Krivky a plochy. Dávid Pál. 28. júna Toto som spísal učiac sa na štátnice z grafiky.
|
|
- Μέλαινα Παχής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Krivy a plochy Dávid Pál 28. júa 2003 Toto som spísal učiac sa a štátice z grafiy. Časť I Krivy Za rivy budeme považovať zobrazeie C : I E 2 prípade C : I E 3, de I je ejaý iterval. Zvyčaje sa požaduje, aby C(t) mala dostatoče veľa derivácií (ajlepšie všety) a aby jej prvá derivácia ebola ulová (ulový vetor). Tieto dve požiadavy sa srátee volajú hladosť a regulárosť. 1 Hermitova riva Na úvod začeme ejaou ľahou rivou. Chceme zostrojiť polyóm s predpísaou fučou hodotou v bode 0, deriváciu v bode 0, deriváciu v bode 1 a fučou hodotou v bode 1, ao a to? Zostrojíme štyri ubicé polyómy, taé, že prvý polyóm bude mať fučú hodotu v bode 0 rovú jeda a zvyšé tri vlastosti ulové. Druhý bude mať druhú vlastosť jeda a zvyšé ulové, atď. Taé polyómy sú tieto: 1 H 3 0 (t) = 2t 3 3t (1) H 3 1 (t) = t 3 2t 2 + t (2) H 3 2 (t) = t 3 t 2 (3) H 3 3 (t) = 2t 3 + 3t 2 (4) A máme teraz dva body V 0, V 1 a dva vetory u 0, u 1, ta potom riva H(t) = V 0 H 3 0 (t) + u 0 H 3 1 (t) + u 1 H 3 2 (t) + V 1 H 3 3 (t), pre t [0, 1] (5) má tú vlastosť, že začía v bode V 0, očí v bode V 1, derivácia (dotyčica) v bode 0 je u 0 a derivácia v bode 1 je u 1. Táto riva sa azýva Hermitova alebo Nielsoova. 1 Stupňa ajviac 3 ute existujú le a práve tieto. 1
2 2 Beziérove rivy Tieto rivy vymyslel Pierre Bezier ( ) pre fracúzsu automobilu Reault. 2.1 Bersteiove polyómy -ty (0 ) Beresteiov polyóm 2 -tého stupňa je ( ) B (t) = t (1 t). (6) Za ich defiičý obor budeme brať iterval [0, 1]. Tu sú polyómy pre malé. Pre = 0 je jediý taý polyóm B 0 0 oštate rový 1. Pre = 1 sú dva B 1 0(t) = 1 t, B 1 1(t) = t. Pre = 2 sú tri B0(t) 2 = (1 t) 2, B1(t) 2 = 2t(1 t), B2(t) 2 = t 2. Pre = 3 sú štyri B0(t) 3 = (1 t) 3, B1(t) 3 = 3t(1 t) 2, B2(t) 3 = 3t 2 (1 t), B3(t) 3 = t 3. Doležité je vedieť zderivovať taý Bersteiov polyóm. [( ] [B (t)] = )t (1 t) ( ) ( ) = t 1 (1 t) ( )t (1 t) 1 ( ) ( ) 1 1 = t 1 (1 t) 1 t 1 (1 t) [( ) ( ] 1 1 = t 1 (1 t) 1 )t 1 (1 t) 1 1 = [ B 1 1 (t) B 1 (t) ] (7) V tomto vzorci (ale aj prípade hocide esôr) pre mimo rozsahu 0, 1,..., berieme ( B (t) oštate ulový. Dôvod je te, že vtedy je (resp. sa ladie) ) = 0. O Bersteiových polyómoch platí ieoľo fatov, toré stoja za reč: 2 Občas zvyú volať aj Beziérove bázicé fucie. 2
3 Ich hodoty sú v itervale [0, 1], teda presejšie B (t) [0, 1], pre t [0, 1]. (8) Súčet všetých + 1 polyómov dáva doopy oštatú jedotu ( ) B0 (t) + B1 + + B(t) = t (1 t) = ((1 t) + t) = 1. (9) =0 Sú to uimodále (jedohrbé) fucie s jediým maximov v bode t = / (pre > 0). Tvoria bázu polyómov aajvýš -tého stupňa. Spĺňajú reureciu 2.2 Beziérove rivy B +1 (t) = tb 1(t) + (1 t)b (t). (10) Keď máme daých + 1 bodov V 0, V 1,..., V v eulidovsej rovie E 2 alebo priestore E 3, ta defiujeme Beziérovu rivu -tého stupňa B (t) = B (t)v, pre t [0, 1]. (11) =0 Keď sa to poderivuje, ta máme jej dotyčicu v ľubovoľom bode. Využijeme vyššie vyrátaú deriváciu Bersteiovho polyómu. [ ] [B (t)] = B (t)v = = =0 [B (t)] V =0 (B 1 1 =0 (t) B 1 )V 1 = B 1 (t)(v +1 V ) =0 Z tohto a vlastostí Bersteiových polyómov ám plyie, že Kriva leží celá v ovexom obale svojich riadiacich vrcholov. (12) Má pseudoloále riadeie. Teda eď pohem ejaým vrcholom, ta sa podstate zmeí le úso oolo eho. Kriva sa dotýa spojice svojich dvoch prvých a dvoch posledých riadiacich bodov. 3
