Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Επίλυση Υποδειγµάτων µε Ορθολογικές Προσδοκίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τις µεθόδους επίλυσης υποδειγµάτων µε ορθολογικές προσδοκίες. Ξεκινούµε από απλά υποδείγµατα εξωγενών στοχαστικών διαδικασιών, και κατόπιν εξετάζουµε πιο σύνθετα πρωτοβάθµια και δευτεροβάθµια γραµµικά οικονοµικά υποδείγµατα µε µία ενδογενή και µία εξωγενή µεταβλητή. Π5.1 Ο Ορισµός των Ορθολογικών Προσδοκιών Οι ορθολογικές προσδοκίες ορίζονται ως οι µαθηµατικές προσδοκίες για τη µελλοντική εξέλιξη µιας µεταβλητής, βασισµένες στο σύνολο των διαθέσιµων πληροφοριών. Ορίζουµε την ορθολογική προσδοκία για την τιµή µιας µεταβλητής x την περίοδο t+1, βασισµένη στις διαθέσιµες πληροφορίες στην περίοδο t, ως, D x t+1 E(x t+1 I t ) (Π5.1) όπου, D I t {x t i,z t i,i 0,1,2,...,} (Π5.2) είναι το σύνολο των διαθέσιµων πληροφοριών, το οποίο αποτελείται από την τρέχουσα και τις παλαιότερες τιµές της µεταβλητής x, καθώς και την τρέχουσα και τις παλαιότερες τιµές ενός συνόλου µεταβλητών z, οι οποίες ενδεχοµένως βοηθούν στην πρόβλεψη των µελλοντικών τιµών της x. Αξίζει να σηµειωθεί ότι αυτός ο ορισµός του συνόλου των πληροφοριών δεν συνεπάγεται απώλεια µνήµης, καθώς ότι είναι γνωστό στην περίοδο t είναι επίσης γνωστό και στην περίοδο t+1 και σε όλες τις µελλοντικές περιόδους. Γενικότερα, ορίζουµε την ορθολογική προσδοκία για την τιµή µιας µεταβλητής την περίοδο t+s, βασισµένη στις διαθέσιµες τρέχουσες πληροφορίες στην περίοδο t, ως, D E( I t ) (Π5.3) Προκειµένου να ορίσουµε πιο συγκεκριµένα τις ορθολογικές προσδοκίες για µία µεταβλητή δεν αρκεί να γνωρίζουµε το σύνολο των πληροφοριών, αλλά και το υπόδειγµα του πώς προσδιορίζεται και εξελίσσεται στο χρόνο αυτή η µεταβλητή. Θα ξεκινήσουµε µε το απλούστερο υπόδειγµα προσδιορισµού µιας µεταβλητής, αυτό µιας µονοµεταβλητής στοχαστικής διαδικασίας. Κατόπιν, θα επεκταθούµε σε γενικότερα υποδείγµατα, σύµφωνα µε τα οποία µία ενδογενής µεταβλητή εξαρτάται από τις µελλοντικές προσδοκίες για την εξέλιξή της, καθώς και µία εξωγενή µεταβλητή.
