Úvod do disrétej matematiy Možiy Kombiatoria Logicé fucie Teória grafov prof. RNDr. Marti Šoviera, PhD. Katedra iformatiy, FMFI UK Bratislava, 2007
2
Obsah 2 Kombiatoria 5 2.1 Prirodzeé čísla a matematicá iducia.............. 5 2.2 Dirichletov pricíp.......................... 7 2.3 Záladé eumeračé pravidlá................... 8 2.4 Variácie................................ 11 2.5 Kombiácie bez opaovaia..................... 14 2.6 Kombiácie a premutácie s opa., polyomicá veta....... 19 2.7 Pricíp zapojeia a vypojeia.................... 24 3
4 OBSAH
Kapitola 2 Kombiatoria Obsah 2.1 Prirodzeé čísla a matematicá iducia..... 5 2.2 Dirichletov pricíp................... 7 2.3 Záladé eumeračé pravidlá........... 8 2.4 Variácie......................... 11 2.5 Kombiácie bez opaovaia............. 14 2.6 Kombiácie a premutácie s opa., polyomicá veta 19 2.7 Pricíp zapojeia a vypojeia............ 24 2.1 Prirodzeé čísla a matematicá iducia Kombiatoria je matematicá disciplía, torá sa zaoberá úlohami o štrutúrach defiovaých a oečých možiách. Najčastejšie ide o podmožiy, usporiadaé -tice, relácie, zobrazeia, rozlady a možstvo iých objetov, toré jedote azývame ombiatoricými ofiguráciami. Aj eď oree ombiatoriy siahajú hlboo pred áš letopočet, rozvoj ombiatoriy ao moderej disciplíy je úzo spojeý s ástupom iformatiy. Kombiatria tvorí jede zo záladých pilierov tohto vedého odboru. Dešú ombiatoriu charaterizuje ieoľo všeobecých typov úloh. Spomedzi ich sú ajdôležitejšie: (1) zostrojiť ofigurácie požadovaých vlastostí; (2) eoštrutívymi metódami doázať existeciu alebo eexisteciu ofigurácie istých vlastostí; (3) určiť počet všetých ofigurácií daého typu; (4) charaterizovať taé ofigurácie pomocou iých pojmov, vlastostí a parametrov; 5
6 KAPITOLA 2. KOMBINATORIKA (5) ájsť algoritmus, torý umožňuje všety požadovaé ofigurácie zostrojiť; (6) spomedzi všetých ofigurácií vybrať optimálu (alebo extremálu maximálu, či miimálu) podľa daých riterií. Spomedzi ich sa v tejto apitole budeme stretávať s úlohami typu (4), (3) a (1). Ao sme povedali, ombiatoria sa zaoberá prevaže oečými štrutúrami. Je tu vša jeda eoečá možia, torá má pre ombiatoriu podstatý výzam: možia N = {0, 1, 2,...} všetých prirodzeých čísel. O tejto možie už vieme, že je lieáre usporiadaá bežou reláciou podľa veľosti. Toto usporiadaie má jedu veľmi dôležitú vlastosť (vlastosť dobrého usporiadaia): Každá eprázda podmožia možiy N má ajmeší prvo. (To, že prirodzeé čísla majú túto vlastosť sa ahliade ľaho sporom: eby existovala v N eprázda podmožia M bez ajmešieho prvu, ta by sme ľaho soštruovali ostro lesajúcu eoečú postuposť 0 > 1 > 2 >... prvov možiy M. Leže taá postuposť v N očivide eexistuje.) Ďalšia dôležitá vlastosť možiy N je záladom metódy matematicej iducie, torá je v ombiatorie praticy všadeprítomá. Zie tato: Nech M N je podmožia spĺňajúca dve podmiey: (I1) 0 M; (I2) a x M, ta potom aj (x + 1) M. Potom M = N. Pricíp matematicej iducie môžeme teraz sformulovať tato. Teoréma 2.1. Nech (V ()) N je postuposť výroov. Predpoladajme, že (i) platí výro V (0); (ii) pre aždé prirodzeé číslo, a platí V (), ta potom platí V ( + 1), Potom výro V () platí pre aždé prirodzeé číslo. Pozáma. Bod (i) sa azýva báza iducie a bod (ii) sa azýva idučý ro. Dôaz. Defiujme možiu A = { N; platí výro V ()}. Podmiea (i) ašej teorémy zameá, že 0 A. Podmiea (ii) hovorí, že platí impliácia - a A, ta aj ( + 1) A. To zameá, že sú spleé vyššie spomeuté podmiey (I1) a (I2), a preto A = N. Beže sa využíva ieoľo modifiácií teorémy 2.1. Stáva sa, že vlastosť V () platí iba pre prirodzeé čísla 0 pre ejaé číslo 0. V tom prípade ajprv overíme pravdivosť výrou V ( 0 ) a potom doážeme pravdivosť impliácie - pre aždé 0, a platí V (), ta platí aj V ( + 1). Tým je potom doázaá pravdivosť výrou V () pre aždé 0. Nieedy je výhodé použiť ďalší variat matematicej iducie - úplú matematicú iduciu.
2.2. DIRICHLETOV PRINCÍP 7 Teoréma 2.2. Predpoladajme, že z platosti výrou V () pre aždé < vyplýva aj platosť výrou V (). A platí výro V (0), ta výro V () platí pre aždé prirodzeé číslo. Pozameajme, že overeie platosti V (0) emožo vyechať. 2.2 Dirichletov pricíp V tejto časti sa budeme zaoberať jedoduchým o veľmi dôležitým pricípom, torý má široé použitie pri riešeí rozličých problémov a často vedie prevapujúcim záverom. Je zámy v rôzych formách. Najjedoduchšia je azda táto: A + 1 predmetov uladáme do priečiov, ta aspoň jede priečio bude obsahovať dva alebo viac predmety. Exatejšie môžeme teto pricíp sformulovať tato: Neexistuje ijetíve zobrazeie (+1)-prvovej možiy do -prvovej možiy. Doážeme všeobecejšie tvrdeie Teoréma 2.3. Nech A a B sú oečé možiy, pričom A =, B = m a > m Potom eexistuje žiade ijetíve zobrazeie f : A B. Dôaz. Nech S je možia všetých prirodzeých čísel s taých, že existuje s-prvová možia, torá sa dá ijetíve zobraziť a t - prvovú, de t < s. Naším cieľom je uázať, že S =. Predpoladajme, sporom, že S. Potom (a zálade pricípu dobrého usporiadaia) S má ajmeší prvo - ech je ajmeší prvo možiy S a ech f : {a 1, a 2,..., a } = A B = {b 1, b 2,..., b m } je ijecia, de m <. Zrejme m 2, lebo ia by boli všety zobrazeia A B oštaté, a teda ie ijetíve. Predpoladajme, že f(a ) = b r pre ejaé r {1, 2,..., m}. Keby aždý z prvov f(a 1 ), f(a 2 ),..., f(a 1 ) bol rôzy od b m, ta zúžeie zobrazeia f a možiu a 1, a 2,..., a 1 by bolo ijetívym zobrazeím A {a } B {b m }. To by vša bol spor s voľbou čísla. Preto musí existovať j {1, 2,..., 1}, že f(a j ) = b m. Kedže f je ijecia, f(a ) b m, taže r m 1. No potom zobrazeie g : A {a } B {b m } defiovaé predpisom g(a j ) = b r g(a i ) = f(a i ) pre i j, i {1, 2,..., 1} je opät ijetíve. Zova sme dostali spor s defiíciou čísla, a teda možia S je prázda. Prvýrát upozoril a teto jedoduchý pricíp emecý matemati 19. storočia P. Dirichlet. Des je zámy aj ao holubíový pricíp podľa toho, že a viac ao holubov používa holubíových dier, ta aspoň dva holuby vychádzajú tou istou dierou. Pozameajme, že teto pricíp edáva ijaý
