Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este o variabilă aleatoare. În general, în experimente în care numărăm (maşini aflate pe şosea, aruncări ale unui zar până la obţinerea unui şase, piese defecte, etc) variabilele aleatore obţinute sunt variabile aleatore discrete, iar în experimentele în care măsurăm (voltajul electric, cantitatea de apă de ploaie, duritatea unui anumit material, etc), variabilele aleatoare obţinute sunt variabile aleatoare continue. Definiţia matematică precisă este următoarea. Definiţia. (Variabilă aleatoare)ovariabilăaleatoarerealăpespaţiul de probabilitate (Ω F) este o funcţie : Ω R măsurabilă înraportcu-algebrele corespunzătoare (F pe Ω, respectiv-algebra Boreliană B pe R), adică cu proprietatea că () { Ω : () } F pentru orice mulţime Boreliană B. Pentru a calcula diverse caracteristice numerice asociate variabilei aleatoare, introducem funcţia de distribuţie corespunzătoare, după cum urmează. Definiţia. (Funcţia de distribuţie) Funcţia de distribuţie a unei variabile aleatoare este funcţia : R R definită prin () ( ) R (9) Observaţia.3 Folosind funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare putem spre exemplu determina probabilitatea ca variabila să ia valori într-un anumit interval ( ]: ( ( ]) ( ) () () (0) Această egalitate are loc deoarece evenimentele { } şi { } sunt disjuncte, şi verifică { } { } { }, şi deci din Definiţia.aprobabilităţii obţinem de unde prin scăderea lui () se obţine relaţia (0). Are loc următoarea. () ( ) ( )+ ( ) ()+ ( ) Propoziţia.4 (De caracterizare a funcţiei de distribuţie) Funcţia de distribuţie : R R auneivariabile aleatoare are următoarele proprietăţi.. Este nedescrescătoare, adică () () oricare ar fi R cu.. lim () 0şi lim (). 3. Este continuă la dreapta în orice punct, adică lim &0 () ( 0 ). 4. Are limită lastângaînoricepunct,şi are loc ( 0 ) : lim %0 () ( 0 ). 5. ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) Reciproc, se poate arăta că dacăofuncţie : R R verifică proprietăţile ) - 3) de mai sus, atunci există o variabilă aleatoare (pe un anumit spaţiu de probabilitate) având ca funcţie de distribuţie. Demonstraţie. Implicaţia directă - exerciţiu. Pentru a demonstra afirmaţia reciprocă, considerăm spre exemplu spaţiul de probabilitate (Ω F) cu Ω (0 ), F B (0 ) -algebra mulţimilor Boreliene pe (0 ), -măsura Lebesgue, şi arătăm că variabila aleatoare : Ω R definită de () sup{ R : () } Ω 7
are proprietăţile cerute. Pentru aceasta, arătăm mai întâi că are loc egalitatea { Ω : () } { Ω : ()} () Dacă (), dindefiniţia variabilei aleatoare (şi faptul că este nedescrescătoare), rezultă că (). Pentru a demonstra incluziunea contrară, dacă (), folosind continuitatea la dreapta a lui rezultă căexistă 0 astfel încât ( + ), şi folosind din nou definiţia variabilei aleatoare obţinem () +, ceea ce demonstrează incluziunea contrară. Folosind egalitatea (), obţinem ({ Ω : () }) ({ Ω : ()}) ((0 ()]) ((0 ()]) () deoarece este măsura Lebesgue pe intervalul (0 ), relaţiecearatăcă este funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare.. Variabile aleatoare discrete Definiţia.5 Ovariabilăaleatoare : Ω R se numeşte discretă dacă eapoateluanumaiunnumăr cel mult numărabil de valori. Dacă 3 sunt valorile posibile (distincte) ale lui şi ( ), ( ) 3 ( 3 ) sunt probabilităţile cu care variabila aleatoare ia aceste valori, reprezentăm variabila aleatoare discretă sub forma 3 () 3 Observaţia. Dacă este o variabilă aleatoarediscretăceiavalorile 3 cu probabilităţile 3, atunci au loc următoarele.. Dacă este un interval ce nu conţine nici una din valorile posibile ale variabilei aleatoare discrete, atunci ( ) 0 (3). Probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valori într-un interval ( ] este dată de ( ) X (4) adică esteegalăcusumaprobabilităţilor corespunzătoare valorilor posibile pentru care. 3. Suma tuturor probabilităţilor corespunzătoare valorilor este egală cu, adică X (5) Motivul este următorul: X X ( ) ( { 3 }) (Ω) Dacă este o variabilă aleatoare discretă, vom spune că funcţia de distribuţie corespunzătoare este o funcţie de distribuţie discretă (sau că are o distribuţie discretă). Definiţia.7 (Funcţie de densitate de probabilitate) Pentru o variabilă aleatoare discretă ce ia valorile 3 cu probabilităţile 3 definim funcţia de probabilitate avariabileialeatoare prin ½ dacă () ( 3) 0 în rest
f(x) 3 4 5 F (x) 3 4 5 Figure : Graficul funcţiei de probabilitate () şi a funcţiei de distribuţie () a variabilei aleatoare reprezentând rezultatul aruncării unui zar. Cunoscând funcţia de probabilitate a unei variabile aleatoare (sau valorile posibile şi probabilităţile respective), putem determina funcţia de distribuţie corespunzătoare astfel: () X ( ) X () Graficuluneidistribuţii discrete este o funcţie în scară, cu salturi egale cu în punctele ( 3), ca în următoarele două exemple. Exemplul. Să considerăm variabila aleatoare reprezentând rezultatul aruncării unui zar. Atunci are ca valori posibile cu probabilităţi fiecare, şi deci este o variabilă aleatoare discretă 3 4 5 Funcţia de probabilitate corespunzătoare este ½ () dacă { } 0 în rest iar funcţia de distribuţie corespunzătoare este 0 dacă dacă dacă 3 3 () dacă 3 4 4 dacă 4 5 5 dacă 5 dacă De observat legătura între graficele funcţiei de probabilitate () şi a funcţiei de distribuţie () din Figura. Exemplul.9 Să considerăm variabila aleatoare reprezentând numărul de feţe stemă obţinute la aruncarea a 3 monede. În acest caz variabila aleatoare ia valorile 0 3 cu probabilităţile 3 3, deci putem reprezenta variabila aleatoare sub forma 0 3 Graficul funcţiei de probabilitate () şi a funcţiei de distribuţie () este indicat în Figura. 3 3 9
f(x) 3 0 3 F (x) 3 Figure : Graficul funcţiei de probabilitate () şi a funcţiei de distribuţie () a variabilei aleatoare reprezentând numărul de steme obţinute la aruncarea a două monede. Exemplul.0 (Problema aşteptării - spaţiu numărabil de evenimente ) Se aruncă înmodrepetat omo- nedă şi se consideră variabila aleatoare reprezentând numărul de încercări efectuate până laprimaapariţie a stemei. În acest caz variabila aleatoare poate lua valorile 3 (un număr infinit, numărabil, de valori posibile), cu probabilităţile ( ) (), ( ) () 4, ( 3) (), şamd. Avem deci 3 4 De observat că relaţia (5) este verificată în acest caz: folosind formula seriei progresiei geometrice, obţinem: X X + 4 + +. Variabile aleatoare continue Variabilele aleatoare continue apar în practică atunci când într-un anumit experiment măsurăm o anumită cantitate, spre exemplu lungimea unui şurub, voltajul într-un circuit electric, timpul