάνεται κατά ένα για κάθε νέα τηλεφωνική κλήση και ελαττώνεται επίσης κατά ένα όταν µία κλήση τελειώνει. Η ένταση της κίνησης για χρονικό διάστηµα T είναι T λ ( t dt λ s µέσος ρυθµός άφιξης µέσος χρόνος κατάληψης T µ -39
Πολλαπλές Συναρτήσεις Πολλαπλών Τυχαίων Μεταβλητών ( ( Y h W Y g Z να είναι µη µηδενική i i i i i Y ZW y y w z ( det ( ( J και στα σηµεία αυτά η ορίζουσα του Jcobi πίνακα y w w y z z y ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ J ( η συνδυασµένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι w y h z y g ( ( όπου { i y i } είναι ένααριθµήσιµοπλήθοςλύσεωντουσυστήµατος -4
Συνδυασµένεc Gussi ΤυχαίεςΜεταβλητές Οι συνδυασµένες Gussi ή δικανονικές τυχαίες µεταβλητές και Y ορίζονται από τη συνδυασµένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Y ( y ( m ρ( m ( y m ( y m ep + πσ σ ( ρ ρ σ σ σ σ Όταν οι δύο τυχαίες µεταβλητές και Y κατανέµονται σύµφωνα µε την δικανονική κατανοµή τότε η κατανοµή κάθε µίας από αυτές ( και Y (y και οι υποσυνθήκη πυκνότητες πιθανότητας Y ( y και Y (y είναι Gussiκατανοµές. Η ιδιότητα αυτή είναι η κύρια διαφορά µεταξύ δύο συνδυασµένα Gussi τυχαίων µεταβλητώνκαιδύοτυχαίωνµεταβλητώνηκάθεµίααπότιςοποίεςέχει Gussiκατανοµή. Αν οι και Y είναι συνδυασµένες Gussi της πιο πάνω µορφής τότε η είναι Gussi µε µέσητιµή m καιδιακύµανσησ καιηyείναι Gussiµεµέσητιµή m καιδιακύµανσησ οδεσυντελεστήςσυσχέτισηςµεταξύτων και Yείναιρ. -4
( ( ( t m m ep det( ( π Ο ορισµός των δύο συνδυασµένων Gussi τυχαίων µεταβλητών µπορεί να επεκταθεί σε τυχαίεςµεταβλητές. m m m m όπου mκαι mείναιταδιανύσµατα ] [ ] [ ] [ E E E m -4 και είναι ο πίνακας συµµεταβολής
και είναι ο πίνακας συµµεταβολής ( ( [ ] j i j i E j i i j j i i ij σ ρσ σ m m µε στοιχεία σ σ ρσ σ ρσ σ Για την περίπτωση στην οποία είναι ( σ σ σ ρ σ σ ρ σ ρ ( ρ σ σ και ο αντίστροφος πίνακας είναι τελικά -43
Αθροίσµατα Τυχαίων Μεταβλητών Αν έχουµε µια ακολουθία τυχαίων µεταβλητών ( που έχουν βασικά τις ίδιες ιδιότητες τότε αναµένεται ότι η µέση τιµή i i νασυµπεριφέρεται λιγότεροτυχαία απόκάθε i. Y Ο νόµος των µεγάλων αριθµών και το θεώρηµα του κεντρικού ορίου αποτελούν µια ακριβή διατύπωση του διαισθητικού αυτού γεγονότος. Οασθενήςνόµοςτωνµεγάλωναριθµών δηλώνειότιανοιτυχαίεςµεταβλητές είναιασυσχέτιστεςµετηνίδιαµέσητιµή m καιδιακύµανσησ < τότεγιακάθεε> ( Y > ε lim P m Αυτό σηµαίνει ότι η µέση τιµή του αθροίσµατος συγκλίνει (ως προς την πιθανότητα στην αναµενόµενη τιµή. -44
Το θεώρηµα του κεντρικού ορίου όχι µόνο διατυπώνει τη σύγκλιση της αναµενόµενης τιµής προς τη µέση τιµή αλλά επίσης δίνει κάποια πληροφορία για την κατανοµή του µέσου αυτού όρου. Τοθεώρηµααυτόδηλώνειότιαν είναιανεξάρτητεςτυχαίεςµεταβλητές είναι ανεξάρτητεςτυχαίεςµεταβλητέςµεαναµενόµενεςτιµές m m m καιδιακυµάνσειςσ σ σ τότεηαθροιστικήσυνάρτησηκατανοµήςτηςτυχαίαςµεταβλητής Y m i i σ i i συγκλίνει στην αθροιστική συνάρτηση κατανοµής µίας Gussi τυχαίας µεταβλητής µε µέση τιµή καιδιακύµανση δηλαδή συµπεριφέρεται ασυµπτωτικά σαν κανονική µεταβλητή. Με άλλα λόγια ισχύει lim P S m σ b π b e u du όπου S + + + (3 τυχαίαδιαδικασίαµεµέσητιµή m m +m + +m -45
Στην ειδική περίπτωση στην οποία οι i είναι ανεξάρτητες και όµοια κατανεµηµένες (idepedet d ideticlly distributed-i.i.d. το θεώρηµα του κεντρικού ορίου λέει ότι η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της συγκλίνει στην αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της µιας Gussi τυχαίας µεταβλητής µε µέσητιµή mκαιδιακύµανσησ / N(m σ /. Y i i Για να ισχύει το θεώρηµα του κεντρικού ορίου πρέπει οι τυχαίες µεταβλητές να είναι ανεξάρτητες ενώ ο νόµος των µεγάλων αριθµών ισχύει κάτω από λιγότερο περιοριστικές συνθήκες δηλαδή της µη συσχέτισης των τυχαίων µεταβλητών. -46