Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Άλγεβρ Α Ενιίου Λυκείου
Άλγεβρ Α Λυκείου Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Απόλυτη Τιμή Ρίζες - Εξισώσεις ου Βθμού Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Συνρτήσεις Η θεωρί με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Συστήμτ Γρμμικών Εξισώσεων Η θεωρί με Ερωτήσεις 9 Ασκήσεις & Προβλήμτ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Μελέτη Συνάρτησης Η f() = + β + γ, 0 Η θεωρί με Ερωτήσεις 5 Ασκήσεις & Προβλήμτ 8 «Σκέφτομι άρ υπάρχω» Κρτέσιος
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη Κεφάλιο ΕΝΟΤΗΤΑ : Οι Πράξεις & οι Ιδιότητες τους Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ποιοι ριθμοί ονομάζοντι φυσικοί, κέριοι, ρητοί, άρρητοι κι πργμτικοί;. Ν ορίσετε την ντιμετθετική, προσετιριστική κι επιμεριστική ιδιότητ στην πρόσθεση κι στον πολλπλσισμό. [σ0]. Ποιο είνι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι ποιο του πολλπλσισμού; Ποιοι ριθμοί λέγοντι ντίθετοι κι ποιοι ντίστροφοι; [σ0]. Πώς ορίζοντι οι πράξεις της φίρεσης κι της διίρεσης; 5. Δυο ισότητες μπορούμε ν τις προσθέσουμε ή ν τις πολλπλσιάσουμε κτά μέλη; [σ] 6. Κι στ δυο μέλη μις ισότητς μπορούμε ν προσθέσουμε τον ίδιο ριθμό. Κι τ δυο μέλη μις ισότητς μπορούμε ν τ πολλπλσιάσουμε με τον ίδιο ριθμό. [σ] 7. Κι πό τ δυο μέλη μις ισότητς μπορούμε ν διγράψουμε τον ίδιο προσθετέο ή τον ίδιο μη μηδενικό πράγοντ. [σ] 8. Μι πολύ βσική ιδιότητ των πράξεων είνι η κόλουθη: β 0 ( 0 ή β 0) Συνέπει υτής είνι κι η: β 0 ( 0 κι β 0) 9. Ποιες ιδιότητες ισχύουν γι τ κλάσμτ; [σ] 0. Πρτήρηση : Στ μθημτικά το σύμβολο της ισοδυνμίς συνδέει δυο ισχυρισμούς (ισότητες, νισότητες) μόνο στη περίπτωση που ότν ληθεύει ο πρώτος ισχυρισμός ληθεύει κι ο δεύτερος κι ντίστροφ, ότν ληθεύει ο δεύτερος ισχυρισμός ληθεύει κι ο πρώτος. Πολλές φορές χρησιμοποιείτι ντί του το διζευκτικό «ή», ή το λεκτικό «ν κι μόνο ν». Σε περίπτωση που δεν έχουμε ισοδυνμί, χρησιμοποιείτε το λεκτικό «τότε».
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη. Πρτήρηση : Πρέπει ν είμστε ιδιίτερ προσεκτικοί ότν διγράφουμε ίδιους πράγοντες σε μι ισότητ, φού υτό επιτρέπετι μόνο ότν ο πράγοντς που διγράφουμε δεν είνι μηδενικός.. Πρτήρηση : Μι κλσμτική πράστση ορίζετι μόνο ότν ο προνομστής δεν είνι μηδέν. ΕΝΟΤΗΤΑ : Δυνάμεις Τυτότητες Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Τι ορίζουμε δύνμη ν, όπου πργμτικός ριθμός κι ν φυσικός;. Ποιες ιδιότητες των δυνάμεων γνωρίζετε; [σ6]. Τι ονομάζετι τυτότητ; Ποιες είνι οι ξιοσημείωτες τυτότητες; [σ8]. Πρτήρηση :Γι τις δυνάμεις του κι έχουμε: ν κι ν ν ν άρτιος ν ν περιττός 5. Πρτήρηση : Αποδεικτικές Μέθοδοι. Στην άλγεβρ είνι