4 2.3 Casteljauov algoritmus Je to algoritmus a vyčíslovaie (a ásledé vyresleie) Bezierovej rivy pre ejaú hodotu parametra t. Samozrejme ide to robiť aj priamo dosadeím do vzorca, ale toto je zábavejšie, umericy stabilejšie, ba čo viac vieme ta ľaho rivu rozdeliť a dve. Postup je asledový: Je daé ejaé fixé t, v torom rátame bod rivy. Na začiatu máme + 1 riadiacich vrcholov V 0, V 1,..., V, ozačíme ich prefíae ao body ultej geerácie V 0 0 := V 0, V 0 1 := V 1,..., V 0 := V. Z ich soštruujeme body prvej geerácie, tých už bude le. Následe body druhej, tých bude le 1, atď. Až aoiec dostaeme jediý bod V0 - tej geerácie. Teto bod je bodov Beziérovej rivy, teda B (t) = V0 0. Tu je reuretý vzorec, ao rátať body r-tej geerácie: V r = (1 t)v r 1 + tv r 1 +1, pre r < 0, 0 r. (13) Teto reu rere 3 sa azýva Casteljauov algoritmus. To, že platí B (t) = V0 0, teda V0 0 je bodom rivy sa doáže z toho ľubovolý vrchol v ľubovoľej geerácii vieme vyjadriť pomocou pôvodých riadiacich vrcholov r V r = Bj r (t)v +j (14) j=0 Toto sa hravo doáže iduciou a použitím vlastostí ombiačých čísel. Kriva sa ám see v ašom bode t a dve časti. Obe sú to polyomicé rivy a preto sú zapísateľé ao Bezierove rivy. Dá sa doázať, že riadiacimi vrcholmi ľavej časti sú vrcholy V0 0, V0 1, V0 2..., V0 a pravej V0, V1 1, V2 2..., V 0. (Sú to dosť otrave dlhé výpočty. Lepšie je si to ačrtúť a papier a uveriť.) 2.4 Zvyšovaie stupňa Toto slúži a to, eď chceme pridať ďalší riadiaci vrchol bez toho, aby sme zmeili tvar rivy. S viac riadiacimi vrcholmi môžme potom rivu lepšie a jemejšie meiť. Fuguje to asi tato: Máme Beziérovu rivu B(t) stupňa defiovaú +1 riadiacimi bodmi V 0, V 1,..., V. Soštruujeme riadiace vrcholy W 0, W 1,..., W +1, taé, že Beziérova riva imi určeá, bude totožá s ašou B(t). Evidete musí W 0 = V 0 a W +1 = V, zvyšé body sa dorátajú podľa asledového vzorca ( 1 i + 1 ) V i. (15) W i = i + 1 V i 1 + Dôaz je priamočiare dosedeie a ásledé uťapaaie. (To, že to pricipiále muselo ísť vyjadriť, vyplýva z toho, polyóm stupňa ajviac je aj polyómom stupňa ajviac + 1 a z toho, že Bersteiove polyómy tvoria bázu.) 3 Ao ám učiteľa matematiy a gymáziu vysvetlila, že reurecia je od reurere, čo zameá ráčat spät. 4
5 2.5 Racioále Beziérove rivy Ide o zovšeobeceie Beziérových rivie. Majme riadiace body v priestore (t.j. v E 3 ) V 0, V 1,..., V ao u lasicých Beziérových rivie. Navyše pridáme aždému bodu pridáme váhu w i, reále (ajlepšie ladé) číslo. Potom riacioála Beziérova riva je B =0 (t) = B (t)w iv i =0 B (t)w, pre t [0, 1] (16) i Racioále sa volajú preto, že sú podielom dvoch polyómov. 4 Nech riadiace vrcholy povôdé riadiace vrcholy V i mali súradice V i = [x i, y i, z i ]. Uvažujeme lasicú Beziérovu 4D rivu s riadiacimi vrchlolmi U i = [w i x i, w i y i, w i z i, w i ]. (Toto možo chápať aj ao homogée súradice pôvodých bodov, lebo [w i x i, w i y i, w i z i, w i ] [x i, y i, z i, 1].) w i x i =0 B (t) = B (t)u i = B (t) w i y i w i z i = B (t)w ix i =0 B (t)w iy i =0 =0 =0 B (t)w iz i (17) w i =0 B (t)w i Potom táto riva chápaá ao 3D riva je racioálu Beziérou rivou =0 B (t)w ix i B (t) = =0 B (t)w =0 iy i =0 B (t)w iz i 1 B (t)w ix i =0 B (t)w =0 B (t)w =0 B (t)w iy i i =0 B (t)w iz i = =0 B (t)w iv i =0 B (t)w i i 1 (18) Ia sa a racioálu rivu možo dívať ao a stredový priemet (so stredom v počiatu) do adroviy w = 1 (w je štvrtá súradica v 4D). Praticy (apr. v OpeGL) sa to ráta ta, že tú rivu rátame 4D ao bežú Beziérovu rivu a aoiec to predelíme štvrtou súradicou. (Alebo ai epredelíme a rovo pošleme do OpeGL v homogéych súradiciach.) Defacto aždá riva alebo aj plocha, torá je defiovaá le pomocou riadiacich vrcholov existuje aj racioálej verzii. Toto platí miimále pre Beziérove rivy a plochy (vrátae Beziérovho trojuholía), B-splajov a B- splajových plôch. Idea a vzorce je vždy tá istá ao tu, taže sa tým ebudem viac špeciále zaoberať. 