8 KAPITOLA 2. KOMBINATORIKA ávod ao ájsť dieru používaú viac ao jedým holubom. Preto je teto pricíp často existečý. Medzi dôsledy Dirichletovho pricípu patrí aj sutočosť, že a oečá možia má m prvov aj prvov, ta m =. Prílad 2.1. V Bratislave sa v aždom oamihu vysytujú aspoň dvaja ľudia, torí majú rovaý počet vlasov a hlave. Nech A je možia obyvateľov Bratislavy a B = {0, 1,..., 200000}. Zobrazeie f : A B priraďuje bratislavčaovi x jeho počet vlasov f(x) B (počet vlasov človea eprevyšuje 200 000). Keďže A > 200001, zobrazeie emôže byť ijetíve. Pozameajme, že toto zobrazeie sa aždú chvíľu meí stačí sa učesať. Prílad 2.2. V postuposti (a 1, a 2,..., a ) ľubovoľých prirodzeých čísel existuje súvislá podpostuposť (a +1, a +2,..., a l ) taá, že súčet a +1, a +2,..., a l je deliteľý číslom. Aby sme sa o tom presvedčili, uvažujme súčtov a 1, a 1 + a 2,..., a 1 + a 2 + +... + a. A je medzi imi ietorý deliteľý číslom, sme hotoví. Nech preto aždý z ich dáva po deleí číslom eulový zvyšo. Keďže súčtov je, o možých hodôt pre zvyšy je le 1, dva z týchto súčtov povedzme a 1 + a 2 +... + a r a a 1 + a 2 +... + a s (pričom r < s) dávajú po deleí číslom te istý zvyšo z. Máme teda a 1 + a 2 +... + a r a 1 + a 2 +... + a s = b + z = c + z pre vhodé b, c Z. Odčítaím prvého súčtu od druhého dostávame a r+1 + a r+2 +... + a s = (c b), čo zameá, že posledý súčet je deliteľý číslom. Uvedieme ešte silejšiu formu Dirichletovho pricípu: Teoréma 2.4. A f : A B je zobrazeie oečých moží taé, že A =, B = m a /m > r 1 pre ejaé prirodzeé číslo r, ta existuje prvo možiy B, a torý sa zobrazí aspoň r prvov možiy A. Dôaz. Nech B = {1, 2,..., m} a ech i je počet prvov možiy A, toré sa zobrazia a prvo i B. Keby pre aždé z čísel i platilo i r 1, ta by sme dostali r 1 < m = 1 + 2 +... + m m Teto spor doazuje teorému. m(r 1) m 2.3 Záladé eumeračé pravidlá = r 1. Úloha určiť počet ombiatoricých ofigurácií daého typu je jedou z ajtypicejších ombiatoricých úloh. Existuje obrovsé možstvo rôzych druhov
2.3. ZÁKLADNÉ ENUMERAČNÉ PRAVIDLÁ 9 ombiatoricých ofigurácií, eďže existuje epreberé možstvo praticých úloh ombiatoricého charateru. Veľá väčšia úloh sa vša dá zaradiť do jedej z asledujúcich tried s dvoma podtriedami: 1. Určiť počet eusporiadaých ofigurácií, pričom opaovaie objetov v ofiguráciách je alebo ie je povoleé. 2. Určiť počet usporiadaých ofigurácií, pričom opaovaie objetov v ofiguráciách je alebo ie je povoleé. Čitateľ iste pozá pojem ombiácií, torý spadá pod bod A, a pojem variácií, spadajúci pod bod B. Tieto dva pojmy vša a riešeie ombiatoricých úloh estačia, pretože ofigurácie môžu ombiovať usporiadaé aj eusporiadaé črty. Oveľa dôležitejšie je preto ovládať záladé eumeračé pravidlá a ovláduť umeie matematizácie ombiatoricých úloh čo zameá vedieť vyabstrahovať ofigurácie v podobe podmoží, usporiadaých -tic, zobrazeí, relácií rozladov a podobe, a potom a ich zrátaie eumeračé pravidlá použiť. Prvé z ich je veľmi jedoduché: Teoréma 2.5 (Pravidlo súčtu). Nech X 1, X 2,..., X, 2 sú avzájom disjuté podmožiy oečej možiy X, pričom X = X 1 X 2... X. Potom X = X 1 + X 2 +... + X. Dôaz. Nech ajprv = 2. ech X 1 = {a 1, a 2,..., a r } ad X 2 = {b 1, b 2,..., b s }. Keďže X 1 X 2 =, platí X 1 X 2 = {c 1, c 2,..., c r, c r+1,..., c r+s }, de c i = a i pre i {1, 2,..., r} a c j = b j r pre j {r + 1,..., r + s}. Z tohto už ľaho vido, že X = X 1 X 2 = X 1 + X 2. Pre 3 sa dôaz ľaho doočí matematicou iduciou. Opaovaým použitím tohto pravidla zísavame ďalšie pravidlo. Je zložitejšie, o má častejšie použitie. Teoréma 2.6 (Pravidlo súčiu). Nech X 1, X 2,..., X, 2, sú ľubovoľé oečé možiy. Potom X 1 X 2 X = X 1 X 2... X. Dôaz. Budeme postupovať iduciou vzhľadom a, pričom v idučom rou použijeme pravidlo súčtu. Tvrdeie teorémy platí aj pre = 1 (ale ič ehovorí) a to využijeme ao bázu iducie. Nech teraz tvrdeie teorémy platí aj pre ejaé 1. Uážeme, že platí aj pre + 1. Chcem určiť počet prvov možiy X 1 X 2... X X +1. A X +1 =, ta X 1 X 2... X X +1 = 0 = X 1 X 2... X +1. V tomto prípade teraz tvrdeie platí. Nech preto X +1 = s 1, pričom X +1 = {a 1, a 2,..., a s }. Položme pre aždé i {1, 2,..., s} Y i = X 1 X 2... X {a i }.
10 KAPITOLA 2. KOMBINATORIKA Je zrejmé, že Y i = X 1 X 2... X a podľa idučého predpoladu teda platí Pretože Y i = X 1 X 2... X. X 1 X 2... X X +1 = s Y i. a možiy Y 1, Y 2,..., Y s sú avzájom disjuté, z pravidla súčtu dostávame X 1 X 2... X +1 = =1 s Y = X 1 X 2... X X +1. =1 Prílad 2.3. Koľo štvorciferých čísel deliteľých piatimi môžeme vytvoriť z cifier 0, 1, 3, 5, 7? Nech M = {0, 1, 3, 5, 7}. Potom aždé hľadaé číslo je charaterizovaé usporiadaou štvoricou, torá patrí do možiy U = = (M {0}) M M {0, 5}. Podľa pravidla súčiu dostávame U = 4 5 5 2 = 200. Prílad 2.4. Koľorát za deň cifry a digitálych hodiách uazujú rastúcu postuposť? Čas a uazateli digitálych moží môžeme zaódovať usporiadaou šesticou prirodzeých čísel x = (x 1, x 2 ; x 3, x 4 ; x 5, x 6 ). Predpoladajme, že x 1 < x 2 <... < x 6. Hoci vo všeobecosti čas musí spĺňať x 1 2, vidíme, že x 1 = 2 by evyhute viedlo x 5 6, čo ie je možé. Preto x 1 {0, 1} a x 5 5. A x 1 = 1, ta x 5 = 5 a a x 1 = 0, ta x 5 = 4 alebo 5. Možiu X hľadaých postupostí rozdelíme tato X 1 = {x X; x 1 = 1}, X 04 = {x X; x 1 = 0, x 5 = 4}, X 05 = {x X; x 1 = 0, x 5 = 5}. V prvej možie sú postuposti tvaru (1, 2; 3, 4; 5, x 6 ), z čoho vyplýva X 1 = = 4. V druhej sú postuposti tvaru (0, 1; 2, 3; 4, x 6 ), taže X 04 = 5. Počet prvov možiy X 05 spočítame tato: pre (x 2, x 3, x 4 ) sú le tieto možosti: (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4). Pre x 6 sú možosti 6, 7, 8, 9. Každá postuposť v X 05 je charaterizovaá usporiadaou dvojicou ((x 2, x 3, x 4 ), x 6 ), torých je podľa pravidla súčiu 4.4 = 16. Napoo podľa pravidla súčtu dostávame X = X 1 + X 04 + X 05 = 4 + 5 + 16 = 25.