Ακόµη γενικότερα υποδείγµατα ενός συστήµατος ενδογενών και εξωγενών µεταβλητών µπορούν να επιλυθούν µε ανάλογες µεθόδους. Π5.2 Ορθολογικές Προσδοκίες για Αυτοπαλίνδροµες Στοχαστικές Διαδικασίες Υποθέτουµε µία µεταβλητή x, η οποία ακολουθεί µία αυτοπαλίνδροµη στοχαστική διαδικασία πρώτου βαθµού, της µορφής, x t (1 λ)x _ + λx t 1 + ε t (Π5.4) όπου, D είναι µία σταθερά, και ε είναι µία στοχαστική διαδικασία λευκού θορύβου, µε µέσο µηδέν και σταθερή διακύµανση. x _ Θα ορίσουµε τη µεταβλητή x ως απόκλιση από το µέσο της, ως εξής, t x t x _ (Π5.5) Από τις (Π5.4) και (Π5.5) έχουµε ότι, t λ t 1+ ε t (Π5.6) Είναι εύκολο να δεί κανείς µε διαδοχικές αντικαταστάσεις ότι, t+1 λ t, t+2 λ 2 t, t+3 λ 3 t,..., t+s λ s t (Π5.6) Η ορθολογική προσδοκία µίας αυτοπαλίνδροµης στοχαστικής διαδικασίας πρώτου βαθµού εξαρτάται µόνο από την τρέχουσα τιµή της, µε συντελεστή που εξαρτάται από το λ. Εάν η στοχαστική διαδικασία (Π5.4) είναι στάσιµη, δηλαδή εάν -1<λ<1, τότε η επίπτωση της τρέχουσας τιµής της µεταβλητής στην ορθολογική της προσδοκία βαίνει µειούµενη καθώς αυξάνεται το s. Καθώς το s τείνει στο άπειρο θα ισχύει, lim t+s lim λ s t 0 s s (Π5.7) Η (Π5.7) και η (Π5.5) συνεπάγονται ότι, lim x _ s (Π5.8) Με την έννοια αυτή, ο µέσος της µεταβλητής x, ο οποίος αποτελεί το σηµείο µακροχρόνιας ισορροπίας της, είναι και το όριο στο οποίο συγκλίνουν οι µελλοντικές προσδοκίες για την εξέλιξη µιας µεταβλητής που ακολουθεί µία στάσιµη στοχαστική διαδικασία. Εάν η διαδικασία δεν είναι στάσιµη αλλά τυχαίος περίπατος, δηλαδή εάν λ1, η (Π5.6) µετατρέπεται σε, D2
t+1 t, t, t,..., t (Π5.6 ) t+2 t+3 t+s Στην περίπτωση αυτή, η ορθολογική προσδοκία για τη µελλοντική τιµή µιας µεταβλητής είναι η τρέχουσα τιµή της µεταβλητής, ανεξάρτητα από το s. Π5.3 Πρωτοβάθµια Υποδείγµατα Ορθολογικών Προσδοκιών Ερχόµαστε τώρα στην επίλυση ενός γραµµικού υποδείγµατος στο οποίο µία µεταβλητή εξαρτάται από την ορθολογική προσδοκία για τη µελλοντική της τιµή, και κάποια άλλη εξωγενή µεταβλητή. Το υπόδειγµα περιγράφεται από µία πρωτοβάθµια εξίσωση της µορφής, a +1 + x t (Π5.9) Η υπόθεση των ορθολογικών προσδοκιών συνεπάγεται ότι οι οικονοµικοί παράγοντες γνωρίζουν ότι η µεταβλητή y προσδιορίζεται από την (Π5.9). Υποθέτουµε επίσης ότι όλοι οι οικονοµικοί παράγοντες έχουν στη διάθεσή τους το ίδιο σύνολο πληροφοριών. Υπάρχουν µια σειρά από µέθοδοι για την επίλυση της (Π5.9). Όλες οι µέθοδοι βασίζονται στον νόµο των επαναληπτικών προσδοκιών. Αυτός δεν λέει τίποτα άλλο παρά ότι η σηµερινή προσδοκία για την αυριανή προσδοκία µιας