πολλές φορές νγκίο ν ποδείξουμε μι τυτότητ ή την λήθει ενός ισχυρισμού. Αυτό μπορεί ν γίνει με τους εξής τρόπους: Α. Ξεκινάμε πό το ο μέλος κι κτλήγουμε στο ο ή ντίστροφ πό το ο ο. Β. Θεωρούμε ότι ο ισχυρισμός είνι ληθής κι με ισοδυνμίες () τον μετσχημτίζουμε σε κάτι προφνές ή ληθές. Γ. Άλλες φορές ξεκινώντς πό έν ισχυρισμό που ισχύει (υπόθεση), μπορούμε με ισοδυνμίες ν τον μετσχημτίσουμε στο ζητούμενο ισχυρισμό. Αυτό είνι η ευθεί πόδειξη. Δ. Τέλος, μι άλλη ποδεικτική μέθοδος είνι η πγωγή σε άτοπο. Σύμφων με υτή τη μέθοδο, γι ν ποδείξουμε ότι ένς ισχυρισμός ισχύει, υποθέτουμε ρχικά ότι δεν ισχύει κι με ισοδυνμίες τον μετσχημτίζουμε σε κάτι που έρχετι σε ντίθεση με κάτι που ισχύει, δηλδή σε άτοπο. ΕΝΟΤΗΤΑ : Πργοντοποίηση Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Τι είνι πργοντοποίηση; Ποιες είνι οι χρήσεις της πργοντοποίησης στην άλγεβρ;. Πρτήρηση: Οι ποιο συνηθισμένοι τρόποι ν πργμτοποιηθεί η πργοντοποίηση είνι οι κόλουθοι: i) Κοινός Πράγοντς πχ. ( -) - (- ) ( -) ( -) ( -)( ) ii) Ομδοποίηση y β βy y β y β y πχ. y y y y( y ) ( y ) ( y )(y ) ( y)( y)(y ) iii) Διφορά Τετργώνων y ( y)( y) πχ. ( y) ( y) ( y)( y) ( y)( y) ( y) ( y) ( y) ( y) iv) Τριώνυμο ( β) β ( )( β) πχ. 6 8 ( )( ) (φού +=6 κι =8)
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη v) Διφορά Κύβων y ( y)( y y ) πχ. 8 ( )( ) vi) Άθροισμ Κύβων y ( y)( y y ) πχ. 7 ( )( 9) vii) Τέλειο Τετράγωνο y y ( y) πχ. 0 50 ( 0 5) ( 5) viii) Συνδυσμός Ομδοποίησης Διφορά Τετργώνων y y ω ( y ω)( y ω) πχ. y y ( y )( y ) (y y ) (y ) ΕΝΟΤΗΤΑ : Η εξίσωση + β = 0 Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Τι ονομάζετι εξίσωση; Τι ονομάζετι λύση μις εξίσωσης;. Τι ονομάζετι εξίσωση ου βθμού; Ποι η γενική μορφή της;. Ν λυθεί η εξίσωση + β = 0 γι τις διάφορες τιμές των, β. [σ]. Τι ονομάζετι πρμετρική εξίσωση ου βθμού κι ποι τ βήμτ γι την επίλυση της; 5. Πρτήρηση : Διερεύνηση της εξίσωσης + β = 0 Α. Αν ζητείτι ν λυθεί μι πρμετρική εξίσωση, πάντ επιδιώκουμε ν την τροποποιήσουμε στην γενική μορφή = β. Συνήθως: κάνουμε πράξεις πργοντοποιούμε. κτλήγουμε στη γενική μορφή = β διερευνούμε, δηλδή πίρνουμε περιπτώσεις γι τον συντελεστή κι κολούθως γι την πράμετρο β, όπως φίνετι στην σελίδ του σχολικού βιβλίου. Β. Αν ζητείτι ν προκθοριστούν οι τιμές των κι β ώστε η εξίσωση = β ν έχει συγκεκριμένο ριθμό λύσεων τότε: Γι ν έχει η εξίσωση = β μι μόνο λύση, πρέπει 0. Γι ν είνι η εξίσωση = β δύντη, πρέπει = 0 κι β 0. Γι ν είνι η εξίσωση = β τυτότητ, πρέπει = 0 κι β = 0. Αυτό μπορεί ν ζητείτι ν η εκφώνηση λέει «η εξίσωση ν έχει άπειρες λύσεις» ή «η εξίσωση ν έχει περισσότερες πό μι λύσεις» Γι ν έχει η εξίσωση = β τουλάχιστον μι λύση, πρέπει 0 ή = β = 0, δηλδή η εξίσωση ν έχει μονδική λύση ή άπειρες. 