Τύποι Παραγώγισης *** Ολοκλήρωσης f( f ( f ( Κανόνες Παραγώγισης και Ολοκλήρωσης 0 0 C (f±g)'=f '±g' 0 X+C (f. g) '=f 'g+fg' 0 KX+C (cf) '=cf ' + X c (f ν )'=νf ν-. f ' + n + c, n - f f g fg g g n n. n- n + = 3 3 + c f = f f ηµχ συνχ -συνχ+c ( f o g) ( = f ( g( ) g ( συνχ -ηµχ ηµχ+c = F( + c εφχ συν σφχ ηµ συν -ln συν +C χ f ( = + c ηµ εφ+c λ ( λ f = ln ηµ +C ( f g) = f + + g -σφ+c f g = f g f g e e e +C f ( g( ) g ( = f ( u) du u=g(, du=g'( Aris Niolidis
ln ln +C Ειδικές Περιπτώσεις e + = e + + c α ln α χ α χ. lnα + c ηµ ( + ) = συν ( α + ) + c f(g() f (g(). g ( συν ( + ) = ηµ ( α + ) + c f (g(). g ( f(g()+c = ln + + c + [f(] n n. f n- (. f ( n. f n- (. f ( [f(] n +C = + c f ( ν + ν ( + ) ( + ) = + c ν + f ( + = + + α c f ( f ( +C = εφ( α + ) + c συν ( α + ) ηµ(f() συν(f(). f ( = σφ( α + ) + c ηµ ( α + ) συν(f(). f ( ηµ(f()+c συν(f() - ηµ(f(). f ( Μορφές Ολοκληρωµάτων που αντιµετωπίζονται µε ολοκλήρωση κατά παράγοντες + ηµ(f(). f ( -συν(f()+c P( e εφ(f() f ( συν ηµ ( + m) e + Aris Niolidis
f ( συν εφ(f()+c συν ( + m) e + f ( σφ(f() ηµ f ( ηµ -σφ(f()+c P( ηµ ( α + ) P( συν ( α + ) e f( e f(. f ( P( ln( α e f(. f ( e f( +C + ) Μορφές Ολοκληρωµάτων που αντιµετωπίζονται µε αλλαγή µεταλητής f ( + ) α f( α f(. lnα. f ( θέτω u=α+ =du/α α f(. lnα. f ( α f( +C ηµ συν λ ln f( f ( f ( ηµ ln f( +C συν f (, ) u=ηµ f (, + ) u=εφ,.., t=συν (ηµ f (συν f (, συν f f (, ν + ) t = θέτουµε ν αχ + + f (, ν ) γ + δ θέτουµε t = ν αχ + γ + δ ηµ f (, ) Για το ολοκλήρωµα ρητής συνάρτησης την αναλύουµε σε άθροισµα «απλών κλασµάτων». Aris Niolidis u=/συν f (, +, γ + δ ) θέτουµε πρώτα t = + και στην συνέχεια ονοµάζουµε u την ρίζα που θα προκύψει
f ( e + ) θέτουµε t=e α+ Σχόλια : Για τα τριγωνοµετρικά ολοκληρώµατα χρειάζονται οι τύποι: ) συν ηµ = ) + συν συν = εφ 3) 4) εφ ηµ = συν = εφ + εφ Aris Niolidis
4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4. ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ Ή ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Παράγουσα ή αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης f( ορισμένη στο D(f) λέγεται η συνάρτηση F( για την οποία ισχύει F (=f(. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: F(= = df ( ΠΡΟΤΑΣΗ: Αν η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού τότε υπάρχει η παράγουσα. ΠΡΟΤΑΣΗ: Αν F( και G( είναι διαφορετικές παράγουσες μιας συνάρτησης f( τότε διαφέρουν κατά μια σταθερά c δηλαδή: F(-G(=c. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η ολοκλήρωση είναι η αντίθετη διαδικασία της παραγώγισης. 33 4. ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ λ i fi ( i= = λ i i= 34 fi (, λ i σταθερές ποσότητες. [ ] = f( 3 f '( = f(+c, c σταθερή ποσότητα. 4.3 ΒΑΣΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ f(=0 F(=c f(= F(=+c 3 f(= F(= + /(+)+c, - 4 f(= e F(= e +c 5 f(= / F(=ln +c 6 f(= cos( F(=sin(+c 7 f(= sin( F(=-cos( +c 8 f(= /cos ( F(=tn(+c 9 f(= /sin ( F(=-ctn(+c 0 f(= /(+ ) F(=rctn(+c f(= / F(=rcsin(+c f(= F(= /ln()+c
4.4 ΚΑΝΟΝΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 4.4. ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ:Έστω f συνεχής στο D(f) και u=g( με πεδίο τιμών R(g)=D(f) τότε f ( g( ) g' ( = f ( u) du =F(u)+c. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παραπάνω θεώρημα μας οηθάει να απλοποιήσουμε τα ολοκληρώματα χρησιμοποιώντας τις παραγώγους των σύνθετων συναρτήσεων. ΜΕΘΟΔΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ G ( : ΒΗΜΑ : Γράφουμε την G( = f( g( )g (. ΒΗΜΑ : Θέτουμε u=g(. ΒΗΜΑ 3: Υπολογίζουμε G ( = f ( u) du. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: f(u) πρέπει να είναι εύκολα ολοκληρώσιμη. 