µελλοντικής τιµής µιας µεταβλητής δεν είναι παρά η σηµερινή προσδοκία της µελλοντικής τιµής της µεταβλητής. Δηλαδή, ότι, ( +1 ) (Π5.10) Π5.3.1 Η Μέθοδος των Διαδοχικών Αντικαταστάσεων Η απλούστερη µέθοδος επίλυσης της (Π5.9) είναι η µέθοδος των διαδοχικών αντικαταστάσεων. Από την (Π5.9) και την (Π5.10), +1 a ( +1 +2 ) + x t+1 a +2 + x t+1 (Π5.11) Αντικαθιστώντας την (Π5.11) στην (Π5.9), έχουµε, a 2 +2 + a x t+1 + x t (Π5.12) Αντικαθιστώντας διαδοχικά τις µελλοντικές προσδοκίες του y, έως το χρόνο T, a T +1 +T +1 + T a s (Π5.13) Για να έχουµε σύγκλιση του τελευταίου όρου της (Π5.13), καθώς το T τείνει προς το άπειρο, η απόλυτη τιµή του a πρέπει να είναι µικρότερη από τη µονάδα, και η προσδοκώµενη τιµή του x δεν θα πρέπει να αυξάνεται πολύ γρήγορα. Αν η προσδοκώµενη τιµή του x αυξάνεται εκθετικά, ο ρυθµός αύξησής της δεν πρέπει να υπερβαίνει το (1/a)-1. D3
D Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 Εάν ισχύει ότι, D lim (Π5.14) T at +1 +T +1 0 τότε µία λύση της (Π5.9) προκύπτει από την (Π5.13) ως, a s (Π5.15) Αξίζει να σηµειωθεί ότι η (Π5.15) ικανοποιεί τη συνθήκη (Π5.14), άρα αποτελεί λύση της (Π5.9). Μας υποδεικνύει ότι η τρέχουσα τιµή της ενδογενούς µεταβλητής y είναι το προεξοφληµένο άθροισµα των προσδοκώµενων µελλοντικών τιµών της εξωγενούς µεταβλητής x, µε συντελεστή προεξόφλησης a. Η λύση αυτή συνήθως αποκαλείται η θεµελιώδης λύση. Αξίζει ωστόσο να σηµειωθεί ότι η (Π5.15) δεν αποτελεί τη µοναδική λύση της (Π5.9). Η θεµελιώδης λύση βασίζεται µόνο στον ελάχιστο αριθµό µεταβλητών (το x στην περίπτωσή µας), στα λεγόµενα θεµελιώδη, και ικανοποιεί την (Π5.14). Αν η (Π5.14) δεν ικανοποιείται, υπάρχει και σωρεία άλλων, µη θεµελιωδών, λύσεων. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχει µία εναλλακτική λύση της (Π5.9), η οποία συνίσταται από την (Π5.15) σύν µία πρόσθετη µεταβλητή z. Η λύση αυτή λαµβάνει τη µορφή, a s + z t (Π5.15 ) Μπορεί εύκολα να δείξει κανείς ότι εάν η µεταβλητή z ικανοποιεί, D z t a z t+1 ή, ισοδύναµα D z t+1 z t a τότε και η (Π5.15 ) αποτελεί λύση της (Π5.9). Αξίζει όµως να σηµειωθεί ότι επειδή a<1, η µαθηµατική προσδοκία του µελλοντικού z εκρήγνυται µε την πάροδο του χρόνου. Αυτό µπορεί να αποδειχθεί αν λάβουµε το όριο της µαθηµατικής προσδοκίας καθώς ο χρόνος τείνει προς το άπειρο. lim z t+s s 1 a s z t ±, ανάλογα µε το αν το z είναι θετικό ή αρνητικό. Λύσεις που βασίζονται σε µεταβλητές όπως το z αποκαλούνται φούσκες (ules), σε αντίθεση µε λύσεις όπως η (Π5.15) που βασίζονται µόνο στα θεµελιώδη. Στο υπόλοιπο αυτού του Παραρτήµατος θα επικεντρωθούµε µόνο σε θεµελιώδεις λύσεις αγνοώντας τις φούσκες. Εκτός από τη µέθοδο των διαδοχικών αντικαταστάσεων, δύο άλλες µέθοδοι µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την επίλυση της (Π5.9). Η µέθοδος των απροσδιόριστων συντελεστών, και η µέθοδος της παραγοντοποίησης. Οι µέθοδοι αυτοί είναι πιο χρήσιµες για πιο πολύπλοκα D4
