Α. ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: α.α.α = 5 : = (-).(-) - = (-0,) 5.(-0,5) 5 = α -.(α ) -.α. Υπολογίστε τις παραστάσεις (i) (ii) (-).(-0,5) - (iii) (0,) : (-0). Να γίνουν οι πράξεις: α) β) 8 - : [( ). 0 ]. Nα απλοποιήσετε την παράσταση Α= (. - ) : [ -.( - ) - ] - 5. Να υπολογίσετε τον αριθμό όταν: α) = β) 9. - =9.7 6. Αν =- και = τότε να υπολογίσετε την παράσταση: - + 7 9 7. Να απλοποιήσετε την παράσταση 9 8. Να λυθεί η εξίσωση : 0 =0 9. Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-) ν +(-) ν+ -(-) ν+. 0. Να αποδείξετε ότι:. Να βρεθεί ο ακέραιος ν για τον οποίο ισχύει:. ν-7 = 7 Β. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ-ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ. Να δείξετε ότι : (α -β ) +(αβ) =(α +β ). Να αποδείξετε ότι: α +β =(α+β) -αβ(α+β). Να αποδείξετε ότι:. Να συμπληρωθούν οι ισότητες α) -...= β) (-...) =...-+... 5. Αν ( + )=(+) να δείξετε ότι = 6. Να απλοποιηθεί το κλάσμα 7. Αν α+β=5 και αβ= να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων α +β και α +β. 8. Αν α+β= να αποδείξετε ότι α +β +αβ= 9. Αν είναι α= και β= (0,,-) να αποδείξετε ότι α β 0. Αν (α+β) = (α β0) να δείξετε ότι α=β α β. Αν α+β+γ=0 να δείξετε ότι: α +β =γ -αβ. Αν α+β+γ0 και ισχύει α(α+γ)-β(β+γ)=0 να αποδείξετε ότι α=β. Αν (α+β)(α+β-)=(αβ-) να δείξετε ότι α=β=. Αν = να αποδείξετε ότι : =α+β 5. Αν += και =- τότε να βρεθούν τα,. 6. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις i) -+-, ii) (+) -z, iii)- ++, iv) α +β -α β,v) α 8 -β 8, vi) α -α + 7. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) + --, ii) -, iii) 7 -, iv) β-αβ+ -α, v) α 5 -α +α -α +α- 8. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) - +ω +ω ii) - -α-α
9. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) ++ ii) - ++-- iii) (α-) -(-α) iii) α(α-)+β(-α)-(α-) iv) αβ -α +β -αβ v) 7 +8 - -8 0. Να γίνουν γινόμενο οι παραστάσεις: i) ( -5)(+5)-5(-5) ii) -6 +9 iii)++ + + + 5 Γ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ. Αν α<β και γ<δ, τότε να δείξετε ότι : α-δ<β-γ.. Αν α>0 να δείξετε ότι α+ α. Αν α>β>γ τότε να δείξετε ότι : (α-β)(β-γ)(γ-α)<0. Aν α<β να αποδείξετε ότι : 5. Να δείξετε ότι : α +β +γ αβ+βγ+γα 6. Αν α, β πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: i) α +αβ+β 0 ii) α +β +γ αβ+αγ+βγ 7. Αν α> να αποδείξετε ότι : α >α -α+ 8. Αν είναι α>β>0 να αποδείξετε ότι: α -β >(α-β). 9. Αν είναι <<8 βρείτε μεταξύ ποιών τιμών βρίσκονται οι τιμές των παραστάσεων α) - και β). 0. Αν είναι > να αποδείξετε ότι : + >+.. Αν είναι α>β> να αποδείξετε ότι: α -β >(α-β).. Aν ω- να αποδείξετε ότι : ω +8ω +ω.. Αν α,β,γ είναι θετικοί αριθμοί,τότε να δείξετε ότι : i) α +α ii) (α +)(β +)(γ +) 8αβγ. Αν α,β,γ είναι θετικοί αριθμοί,τότε να δείξετε ότι : i) (α+β) αβ ii) (α+β)(β+γ)(γ+α) 8αβγ 5. Αν 0<< και -<< να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές των παραστάσεων + -, +, -, 6. Αν >, να αποδείξετε ότι : +7>+5 7. Αν < και <, να αποδείξετε ότι : +<+ 8. Αν α+β= να αποδείξετε ότι : i) αβ ii) 9 9. Αν α,β είναι ετερόσημοι αριθμοί τότε να αποδείξετε ότι : 0. Αν > τότε > -+ α. Αν α>0 να δείξετε ότι α. Να δείξετε ότι α +γ β(α-β+γ).. Αν α, β θετικοί και α+β= τότε να δείξετε ότι (ι) α β ii)(+α - )(+β - )9. Για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ, δ, να αποδείξετε ότι : 5. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει <<. Να γράψετε σε μια σειρά από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο τους αριθμούς,, (+), (-). 6. Aν α +β γ(α+β-γ) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με πλευρές α,β,γ είναι ισόπλευρο.