35 4.4. ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΝΟΝΑΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ: Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα όπου η f μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο δύο συναρτήσεων h και h (δηλαδή f(=h (h ( ) και η παραγουσα Η της συνάρτησης h είναι εύκολα παραγωγίσιμη τότε = Η ( h ( - H h '( (. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (Ι): Αν h ( h '( είναι εύκολα υπολογίσιμη τότε έχουμε υπολογίσει και το. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΙ): Ο κανόνας παραγοντικής ολοκλήρωσης συνεπάγεται από την ιδιότητα [f(g(] =f (g(+ f (g ( θέτοντας Η =f και h =g. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (IIΙ): H h ( πρέπει να είναι πιο απλή συνάρτηση από την h (. H h ( επιλέγεται ώστε να έχει εύκολα υπολογίσιμες παράγουσες. 36
4.4.3 ΕΙΔΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ e + p( = α - e α+ p(-α - e + p' ( όπου p( είναι πολυωνυμική συνάρτηση sin( + ) p( = =-α - cos(α+)p(+α - cos( + ) p' ( 3 cos( + ) p( = =α - sin(α+)p(-α - sin( + ) p' ( 4 ln( g( ) = = F(ln( - g' ( g( όπου f,g είναι ρητές συναρτήσεις. α + 5 e α + sin( γ + δ, e cos( γ + δ θεωρούμε σαν h (=e α+ και εφαρμόζουμε δύο φορές τον κανόνα παραγοντικής ολοκλήρωσης. 37 4.4.4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Οι ρητές συναρτήσεις αναφέρονται σε συναρτήσεις που γράφονται σαν λόγος δύο πολυωνύμων δηλαδή f(=p(/q(. ΜΕΡΙΚΑ ΒΑΣΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ α + = α - ln(α+) + c ( α + ) = α - (α+) -+ /(-+) + c + ( + ) 3 ( + ) = + 4 + = ln(+ )/ + c 5 + = rctn( + c + c, - 38
ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΒΗΜΑ : Ελέγχουμε αν ο αθμός του p( είναι μικρότερου αθμού από το q(. Αν όχι διαιρούμε και προχωρούμε με το υπόλοιπο r( δηλαδή γράφουμε p(/q( = ( + r(/q(. ΒΗΜΑ : Παραγοντοποιούμε την q(. ΒΗΜΑ 3: Για κάθε παράγοντα (-α) γράφουμε Α /(-α) +Α /(-α) + + Α /(-α). Για κάθε παράγοντα ( ++c) m γράφουμε (Β +Γ )/( ++c) + + (Β +Γ )/( ++c) ΒΗΜΑ 4: γράφουμε το p(/q( σαν άθροισμα των παραπάνω συντελεστών και ρίσκουμε τα Α, Β, Γ Α κ, Β κ, Γ κ. ΒΗΜΑ 5: Υπολογίζουμε τα ολοκληρώματα με άση τα ασικά ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων. 39 4.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ (κατά Riemnn): Έστω f( είναι συνεχής στο [,] και για οποιοδήποτε διαμερισμό του [,]= [, ] [, ] [,] με 0 = και + = και για οποιαδήποτε ξ i [ i-, i ] για i=,, + τότε το όριο lim f ( ξi ) δi 0, δ i = i - i- n δ i i= ονομάζεται ολοκλήρωμα κατά Riemnn και είναι ίσο με F()-F(). ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ή [, ] ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (Ι): Το ολοκλήρωμα από το α έως το είναι ίσο με το εμαδόν που περικλείεται ανάμεσα στην f( και στην ευθεία y=0 (δηλαδή τον άξονα των Χ). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΙ): Το ολοκλήρωμα είναι στην ουσία επέκταση των αθροισμάτων σε συνεχή διαστήματα. 40
4.5. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ λi fi ( ποσότητες. α α i= =0 = λi i= 3 = 4 Αν < < < τότε i + = i= i 4 fi (, λ i σταθερές 5 Αν α<<γ και f( 0 για κάθε τότε f γ ( α. 6 Αν f(<g( για κάθε α<< τότε α g (. 4.6 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.6. ΠΡΩΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω f( είναι συνεχής στο [,+ ] + τότε το ολοκλήρωμα lim + = lim F( ) -F(). + Ανάλογα έχουμε: + = lim 4 ορίζεται σαν το όριο = lim lim + = lim F( ) - lim F( ) + ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν τα παραπάνω όρια είναι ίσα με ένα πραγματικό αριθμό τότε το αντίστοιχο ολοκλήρωμα συγκλίνει διαφορετικά αποκλίνει.