προβλήµατα, στα οποία η µέθοδος των διαδοχικών αντικαταστάσεων καθίσταται δύσχρηστη. Μπορούµε ωστόσο να δούµε πως εφαρµόζονται και στην απλή περίπτωση της (Π5.9). Π5.3.2 Η Μέθοδος της Παραγοντοποίησης Η µέθοδος της παραγοντοποίησης απαιτεί τη χρήση του τελεστή των µελλοντικών µαθηµατικών προσδοκιών F. Ορίζουµε τον τελεστή των µαθηµατικών προσδοκιών για µία µεταβλητή x, ως, Fx t x t+1, F 2 x t x t+2,..., F s x t (Π5.16) Επιπλέον, F 1 x t x t 1 x t 1 Lx t, F 2 x t x t 2 L 2 x t,..., F s x t x t s L s x t (Π5.16 ) Ο τελεστής των µελλοντικών προσδοκιών είναι το αντίστροφο του τελεστή των χρονικών υστερήσεων L. Χρησιµοποιώντας τον τελεστή των µαθηµατικών προσδοκιών, και υποθέτωντας ότι -1<a<1, η (Π5.9) µπορεί να γραφεί ως, af + x t 1 af x t a s F s x t a s E t (Π5.17) Η (Π5.17) µας δίνει ακριβώς τη λύση που βρήκαµε µε τη µέθοδο των διαδοχικών αντικαταστάσεων στην (Π5.15). Π5.3.3 Η Μέθοδος των Μη Προσδιορισµένων Συντελεστών Η µέθοδος των µη προσδιορισµένων συντελεστών συνίσταται στο να χρησιµοποιηθεί µια εικαζόµενη µορφή της λύσης µε µη προσδιορισµένους συντελεστές, να ληφθεί η µαθηµατική προσδοκία της εικαζόµενης λύσης, η οποία, αφού αντικατασταθεί στην (Π5.9) θα οδηγήσει σε σύγκριση των συντελεστών µεταξύ της εικαζόµενης λύσης, και της εξίσωσης που θα προκύψει από την αντικατάσταση. Για παράδειγµα, αν η εικασία µας είναι ότι η λύση θα έχει τη µορφή, σ µ s (Π5.18) όπου σ και µ είναι απροσδιόριστοι συντελεστές, τότε, +1 σ µ s x t+1+s (Π5.19) Αντικαθιστώντας την (Π5.19) στην (Π5.9), και συγκρίνοντας συντελεστές µεταξύ της εξίσωσης που προκύπτει και της (Π5.18), βρίσκουµε ότι σ και µa. Αυτό επιβεβαιώνει την εικασία µας στην (Π5.18), και η λύση είναι ακριβώς η ίδια όπως και µε τις δύο άλλες µεθόδους. D5
Η επιλογή της µεθόδου που θα χρησιµοποιηθεί για την επίλυση υποδειγµάτων µε ορθολογικές προσδοκίες εξαρτάται από την ευκολία της εφαρµογής. Στα απλά υποδείγµατα η µέθοδος των διαδοχικών αντικαταστάσεων εφαρµόζεται εύκολα, αλλά στα πιο σύνθετα υποδείγµατα η µέθοδος αυτή δεν είναι εύχρηστη, και προτιµώνται οι δύο άλλες µέθοδοι. Π5.3.4 Δύο Οικονοµικά Παραδείγµατα Προκειµένου να δούµε την εφαρµογή των µεθόδων αυτών, θα χρησιµοποιήσουµε