2.4. VARIÁCIE 11 2.4 Variácie Variácie spolu s ombiáciami patria medzi ajjedoduchšie a ajbežejšie ombiatoricé ofigurácie.zatiaľ čo variácie sú usporiadaé štrutúry, ombiácie sú eusporiadaé. Uazuje sa, že jedoduchšie je začat študium usporiadaých ofigurácií a a eusporiadaé sa dívať ao a triedy evivalecie usporiadaých štrutúr. Ao prvý odvodíme výsledo o počte zobrazeí medzi oečými možiami. Pripomeňme ozačeie z predchádzajúcej apitoly: pre lubovolé možiy A a B ozačujeme symbolom B A možiu všetých zobrazeí A B. Teoréma 2.7. A A a B sú oečé možiy, pričom A = a B = m, ta B A = B A = m Dôaz. Teorému doážeme iduciou vzhľadom a. Pre = 0 (a aždé prirodzeé císlo m = B ) teoréma platí, lebo B = { }. Predpoladajme teraz, že teoréma platí pre ejaé 0 a všety prirodzeé čísla m. Nech A = +1, pričom A = {a 1,..., a, a +1 }. A B =, ta A = a tvrdeie platí. A m 1 a B = {b 1, b 2,..., b m }, pre {1, 2,..., m} položíme Y = {f B A ; f(a +1 ) = b } Možiy Y sú avzájom disjuté a B A = m =1Y. Orem toho zúžeia zobrazeí f Y a možiu A {a +1 } sú po dvoch rôze a dávajú všety zobrazeia {a 1, a 2,..., a } B, z idučého predpoladu dostávame Y = m. Napoo B A = m Y = m m = m +1 = B A =1 Pre A = {1, 2,..., } a B = m sa prvy možiy B A azývajú variácie s opaovaím -tej triedy z m prvov (možiy B). V súhlase s ozačeím zavedeím v člau?? amiesto šípového ozačeia pre tieto zobrazeia používame ozačeie seveciále f : {1, 2,..., } B ozačujeme (f(1), f(2),..., f()) = (f1, f2,..., f). Z tohto vyjadreia je zrejmé, že existuje bijecia B {1,2,...,} B B... B (-rát) a teda teoréma 2.7 vyplýva aj priamo z pravidla súčiu. Naprílad a B = {a, b}, ta všety variácie tretej triedy z možiy B sú (usporiadaé lexiograficy): (a, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (a, b, b), (b, a, a), (b, a, b), (b, b, a), (b, b, b). Pozáma. Teorémy (2.5-2.7) sú záladom defiície súčtu, súčiu a moceia ľubovolých ardiálych čísel, ao sme ich zaviedli v čláu??. Tieto defiície teda zovšeobecňujú ašu praticú súseosť z oečých moží a eoečé možiy ľubovolej ardiality.
12 KAPITOLA 2. KOMBINATORIKA Teoréma 2.7,5 Nech A je oečá možia, A =. Potom počet všetých podmoží možiy A je P(A) = 2. Teraz určíme počet všetých ijetívych zobrazeí medzi dvoma možiami. Teoréma 2.8. Nech A a B sú oečé možiy, pričom A = a B = m. Potom počet všetých ijetívych zobrazeí z A do B je m (m 1)... (m + 1) = 1 i=0 (m i) Dôaz. Nech IB A ozačuje počet ijecií A B. Budeme postupovať iduciou vzhľadom a. A A =, ta existuje jediá ijecia A B. V súčie 1 (m i) máme ulový počet čiiteľov, a taý súči sa defiitoricy ladie i=0 za 1. Teda v tomto prípade výsledo platí. Predpoladajme, že tvrdeie ašej teorémy je správe pre ejaé 0 a pre všety prirodzeé čísla m. Nech A = + 1 a ech A = {a 1, a 2,..., a, a +1 }. A B =, ta B A = a tvrdeie platí. Nech teda m 1 a B = {b 1, b 2,..., b m }. Defiujme teraz pre {1, 2,..., m} možiu Y = {f B A ; f je ijetíve a f(a +1 ) = b } Možiy Y 1, Y 2,..., Y m sú avzájom disjuté a aždá ijecia A B patrí do ejaej z ich. Preto Y 1 + Y 2 +... + Y m = I A B Určíme Y pre ľubovolé. Kedže zúžeím ijecie je opät ijecia, zúžeia zobrazeí f Y a možiu A {a +1 } sú ijecie A {a +1 } B {b }. Naviac medzi zúžeiami sa aždá taá ijecia vysytuje práve raz. Preto Y = I A {a+1} B {b } Podľa idučého predpoladu 1 Y = (m 1 i) = (m i) i=0 i=1 Odtiaľ vyplýva, že IB A = m (m i) = (m i) i=1 i=0
2.4. VARIÁCIE 13 Všimime si, že a A > B, ta teoréma 2.8 hovorí, že eexistuje žiada ijecia A B, čo je obsah teorémy 2.3. Dirichletov pricíp je teda dôsledom teorémy 2.8. Ijecie z možiy A = {1, 2,..., } do možiy B, de B = m, sa azývajú variácie (bez opaovaia) -tej triedy z m prvov (možiy B). Na ozačeie počtu variácií bez opaovaia -tej triedy z m prvov používame symbol m = m(m 1)... (m + 1), pričom v súhlase s teorémou 2.8 platia vzťahy m 0 = 1 a m 1 = m číslo m sa azýva -tý lesajúci fatoriál z m. Číslo m m = m(m 1)... 2 1 sa ozačuje m! a azýva sa m-fatoriál. Prílad 2.5. Máme zostaviť vlaju z troch rovaých vodorových farebých prvov, alebo troch rovaých zvislých prvov, pričom máme dispozícií láty rôzych farieb (v eobmedzeom možstve ). Nech H je možia vlajo prvého a V možia vlajo druhého druhu. Zrejme H V = a H = V. Každú vlaju z možiy H charaterizuje usporiadaá trojica rôzych farieb, čiže ijecia {1, 2, 3} F, de F je možia farieb. Z teorémy 2.8 vyplýva, že H = ( 1)( 2) = 3, a teda počet rôzych vlajo je 2 3. Naprílad variácie bez opaovaia druhej triedy z prvov možiy B = {1, 2, 3} sú (v lexiograficom usporiadaí) (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2). A A == {1, 2,..., } a B =, ta variácie -tej triedy z prvov možiy B ie sú ič ié ao bijecie A B a ich počet je podľa teorémy 2.8 ( 1)... 2 1 =!. Tieto variácie sa azývajú permutáciami možiy B. (Nieedy je o permutáciach výhodé predpoladať, že A = B.) Zo zápisu permutácie ao postuposti, v torej sa vysytujú bez opaovaia všety prvy možiy B je zrejmé, že aždá permutácia možiy B určuje ejaé lieáre usporiadaie možiy B. Obrátee, aždé lieáre usporiadaie možiy B defiuje permutáciu f možiy B a b B je i-ty ajmeší prvo možiy B (t.j. i-ty z ľava), stačí položiť f(i) = b. Teoréma 2.9. Existuje vzájome jedozačá orešpodecia medzi permutáciami ľubovolej možiy B a lieárymi usporiadaiami možiy B. Preto počet lieárych usporiadaí -prvovej možiy je! Na záver vyslovíme ešte zovšeobeceé pravidlo súčiu, toré je zosileím teorémy 2.8. Dôaz iduciou preechávame čitateľovi. Teoréma 2.10. Nech X je oečá možia. Nech A X, 2, je podmožia arteziáseho súčiu X, torej prvy ozačíme (x 1, x 2,..., x ) a torá splňa podmiey: (1) prvo x 1 je možé z možiy X vybrať 1 spôsobmi; (2) pre aždé i {1,..., 1}, po aomoľve výbere usporiadaej i-tice (x 1, x 2,..., x i ) je možé prvo x i+1 vybrať vždy i+1 spôsobmi. Potom A = 1 2...