3 B-splajy 3.1 B-splajové bázicé fucie B-splajové bázicé fucie sú pre B-splajy asi to, čo pre Beziérove rivy Bersteiove polyómy. Sú ale o dosť ompliovaejšie, a hlave ie sú to polyómy ale zlepeiy polyómov. 4 Presejšie aždá súradica zvlášť je podielom dvoch polyómov. 5
6 Najprv máme ejaé prirodzeé číslo m a elesajúcucu postuposť m + 1 reálych čísel t 0 t 1 t m. Táto postuposť sa azýva uzlový vetor (dĺžy m). A sa ejaé číslo vysytuje v postuposti viacrát hovoríme, že uzol je ásobý, počet výsytov uzla voláme jeho ásobosťou. Na tomto uzlovom vetore defiujeme i-tu B-splajovú bázicú fuciu N d (t) stupňa d. Pre stupeň ula je { N 0 1, t [t, t +1 ) (t) =, pre 0 i m 1. (19) 0, ia Pre vyššie stupe ich defiujeme reurete N d (t) = t t N d 1 (t) + t +d+1 t N d 1 +1 (t), (20) t +d t t +d+1 t +1 pre 0 i m d 1. A by v defiícii v ietorom zlomu v meovateli vyšla ula (vôli ásobosti uzlov), ta te zlomo chápeme ao ulový. Stupňa d je ich m d a číslujeme ich B d 0, B d 1,..., B d, de = m d 1. Defiičým oborom fucií stupňa d je iterval [t d, t m d ]. Tieto fucie majú opec zaujímavých vlastostí (ietoré sú podobé ao u Bersteiových polyómov): Sú ezáporé. N d i (t) je ladá a itervale (t i, t d+1 ); teto iterval sa azýva osič (agl. support). Sú uimodále (jedohrbé). Fucie stupňa d sa a itervale [t d, t m d ] sa sčítajú a oštatú jedotu. Teda N0 d (t) + N1 d (t) + + N(t) d = N d (t) = 1, pre t [t d, t m d ]. (21) =0 Sú to čiastovo polyomicé fucie (príslušého stupňa). V euzlovom bode sú hladé a v uzlove s ásobosťou r sú spojité rádu d r (trieda C d r ). Tvoria vetorový priestor dimezie Vetorový priestor bázicých fucií TODO 3.3 B-splajové rivy Idea je rovaá ao u Beziérových rivie, le amiesto Bersteiových polyómov použijeme B-splajové bázicé fucie. Teda máme + 1 riadiach vrcholov V 0, V 1,..., V v ejaom Eulidovovsom priestore (rovia alebo priestor), uzlový vetor dĺžy m a a ňom defiovaé bázicé fucie stupňa d, pričom platí m = + d + 1. (22) 6
7 B-splajovou rivou (srátee B-splajom) rozumieme rivu N d (t) = V N d (t), pre t [t d, t m d ]. (23) =0 Jej záladé vlastosti sú: Loále riadeie, teda, eď pohem riadiacim vrcholom, ta sa zmeí aozaj le úso rivy. (TODO: Ktorý úso prese.) Silá vlastosť ovexého obalu, teda úso rivy od [t i, t i+1 ) leží v ovexom obale bodov V i d, V i d+1,..., V i. O spojitosti platí to, čo pre bázicé fucie. 3.4 De Boorov algoritmus Idea je podobá ao u Casteljauovho algoritmu. Povedzme, že chceme rivu vyčísliť v bode t [t i, t i+1 ]. Vezmeme tie riadiace vrcholy, toré majú a teto úso vplyv. To sú V i d, V id +1,..., V i. (Je ich d + 1.) Ozačíme ich, ao body ultej geerácie Vi d 0, V i d+1 0,..., V i 0. Následe geerujeme body ďalších geerácií tato: de TODO 3.5 Voľba uzlov V r = (1 α)v r 1 + αv r 1 +1, (24) α =. (25) A chceme, aby B-splaj začíal v bode V 0 a očil v bode V, ta musíme vhode zvoliť uzlový vetor. Meovite prvý a posledý uzol treba zvoliť s ásobosoťou d. Zvyšé uzly môžme zvloliť v pravidleých rozostupoch. Teda apr. pre m = 9, d = 3 (a teda = 5) vyzerá taý uzlový vetor apr. tato (0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5). 5 (Toto defacto je ajbežejší uzlový vetor.) Občas chceme dostať uzavretú rivu (teda rivu, torá začía a očí v tom istom bode). TODO 3.6 Böhmov algoritmus vladaia uzla TODO 5 Šálovaie a posu sú dovoleé. Taže rovao dobrý je aj uzlový vetor (5, 5, 5, 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.5, 5.5). 7