δύο απλά οικονοµικά υποδείγµατα που καταλήγουν σε εξισώσεις της µορφής της (Π5.9). Α. Υπόδειγµα Ισορροπίας στην Κεφαλαιαγορά Στο πρώτο µας υπόδειγµα υποθέτουµε µία κεφαλαιαγορά στην οποία οι επενδυτές είναι ουδέτεροι απέναντι στον κίνδυνο. Οι επενδυτές επιλέγουν µεταξύ µιας µετοχής και µιας ασφαλούς τοποθέτησης µε ποσοστό απόδοσης r. Στην ισορροπία, η προσδοκώµενη απόδοση της µετοχής θα ισούται µε το ποσοστό απόδοσης της ασφαλούς τοποθέτησης. E D t p t+1 p t + d t r (Π5.20) p t p t όπου p είναι η τιµή της µετοχής και d είναι το µέρισµα. Το ποσοστό απόδοσης της µετοχής ισούται µε το προσδοκώµενο κεφαλαιακό κέρδος, συν το µέρισµα ως ποσοστό της τιµής της µετοχής. Η (Π5.20) µπορεί να µετασχηµατιστεί ως, p t 1 ( 1+ r E p + d t t+1 t ) (Π5.21) Η (Π5.21) έχει τη µορφή της (Π5.9), µε 0<a1/(1+r)<1. Η λύση της µας δίνει την τιµή της µετοχής ως, p t 1 1+ r 1 1+ r d t+s s (Π5.22) Η τιµή της µετοχής είναι η παρούσα αξία των προσδοκώµενων µελλοντικών µερισµάτων, µε συντελεστή προεξόφλησης που εξαρτάται από το ποσοστό απόδοσης της ασφαλούς τοποθέτησης. Β. Υπόδειγµα Ισορροπίας στην Αγορά Χρήµατος Στο δεύτερο µας υπόδειγµα υποθέτουµε καταναλωτές και επιχειρήσεις που επιλέγουν µεταξύ της διακράτησης χρηµατικών διαθεσίµων και αγαθών. Στην περίπτωση αυτή, η ζήτηση χρήµατος είναι αρνητική συνάρτηση του προσδοκώµενου πληθωρισµού, και η ισορροπία στην αγορά χρήµατος απαιτεί, D6
D Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 M D t exp α E P P t t+1 t (Π5.23) P t P t όπου M είναι η προσφορά χρήµατος, P το επίπεδο τιµών και α>0 η ηµι-ελαστικότητα της ζήτησης χρήµατος σε σχέση µε τον προσδοκώµενο πληθωρισµό. Λαµβάνοντας λογαρίθµους και στις δύο πλευρές, και υποδηλώνοντας µε m το λογάριθµο της προσφοράς χρήµατος και µε p το λογάριθµό του επιπέδου τιµών, το υπόδειγµα µπορεί να γραφεί ως, D m t p t α( p t+1 p t ) (Π5.24) Επιλύοντας ως προς p, p t α 1+ α E p + 1 t t+1 1+ α m t (Π5.25) Η (Π5.25) έχει τη µορφή της (Π5.9), µε, a α, 1 a 1+ α Η λύση της έχει τη µορφή, s H p t 1 α (Π5.26) 1+ α 1+ α m t+s Το επίπεδο τιµών σήµερα εξαρτάται από τις προεξοφληµένες προσδοκίες για την εξέλιξη της προσφοράς χρήµατος στο µέλλον, µε συντελεστή προεξόφλησης 0<α/(1+α)<1. Το υπόδειγµα αυτό χρησιµοποιήθηκε πρώτη φορά από τον Cagan (1956) για να εξηγήσει φαινόµενα υπερπληθωρισµού. Π5.3.5 Εναλλακτικές Υποθέσεις για την Εξέλιξη των Εξωγενών Μεταβλητών Η επίλυση της εξίσωσης (Π5.9), για παράδειγµα στην (Π5.15), βασίζεται στις προεξοφληµένες ορθολογικές προσδοκίες για την µελλοντική πορεία της εξωγενούς