14 KAPITOLA 2. KOMBINATORIKA 2.5 Kombiácie bez opaovaia Kombiácie bez opaovaia sú eusporiadaé súbory eopaujúcich sa prvov - iými slovami podmožiy ejaej záladej možiy. Presejšie, ombiácie (bez opaovaia) -tej triedy z prvov možiy A sú -prvové podmožiy možiy A s mohutosťou A =. Možia všetých -prvových podmoží možiy A sa ozačuje P (A) alebo ( ( A ) a ich počet ( ). Symbol ) sa azýva ombiačým číslom alebo biomicým oeficietom (dôvody pochopíme esôr). Bezprostrede z defiície symbolu ( ) vyplývajú tieto jeho vlastosti: Pre aždé 0 platí ( 0) = 1, lebo aždá možia má práve jedu prázdu možiu. Pre aždé 0 platí ( ) = 1, lebo aždá -prvová možia má práve jedu -prvovú podmožiu, totiž samú seba. Pre aždé 0 platí ( 1) =, lebo aždá -prvová možia má práve rôzych 1-prvových podmoží. Pre aždé platí ( ) ( = ). Počet -prvových podmoží ľubovoľej prvovej možiy A je te istý ao počet ( )-prvových podmoží možiy A, lebo zobrazeie ( ) ( A A ), x A x je bijecia. Pre aždé > platí ( ) = 0, lebo -prvová možia emá podmožiy s viac ao prvami. Určíme teraz hodotu symbolu ( ). Teoréma 2.11. Nech A je oečá možia, pričom A =. Potom počet -ombiácií z možiy A je P (A) = ( ) ( 1)... ( + 1) = = ( 1)... 1! Dôaz. Nech K = {0, 1,..., 1}. Budeme súmať ijecie K A, čiže a možie IA K. Na IK A zavedieme biáru reláciu R tato: f R g práve vtedy, eď f ({0, 1,..., 1}) = g ({0, 1,..., 1}) Potom R je relácia evivalecie. Každá trieda evivalecie C a možie IA K je jedozače určeá jedou -prvovou podmožiou M, a torú zobrazeia z možiy C zobrazia možiu {0, 1,..., 1}. A v týchto zobrazeiach zameíme oobor A za M, dostaeme práve všety permutácie možiy M. Preto C =!. Každá trieda evivalecie a IA K má! prvov. Preto!( ) = = = IA K. Počet -prvových podmoží možiy A je teda, podľa teorémy 2.8, ( ) = I K A /! = /!.
2.5. KOMBINÁCIE BEZ OPAKOVANIA 15 Kombiačé čísla majú veľé možstvo zaujímavých vlastostí. Uvedieme aspoň ietoré z ich. Teoréma 2.12. Pre ľubovoľé prirodzeé čísla a platí: ( ) ( ) + = + 1 ( ) + 1 + 1 Dôaz. Tvrdeie je možé ľaho doázať pomocou vyjadreia ( ) =! ta, že úpravou vzťahu a ľavej strae dostaeme ombiačé číslo a pravej strae. My vša doážeme túto rovosť pomocou možiovej iterpretácie. Nech A je možia, torá má A = + 1 a ech b A je pevý prvo. Možiu ( ) A +1 rozložíme a dve časti B 0 a B 1 : B 0 bude združovať ( + 1)-podmožiy, toré eobsahujú prvo b, aproti tomu B 1 bude združovať všety tie, toré prvo b obsahujú. Keďže aždá možia v B 0 je podmožiou možiy A {b}, dostávame B 0 = ( +1). Každá možia v B1 zas určuje -prvovú podmožiu možiy A {b}. Preto B 1 = ( ). Odtiaľ ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 A = = B 0 + B 1 = + + 1 + 1 + 1 Teto reuretý vzťah je záladom umiesteia ombiačých čísel v rovie do tvaru trojuholía, v torom je možé postupe vyčísľovať ombiačé čísla s použitím jediého fatu, že ( 0) = ( ) = 1 pre aždé. ( 0 0) ( 1 ) ( 1 0 1) ( 2 ) ( ) ( 2 0 1 2) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 0 1 2 3) 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Prílad 2.6. Majme domio (variat zámej spoločesej hry), torého aždý ameň je rozdeleý a dve časti a a aždej polovici je vyzačeá jeda z hodôt 0, 1,..., ; žiada z dvoch častí sa edá odlíšiť ao prvá alebo druhá. Aá je pravdepodobosť toho, že dva áhode vybraé amee sa dajú sebe priložiť, čiže obsahujú rovaú hodotu aspoň a jedej strae? (Pozameajme, že bežé domio má = 6.) Kameň, a torom sú apísaé hodoty i, j {0, 1,..., }, môžeme jedozače zaódovať možiou {i, j}. Keďže sa môže stať, že i = j (taým ameňom sa hovorí dublety), máme 1 {i, j} 2. Celový počet ameňov je teda ( ) ( +1 1 + +1 ) ( 2 = +2 ) 2, podľa teorémy 2.12. Špeciále pre = 6 dostávame ( 8 2) = 28. Počet všetých možých výberov
16 KAPITOLA 2. KOMBINATORIKA dvoch ameňov je potom (( +2 2 )) = 28. 2 Určíme teraz počet dvojíc ameňov, toré sa daju priložiť sebe. Toto číslo je zhodé s počtom eusporiadaých dvojíc moží {i, j}, {, l} P 2 ({0, 1,..., }) taých, že {i, j} {, l}. Pre aždé i {0, 1,..., } zistíme, aý je počet dvojíc ameňov, toré majú spoločú hodotu i. Všimime si, že orem hodoty i sa a týchto ameňoch objavujú ešte dve ďalšie hodoty j a, pričom j ; môže sa vša stať, že jeda z týchto hodôt je totožá s i. Z tohto je jasé, že aždú dvojicu ameňov so spoločou hodotou i môžeme jedozače reprezetovať dvojprvovou možiou {j, }. Tato dostávame ( ) +1 2 dvojíc ameňov so spoločou hodotou i. Vzhľadom a počet výberov hodoty i, dostávame ( + 1) ( ) +1 2 dvojíc ameňov domia, toré sa dajú priložiť sebe. Z toho vyplýva, že pravdepodobosť javu, že pri áhodom výbere dvojice ameňov je možé tieto amee priložiť sebe, je ( + 1) ( ) ) +1 ( ( +2 2 ) 2 2 ) = 2( + 1)( +1 2 ( +2 ) (( +2 2 2 ) 1 ). Pre bežé domio ( = 6) dostávame pravdepodobosť 7/18 < 0,4. Dôležitým výsledom o ombiačých číslach je asledujúca teoréma, torá vysvetľuje, prečo ombiačé čísla azývajú aj biomicé oeficiety. Teoréma 2.13 (Biomicá veta). Pre aždé reále číslo x a prirodzeé číslo platí ( ) (1 + x) = x. =0 Dôaz. Tvrdeie zrejme platí pre = 0. Ďalej budeme postupovať iduciou vzhľadom a. A predpoladáme platosť tvrdeia pre ejaé 0, ta použitím tvrdeia 2.12 dostávame: (1 + x) +1 = (1 + x) (1 + x) ( ( ) = )x (1 + x) =0 (( ) ( )) (( ) ( )) = 1 + + x + + x 2 +... 0 1 1 2 (( ) ( )) + + x + x +1 1 +1 ( ) + 1 = x čo bolo treba doázať. =0