8 3.7 Racioále B-splajy Ide o zovšeobeceie B-splajových rivie. Uvažujme všeto ta ao u ormálych B-splajov, ale avyše aždému riadiacemu V i vrcholu pridajme váhu w i. Potom racioálym B-splajom je N d (t) = =0 N d (t)w iv i =0 N d (t)w i (26) Občas sa tieto rivy volajú tiež NURBS (No-Uiform Ratioal B-Splie). (No-Uiform začí to, že uzlový vetor (postuposť) ie je pravidelý.) Časť II Plochy Plocha je podobe ao plocha, zobrazeie S : D E 3, de D je ejaá oblasť (podmožia) R 2. Opäť požadujeme hladosť a regulárosť S(u, v). Hladosť začí, ta ao u rivie dostatoče (ajlepšie eoeče) veľa derivácií. Regulárosť v tomto prípade začí, že prvé parciále derivácie S(u,v) u (ao vetory) v ľubovoľom bode rivy lieáre ezávislé. 4 Beziérove plochy a S(u,v) v Ide o tezorovo-súčiovú plochu. Máme sieť (mriežu) (m+1) (+1) riadiacich vrcholov V i,j, (0 i m, 0 j ). Potom Bezierova plocha stupňa m je B m, (u, v) = m i=0 j=0 boli V i,j Bi m (u)bj (v), pre u, v [0, 1]. (27) Vlastosti to má asrze podobé ao Beziérova riva (ovexý obal, pseudoloále riadeie.) Štyri rajé rivy B m, (u, 0), B m, (u, 1), B m, (0, v) a B m, (1, v) sú Beziérovými rivami určeé riadiacimi bodmi V i,0, resp. V i,, resp. V 0,j, resp. V m,j. Vo všeobecosti smerové u-rivy a v-rivy sú (ejaými) Beziérovými rivami. Derivácie treba rátať parciále, zvlášť podľa u a zvlášť podľa V. Existuje dvojrozmerý Casteljaou pre túto plochu. Pre jedoduduchosť predpoladajme, že platí m =. Idea je tá istá ao v jedorozmerom prípade: Máme fixé u, v. Na začiatu máme štvorcovú sieť ( + 1) ( + 1) pôvodých riadiacich vrcholov V 0,0 i,j geerácie 0, 0. V aždej ďalšej geerácii sa zmešuje straa štvorca o jeda, až ým edostaeme jediý vrchol. ( V r,r i,j = (1 u, u) V r 1,r 1 i,j V r 1,r 1 i+1,j V r 1,r 1 i,j+1 V r 1,r 1 i+1,j+1 ) (1 ) v, 0 < r, 0 i, j r v (28) 8
9 Samozrejme emusíme mať oba horé idexy (geerácie) rovaé a môžeme rátať všeobecejšie V p,q i,j = (1 u, u) ( V p 1,q 1 i,j V p 1,q 1 i+1,j V p 1,q 1 i,j+1 V p 1,q 1 i+1,j+1 ) (1 ) v, v pre 0 < p m, 0 < q, 0 i m p, 0 j q. (29) Dá sa to dooca voľe zamieňať s jedorozmerým Casteljauom áhode v ľuvolom zo smerov u, v (resp. prvý, druhý idex) a meiť ta v jedom rou le jede z horých idexov. Racioála verzia je o tom istom, le sa vrcholom pridajú váhy w i,j m B m, i=0 j=0 (u, v) = w i,jv i,j Bi m(u)b j (v) m i=0 j=0 w i,jbi m(u)b j (v), pre u, v [0, 1]. (30) 5 Beziérov trojuholí Tu je hrozá fita, plocha ebude defiovaá ad obĺžiom, ale ad trojuholíom. Presejšie ao defiičý obor berieme asledovú možiu trojíc {(u, v, w) u, v, w 0, u + v + w = 1}. (31) Najlepšie si je to predstaviť tato: Máme v rovie trojuholí A, B, C, potom aždý bod X roviy vieme apísať ao barycetricú ombiáciu bodov A, B, C, teda X = ua + vb + wc. Nás bude (za bežých oolostí) ale trápiť le vútro trojoholía A, B, C taže sa obdedzíme le a ovexé ombiácie t.j. u, v, w 0. Ďalej máme trojuholíovú sieť ( ) +2 2 riadiacich vrcholov (trocha haluze idexovaú) V i,j, (i, j, 0, i + j + = ). Potom Beziérov trojuholí stupňa je B (u, v, w) = i+j+= i,j, 0! i!j!! ui v j w V i,j,. (32) Tri rajé rivy sú Beziérovými rivami príslušých rajých riadiacich vrcholov. Existuje aj