µεταβλητής x. Προκειµένου να αναλύσουµε τον προσδιορισµό της µεταβλητής y πιο συγκεκριµένα, µπορούµε να κάνουµε επιπλέον υποθέσεις για τον προσδιορισµό της εξωγενούς µεταβλητής x. Θα χρησιµοποιήσουµε δύο εναλλακτικά παραδείγµατα. Η πρώτη µας υπόθεση είναι η εξωγενής µεταβλητή αναµένεται να παραµείνει σταθερή στο επίπεδο x0. Από την (Π5.15) η µεταβλητή y προσδιορίζεται από, D7
H a s E (Π5.27) t a s x 0 1 a x 0 Η (Π5.27) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να αναλύσουµε τις επιπτώσεις µιας ανακοίνωσης για µία µόνιµη µελλοντική µεταβολή στο σταθερό επίπεδο της εξωγενούς µεταβλητής. Αν υποθέσουµε ότι τη στιγµή t0, ανακοινώνεται ότι στην περίοδο t1 η µεταβλητή x θα αυξηθεί από x0 σε ένα νέο επίπεδο x1. Στην περίπτωση αυτή, η πορεία της ενδογενούς µεταβλητής y θα έχει ως εξής, H για D 1 a x 0 t < t 0 H για D (Π5.28) 1 a x + 0 at 1 t ( 1 a x x 1 0 ) t 0 t < t 1 για 1 a x 1 t t 1 Τη στιγµή της ανακοίνωσης t0, η µεταβλητή y αυξάνεται, καθώς µεταβάλλονται οι προσδοκίες για τη µελλοντική εξέλιξη της x. Έως ότου υλοποιηθεί η µεταβολή στη στιγµή t1, η y αυξάνεται σταδιακά καθώς αυξάνεται η επίπτωση των υψηλότερων µελλοντικών προσδοκιών για το x µετά την περίοδο t1, σε σχέση µε τις χαµηλότερες προσδοκίες για το διάστηµα t1-t. Μετά την περίοδο t1, η µεταβλητή y σταθεροποιείται στο υψηλότερο επίπεδο που αντιστοιχεί στην x1. Αν το x είναι το µέρισµα, όπως στο πρώτο µας παράδειγµα, η τιµή της µετοχής θα αυξηθεί αµέσως µετά την ανακοίνωση µιας µελλοντικής αύξησης του µερίσµατος και θα συνεχίσει να αυξάνεται καθώς η προσδοκώµενη αύξηση του µερίσµατος έρχεται εγγύτερα. Όταν υλοποιηθεί η αύξηση του µερίσµατος, η τιµή της µετοχής σταµατά να αυξάνεται και σταθεροποιείται στο νέο υψηλότερο επίπεδο. Αν το x είναι η προσφορά χρήµατος, όπως στο δεύτερό µας παράδειγµα, το επίπεδο τιµών θα αυξηθεί αµέσως µετά την ανακοίνωση µιας µελλοντικής αύξησης της προσφοράς χρήµατος, και θα συνεχίσει να αυξάνεται έως ότου υλοποιηθεί η µελλοντική αύξηση της προσφοράς χρήµατος, οπότε και θα σταθεροποιηθεί στο νέο υψηλότερο επίπεδο. Το δεύτερο παράδειγµα που θα αναλύσουµε βασίζεται στην υπόθεση ότι η εξωγενής µεταβλητή x ακολουθεί µία αυτοπαλίνδροµη στοχαστική διαδικασία όπως η (Π5.4). Στην περίπτωση αυτή, a s E t 1 a x_ + ( aλ) s x t x _ 1 a x_ + 1 aλ x t x_ (Π5.29) Η (Π5.29) µπορεί να γραφεί ως, y _, όπου, (Π5.30) 1 aλ x t x_ y _ 1 a x_ D8