dintre două aterizări, etc. Reamintim că în general funcţia de distribuţie a unei variabile aleatoare este o funcţie continuă la stânga în orice punct. Dacă variabila aleatoare este o variabilă aleatoare discretă, ce ia valorile distincte 3 cu probabilităţile 3, atunci funcţia de distribuţie () ( ) corespunzătoare este o funcţie în scară, ce are salturi egale cu în punctele de discontinuitate, 3. Prin contrast cu variabilele aleatoare discrete, definim variabilele aleatoare continue, după cum urmează. Definiţia. (Variabilă aleatoare continuă şi absolut continuă) Spunem că variabila aleatoare este o variabilă aleatoarecontinuă dacă funcţia de distribuţie corespunzătoare : R R este o funcţie continuă pe R. Dacă înplusfuncţia de distribuţie esteabsolutcontinuăînraportcumăsura Lebesgue pe R, adicădacăexistă ofuncţie : R [0 ) integrabilă per astfel încât () Z spunem că este o variabilă aleatoare absolut continuă. () R, (7) Observaţia. Variabilele aleatoare continue ce apar în practică sunt în general şi absolut continue. Din acest motiv, în continuare ne vom referi la variabile aleatoare continue înţelegând prin aceasta că ele sunt şi absolut continue. 0
Observaţia.3 Spre deosebire de variabilele aleatoare discrete, în cazul variabilelor aleatoare continue avem oricare ar fi R. Motivul este următorul: din continuitatea măsurii de probabilitate avem ( ) 0 () ( ) lim ( ) % & lim ( ) ( ) % & lim () () % & Z lim % 0 & Z () () Din relaţia () rezultă că spre deosebire de cazul variabilelor aleatoare discrete, în cazul unei variabile aleatoare continue următoarele probabilităţi sunt egale ( ) ( ) ( ) ( ) () () Z () (9) toate fiind egale cu R () (aria de sub graficul funcţiei de densitate () între şi ). Mai general, pentru orice interval R avem Z ( ) () (0) Observaţia.4 (Legătura între funcţia de densitate şi cea de distribuţie) Dacă este o variabilăaleatoare continuă având densitatea atunci relaţia (7) permite calculul funcţiei de distribuţie: () Z () R Reciproc, dacă funcţia de densitate este o funcţie continuă (eventual cu excepţia unui număr finit de puncte), din relaţia (7) rezultă căfuncţia de distribuţie a unei variabile aleatoare continue este o funcţie continuă, şi mai mult, că esteofuncţie derivabilă (eventual cu excepţia punctelor de discontinuitate ale funcţiei de densitate ()). Derivând relaţia (7) în raport cu obţinem 0 () () () pentru orice R pentru care funcţia () este continuă. Această relaţienepermitesădeterminăm funcţia de densitate () atunci când cunoaştem funcţia de distribuţie (). Observaţia.5 Dacă este o variabilă aleatoarecontinuă având funcţia de densitate (), atunciaulocurmătoarele.. Dacă este un interval de numere reale, atunci Z ( ) () (). Probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valori într-un interval ( ] este dată de ( ) () () adică esteegalăcuariadesubgraficul densităţii () între şi (vezi Figura 3). Z () (3)