Casteljauov algorimtus pre teto trojuholí. Fuguje asi tato: Máme ejaé fixé (u, v, w), v torom chceme zrátať bod plochy. Máme body ultej geerácie tvoriace trojuholíovú sieť rádu (t.j. je ich ( ) +2 2 ). V aždom ďalšom rou sa teto rád zmeší o jeda podľa vzorca Vi,j, r = uv r 1 r 1 r 1 i+1,j, +vvi,j+1, +wvi,j,+1, pre i+j+ = r, i, j, 0. (33) Naoiec bod V 0,0,0 je bodom plochy, t.j. V 0,0,0 = B (u, v, w). Platí tiež (podobe ao pre Beziérove rivy), že Casteljau ám vygeeruje aj ové riadiace vrcholy troch meších trouholíov stýajúcich sa vo vyrátaom 9
10 bode. Riadiacimi vrcholmi prvého sú body Vi,j,0, druhého V j i,0, a tretieho V 0,j, i, pričom i + j + =, i, j, 0. O Beziérovom trojohulíu sa dá toho povedať ešte hroze veľa. Napr. o derivácii v ľubovoľom smere alebo o hladom spájaí trojuholíov. Existuje aj racioálu verzia, torú si iste aždý rád domyslí. 6 B-splajové plochy Zase le trápa tezoro-súčiová plocha, verá ópia Beziérovej plochy. 6 Máme dva uzlové vetory u 0 u 1... u p (pre smer u) a v 0 v 1... v q (pre smer v) Máme sieť (mriežu) (m + 1) ( + 1) riadiacich vrcholov V i,j, (0 i m, 0 j ). A stupe plochy r, s. Čísla p, m, r a q,, s spĺňajú rovosti Potom B-splajová plocha stupňa r s je N r,s (u, v) = m i=0 j=0 p = m + r + 1, (34) q = + s + 1. (35) V i,j Ni r (u)nj s (v), (u, v) [u r, u p r ] [v s, v q s ]. (36) Dvojrozmerý De Boorov algoritmus som ide evidel a ai esažil vymyslieť, ta sa môžte posažiť sami. Racioála verzia je podobá, vrcholom le pridáte váhy w i,j m N r,s i=0 j=0 (u, v) = w i,jv i,j Ni r(u)n j s (v) m i=0 j=0 w i,jni r(u)n j s(v). (37) 7 Priamové plochy 8 Jedoduchá Coosova záplata Máme štyri rivy v priestore X(u, 0), X(u, 1), X(0, v) a X(1, v). 7 Tieto štyri ryvy musia byť taé, aby v poradí prvá, tretia, druhá, štvrtá tvorili uzavretú rivu. 8 Našou úlohou je zostrojiť ejaú (rozumú) plochu X(u, v), X : [0, 1] [0, 1] E 3, torej by tieto štyri rivy boli rajými rivami. Začeme ajprv jedoducho, vezmeme priamovú plochu určeú prvou a druhou rivou: X C (u, v) = (1 v)x(u, 0) + vx(u, 1). 6 Trochu tu dochádza abeceda. 7 Ozačeie je a prvý pohľad dosť zavádzajúce a zmätočé, ale tato sa to beže všade píše. 8 Naše ozačeie si vlaste vyucuje. 10
11 Podobe možo zobrať priamovú plochu určeú treťou a štvrtou rivou: X D (u, v) = (1 u)x(0, v) + ux(1, v). Ideále by bolo ich ejao sombiovať. Na to, ao to urobiť, prišiel pá Coos. Myšliea je taá, že ich ščítame a od toho odpočítame bileáry iterpolat štyroch rohov X(0, 0), X(0, 1), X(1, 0) a X(1, 1). Te bilieáry iterpolat X CD vyzerá tato: X CD (u, v) = (1 u, u) Výsledá Coosova plocha je potom ( X(0, 0) X(0, 1) X(1, 0) X(1, 1) ) ( 1 v v ). X(u, v) = X C (u, v) + X D (u, v) X CD (u, v). (38) 9 Biubicá Coosova záplata Situácia je podobá ao u jedoduchej Coosovej záplate. Navyše vša máme predpísaé aj prieče derivácie (tzv. stuhy) pozdĺž hričých rivie. Teda orem rivie X(u, 0), X(u, 1), X(0, v) a X(1, v) sú daé aj derivácie v priečom smere a e X v (u, 0), X v (u, 1), X u (0, v) a X u (1, v). Idea je podobá ao pri jedoduchej záplate. Najpr zostrojíme pomocou Hermitovej rivy plochu X C (u, v), torá iterpoluje prvú a druhú rivu a má prieče derivácie v smere v a rajoch X v (u, 0), X v (u, 1) X C (u, v) = H 3 0 (v)x(u, 0) + H 3 1 (v)x v (u, 0) + H 3 2 (v)x v (u, 1) + H 3 3 (v)x(u, 1). Podobe v pre druhý smer X D (u, v) = H 3 0 (u)x(0, v) + H 3 1 (u)x u (0, v) + H 3 2 (u)x u (1, v) + H 3 3 (u)x(1, v). Naoiec ešte odčítame biubicý iterpolat X CD (u, v): X(0, 0) X v (0, 0) X v (0, 1) X(0, 1) H0 3 (v) X CD (u, v) = (H0 3 (u), H1 3 (u), H2 3 (u), H3 3 (u)) X u (0, 0) X uv (0, 0) X uv (0, 1) X u (0, 1) H1 3 (v) X u (1, 0) X uv (1, 0) X uv (1, 1) X u (1, 1) H2 3 (v) X(1, 0) X v (1, 0) X v (1, 1) X(1, 1) H3 3 (v) Výsledá biubicá Coosova záplata bude X(u, v) = X C (u, v) + X D (u, v) X CD (u, v). (39) 11