Δ. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Αν να βρεθεί η μορφή της παράστασης Α= χωρίς τις απόλυτες τιμές.. Αν 5και < να βρείτε το εύρος των τιμών της παράστασης α+β.. Να λυθεί η εξίσωση. 5. Να γράψετε χωρίς απόλυτα την παράσταση: Α = + 5. Να γράψετε χωρίς απόλυτα την παράσταση: Α= 6. Αν α < β < γ τότε να απλοποιηθεί η παράσταση. Α= α - β γ - β γ - α. 7. Αν α < β < γ να υπολογίσετε την παράσταση Α= 8. Αν,γράψτε χωρίς τις απόλυτες τιμές την παράσταση Α= 6 8 9. Αν είναι > να γράψετε χωρίς απόλυτα την παράσταση Α=. 0. Να αποδείξετε ότι :. Αν α, β πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός να αποδείξετε ότι:. Αν να αποδείξετε ότι :. Αν 0 με 0 να δείξετε ότι οι αριθμοί, είναι ετερόσημοι.. Να λυθούν οι ανισώσεις : α) β) 5 9 γ) + > 9 δ) 5 5 7 ε) 5 ζ) +<+ η) 8 5. Αν α να δείξετε ότι : α α + 6 στ) 6. Βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύουν: 0 0 και 5 7 7. Να λύσετε την κάθε μία από τις παρακάτω ανισώσεις : 7 και και έπειτα να βρείτε τις ακέραιες τιμές του για τις οποίες αληθεύουν ταυτόχρονα. 8. Αν < λ και < λ να δείξετε ότι < λ. 9. Αν α, β πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός να αποδείξετε ότι: 0. Αν 6 να αποδείξετε ότι: 5. Αν α, β πραγματικοί αριθμοί να δείξετε ότι ( ). Να δείξετε ότι : α + β α -β α β. Να δείξετε ότι :. Να αποδείξετε ότι 5. Αν και να δείξετε ότι :
6. Αν, 0 να δείξετε ότι: 7. Να αποδειχτεί η ισοδυναμία : ( ) 8. Να δείξετε ότι ο αριθμός = ανήκει στο διάστημα [-,] α β 9. Αν κ <λ <μ <ν και λ < <μ να δείξετε ότι η παράσταση Α= κ - λ - μ - ν - είναι ανεξάρτητη του 0. Αν α να δείξετε ότι : α α + 6. Να βρεθούν οι ακέραιες τιμές του για τις οποίες ισχύει : d(,)<8. Να βρεθούν οι ακέραιες τιμές του για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις και..να απλοποιηθούν: Ε. ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ á i), ii), iii), όπου α,β>0 á iv) á á á, α,β>0, iv) á, όπου αβ>0 á. Να βρεθούν οι διαφορές: Á 5 6 5 6, Â 6 5 6 5.Να βρεθούν τα αποτελέσματα: 5 6 i) 6 8, ii), iii) á á : á. Να απλοποιηθεί η παράσταση: Á 0 5 όταν R. 5.Απλοποιήστε την παράσταση á á á á 6. Να βρείτε για ποιες τιμές του R ορίζονται οι παραστάσεις: i), ii) 7. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i), ii), iii) 0 8. Να μετατραπούν τα παρακάτω κλάσματα ώστε να έχουν ρητό παρονομαστή: i), ii), iii), iv), v) 5 5 7 5
9. Να συγκρίνετε τους αριθμούς α και β όταν: á 5 á 5 i), ii), iii) 7 5 5 á 5 5 6 0.Να γραφούν σε σειρά αύξοντος μεγέθους οι αριθμοί: 7,, 5.Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: i) A ii) B ìå, 0.Να λυθεί η ανίσωση:.αν < να δειχτεί ότι ένας τουλάχιστον από τους, είναι μικρότερος του.να απλοποιηθεί η παράσταση Á á á üô á í á 5.Να αποδειχθεί ότι για κάθε α, βr * είναι: á á á á 6.Να αποδειχθεί ότι για κάθε νν* είναι: í í í í í í 7.Να αποδειχθεί ότι για κάθε α, β R * είναι: á á á 5