Πρόβλημα 7.1 Σε μια περίπτωση εξαναγκασμένης μεταφοράς θερμότητας το νερό ρέει με παροχή 1 m /ec διαμέσου ενός σωλήνα διαμέτρου 0.015 m και μήκους 1 m, σε θερμοκρασία 60 ο. Η θερμοκρασία στην είσοδο και την έξοδο του σωλήνα είναι 0 ο και 0 ο αντίστοιχα. Υποθέτοντας ότι η ροή είναι στρωτή να,υπολογίθει τον συντελεστής μεταφοράς θερμότητας από: α) την σχέση Sieer & Tate. β) την σχέση Hauen. Λύση: Η μέση θερμοκρασία στην είσοδο και την έξοδο του σωλήνα είναι: 0 + 0 Tm Tm 5 Σε αυτή την θερμοκρασία οι ιδιότητες του νερού από το Φάκελο Πίνακες-Δεδομένα είναι: r 996.kgr/ m m 8.99 Pr 6.1 kgr/ m* ec k 0.611W / ec- m- Η ταχύτητα ροή του νερού δίδεται από την σχέση: P 1 u 0.058m / ec S p ( 0.015) 4 Ο αριθμός Reynl δίδεται από την σχέση: ( 996.)( 0.058)( 600)( 0.015) ru Re 949-4 m 8.989 S είναι η δάτομή του σωλήνα. α)η σχέση Sieer & Tate δίδεται από τον τύπο: Ø 1.86Œ º Ł Re L ł ø Prœ ß 1 Ł m m S ł PDF create with pffactry Pr trial verin www.ftwarela.cm
Όπου μ S είναι το ιξώδες στη θερμοκρασία της επιφάνειας Οι προϋποθέσεις για να ισχύει αυτό είναι: 1) 0.48 < Pr < 16700 ) Re Pr > Ł L ł Η πρώτη συνθήκη ικανοποιείται καθώς ο αριθμός Pr είδαμε ότι ισούτε με 6.1. Η δεύτερη πρόκυται θα ελεγχθεί αν ισχύει από την σχέση: Re Pr > Ł L ł Ł 0.015 1 ł ( 949)( 6.1) 87.6 > Από τον πίνακα το ιξώδες είναι, μ S 4.71* kgr/m-ec στους 60 ο. Αντικαθιστώντας τα δεδομένα στην σχέση Sieer & Tate παίρνουμε: 8.99 1.86(87.6) 1 9.0 Ł 4.71 ł Στη συνέχεια υπολογίζουμε το μέσο συντελεστή μεταφοράς θερμότητας h. Τον προσδιορίζουμαι: h k και είναι: ( - 9.0)(0.611) 67.496W / m 0.015 β)ο αριθμός Νu βρίσκετε με τον τύπο του Hauen: PDF create with pffactry Pr trial verin www.ftwarela.cm
0.0668.66 + 1 + 0.04 ( L) Re Pr [( L) Re Pr] όπου: 0.0668( 0.015 1)( 949)( 6.1).66 + 6.9 1 + 0.04[ ( 0.015 1)( 949)( 6.1) ] Όμως η μέσος συντελεστής μεταφοράς θερμότητας είναι: h k (6.9)(0.611) 0.015 76.89W / m - Πρόβλημα 7-15 Νερό εισέρχεται σε αντιδραστήρα δια ενός σωλήνα στον οποίο είναι απαραίτητο να έχει προθερμανθεί. Ο αντιδραστήρας έχει μεγίστη ισχύ Q & 150 W/m ανά μέτρο σωλήνα, και η θερμοκρασία λειτουργίας είναι 50 ο Κ. Η μαζική παροχή του νερού μετρήθηκε σε 5 kg/hr, και η μέση θερμοκρασία του νερού στην είσοδο του σωλήνα είναι 90 ο Κ. Αν η εσωτερική διάμετρος του σωλήνα είναι 0.005 m να υπολογισθούν : α) Το μήκος του σωλήνα για το οποίο είναι απαραίτητο να ολοκληρωθεί η μεταφορά θερμότητας. β) Την μέγιστη θερμοκρασία εξόδου του νερού. Λύση: α) Το ενεργειακό ισοζύγιο στην περίπτωση αυτή, κατά μήκος του σωλήνα L δίδεται από την σχέση: qp L m & p DT Λύνοντας ως προς L προκύπτει: mpdt L & () qp Η μέση θερμοκρασία του νερού δίδεται από την σχέση : PDF create with pffactry Pr trial verin www.ftwarela.cm