Figure 3: Probabilitatea ( ) este egală cuariadesubgraficul densităţii () între şi. 3. Integrala densităţii () este egală cu, adică Motivul este următorul: () (4) () ( ) (Ω) Exemplul. Să considerăm variabila aleatoare continuă având funcţia de densitate dată de () 075 pentru [ ] şi 0 în rest. Să se determine funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare şi să secalculeze probabilităţile şi 4.Careestevaloarealui pentru care ( ) 05? Folosind relaţia (7) distingem următoarele cazuri. i) Dacă, atunci Z Z () () 0 0 ii) Dacă atunci () Z iii) Dacă atunci () Z () 075 075 Z () Z 3 05+075 05 3 3 075 Am obţinut deci 0 () 05+075 05 3 Pentru a calcula probabilităţile cerute, folosim relaţia (53): Z () 075 Alternativ, putem folosi relaţia (3), adică Z 075 05+ 075 05 05 075 + 05 075 deoarece pentru o variabilă aleatoarecontinuăavem conform relaţiei (9). În mod similar, avem 4 Z 4 () 075 Z 4 075 3 3 5 034 4
sau alternativ 4 () 05+ 075 4 4 05 4 5 034 Pentru a determina valoarea lui pentru care are loc egalitatea ( ) 05, săobservăm că deoarece ( ) (), relaţia dată semaipoatescriesubforma () 05. Obţinem deci 05+075 05 3 05, sau echivalent 3 0,cusoluţiile 0, 3 şi 3 3. Cum numai soluţia 0convine (de ce?), avem 0. Exerciţii Exerciţiul. Desenaţi graficul funcţiei de probabilitate şi a funcţiei de distribuţie corespunzătoare. () ½ 4 { 3} 0 în rest Exerciţiul. Considerăm funcţia de probabilitate () 3 pentru {0 3} şi 0 în rest. Să sedetermine valoarea constantei, şi să se reprezinte grafic funcţia şi funcţia de distribuţie corespunzătoare. Exerciţiul.3 Să sereprezintegrafic funcţiile şi în cazul (0) (3), () () 3.Poatefuncţia avea alte valori nenule? Exerciţiul.4 Fie variabila aleatoare reprezentând numărul de ani înainte ca o anumită piesăsăsedefecteze. Presupunem că are funcţia de probabilitate () 3 pentru {0 3 4} şi 0 în rest. Să sereprezinte grafic funcţia şi funcţia de distribuţie corespunzătoare. Exerciţiul.5 Dacă variabila aleatoare are funcţia de probabilitate ()! pentru N şi 0 în rest, să se determine valoarea constantei şi probabilitatea ( 3). Exerciţiul. Să sereprezintegrafic funcţia de densitate () 4 pentru ( ) şi 0 în rest, precum şi funcţia de densitate corespunzătoare. Să se determine probabilităţile ( 4) şi ( 3). Exerciţiul.7 În exerciţiul anterior, să se determine valoarea lui astfel încât: a) ( ) 90% b) ( ) c) ( ) 5% Exerciţiul. Funcţia de distribuţie a unei variabile aleatoare este dată de () 0dacă 0 şi () 0 dacă 0. Să se reprezinte grafic şi funcţia de densitate. Să se determine valoarea lui astfel încât ( ) 95%. Exerciţiul.9 Fie grosimea (în milimetri) a unei garnituri produse de o anumită maşină. Presupunem că variabila aleatoare are funcţia de densitate () dacă 09 şi 0 în rest. Să sedetermine. Care este probabilitatea ca o garnitură produsăvaaveaogrosimeîntre095 şi 05 mm? Exerciţiul.0 Două şuruburi sunt alese la întâmplare fără înlocuire dintr-o cutie ce conţine 7 şuruburi cu filet pe dreapta şi 3 şuruburi cu filet pe stânga. Fie variabila aleatoare reprezentând numărul de şuruburi extrase având filetul pe partea stângă. Să sedetermine ( 0), ( ), ( ), ( ) şi (05 5). Exerciţiul. Să se determine probabilitatea ca nici unul din cele trei becuri ale unui semafor să nutrebuiască schimbat în primeleh500 oredefuncţionare dacă duratadeviaţă aunuibecesteovariabilă aleatoare având densitatea () 05 ( 5) i pentru şi 0 în rest, unde este măsurat în multiplii de 000 ore. Exerciţiul. Dacă diametrul al unei bare este o variabilă aleatoare având densitatea () pentru 99 0 şi 0 în rest, aproximativ câte bare vor fi defecte într-un lot de 500 bare, dacă obarăeste considerată defectă când diametrul ei este mai mic decât 99 sau mai mare decât 009? 3