2.5. KOMBINÁCIE BEZ OPAKOVANIA 17 ( ) Pozáma. Defiíciu biomicého oeficietu môžeme rozšíriť z prirodzeého čísla a ľubovoľé reále číslo z, a a zálad jeho rozšíreia zoberieme teorému 2.11. Položme ( ) z := z! = z(z 1)... (z + 1)! Pre taéto biomicé oeficiety je možé doázať aalóg biomicej teorémy, torý v tomto prípade vyzerá tato: Pre ľubovoľé z R a pre aždé reále číslo z taé, že x < 1 platí (1 + x) z = =0 ( ) z x A z N, ta všety biomicé oeficiety pre > z sú ulové a dostávame opäť tvrdeie teorémy 2.13 (pre x < 1, čo ie je až taé podstaté). Taáto rozšíreá biomicá teoréma je užitočá pri doazovaí rozličých vlastostí ombiačých čísel. Dôaz zovšeobeceej biomicej teorémy presahuje rámec tohto textu. Dôsledo 2.14. Platia tieto idetity ( 1) ( ) (a) = 2, (b) (c) =0 ( ) ( 1) = 0, =0 0, páre ( ) = 0, epáre ( ) = 2 1. Dôaz. Tvrdeie (a) dostaeme priamo z biomicej teorémy, a položíme x = 1 a (b) dostaeme, a položíme x = 1. Jedu z rovostí v (c) dostaeme, a sčítame idetity (a) a (b) a vydelíme dvoma, druhú rovosť zísame podobe odčítaím. Idetitu (a) môžeme ľaho doázať aj ombiatoricou úvahou: a pravej strae máme 2, čo je P(A), de A =. To isté číslo môžeme vyjadriť aj v tvare súčtu P(A) = P (A) =0
18 KAPITOLA 2. KOMBINATORIKA Teoréma 2.15 (Cauchyho sčítací vzorec). Pre všety prirodzeé čísla m a platí i=0 ( )( ) m = i i ( ) m + Dôaz. Nech A 1 a A 2 sú disjuté možiy, pričom A 1 = m a A 2 =. Položme A = A 1 A 2. Nech X A. Potom X A = X (A 1 A 2 ) = = (X A 1 ) (X A 2 ). Ozačme X i = X A i, i = 1, 2,.... Potom X 1 a X 2 sú disjuté podmožiy A 1 resp. A 2 a X = X 1 X 2. Súmajme zobrazeie f : P (A) i=0(p i (A 1 ) P i (A 2 )) x (x 1, x 2 ) Keďže aždú podmožiu X možeme vyjadriť ao zjedoteie možiy X 1 = = X A 1 s možiou X 2 = X A 2, vidíme, že zobrazeie f( je )( bijetíve. ) m Z teorémy 2.11 a pravidla súčiu vieme, že P i (A 1 ) P i (A 2 ) =. i i Požitím pravidla súčtu apoo dostávame ( ) m + = P (A) = i=0 P i (A 1 ) P 1 (A 2 ) = Tým je dôaz sočeý. i=0 ( )( ) m. i i Pozáma. Tvrdeie 2.15 môžeme doázať aj pomocou biomicej teorémy tato. Zrejme platí (1 + x) m+ = (1 + x) m (1 + x). A rozpíšeme pravú aj ľavú strau tejto rovosti podľa teorémy 2.13, dostáeme m+ =0 ( m + ) x = ( m i=0 ( ) )( m x i i j=0 ( ) )x j j Súčty a pravej strae rozásobíme podľa distributíveho záoa a roztriedime podľa mocí premeej x. Zistíme, že pri x sa vysytuje oeficiet i=0 ( )( ) m i i ( ) m + Na ľavej strae sa pri x vysytuje oeficiet. Keďže dva mohočley sa rovajú práve vtedy, eď pri rovaých mociách premeej sa vysytujú rovaé oeficiety, musí platiť i=0 ( )( ) m = i i ( ) m +
2.6. KOMBINÁCIE A PREMUTÁCIE S OPAK., POLYNOMICKÁ VETA 19 Rovaou metódou je možé doázať celý rad ďalších idetít-vzťahov medzi ombiačými číslami. Čitateľ si môže sám vysúšať, aá idetita vyplýva zo vzťahu ( ) (1 + x) +1 = (1 + x) (1 + x). Na záver tohto čláu sa pozrieme a číslo ao a fuciu premeej pri pevom. Teoréma 2.16. Pre aždé prirodzeé číslo platí: (a) a je páre, ta ( ) < 0 (b) a je epáre, ta ( ) < 0 ( ) ( ) ( ) ( ) < < < > > > 1 /2 1 /2 /2 + 1 ( ) ( < < 1 Dôaz. Súmajme pomer ( ) ( 1)/2 ( ) =! 1 ) ( = ( + 1)/2 ( 1)! 1 = + 1 ) > > ( ) > 1 ( ) ; ( ). ( ) ( ) Ľaho zistíme, že pre /2 je teto pomer väčší ao 1, a teda >. ( ) ( ) ( ) 1 A je epáre, z rovosti = dostávame rovosť = ( ) ( 1)/2 =. Odtiaľ už vyplýva tvrdeie. ( + 1)/2 ( ) Z tohto tvrdeia vyplýva, že fucia adobúda svoju ajväčšiu hodotu v strede celočíseleho itervalu 0,, pričom a je páre sa táto ( ) hodota adobúda raz, a je epáre dvarát. Po túto hodotu fucia rastie, od ej potom lesá. 2.6 Kombiácie s opaovaím, permutácie s opaovaím, polyomicá veta Najprv sa budeme veovať ombiáciám s opaovaím. Z ázvu týchto ofigurácií vyplýva, že ide o ofigurácie, v torých sa erozlišuje poradie, o prvy sa môžu opaovať. Pri ich presej defiícii budeme vychádzať z variácií s opaovaím, teda zobrazeí {1, 2,..., } A. Všimime si ajprv, že a možie A {1,2,...,} všetých variácií s opaovaím -tej triedy v možie B
20 KAPITOLA 2. KOMBINATORIKA môžeme zaviesť reláciu evivalecie R tato: Nech f, g A {1,2,...,}. Položme frg práve vtedy eď f 1 ({x}) = g 1 ({x}) pre aždý prvo x A. Iými slovami, dve variácie s opaovaím budú evivaleté práve vtedy, eď v oboch sa rovaé prvy opaujú rovaý počet rát. Kombiácie s opaovaím -tej triedy z m prvov možiy A (de A = m) sú triedy evivalecie R a možie A {1,2,...,}. Ao prílad uvedieme vyššie defiovaú evivaleciu R a možie {a, b} {1,2,3,4}. Triedy tejto evivalecie budú ombiácie s opaovaím štvrtej triedy v možie {a, b}. Variácie patriace do tej istej triedy rozladu sú uvedeé v tom istom stĺpci. Vútri aždej triedy sú variácie zobrazeé lexiograficy. Variácie sú apísaé ao slová-bez zátvorie a čiaro. aaaa aaab aabb abbb bbbb aaba abab babb abaa abba bbab baaa baab bbba baba bbaa Počet ombiácií s opaovaím štvrtej triedy z dvoch prvov je teda 5. Teoréma 2.17. Nech A je -prvová možia a prirodzeé číslo. Potom počet všetých ombiácií s opaovaím -tej triedy v možie A je ( ) + 1. Dôaz. Kombiácie s opaovaím -tej triedy v možie A sú prvy rozladu možiy A {1,2,...,} iduovaého reláciou evivalecie R popísaej vyššie. Bez ujmy a všeobecosti môžeme predpoladať, že A = {1, 2,..., }. Z aždej