Στο παράδειγµα της κεφαλαιαγοράς, η (Π5.30) µας λέει ότι η τιµή της µετοχής θα είναι συνάρτηση µόνο του τρέχοντος µερίσµατος. Αυτό ισχύει διότι, αν τα µερίσµατα ακολουθούν µία αυτοπαλίνδροµη στοχαστική διαδικασία πρώτου βαθµού, όπως έχουµε υποθέσει, το τρέχον µέρισµα είναι το µόνο στοιχείο που απαιτείται προκειµένου να προβλεφθούν τα µελλοντικά µερίσµατα. Αντίστοιχα, στο παράδειγµα της ζήτησης χρήµατος, η (Π5.30) µας λέει ότι το επίπεδο τιµών θα είναι συνάρτηση µόνο της τρέχουσας προσφοράς χρήµατος. Αυτό ισχύει διότι, αν η προσφορά χρήµατος ακολουθεί µία αυτοπαλίνδροµη στοχαστική διαδικασία πρώτου βαθµού, όπως υποθέσαµε, η τρέχουσα προσφορά χρήµατος είναι το µόνο στοιχείο που απαιτείται προκειµένου να προβλεφθεί η µελλοντική πορεία της προσφοράς χρήµατος. Π5.4 Δευτεροβάθµια Δυναµικά Υποδείγµατα Ορθολογικών Προσδοκιών Ερχόµαστε τώρα στις µεθόδους επίλυσης ενός δευτεροβάθµιου δυναµικού υποδείγµατος. Στο υπόδειγµα αυτό, µία µεταβλητή εξαρτάται από τη µελλοντική προσδοκία για την εξέλιξή της, από το επίπεδο στο οποίο βρισκόταν την προηγούµενη περίοδο καθώς και από µία εξωγενή µεταβλητή. Αυτό το υπόδειγµα συνδυάζει ορθολογικές προσδοκίες για τη µελλοντική τιµή µιας µεταβλητής, µε επιπτώσεις των τιµών της µεταβλητής µε χρονική υστέρηση. Το υπόδειγµά µας είναι γραµµικό και έχει τη µορφή, a +1 + 1 + cx t (Π5.31) όπου, a, >0, και a+<1. Το υπόδειγµα αυτό µπορεί να επιλυθεί µε τη µέθοδο των µη προσδιορισµένων συντελεστών, ή εναλλακτικά µε τη µέθοδο της παραγοντοποίησης. Και οι δύο µέθοδοι δίδουν τη ίδια θεµελιώδη λύση. Π5.5.1 Η Μέθοδος της Παραγοντοποίησης Χρησιµοποιώντας το τελεστή των µελλοντικών προσδοκιών F, η (Π5.31) µπορεί να περιγραφεί ως, af + F 1 + cx t (Π5.32) όπου F -1, το αντίστροφο του τελεστή των µελλοντικών προσδοκιών, είναι ο τελεστής των χρονικών υστερήσεων. Μεταφέροντας όλους τους παράγοντες που περιλαµβάνουν το y στην αριστερή πλευρά, η (Π5.32) είναι ισοδύναµη µε, ( 1 af F 1 ) cx t (Π5.33) Η (Π5.33) µπορεί να µετασχηµατισθεί, πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές µε -F/a, ως, D9
D D Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 5 F 2 1 a F + a c a Fx t (Π5.34) Η (Π5.34), µπορεί να παραγοντοποιηθεί ως, ( ) c a Fx t F 2 1 a F + a (F λ)(f µ) F 2 (λ + µ)f + λµ (Π5.35) όπου λ και µ είναι οι δύο ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου της, F 2 1 a F + a (Π5.36) Από την (Π5.35) ισχύει ότι, λ+µ1/a, λµ/a. Είναι απλό να δείξει κανείς ότι η µία ρίζα, είναι µικρότερη από τη µονάδα (θα υποθέσουµε ότι αυτή είναι η λ) και η άλλη (η µ) είναι µεγαλύτερη από τη µονάδα. Το χαρακτηριστικό πολυωνυµο της (Π5.36) δίνεται από, Φ(φ) φ 2 1 a φ + a (Π5.37) Για να δείξουµε ότι υπάρχει µία ρίζα που