6. Πρτήρηση : Πολλές φορές η επίλυση εξισώσεων μεγλύτερου βθμού του πρώτου νάγετι σε επίλυση εξισώσεων ου βθμού. Αυτό μπορεί ν γίνει με: πργοντοποίηση, φού πρώτ όλοι οι όροι έχουν μετφερθεί στο ο μέλος. Άρ, γίνετι εφρμογή της ιδιότητς β 0 0 ή β 0, που μπορεί ν εφρμοστεί γι περισσότερους των δυο πράγοντες κι οδηγεί τελικά στη επίλυση εξισώσεων ου βθμού. μηδενισμό θροίσμτος μη ρνητικών ριθμών. πχ. β 0 β 0
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη 7. Πρτήρηση : Υπάρχουν προβλήμτ που η λύση τους γίνετι πλούστερη με τη χρήση εξισώσεων. Ονομάζουμε τον άγνωστο του προβλήμτος. Εκφράζουμε τις άλλες ποσότητες συνάρτηση του. Δημιουργούμε μι εξίσωση χρησιμοποιώντς κάποιο δεδομένο του προβλήμτος κι πίρνουμε τυχόν περιορισμούς γι το. Επιλύουμε την εξίσωση κι ελέγχουμε ν έχουμε ντίθεση με τους περιορισμούς. ΕΝΟΤΗΤΑ 5: Διάτξη Πργμτικών Αριθμών Ανισώσεις (+β>0 & +β<0) Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ν δώσετε τον ορισμό των νισοτήτων < β κι > β. Ν τον ερμηνεύσετε γεωμετρικά. [σ9]. Ν γράψετε τις ιδιότητες των νισώσεων που προκύπτουν άμεσ πό τον ορισμό, σχετικά με την πρόσθεση κι τον πολλπλσισμό ριθμών. [σ9]. Ν γράψετε τις ιδιότητες των νισοτήτων σχετικά με: τη μετβτική ιδιότητ τη πρόσθεση ή φίρεση του ίδιο ριθμού κι στ δυο μέλη της νίσωσης τον πολλπλσισμό ριθμού κι στ δυο μέλη της νίσωσης τον πολλπλσισμό νισοτήτων κτά μέλη. Πρτήρηση : Αν, β είνι θετικοί ριθμοί κι ν κέριος: β β ν ν β β ν ν 5. Πρτήρηση : Δεν φιρούμε πότε νισότητες κτά μέλη, γι υτό πολλπλσιάζουμε με ώστε ντί φίρεση ν κάνουμε πρόσθεση. 6. Πρτήρηση : Απόδειξη νισοτήτων Δεν διιρούμε πότε νισότητες κτά μέλη, γι υτό ντιστρέφουμε τ μέλη της νισότητς, ώστε ντί διίρεση ν κάνουμε πολλπλσισμό. Βέβι, γι ν ντιστρέψουμε κι τ δυο μέλη μις νισότητς λλάζοντς φορά, πρέπει τ δυο μέλη ν είνι ομόσημοι ριθμοί. Γι ν ποδείξουμε μι νισότητ, μπορούμε ν ξεκινήσουμε πό τη σχέση που πρέπει ν ποδείξουμε κι με ισοδυνμίες ν κτλήξουμε σε μι νισότητ που ν ληθεύει. Σε άλλες περιπτώσεις χρειάζετι ν φέρουμε όλους τους ριθμούς στο ο μέλος, φήνοντς στο ο μέλος το 0, κι ν πργοντοποιήσουμε την ποσότητ που βρίσκετι στο ο μέλος. Το συμπέρσμ μπορεί ν βγίνει είτε άμεσ είτε με χρήση άλλων δεδομένων της άσκησης. Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες χρειάζετι κάποιο τέχνσμ γι ν πετύχουμε μι μορφή που ν ποδεικνύει την νισότητ. Μπορεί δηλδή ν πρέπει ν: πολλπλσιάσουμε κι τ δυο μέλη με κτάλληλο ριθμό. ν χωρίσουμε κάποι ποσότητ σε επιμέρους ισοδύνμες ποσότητες (σπάσιμο). Τέλος, κάποιες φορές γι ν ποδείξουμε μι νισότητ χρειάζετι ν υψώσουμε στο τετράγωνο κι τ δυο μέλη της νισότητς. Αυτό μπορεί βέβι ν γίνει ν γνωρίζουμε ότι κι τ δυο μέλη είνι μη ρνητικοί ριθμοί. 7. Ν λυθούν οι νισώσεις: + β > 0 & + β < 0. [σ] 8. Πως γίνετι η νπράστση ενός συνόλου ριθμών με τη βοήθει των διστημάτων; [σ5] 9. Τι ονομάζετι συνλήθευση νισώσεων;