triedy evivalecie R, čiže ombiácie s opaovaím, vyberieme slovo, toré je lexiograficy ajmešie (to zameá, že v ňom sú prvy možiy A zoradeé podľa veĺosti). S trochou epresosti budeme toto slovo stotožňovať so samotou ombiáciou s opaovaím. Nech c 1 c 2 c je teda ombiácia s opaovaím -tej triedy v možie A = {1, 2,..., }, pričom c 1 c 2... c. Priraďme teraz tejto postuposti ovú postuposť d 1 d 2 d ta, že položíme f(c i ) = d i = c i + i 1, i = 1, 2,..., Všimime si, že d i {1, 2,..., + 1} a že d 1 < d 2 <... < d, teda postuposť d 1 d 2... d reprezetuje ombiáciu bez opaovaia -tej triedy z možiy {1, 2,..., + 1}. Napr. a c 1 c 2... c = 22233, ta d 1 d 2... d = 23467. Ľaho vidieť, že zobrazeie c 1 c 2... c d 1 d 2... d je ijetíve. Z druhej stray, a {e 1, e 2,... e } {1, 2,..., + 1} je ombiácia bez opaovaia -tej triedy,
2.6. KOMBINÁCIE A PREMUTÁCIE S OPAK., POLYNOMICKÁ VETA 21 môžeme predpoladať, že e 1 < e 2 <... < e. Postuposti e 1 e 2... e priradíme postuposť h 1 h 2... h tato: h i = e i i + 1, i = 1, 2,...,. Ľaho vido, že h 1 h 2... h a že h i {1, 2,..., }. Teda h 1 h 2... h je ombiácia s opaovaím -tej triedy z možiy A. Orem toho, f(h i ) = e i. Z uvedeého vyplýva, že zobrazeie c 1 c 2... c d 1 d 2... d defiuje bijeciu medzi ombiáciami -tej triedy s opaovaím v možie {1, 2,..., } a ombiáciami bez opaovaia -tej triedy v možie {1, 2,..., + 1}. Hľadaý počet ombiácií s opaovaím je preto ( ) + 1 Prílad 1. Uvažujme polyómy s viacerými premeými x 1, x 2,..., x. Polyómy vytvárame z čleov tvaru x α i 1 x β i 2... x γ i l, de α > 0, β > 0,..., γ > 0, toré sa azývajú moómy. Stupeň moómu je číslo α + β +... + γ (v zápise automaticy predpoladáme, že i 1, i 2,..., i l sú rôze prvy možiy {1, 2,..., }). Polyóm je tvaru l=0 i 1<i 2<...<i l a i1i 2...i l x ϱ i 1 x σ i 2... x τ i l pričom oeficiety a i1i 2...i l sú ejaé čísla (môžu byť aj uly) a ϱ, σ,..., τ sú ladé expoety (v rôzych moómoch môžu byť rôze). Pozameávame, že vo vútorej sume sčítame cez všety ombiácie l-tej triedy z možiy {1, 2,..., }. Koľo je rozličých moómov stupňa? A premeé x 1, x 2,..., x medzi sebou omutujú, ta a poradí ezáleží a expoet ad premeou vyjadruje počet opaovaí premeej v moóme - ide teda o ombiácie s opaovaím. Preto sa počet rôzych moómov stupňa rová číslu ( ) + 1 A premeé medzi sebou eomutujú, a poradí záleží, a potom máme dočieia s variáciami s opaovaím. V tomto prípade je počet moómov. Prílad 2. Turista chce z dovoley poslať priateľom pohľadice. Má a výber druhov pohladíc. Koľými spôsobmi môže aúpiť pohladíc? Koľými spôsobmi môže aúpeé pohľadice poslať? Je očividé, že aúpeé pohľadice tvoria eusporiadaý súbor a že môžeme z jedého druhu úpiť viacero usov pohľadíc (a >, zrejme ai iú možosť emá). Súbory pohľadíc preto tvoria ombiácie s opaovaím. To zameá, že a áup má ( ) + 1
22 KAPITOLA 2. KOMBINATORIKA možostí. Koľými spôsobmi môže pohľadice poslať? Keby boli všety pohľadice avzájom rôze, ta pohľadice sa dajú rozoslať! spôsobmi, lebo rozoslaie predstavuje bijeciu medzi rôzymi druhmi pohľadíc a ich adresátmi. A je vša z ejaého druhu viac pohľadíc, tieto sú medzi sebou zameiteľé. Predpoladajme, že v aúpeom súbore je i pohľadíc i-teho druhu, i = = 1, 2,..., ( i 0). Dve bijecie z možiy aúpeých pohľadíc do možiy priateľov budeme považovať za evivaleté, a v obidvoch te istý adresát dostae te istý druh pohľadice. A uvažujeme ľubovoľú pevú bijeciu, zámeou pohľadíc v i-tom druhu dostaeme z ej i! evivaletých bijecií. Tieto zámey môžeme vyoať ezávisle v aždom druhu. Podľa pravidla súčiu dostávame, že aždá trieda evivalecie má 1! 2!...! prvov. Počet spôsobov rozoslaia pohľadíc je teda! 1! 2!...!. V predchádzajúcom prílade sme súmali vlaste taúto všeobecú situáciu. Máme dve možiy A (pohľadice) a B (priatelia), pričom A = = B. Možia A je rozložeá a možiy A 1, A 2,..., A s mohutosťami A i = i. V tomto mieste môžeme trocha porušiť defiíciu rozladu v tom, že pripustíme medzi možiami A 1, A 2,..., A aj prázde možiy. Súmame teraz bijecie A B, pričom dve bijecie f a g budeme považovať za evivaleté, a pre aždý prvo y B existuje idex i {1, 2,..., } taý, že obidva prvy f 1 aj g 1 patria do tej istej možiy A i. (V reči predchádzajúceho príladu: aždý adresát y dostal pri rozsiele f aj pri rozsiele g pohľadicu toho istého druhu hoci možo ie tú istú). Táto vlastosť sa dá vyjadriť aj iáč. Nech p : A {A 1, A 2,..., A } je projecia možiy a svoj rozlad; to zameá, že pre ľubovoľý prvo a A platí p(a) = A i práve vtedy, eď a A i. Potom f aj g sú evivaleté vtedy a le vtedy, eď pf 1 = pg 1. Triedy evivalecie týchto bijecií sa azývajú permutáciami s opaovaím z 1 prvov prvého druhu, 2 prvov druhého druhu,..., prvov -tého druhu. Úvahou v predchádzajúcom prílade sme uázali, že počet taýchto permutácií s opaovaím je! 1! 2!...!. Tá istá hodota sa objavuje aj ao počet iých ofigurácií. Tvrdeie 2.18. Nech A a B sú oečé možiy, de A = a B =. Nech B = {b 1, b 2,..., b }. Potom počet zobrazeí f : A B taých, že pre aždý prvo b i platí f 1 ({b i }) = i, de i sú zadaé ezáporé celé čísla so súčtom 1 + 2 +... + =, sa rová! 1! 2!...!. Dôaz. Nech (a i1, a i2,..., a i ) je ľubovoľá permutácia možiy A zaódovaá ao usporiadaie. Defiujme zobrazeie A B ta, že prvých 1 prvov