είναι µικρότερη από τη µονάδα, θα υπολογίσουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο για φ0 και φ1. D Φ(0) και D a > 0, 1 a Φ(1) < 0 a Συνεπώς υπάρχει µία ρίζα λ µεταξύ µηδενός και µονάδας για την οποία Φ(λ)0. Η δεύτερη ρίζα µ προσδιορίζεται από, µ aλ Θα έχουµε µ>1, εάν λ</a. Αυτό πράγµατι ισχύει διότι, Φ a (1 a ) a 2 < 0 Κατά συνέπεια ισχύει λ</a και µ>1. Διαιρώντας τις δύο πλευρές της (Π5.35) µε F(F-µ), λαµβάνουµε, D10
( 1 λf 1 ) c 1 a µ F x t c 1 aµ 1 µ 1 F x t λc 1 1 µ 1 F x t (Π5.38) όπου στο τελευταίο µέρος της (Π5.38) έχουµε κάνει χρήση της ιδιότητας (βλ. Π5.35) ότι aµ/λ. Από την (Π5.38), ισχύει ότι, λ 1 + λc 1 1 µ 1 F x t λ 1 + λc s 1 µ (Π5.39) Η (Π5.39) είναι η θεµελιώδης λύση της (Π5.31). Όπως και στην περίπτωση της (Π5.15), η (Π5.39) υποδεικνύει ότι η τρέχουσα τιµή της ενδογενούς µεταβλητής y είναι το προεξοφληµένο άθροισµα των προσδοκώµενων µελλοντικών τιµών της εξωγενούς µεταβλητής x, µε συντελεστή προεξόφλησης 1/µ, ενώ η τιµή της ενδογενούς µεταβλητής εξαρτάται και από την τιµή της την προηγούµενη περίοδο, µε συντελεστή λ<1. Η µέθοδος της παραγοντοποίησης είναι ίσως η πιο αποτελεσµατική µέθοδος επίλυσης εξισώσεων της µορφής της (Π5.31). Μία εναλλακτική µέθοδος είναι η µέθοδος των µη προσδιορισµένων συντελεστών. Π5.5.2 Η Μέθοδος των Μη Προσδιορισµένων Συντελεστών Για να εφαρµόσουµε τη µέθοδο των µη προσδιορισµένων συντελεστών, όπως και στην προηγούµενη περίπτωση που εξετάσαµε, εικάζουµε ότι η λύση της (Π5.31) λαµβάνει τη µορφή, φ 1 +ψ ω s (Π5.40) µε τους µη προσδιορισµένους συντελεστές φ,ψ,ω. Από την (Π5.40), η ορθολογική προσδοκία του µελλοντικού y δίνεται από, +1 φ +ψ s1 ω s 1 (Π5.41) Αντικαθιστώντας την (Π5.41) στην (Π5.31), έχουµε, 1 aφ y + c t 1 1 aφ x + aψ t 1 aφ s1 ω s 1 (Π5.42) Συγκρίνοντας συντελεστές µεταξύ της (Π5.42) και της (Π5.40) µπορούµε να λύσουµε για τους µη προσδιορισµένους συντελεστές. Θα έχουµε, φ 1 aφ (Π5.43 a) D11
ψ ω c 1 aφ a 1 aφ (Π5.43 ) (Π5.43 c) Από την (Π5.43 a) το φ θα είναι η µικρότερη ρίζα του πολυωνύµου, Φ(φ) φ 2 1 a φ + a (Π5.44) Βλέπουµε ότι αυτό δεν είναι άλλο από το (Π5.37), που αναλύσαµε µε τη µέθοδο της παραγοντοποίησης. Θα έχουµε δύο ρίζες, λ και µ, όπου 0<λ<1 και µ>1. Οι ρίζες θα ικανοποιούν, λ + µ 1 a,λµ a (Π5.45) Από τις (Π5.43)-(Π5.45) έχουµε, φ λ < 1, ψ λc, ω 1 (Π5.46) µ < 1 Κατά συνέπεια, η θεµελιώδης λύση είναι, λ 1 + λc s 1 µ (Π5.47) που έχει ακριβώς την ίδια µορφή µε την (Π5.39). Για την επίλυση γενικότερων γραµµικών υποδειγµάτων µε ορθολογικές προσδοκίες βλ. Blanchard and Kahn (1980). D12