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότερα3. prednáška. Komplexné čísla
3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet
Διαβάστε περισσότεραAnalýza vlastností funkcií mierky a waveletov v ortogonálnom prípade. - funkcia mierky a wavelet spĺňajúca relácie zmeny rozlíšenia
Aalýza vlastostí fucií miery a waveletov v ortogoálom prípade Ozačeie: ϕ ( t), ψ ( t) - fucia miery a wavelet spĺňajúca relácie zmey rozlíšeia h ( ), g ( ) - zjedodušeé ozačeie oeficietov pre zmeu rozlíšeia
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραVektorové a skalárne polia
Vetorové a salárne pola Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότεραPolynómy, algebraické rovnice, korene a rozklad racionálnej funkcie. priesvitka 1
Polyómy, algebraické rovice, koree a rozklad racioálej fukcie priesvitka Polyómy Defiícia: Polyóm -tého stupňa premeej x (komplexej) je defiovaý vzťahom k P( x) = a0 + ax+ ax +... + ax = akx kde a0, a,...,
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA. Martin Samuelčík
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY RIGORÓZNA PRÁCA Martin Samuelčík BRATISLAVA 2004 UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie číselné rady a kritériá ich konvergencie a divergencie
Príklady a precvičovaie číselé rady a kritériá ich kovergecie a divergecie Ústredým problémom teórie reálych číselých radov je vyšetrovaie ich kovergecie, resp divergecie Ak {a } = je daá postuposť reálych
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITY KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FUNKCIE N REÁLNYCH PREMENNÝCH RNDr. Kristína Rostás, PhD. PREDMET: Matematická analýza ) 2010/2011 1. DEFINÍCIA REÁLNEJ FUNKCIE
Διαβάστε περισσότεραPlanárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραDESKRIPTÍVNA GEOMETRIA
EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραÚvod do diskrétnej matematiky. Množiny Kombinatorika Logické funkcie Teória grafov
Úvod do disrétej matematiy Možiy Kombiatoria Logicé fucie Teória grafov prof. RNDr. Marti Šoviera, PhD. Katedra iformatiy, FMFI UK Bratislava, 2007 2 Obsah 2 Kombiatoria 5 2.1 Prirodzeé čísla a matematicá
Διαβάστε περισσότεραAlgebraické štruktúry I algebraické štruktúry, grupa, základné vlastnosti grupy, morfizmy
6. kapitola Algebraické štruktúry I algebraické štruktúry, grupa, základé vlastosti grupy, morfizmy 6. Biáre operácie Jede z častých prístupov v matematike je kombiovať elemety možiy, pričom sa požadujú
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραpriradí skalár ( αβ, ) C sa nazýva skalárny súčin vtedy a len vtedy, ak platia tieto 4 axiómy:,
2. predáška lieára algebra II 2. predáška Lieára algebra II skaláry súči, orma, metrika, ortogoálosť, ortoormálosť, ortogoály doplok, lieáre operátory, maticová reprezetácia, hodosť a defekt operátorov
Διαβάστε περισσότεραMargita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότεραa; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
Διαβάστε περισσότεραDefinícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej x. Definícia parciálna derivácia funkcie podľa premennej y. Ak existuje limita.