2.6. KOMBINÁCIE A PREMUTÁCIE S OPAK., POLYNOMICKÁ VETA 23 možiy A pošleme a b 1, druhých 2 prvov a b 2 atď. Prvých 1 prvov môžeme vša ľubovoľe spermutovať a zobrazeie sa ezmeí. Nezávisle môžeme permutovať aj ďalšie supiy. Z toho dostaeme, že 1! 2!...! permutácií dáva to isté zobrazeie. Je tiež zrejmé, že aždé zobrazeie taé, že f 1 ({b i }) = = m i pre aždý prvo b i B, vzie hore uvedeým spôsobom. Preto počet týchto zobrazeí je! 1! 2!...!.! Čísla 1! 2!...! sa zvyú ozačovať ( ) 1, 2,..., a azývať polyomicé oeficiety. A = 2, ta ( ) ( ) ( ) ( ) = = =, 1, 2 1 1 2 čiže polyomicé oeficiety sú prirodzeým zovšeobeceím biomicých oeficietov. Vysvetleie ázvu týchto čísel posytuje asledujúci výsledo. Teoréma 2.19 (Polyomicá veta). Nech a sú ladé prirodzeé čísla. Potom (x 1 + x 2 +... + x ) = 1, 2,..., ( 1, 2,..., ) x 1 1 x2 2... x, i 0 pričom sčítame cez všety usporiadaé -tice prirodzeých čísel ( 1, 2,..., ), pre toré 1 + 2 +... + =. Dôaz. Vyásobíme čiiteľov (x 1 +x 2 +...+x ) a združíme rovaé moómy. Koeficiet pri x 1 1 x2 2... x je pritom počet spôsobov, torými sa teto moóm pri vyásobeí zísa. Zrejme M = x 1 1 x2 2... x vzie vždy, eď x 1 vyberieme z 1 čiiteľov,x 2 z 2 čiiteľov atď. Iými slovami, výraz M zodpovedá zobrazeiu z možiy čiiteľov do možiy x 1, x 2,..., x pričom 1 čiiteľov je zobrazeých a x 1, 2 čiiteľov a x 2 atď. Počet taýchto zobrazeí je podľa tvrdeia 2.18 ( )! 1! 2!...! = 1, 2,..., Pozáma. Ľaho sa ahliade,že ( ) ( )( ) ( ) 1 1 2... 1 =... 1, 2,..., 1 2 Táto rovosť zodpovedá sutočosti, že počet spôsobov, torými vzie moóm x 1 1 x2 2... x, sa dá popísať aj tato: ajprv vyberieme x 1 z 1 čleov (x 1 + x 2 +... + x ), čo môžeme urobiť ( ) 1 spôsobmi. Potom vyberieme x2 z 2 spomedzi zvyšých 1 čleov, čo môžeme urobiť ( 1 ) 2 spôsobmi, atď. ým evyberieme aj x z spomedzi ostávajúcich 1 2... 1 čleov, čo môžeme urobiť ( 1 2... 1 ) spôsobmi.
24 KAPITOLA 2. KOMBINATORIKA 2.7 Pricíp zapojeia a vypojeia Začeme jedoduchou otázou. A sú daé dve oečé možiy A a B, ao vypočítame počet prvov ich zjedoteia? Odpoveď je očividá: od súčtu mohutostí moží A a B musíme odrátať mohutosť ich prieiu. Iými slovami, A B = A + B A B. Pre tri možiy je odpoveď podobá: A B C = A + B + C A B A C B C + A B C. To zameá, že ajprv zapojíme prvy jedotlivých moží, potom vypojíme prvy prieiov dvojíc moží a apoo opäť zapojíme prvy prieiu všetých troch moží. (Čitateľovi odporúčame presvedčiť sa o platosti tohto vzťahu s pomocou Veovho diagramu pre tri preiajúce sa možiy.) Pricíp zapojeia a vypojeia (alebo ilúzie a exlúzie) je ďaleosiahlym zavšeobeceím vyššie uvedeých vzťahov pre dve a tri možiy. Nech M 1, M 2,..., M sú oečé možiy. Pre ľubovoľé prirodzeé číslo taé, že 0 položme S = M i1 M i2... M i, i 1<i 2<...<i pričom súčet prebieha cez všety ombiácie {i 1, i 2,..., i } z idexov {1, 2,..., }. Pre = 0 dostávame priei moží M i z prázdej možiy idexov, čo podľa dohody z prvej apitoly je uiverzum záladá možia X, v torej vedieme všety úvahy o možiách M 1, M 2,..., M. Preto S 0 = X. Teoréma 2.20 (Pricíp zapojeia a vypojeia). Nech M 1, M 2,..., M sú oečé možiy. Potom M 1 M 2... M = = ( 1) +1 M i1 M i2... M i = i 1<i 2<...<i ( 1) +1 S =1 =1 Dôaz. Nech x je ľubovoľý prvo z možiy M 1 M 2... M. Zaveďme ozačeie J x = {i; x M i }. Aby sme uázali, že pravá a ľavá straa rovosti predstavujú to isté číslo, všimime si, že prvo x je a ľavej strae zarátaý iba raz. A totiž preberáme prvy možiy M 1 M 2... M, a x aďabíme le raz. Koľorát je započítaý a pravej strae?
2.7. PRINCÍP ZAPOJENIA A VYPOJENIA 25 Predpoladajme, že prvo x patrí do p moží M i ; to zameá, že J x = = {j 1, j 2,..., j p } {1, 2,..., }. Z toho vyplýva, že v S 1 je prvo x zarátaý p = ( p ( 1) -rát, totiž v aždom sčítaci Mj1, M j2,..., M jp. V S 2 je x zarátaý p ) 2 -rát, raz za ( aždý sčítaec tvaru Mji M j2. Všeobece - prvo x je zarátaý v S p i i) -rát. Celove je teda prvo x a pravej strae započítaý toľorát: ( ) p ( ) ( ) p p ( 1) +1 = ( 1) = 0 =1 =1 ( ) p ( ) p = ( 1) +1. 0 =0 ( ) p 0 Podľa dôsledu 2.14(b) dostávame ( ) p ( ) p ( 1) +1 = 1 0 = 1, 0 =0 ( ) p ( 1) +1 = čiže prvo x je aj a pravej strae zarátaý práve raz. To doazuje ašu teorému. =1 Pozáma. Teorému 2.20 môžeme ľaho doázať aj matematicou iduciou. Najprv sa presvedčíme o platosti vzťahu pre dve možiy M 1 a M 2. Nech je vzťah platý pre 2 moží. Zoberme teraz + 1 moží M 1, M 2,..., M, M +1. Na hľadaý počet M 1 M 2... M M +1 použime vzťah pre dve možiy: M 1 M 2... M M +1 = (M 1 M 2... M ) M +1 = ( ) = M + M +1 M M +1. =1 Na tretí sčítaec apliujeme distributívy záo, čím z eho dostaeme (M M +1 ). =1 Potom použijeme idučý predpolad a prvý a tretí sčítaec. Po úprave dostaeme požadovaý vzťah pre + 1. Podrobosti preechávame a čitateľa. Predpoladajme teraz, že možiy M 1, M 2,..., M sú podmožiami ejaej oečej možiy X. Aý počet má omplemet možiy M 1 M 2... M v uiverze X? Počítajme =1 X (M 1 M 2... M ) = X M 1 M 2... M = X ( 1) +1 S = X + = =1 ( 1) S. =0 ( 1) S =1