T 90 + 50 m 0 Οι ιδιότητες του νερού σε αυτή την θερμοκρασία είναι: r n 0.59 P k 989kg / m -6 m 4.174kJ / kg 0.641W / m / ec Η ροή θερμότητας ανά μέτρο σωλήνα είναι 150 Watt. Είναι επιθυμητό να εκφρασθεί η ροή ανά μονάδα περιοχής του σωλήνα. 150W m 150 q p p(0.005) 9549.W / m Αντικαθιστώντας την τιμή αυτή στην εξίσωση βρίσκουμε το ζητούμενο μήκος. 5 ( 4.174)( 00)( 50-90) 600 L Ł ł.m ( 954.) p( 0.005) β) Ο αριθμός Reynl είναι: Re U n από p m& ru 4 4m& U rp Ο αριθμός Reynl μπορεί να υπολογισθεί σαν PDF create with pffactry Pr trial verin www.ftwarela.cm
4m& Re rpn 5 4 600 Ł ł (989) p(0.005)(0.59 606-6 ) Αυτή είναι μια στρωτή ροή. Τώρα, αν υποθέσουμε ότι η ροή είναι πλήρως αναπτυγμένη, τότε ισχύει: 4. 64 k 4.64k h () Εξαιτίας του ότι η ροή θερμότητας ανά μονάδα επιφάνειας μέσα σε ένα σωλήνα ορίζεται ως: q / A hdt Δηλαδή: (q / A) D T (4) h Αντικαθιστούμε την () στην (4), οπότε προκύπτει: D T (q / A) 4.64k DT (9549.)(0.005) 4.64(0.641) 17.07 PDF create with pffactry Pr trial verin www.ftwarela.cm
Η θερμοκρασία στην έξοδο προσδιορίζεται από τη σχέση : T DT i + DT T 50 + 17.07 67.07 7-16 Νερό ψύχει το εσωτερικό ενός σωλήνα καθώς ρέει σ αυτόν με βεβιασμένη ροή. Η μαζική παροχή είναι 90 kg/ec ο σωλήνας έχει μήκος.48 m και εσωτερική διάμετρο 0.m. Αν το νερό έχει θερμοκρασία εισόδου 4.16 και θερμοκρασία εξόδου 7.7 F, να προσδιορισθεί η θερμοκρασία στο εσωτερικό των τοιχωμάτων του σωλήνα.. Λύση: Κατ αρχήν υπολογίζουμε τον αριθμό Re για να εξισωθεί εάν η ροή είναι στρωτή ή τυρβώδης. Προσδιορίζουμε τη μέση θερμοκρασία του νερού T. Ως μέση θερμοκρασία νερού μπορούμε να θεωρούμε τον αριθμιτικό μέσο της θερμοκρασίας είσοδου εξόδου. T 4.16 + 7.7 94 Σε αυτή την θερμοκρασία οι ιδιότητες του νερού (βλ. Πίνακες) είναι: μ 9.797* Ν*/m k 0.600 W/m- Pr 6.81 p 0.419 J/kg- Η ταχύτητα της ροής του νερού είναι: m u & rs Ο αριθμός Reynl προσδιορίζετε από τη γνωστή σχέση: PDF create with pffactry Pr trial verin www.ftwarela.cm