Teória prednáška č. 9 Deinícia parciálna deriácia nkcie podľa premennej Nech nkcia Ak eistje limita je deinoaná okolí bod [ ] lim. tak túto limit nazýame parciálno deriácio nkcie podľa premennej bode [
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY TEÓRIA FOURIEROVÝCH RADOV
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY TEÓRIA FOURIEROVÝCH RADOV Bratislava Marti Varísky UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY
Διαβάστε περισσότεραObyčajné diferenciálne rovnice
(ÚMV/MAN3b/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 14.3.2013 Úvod patria k najdôležitejším a najviac prepracovaným matematickým disciplínam. Nielen v minulosti, ale aj v súčastnosti predstavujú
Διαβάστε περισσότεραtransformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije
promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (
Διαβάστε περισσότεραZložené funkcie a substitúcia
3. kapitola Zložené funkcie a substitúcia Doteraz sme sa pri funkciách stretli len so závislosťami medzi dvoma premennými. Napríklad vzťah y=x 2 nám hovoril, ako závisí premenná y od premennej x. V praxi
Διαβάστε περισσότεραRegresná analýza x, x,..., x
Regresá aalýza Základé pojmy Regresá aalýza skúma fukčý vzťah (priebeh závislosti), podľa ktorého sa meí závisle premeá Y pri zmeách ezávislých veličí x, x,..., x k. x = ( x, x,..., x ) i i i i T Y = (Y,
Διαβάστε περισσότεραReálna funkcia reálnej premennej
(ÚMV/MAN3a/10) RNDr. Ivan Mojsej, PhD ivan.mojsej@upjs.sk 18.10.2012 Úvod V každodennom živote, hlavne pri skúmaní prírodných javov, procesov sa stretávame so závislosťou veľkosti niektorých veličín od
Διαβάστε περισσότεραMetódy vol nej optimalizácie
Metódy vol nej optimalizácie Metódy vol nej optimalizácie p. 1/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej Metódy minimalizácie funkcie jednej premennej p. 2/52 Metódy minimalizácie funkcie jednej
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie Fourierove rady
Príklady na precvičovanie Fourierove rady Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady, pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná sa o rady tvaru
Διαβάστε περισσότεραa; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)
Διαβάστε περισσότεραŽivot vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Διαβάστε περισσότεραPrednáška Fourierove rady. Matematická analýza pre fyzikov IV. Jozef Kise lák
Prednáška 6 6.1. Fourierove rady Základná myšlienka: Nech x Haφ 1,φ 2,...,φ n,... je ortonormálny systém v H, dá sa tento prvok rozvinút do radu x=c 1 φ 1 + c 2 φ 2 +...,c n φ n +...? Ako nájdeme c i,
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáša č. 2 Numericé metódy matematiy I Riešenie nelineárnych rovníc Prednáša č. 2 OBSAH 1. Opaovanie 2. Niečo z funcionálnej analýzy 3. Úvod 4. Separácia oreňov a určenie počiatočnej aproximácie 5.
Διαβάστε περισσότεραUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCA
Uiverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikálí fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCA Vladislav Gajdošík Kozistecia a asymptotická reprezetácia odhadu LWS Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Vedúci diplomovej
Διαβάστε περισσότερα6. Mocniny a odmocniny
6 Moci odoci Číslo zýve oceec (leo zákld oci), s zýv ociteľ (leo epoet) Číslo s zýv -tá oci čísl Moci s piodzeý epoeto pe ľuovoľé eále číslo pe kždé piodzeé číslo je v ožie eálch čísel defiová -tá oci
Διαβάστε περισσότεραVLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR. Michal Zajac. 3 T b 1 = T b 2 = = = 2b
VLASTNÉ ČÍSLA A JORDANOV KANONICKÝ TVAR Michal Zajac Vlastné čísla a vlastné vektory Pripomeňme najprv, že lineárny operátor T : L L je vzhl adom na bázu B = {b 1, b 2,, b n } lineárneho priestoru L určený
Διαβάστε περισσότερα16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti
4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) ϕ ( x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme
Διαβάστε περισσότερα2. Aký obsah má vyfarbený útvar? Dĺţka strany štvorca je 3 m.