4.6. ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΤΥΠΟΥ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω f( είναι συνεχής στο (,) και [] lim = ± + ή/και [] lim = ± τότε το ολοκλήρωμα ορίζεται σαν το όριο lim + t =F() - lim F( + αν ισχύει η [] lim t t t t lim lim + = lim F( - F(α) αν ισχύει η [] t t t και η [] και η []. 43 = lim F( - lim F( + αν ισχύουν ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (Ι): Ανάλογα μπορούμε να ορίσουμε και συνδυασμούς Α και Β τύπου γενικευμένα ολοκληρώματα. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΙ): Αν η συνάρτηση f είναι ασυνεχής σε ένα σημείο 0 (,) τότε 4.6.3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν f( και g( είναι συνεχής στο [,+ ) και 0 f( g( για κάθε τότε + + () αν g ( συγκλίνει τότε και το + + () αν g ( συγκλίνει. αποκλίνει. αποκλίνει τότε και το ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παραπάνω θεώρημα μπορεί να γενικευτεί για όλα τα γενικευμένα ολοκληρώματα. 44 = 0 + 0
4.7 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΣΤΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4.7. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΣΟΔΩΝ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΥΣ Συνήθως δίδεται η συνάρτηση οριακών εσόδων (ή οριακού κόστους) και ζητούνται οι συναρτήσεις ολικών ή μέσων εσόδων (ή κόστους) δηλαδή: R(q) = MR ( q) dq και C(q) = MC ( q) dq. 4.7. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗΣ, ΑΠΟΤΑΜΙΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΕΘΝΙΚΟΥ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Το εθνικό εισόδημα δίδεται σαν άθροισμα του ποσού που καταναλώνουμε και του ποσού που αποταμιεύουμε δηλαδή: ΕΙΣΟΔΗΜΑ = ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ + ΑΠΟΤΑΜΙΕΥΣΗ [Ε = Κ + Α]. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν παραγωγίσουμε την παραπάνω dk da έκφραση προς το εισόδημα έχουμε: + = de de. 45 ΟΡΙΣΜΟΣ: Η παράγωγος της κατανάλωσης ως dk προς το εισόδημα, de, ονομάζεται οριακή ροπή προς κατανάλωση. ΟΡΙΣΜΟΣ: Η παράγωγος της αποταμίευσης ως da προς το εισόδημα, de, ονομάζεται οριακή ροπή προς αποταμίευση. ΟΡΙΣΜΟΣ: Η παράγωγος του εισοδήματος ως de προς την αποταμίευση, da, ονομάζεται πολλαπλασιαστής εθνικού εισοδήματος και συμολίζεται με. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: =/(οριακή ροπή προς αποταμίευση) και =/(-οριακη ροπή προς κατανάλωση). ΕΡΜΗΝΕΙΑ: Για κάθε νομισματική μονάδα που αποταμιεύεται το εθνικό εισόδημα αυξάνει κατά μονάδες. 46
47 4.7.3 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Πλεόνασμα καταναλωτή στο σημείο (q 0,p 0 ) λέγεται το επιπλέον ποσό που διατίθεται να πληρώσει ο καταναλωτής για προϊόντα που πωλούνται πάνω από την τιμή p 0 και δίδεται ως: q 0 (i) CS= D ( q) dq p0q0 0 αν η ζήτηση περιγράφεται από τη σχέση p=d - (q) ή (ii) CS= D( p) dp p> p q> 0 0, αν η ζήτηση περιγράφεται από τη σχέση q=d(p). 4.7.4 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ: Πλεόνασμα παραγωγού στο σημείο (q,p ) λέγεται το επιπλέον ποσό που διατίθεται να χάσει ο παραγωγός προσφέροντας τα αγαθά του σε τιμή μικρότερη από την τιμή p και δίδεται ως: (i) PS= p q q S ( q) 0 dq περιγράφεται από τη σχέση p=s - (q) ή (iii) PS= S( p) dp p< p q> 0, αν η προσφορά αν η προσφορά περιγράφεται από τη σχέση q=s(p).