ru rm & 4m& 4(90.70) Re m p pm p(0.)(9.797 ) r m 4 Η ροή είναι στρωτή. Ο αριθμός elt μπορεί να υπολογισθεί χρησιμοποιώντας την Tate. σχέση Sieer- Ø 1.86Œ º Ł L Re ø Pr œ łß 1 / Ł m m S ł Οπού μ είναι το ιξώδες στην άγνωστη θερμοκρασία της επιφάνειας του τοίχου. Αυτή η σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί εφ όσον ισχύουν οι ακόλουθες προτάσεις: 1) 0.48 < Pr < 16,700 ) (/L)Re Pr > Ο αριθμός Prantl που είδαμε και είναι ίσος με 6.81 ικανοποιεί την πρώτη πρόταση. Για την δεύτερη πρόταση έχουμε 0. Re Pr ()(6.81) 7.09 Ł L ł Ł.048ł Επομένωςμ και τα υποανωτέρω κριτήρια ικανοποιούνται. Η εξίσωση (1) δεν μπορεί να λυθεί, δηλ. δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε τον αριθμό Νu και τον h επείδη η τιμή του ιξώδους μ εξαρτάται από την άγνωστη θερμοκρασία της επιφάνειας των τοιχωμάτων. Αντικαθιστώντας τις γνωστές τιμές των μεγεθών της σχέσης (1) προκύπτει μια σχέση μεταξύ του h και του ιξώδους του νερού στη θερμοκρασία της επιφάνειας του σωλήνα, μ. Υπολογίζοντας τις απώλειες από τον σωλήνα με τη θερμότητα που κερδήθηκε από την παραμονή του νερού στο προκαθορισμένο μήκος του σωλήνα προκύπτει: Εφαρμόζουμε τη σχέση του θερμικού ισοζυγίου: q hpl(t - T ) m & (T T ) p - i PDF create with pffactry Pr trial verin www.ftwarela.cm
Οπού οι δείκτες ο και i δηλώνουν την θερμοκρασία στην είσοδο και την έξοδο αντίστοιχα. Αυτή η εξίσωση συσχετίζει ευθέως την παράμετρο h με την θερμοκρασία στην επιφάνεια των τοιχωμάτων του σωλήνα. Μια επαναληπτική μέθοδος χρησιμοποιείται για να βρεθεί η τιμή της Τ. α. Υποθέτουμε μια αρχική θερμοκρασία Τ και προσδιορίζουμε γι αυτό το ιξώδες μ από τον σχετικό Φάκελο «Πίνακες-Δεδομένα». β. Υπολογίζουμε, τότε από την (1) το h. γ. Από τη σχέση (), με γνωστό το h προσδιορίζουμε το Τ. Εφαρμογή της μεθοδολογίας: Στην αρχή υποθέτουμε Τ 9. ο ο πίνακας για αυτή την θερμοκρασία μας δίνει για το μ.051n/m. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση 1 προκύπτει: h 1.86(7.09) 1 k Το οποίο δίνει: 9.797 Ł.051 ł 9.157 h k ( 9.157)( 0.600) ( 0.) 5.86W / m Κάνοντας το ίδιο στην εξίσωση προκύπτει: (5.86) p(0.)()(t T 61-94) (00)(1)(0-40) Για την δεύτερη επανάληψη υποθέτουμε ότι T 87.89 ο πίνακας δίνει μ. Με τον ιδιο τρόπο το h υπολογίζετε : h5.71w/m και από την δεύτερη εξίσωσή προκύπτει ότι T 88.44 Η τιμή αυτή για Τ συμφωνεί σε μεγάλο βαθμό με την τιμή που υποθέσαμε άρα δεν χρειάζονται περαιτέρω επαναλήψεις. PDF create with pffactry Pr trial verin www.ftwarela.cm