Exerciţiul.3 Dacă duratadeviaţă a unui rulment este o variabilă aleatoare cu densitatea () 0 pentru 0 0 şi 0 în rest, care este valoarea lui? Careesteprobabilitatea ( 5)? Exerciţiul.4 Să se determine funcţia de probabilitate a variabilei aleatoare reprezentând numărul de aruncări ale unui zar până laapariţia feţei. Săseverifice că arelocrelaţia (5). Exerciţiul.5 Presupunem că anumiteşuruburi au o lungime 400+ mm, unde este o variabilă aleatoare având densitatea () 3 4 pentru şi 0 în rest. Să se determine valoarea lui astfel încât cu probabilitate de 95% un şurubvaaveaolungimecuprinsăîntre400 şi 400 +. Exerciţiul. Presupunem că într-un proces automatizat de umplere a conservelor cu ulei, conţinutul unei conserve (în litri) este 00+, unde este o variabilă aleatoare având densitatea () pentru şi 0 pentru. Săsereprezintegrafic şi funcţia de distribuţie corespunzătoare. Într-un lot de 000 conserve, aproximativ câte conserve vor conţine 00 de litri de ulei sau mai mult? Care este probabilitatea ca o conservă să conţină mai puţin de 99.5 litri ulei? Dar mai puţin de 99 litri ulei? Exerciţiul.7 Fie funcţia de densitate dată de () dacă 0 şi 0 în rest. Să sedetermine valoarea constantei. Să se determine constantele şi astfel încât ( )0 şi ( )09. Exerciţiul. Fie raportul vanzărilor la profit pentruoanumită firmă. Presupunem că are funcţia de distribuţie dată de 0 () 4 5 3 3 Să sedetermineşi să se reprezinte grafic funcţia de densitate corespunzătoare.careesteprobabilitateaca să fie cuprins între 5 (40% profit) şi 5 (0% profit)? Exerciţiul.9 Fie ovariabilă aleatoare ce poate lua orice valoare reală. Care sunt complementarele evenimentelor { }, { }, { }, { }, { }, { }? Exerciţiul.0 Arătaţi că dacă atunci ( ) ( )..3 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersia Media unei variabile aleatoare, notată (), (),,, sau (), caracterizează tendinţa centrală avalorilor acesteia, iar dispersia variabilei aleatoare, notată (),, sau (), caracterizează împrăştierea valorilor lui. Media () a variabilei aleatoare se defineşte prin ½ P () ( ) dacă este o v.a. discretă (5) () dacă este o v.a. continuă R iar dispersia () a variabilei aleatoare se defineşte prin ( P () ( ) ( ) dacă este o v.a. discretă R ( ) () dacă este o v.a. continuă () unde prin am notat funcţia de probabilitate a lui în cazul în care este o variabilă aleatoare discretă, respectiv funcţia de densitate a lui în cazul în care este o variabilă aleatoare continuă. Abaterea pătratică medie () a variabilei aleatoare se defineşte ca fiind radicalul dispersiei, adică () p (). Media () a unei variabile aleatoare se mai numeşte valoarea aşteptată /aşteptarea lui, deoarece ea este egală cu valoarea medie a lui atunci când se efectuează multeîncercări. Cantităţi precum () (media) sau () (dispersia) care indică anumiteproprietăţi ale distribuţiei în cauză se numesc parametrii ai distribuţiei. Media şi dispersia sunt cei mai importanţi parametrii ai unei distribuţii. Observăm că în general (cu excepţia cazului unei variabile aleatoare discrete având o singură valoare posibilă), avem () 0. În continuare vom presupune că () şi () există (şi sunt finite), ca în majoritatea cazurilor ce apar în probleme practice. 4