26 KAPITOLA 2. KOMBINATORIKA Tým sa dostali asledujúcemu výsledu: Dôsledo 2.21. Nech M 1, M 2,..., M sú podmožiy oečej možiy X a ech M i je omplemet možiy M i v uiverze X, i = 1, 2,...,. Potom M 1 M 2... M = ( 1) S Dôaz. Výsledo vyplýva z predchádzajúceho výpočtu a z jedého z de Morgaových záoov. Predchádzajúci výsledo je záladom ajpoužívaejšej formy pricípu zapojeia a vypojeia, torú teraz opíšeme. Majme ejaú záladú možiu X, pričom X = N a ech α 1, α 2,..., α sú ejaé vlastosti, toré prvy možiy môžu, o emusia, mať. Nech Nα i1 α i2... α i je počet prvov možiy X, toré majú aždú z vlastostí α i1, α i2,..., α i (a prípade aj ié vlastosti, o tie ás ezaujímajú). Nech N(0) = Nα 1α 2... α ozačuje počet prvov možiy X, toré emajú žiadu z vlastostí α 1, α 2,..., α. Naším cieľom je vypočítať N(0). Položme M i = {x X; x má vlastosť α i }. Potom =0 M i1 M i2... M i = Nα i1 α i2... α i, pričom priei moží M i z prázdej možiy idexov dáva a i M i = X = N M 1 M 2... M = Nα 1α 2... α = N(0). Z predchádzajúceho dôsledu dostávame Dôsledo 2.22. V N-prvovej možie ech aždý prvo má alebo emá ietoré z vlastostí α 1, α 2,..., α. Nech Nα i1 α i2... α i ozačuje počet prvov, toré majú aždú z vlastostí α i1, α i2,..., α i prípade aj ejaé ié. Nech N(0) = Nα 1α 2... α ozačuje počet prvov uvažovaej možiy, toré emajú žiadu z vlastostí α 1, α 2,..., α. Potom N(0) = ( 1) S = ( 1) =0 =0 i 1<i 2<...<i Nα i1 α i2... α i. Pozáma. Existuje praticý spôsob ao si môžeme ľaho zapamätať predchádzajúci vzorec ao aj možstvo podobých vzťahov. Predpoladajme, že chceme určiť počet prvov, toré majú vlastosti α i1, α i2,..., α ir a emajú vlastosti α j1, α j2,..., α js. Prirodzee predpoladáme, že {i 1, i 2,..., i r, j 1,
2.7. PRINCÍP ZAPOJENIA A VYPOJENIA 27 j 2,..., j s } {1, 2,..., } a že všety uvažovaé vlastosti sú avzájom rôze. Potom hľadaý počet zísame formálym rozvojom výrazu Nα i1 α i2... α ir (1 α j1 )(1 α j2 )... (1 α js ) podľa distributíveho záoa, pričom N.1 = N, N.α i = Nα i a podobe. Naprílad počet prvov, toré majú vlastosť α 1 a emajú ai vlastosť α 2 ai α 3 je špeciále Nα 1 (1 α 2 )(1 α 3 ) = Nα 1 (1 α 2 α 3 + α 2 α 3 ) = = Nα 1 Nα 1 α 2 Nα 1 α 3 + Nα 1 α 2 α 3. N(0) = Nα 1α 2... α = N(1 α 1 )(1 α 2 )... (1 α ) Rozviutím posedého výrazu dostávame apoo vzťah z dôsledu 2.22, N(1 α 1 )(1 α 2 )... (1 α ) = ( 1) =0 i 1<i 2<...<i Nα i1 α i2... α i, o čom sa ľaho presvedčíme matematicou iduciou. V predchádzajúcom dôsledu sme určili počet N(0) všetých spomedzi N prvov, toré emajú žiadu z uvažovaých vlastostí. Teto výsledo je možé zovšeobeciť - dá sa totiž určiť aj počet N(r) všetých prvov, toré majú práve r vlastosti, ao aj počet N( r) všetých prvov, toré majú aspoň r vlastostí: ( ) N(r) = ( 1) r S r =r N( r) = =r ( ) 1 S r 1 Nieedy je tieto súčty amáhavé prese vypočítať (čo býva pravidlom pri súčtoch so striedavými zamieami), preto sa vtedy musíme uspoojiť s približými hodotami. Namiesto úplého súčtu ( ) N(r) = ( 1) r S r =r s horou hraicou sčítaia uvažujeme le súčet r+s ( ) N(r) s = ( 1) r S r =r prvých s čleov úplého súčtu. Tieto oscilujú oolo hľadaej hodoty N(r), pričom a s je epáre, čiastočý súčet je pod hľadaou hodotou: N(r) s N(r).
28 KAPITOLA 2. KOMBINATORIKA A s je páre, čiastočý súčet je ad hľadaou hodotou : N(r) s N(r). Tieto vzťahy a odhady achádzajú svoje praticé uplateie pri vyčísleí pravdepodobostí rozličých javov. Ich dôazy vša presahujú rámec tohto textu. Prílad 3. Supia N páov sa má zúčastiť večiera. Hostiteľ vyžaduje od účastíov formály odev fra a tvrdý čiery lobú. Pred vstupom do sály pái odovzdajú svoje lobúy v šati. Večiero prebehe veľmi úspeše a pái pri svojom odchode ie sú schopí rozozať svoje lobúy. Aá je pravdepobodosť toho, že žiade pá si ezoberie vlastý lobú? A páov aj ich lobúy očíslujeme 1, 2,..., N, ta rozmiesteie lobúov a hlave predstavuje permutáciu možiy {1, 2,..., N}. Naším cieľom je ajprv určiť počet D N permutácií, toré eechávajú žiade prvo a mieste. Počet permutácií, toré echávajú a mieste -prvovú podmožiu {i 1, i 2,..., i } je (N )!. S použitím vyššie zavedeých ozačeí dostaeme ( ) N S = (N )!, odiaľ zisťujme, že hľadaý počet permutácií je N N ( N D N = N(0) = ( 1) S = ( 1) = =0 =0 ) (N )! = N N ( 1) N!!(N )! (N )! = N! ( 1)! =0 Keďže všetých permutácií N prvov je N!, pravdepodobosť toho, že žiade pá emá a hlave svoj lobú je =0 N! N ( 1) =0! N! N ( 1) =.! =0 Z matematicej aalýzy pozáme Taylorov rozvoj fucie e x, torý dáva vzťah Pre x = 1 dostávame rovosť e x = e 1 = =0 x!, ( 1),! =0
2.7. PRINCÍP ZAPOJENIA A VYPOJENIA 29 z čoho vido, že ami určeá pravdepodobosť je N-ty čiastočý súčet tohto rozvoja čísla e 1. A je číslo N dostatoče veľé, ta hľadaá pravdepodobosť je približe 1/e o čosi viac ao 1/3. Na záver uvedieme ešte dve apliácie pricípu zapojeia a vypojeia. Ich dôaz poecháme a čitateľovi. Dôsledo 2.23. Počet surjetívych zobrazeí f : A B, de A = a B = = m, je m ( ) m SB A = ( 1) (m ). =0 Dôsledo 2.24. Nech ϕ() ozačuje počet ladých prirodzeých čísel meších ao prirodzeé číslo > 1 a esúdeliteľých s. Nech = p α1 1 pα2 2... pαr r je áoicý rozlad čísla a súči mocí rôzych prvočísiel p 1, p 2,..., p r. Potom ) ) (1 )(1 1p1 (1 1p2 1pr ϕ() =....
Idex báza iducie, 6 Dirichletov pricíp, 7 eumeračé pravidlá, 8 eusporiadaé ofigurácie, 9 usporiadaé ofigurácie, 9 holubíový pricíp, 7 idučý ro, 6 variácie, 11 bez opaovaia, 13 s opaovaím, 11 veta polyomicá, 23 Pricíp zapojeia a vypojeia, 24 Cauchyho sčítací vzorec, 18 pravidlo súčiu, 9 zovšeobeceé, 13 pravidlo súčtu, 9 30