Πρόβλημα 7-17 Νερό χρησιμοποιείται ως ψυκτικό μέσο. Ρέει με μια ταχύτητα 0.0 m/ec δια ενός σωλήνα μήκους.0 m και διαμέτρου.54 cm. Η θερμοκρασία στην επιφάνεια του τοιχώματος του σωλήνα παραμένει στους 80 ο. Αν το νερό εισέρχεται στον σωλήνα με 60 ο, να υπολογίσετε την θερμοκρασία εξόδου. Λύση: Η θερμότητα, η οποία μεταφέρεται από το σωλήνα στο νερό, δίδεται από το νόμο του Νεύτωνα ( Q & haδt). Οι απώλειες στο περιβάλλον ισούνται με τη θερμότητα που θα πάρει το νερό, βλ. σχέση (1). q hpl(t - T ) m & (T T ) (1) p - i όπου Ti - T T και p m& ru 4 () () Αντικαθιστώντας τις σχέσεις () και () στην (1), λαμβάνουμε: Ø Ti + T ø p hp LŒT - œ ru p (T - T i ) (4) º Ł łß 4 Το T είναι άγνωστο. Θα χρησιμοποιήσουμε μια επαναληπτική μέθοδο για τον προσδιορισμό του. Ξεκινούμε, υποθέτοντας ότι η μέση θερμοκρασία είναι 60. 60 + 60 Οι Πίνακες για το νερό για θερμοκρασία T 60 δίδουν: r k p 985kg / m 0.651W / m 4.18kJ / kg m 4.71 Pr.0 kg / m Υπολογίζουμε τον αριθμό Re : PDF create with pffactry Pr trial verin www.ftwarela.cm
ru 985 0.0 0.054 Re - 4 m 4.71 6 Αφού η ροή είναι στρωτή, ο αριθμός μπορεί να υπολογιστεί από τις σχέσεις των Sieer και Tate : 1 Ø ø m 1.86Œ Re Pr L œ (5) º Ł ł ß Ł m ł όπου m είναι το ιξώδες στη θερμοκρασία της επιφάνειας του τοίχου. Η σχέση (5) μπορεί να χρησιμοποιηθεί εφόσον ικανοποιούνται οι ακόλουθες συνθήκες: 1. 0.48 < Pr < 16700. Re Pr > Ł L ł Η πρώτη συνθήκη προφανώς ικανοποιείται. Η δεύτερη εξετάζεται ακολούθως: Re Ł L ł 0.054 Pr ( 6)(.0) 7. 16 Ł ł Παρατηρούμε ότι και αυτή ικανοποιείται. Οι Πίνακες για το νερό στη θερμοκρασία της επιφάνειας, για το ιξώδες: T 80 δίνουν μια τιμή m.55 kg / m στους 80 Αντικαθιστώντας την τιμή του μ στη σχέση (5), προκύπτει: 1 4.71 1.86(7.16) Ł.55ł Ως γνωστόν, h k 5.816 PDF create with pffactry Pr trial verin www.ftwarela.cm
οπότε, ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας ισούται με: h k 5.816 0.651 0.054 149.1W / m Αντικαθιστώντας στη σχέση (4), προκύπτει: T 71.98 Παρατήρηση: Υποθέσαμε ότι T 60 και βρίσκουμε: T 60 + 71.98 66 Σ αυτή την θερμοκρασία, ο Πίνακας του νερού δίδει: r k 0.656W / m p 98kg / m m 4.6 Pr.78 4.18kJ / kg kg / m Έτσι, ο αριθμός Re υπολογίζεται ξανά, ως εξής: ru 98 0.0 0.054 Re - 4 m 4.6 Στη συνέχεια, θα έχουμε: 1144 0.054 Re Pr 1144.78 6.9 Ł L ł Ł ł Ο αριθμός υπολογίζεται, κατόπιν, 1 4.6 1.86 6.9 5.74 Ł.55ł και ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας θα είναι: PDF create with pffactry Pr trial verin www.ftwarela.cm
h 5.74 0.656 0.054 148.W / m Αντικαθιστώντας στη σχέση (4), θα έχουμε μια νέα τιμή για το επειδή η διαφορά είναι μικρή, τη λαμβάνουμε ίση με 71.95. T 71.9 και PDF create with pffactry Pr trial verin www.ftwarela.cm