b a f(x) F (x) a b a b Figure 4: Graficul funcţiilor de densitate şi de distribuţie în cazul distribuţiei uniforme pe intervalul ( ). Exemplul.7 Fie variabila aleatoare reprezentând numărul de feţe stemă obţinut la aruncarea unei monede. În acest caz variabila aleatoare este dată de 0 şi deci obţinem media şi dispersia () 0 + 0 + 4 Exemplul. (Distribuţia uniformă peintervalul( )) Distribuţia având funcţia de densitate ½ () ( ) 0 în rest se numeşte distribuţie uniformă pe intervalul ( ). Media şi dispersia sunt date în acest caz de respectiv () () + () () Z Z ( ) ( ) + + + 3 3( ) ( ) Figura 4 indică graficele funcţiei de densitate şi a funcţiei de distribuţie corespunzătoare distribuţiei uniforme pe intervalul ( ). Dacă o distribuţie este simetrică (adicăgraficul funcţiei de probabilitate/densitate este simetruic faţă deo dreaptă ), atunci putem calcula media a distribuţiei folosind următoarea. Teorema.9 Dacă funcţia (de probabilitate sau de densitate) a unei distribuţii este simetrică faţă dedreapta, atunci media distribuţiei este (). Demonstraţie. În cazul unei distribuţii continue având densitatea, conformdefiniţiei mediei avem: () () Z () + () 5
Folosind substituţia în prima integrală, respectiv substituţia + în a doua integrală, şi faptul că funcţia este simetrică faţă dedreapta (adică ( ) ( + )), obţinem: () 0 0 0 ( ) ( ) + ( + + ) ( + ) ( + ) () 0 ( + ) ( + ) deoarece R şi deci R R (funcţia fiind simetrică faţă de ). Demonstraţia este similară în cazul unei distribuţii discrete..4 Transformarea mediei şi dispersiei În practică, deseori cunoaştem media () şi dispersia () a variabilei aleatoare,şi dorim să calculăm media şi dispersia unei variabile aleatoare +, unde R sunt constante. Răspunsul este dat de următoarea. Teorema.0 (Transformarea mediei şi dispersiei) Dacă ovariabilăaleatoare are medie () şi dispersie (),atuncimediaşi dispersia variabilei aleatoare + ( 0, R) sunt date de ( ) + şi ( ) (7) În particular, variabila aleatoare standardizată corespunzătoare lui, datăde () are medie () 0şi dispersie (). Demonstraţie. Vom da demonstraţia numai în cazul unei variabile aleatoare discrete. Să arătăm mai întâi că dacă densitatea variabilei aleatoare este, atunci densitatea variabilei aleatoare este +. Reamintim că densitatea a variabilei aleatoare afostdefinită cafuncţia cu proprietatea că sau echivalent () Z ( ) Z () () Pentru a determina densitatea a variabilei aleatoare,încercăm să scriem probabilitatea ( ) ca o integrală dela la (densitatea este atunci funcţia care apare sub integrală). Folosind faptul că 0 şi faptul că este densitatea variabilei aleatoare, avem: ( ) ( + ) Folosind substituţia,obţinem: ( ) Z Z ()
şi deci funcţia de densitate a variabilei aleatoare este () Putem deci calcula media variabilei aleatoare conform definiţiei Folosind substituţia ( ) () (sau echivalent + ), obţinem ( ) + ( + ) () ( + ) () () + () conform definiţiei medie alui şi deoarece R (funcţia fiind o funcţie de densitate). În mod similar putem calcula dispersia variabilei aleatoare ( ) ( ) () ( ) ( + ) () ( ) () conform definiţiei dispersie () alui. Pentruademonstraultimaparteademonstraţiei, considerând şi obţinem că variabila aleatoare standardizată are medie () 0 în demonstraţia anterioară, şi dispersie încheiând demonstraţia. ().5 Medie şi momente Media (sau aşteptarea) a unei variabile aleatoare