Dĺžka kružnice, obsah kruhu 1. Na obrázku je kruţnica vpísaná do štvorca so stranou 4cm a štyri kruţnicové oblúky so stredmi vo vrcholoch štvorca. ký obsah má vyfarbený útvar? 4 + π cm 16 - π cm 8π 16
Διαβάστε περισσότεραI S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h
A n a l i s a M a n a j e m e n B P I H d i B a n k S y a r i a h I S S N : 2 0 8 7-9 2 0 2 I S L A M I N O M I C P e n e r b i t S T E S I S L A M I C V I L L A G E P e n a n g g u n g J a w a b H. M
Διαβάστε περισσότερα1 Koeficient kovariancie
Koreláciou rozumieme vzájomý lieáry vz tah závislos t) dvoch áhodých premeých X a Y 1. Teto vz tah môˇze by t priamy tj. s rastúcimi hodotami jedej premeej rastú hodoty druhej premeej a aopak alebo epriamy
Διαβάστε περισσότεραDeliteľnosť a znaky deliteľnosti
Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραUhol, pod ktorým sa lúč láme závisí len od relatívnych indexov lomu dvojice prostredí a od uhla dopadu podľa Snellovho zákona. n =
Lom svetla. Lom svetla hraolom, optickým kliom a plaparalelou doštičkou Záko lomu Na rozhraí dvoch prostredí sa svetelý lúč láme tak, aby prešiel dráhu z bodu A do bodu B za ajkratší možý čas. Teda v opticky
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραPríklady na precvičovanie komplexné čísla, postupnosti a funkcie
Príklady a precvičovaie komplexé čísla, postuposti a fukcie Príklad 1 Vypočítajte: Riešeé príklady a) 1 + i 1 i 1 i 1 + i, b) 1 + i)6, c) 1 + i Riešeie: a) Elemetárym vypočtom dostaeme 1 + i 1 i 1 i 1
Διαβάστε περισσότεραMini minimaliz acia an BUˇ Koˇ sice 2011
Mini minimalizácia Ján BUŠA Košice 2011 RECENZOVALI: Prof. RNDr. Noname, CSc. Doc. RNDr. Emanname, PhD. Prvé vydanie Za odbornú stránku učebného textu zodpovedá autor. Rukopis neprešiel redakčnou ani jazykovou
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II. Zbierka riešených a neriešených úloh
Technická univerzita v Košiciach Fakulta elektrotechniky a informatiky MATEMATIKA II Zbierka riešených a neriešených úloh Anna Grinčová Jana Petrillová Košice 06 Technická univerzita v Košiciach Fakulta
Διαβάστε περισσότεραNUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Διαβάστε περισσότερα6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH
6 APLIKÁCIE FUNKCIE DVOCH PREMENNÝCH 6. Otázky Definujte pojem produkčná funkcia. Definujte pojem marginálny produkt. 6. Produkčná funkcia a marginálny produkt Definícia 6. Ak v ekonomickom procese počet
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραDiferenciálne rovnice
Diferenciálne rovnice Juraj Tekel Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK Mlynska Dolina 842 48 Bratislava juraj(a)tekel(b)gmail(c)com http://fks.sk/~juro/phys_teaching.html Aktualizované
Διαβάστε περισσότεραp(α 1 ) = u 1. p(α n ) = u n. Definícia (modulárna reprezentácia polynómu). Zobrazenie
1. Rychlá Fourierová transformácia Budeme značiť teleso T a ω jeho prvok. Veta 1.1 (o interpolácií). Nech α 0, α 1,..., α n sú po dvoch rôzne prvky telesa T[x]. Potom pre každé u 0, u 1,..., u n T existuje
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότερα..,..,.. ! " # $ % #! & %
..,..,.. - -, - 2008 378.146(075.8) -481.28 73 69 69.. - : /..,..,... : - -, 2008. 204. ISBN 5-98298-269-5. - -,, -.,,, -., -. - «- -»,. 378.146(075.8) -481.28 73 -,..,.. ISBN 5-98298-269-5..,..,.., 2008,
Διαβάστε περισσότεραZhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότεραJán Buša Štefan Schrötter
Ján Buša Štefan Schrötter 1 KOMPLEXNÉ ČÍSLA 1 1.1 Pojem komplexného čísla Väčšine z nás je známe, že druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná (ináč povedané: pre každé x R je x 0). Ako
Διαβάστε περισσότεραss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
Διαβάστε περισσότεραΔιευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické substitúcie
Goniometrické substitúcie Marta Kossaczká S goniometrickými funkciami ste sa už určite stretli, pravdepodobne predovšetkým v geometrii. Ich použitie tam ale zďaleka nekončí. Nazačiatoksizhrňme,čoonichvieme.Funkciesínusakosínussadajúdefinovať
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραРешенија на задачите за основно училиште. REGIONALEN NATPREVAR PO FIZIKA ZA U^ENICITE OD OSNOVNITE U^ILI[TA VO REPUBLIKA MAKEDONIJA 25 april 2009
EGIONALEN NATPEVA PO FIZIKA ZA U^ENICITE OD OSNOVNITE U^ILI[TA VO EPUBLIKA MAKEDONIJA 5 april 9 Zada~a Na slikata e prika`an grafikot na proena na brzinata na dvi`eweto na eden avtoobil so tekot na vreeto
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah rovinných útvarov
Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραLogaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus
KrAv11-T List 1 Logaritmus operácie s logaritmami, dekadický a prirodzený logaritmus RNDr. Jana Krajčiová, PhD. U: Najprv si zopakujme, ako znie definícia logaritmu. Ž: Ja si pamätám, že logaritmus súvisí
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραTeória pravdepodobnosti
2. Podmienená pravdepodobnosť Katedra Matematických metód Fakulta Riadenia a Informatiky Žilinská Univerzita v Žiline 23. februára 2015 1 Pojem podmienenej pravdepodobnosti 2 Nezávislosť náhodných udalostí
Διαβάστε περισσότερα!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!
" "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(
Διαβάστε περισσότερα