reprezintă valoarea medie aşteptată alui,şi se mai notează () sau (). Mai general, dacă : R R este o funcţie continuă, atunci () este de asemenea o variabilă aleatoare. Media (sau aşteptarea) ( ()) reprezintă valoarea medie aşteptată a variabilei () şi se defineşte în mod similar formulei (5) prin ½ P ( ()) ( ) ( ) dacă este o v.a. discretă (9) () () dacă este o v.a. continuă R unde reprezintă funcţia de probabilitate a lui (în cazul unei variabile discrete) sau funcţia de densitate a lui (în cazul unei variabile aleatoare continue). 7
Încazulparticularalalegeriifuncţiei () se obţine momentul de ordin al variabilei aleatoare X ( ) sau () (30) iar în cazul alegerii funcţiei () ( ) se obţine momentul centrat de ordin al variabilei aleatoare ³( ) X ( ) ( ) sau ( ) () (3) Observăm că momentuldeordin ( în formula (30)) coincide cu media a variabilei aleatoare () şi că momentul centrat de ordin ( în formula (3)) coincide cu dispersia a variabilei aleatoare ³( ). Exerciţii Să se determine media şi dispersia variabilei aleatoare în următoarele cazuri ( reprezintă funcţia de probabilitate sau de densitate a variabilei aleatoare ). Exerciţiul. () 3, {0 3} şi 0 în rest. Exerciţiul. reprezintă rezultatul aruncării unui zar. Exerciţiul.3 () pentru 0 şi 0 în rest. Exerciţiul.4 () pentru 0 şi 0 în rest. Exerciţiul.5 4, unde este variabila aleatoare din anterior. Exerciţiul. este variabila aleatoare uniformă pe[0 0]. Exerciţiul.7 Dacă diametrul (în centimetri) al unor şuruburi are densitatea () ( 09) ( ) pentru 09 şi 0 în rest, să sedetermine şi.să se reprezinte grafic densitatea. Exerciţiul. Dacă în exerciţiul anterior un şurub este considerat defect atunci când diametrul său diferă cu mai mult de 00 cm faţă de cm,careesteprobabilitateacaunşurub să fie defect? Exerciţiul.9 În exerciţiul anterior, care este valoarea maximă posibilă a deviaţiei faţă de cm pentru care probabilitatea ca un şurub să fie defect este de 0%? Exerciţiul.30 Care este valoarea aşteptată a sumei la aruncarea de 0 de ori a unui zar? Comparaţi valoarea obţinută cu valoarea experimentală(efectuaţi experimentul de un număr de ori şi înregistraţi valorile obţinute). Exerciţiul.3 Ostaţiedebenzinăestealimentatăînfiecare Sâmbătă. Presupunem că volumul de benzină vândută (în zeci de mii de litri) este o variabilă aleatoare având densitatea () ( ) pentru 0 şi 0 în rest. Să se determine media, dispersia şi variabila aleatoare standardizată corespunzătoare lui. Exerciţiul.3 Ce capacitate trebuie să aibă rezervorul din problema anterioară, dacă probabilitatea ca rezervorul să fie golit într-o anumită săptămână este de 5%? Exerciţiul.33 Dacă duratadeviaţă a unor cauciucuri (în mii de kilometri) are densitatea () pentru 0 şi 0 în rest, ce kilometraj sunteţi aşteptat să obţineţi cu acest tip de cauciucuri? Pentru 005, determinaţi probabilitatea ca un cauciuc va avea o durată de viaţă mai de cel puţin 30000 km. Exerciţiul.34 La aruncarea unui zar, o persoană câştigă atâţia lei câţi indică zarul. Cât ar trebui să plătească persoana pentru un joc, pentru ca jocul să fie cinstit (echitabil)? Exerciţiul.35 Care este valoarea aşteptată aprofitului zilnic al unui magazin care vinde curcanipezicu probabilităţile (5) 0, () 03, (7) 04 şi () 0, dacăprofitul pentru un curcan vândut este de 35 lei?