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη Ασκήσεις & Προβλήμτ 5 Οι Πράξεις & οι Ιδιότητες τους Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν υπολογιστούν οι πρστάσεις: i) A ( 6) ( ). Ν γρφούν σε πλούστερη μορφή οι πρστάσεις β i) A ( β) (β ) ( β) B ( β) ii) B ( ) ( 5) ( ) ii) (β ) β ( ) ( β). Ν ποδειχθεί ότι οι ριθμοί ( ) ( β) ( γ) κι y ( β γ) είνι ντίθετοι.. Αν y = ν βρεθεί η τιμή της πρστάσεως: A 5(y ) y 5y ( y ) 5. Αν A ( y) y κι B y ( y) y, ν βρεθεί η πράστση Α Β, ν = κι y = 6. Ν βρεθεί πότε ισχύουν οι σχέσεις: i) ( )(β ) 0 ii) ( )(β ) 0 7. Ν πλοποιηθούν τ κλάσμτ: i) 7 ii) iii) β iv) v) β 5 7 β β 8. Ν πλοποιηθεί η πράστση: : β β β( β) 9. Ν βρείτε γι ποιες τιμές του ορίζοντι οι πρστάσεις: 8 5 5 i) A ii) Β iii) Γ iv) Δ 5 ( ) 0. Ν βρείτε γι ποιες τιμές του ορίζοντι οι πρστάσεις: i) A ii) Β iii) Γ iv) Δ. Αν. Αν. Αν β γ κι + β + γ = 8 τότε ν υπολογιστούν τ, β, γ. γ κ λβ κγ λδ τότε, όπου βδ 0. β δ ρ νβ ργ νδ γ κ μ ν ποδειχθεί ότι δκν βγλν. β δ λ ν β Δυνάμεις Τυτότητες Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν γράψετε σε πλούστερη μορφή τις πρστάσεις: i) ii) 5 : iii) ( ) ( ) iv) ( 0,) 5 ( 0,5) 5 v) ( )
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη 6 5. Υπολογίστε τις πρστάσεις: i) y 6. Ν γίνουν οι πράξεις: i) y y (ii) ( ) ( 0,5) iii) ii) 8 y : [( y ) 0 ] (0,) : ( 0) 7. Ν υπολογίσετε τον ριθμό ότν: i) = ii) 9 = 9 7 iii) 0 = 0 8. Με τη βοήθει των ιδιοτήτων των δυνάμεων ν υπολογίσετε τ γινόμεν που κολουθούν. 6 i) A 0,5 8 ( 0,75) ii) 6 5 B (0,5) iii) Γ 8 (,5) 6 iv) Δ (,) (,5) 5 9. Ν υπολογίσετε την πράστση 7 y 9y 9 0. Ν βρεθούν οι ριθμητικές τιμές των πρστάσεων: i) A ( y) : y ν = κι y = / ii) B β ( ) : β ν = / κι β =. Αν ( β)( β ) κι β είνι ντίστροφος του. (β )( β y β ) ν δείξετε ότι ο είνι ντίθετος του β κι ο y β βγ γ β γ. Ν ποδείξετε ότι: β γ. Αν ν είνι κέριος θετικός ριθμός, τότε ν υπολογίσετε την πράστση: Α=( ) ν + ( ) ν+ ( ) ν+. Αν + β = κι β = ν βρεθούν οι τιμές των πρστάσεων: i) Α = + β ii) Β = + β 5. Αν κι y ν ποδείξετε ότι y. 6. Ν ποδείξετε ότι: i) ( ) ( ) ii) + β = ( + β) β( + β) 7. Ν δείξετε ότι: ( β ) + (β) = ( + β ) y 8. Ν ποδείξετε τις ισότητες: i) ( y) ( y) (y )( y) ii) 9. Αν ( + y ) = ( + y) ν δείξετε ότι = y 0. Αν + β = 5 κι β = ν υπολογίσετε τις τιμές των πρστάσεων + β κι + β.. Aν είνι =. Αν κι β = β β ν ποδείξετε ότι: β β β. Αν ( + β) β. Αν + β = ν ποδείξετε ότι + β + β = 5. Αν + β + γ = 0 ν δείξετε ότι: + β = γ β. ( 0,, ) ν ποδείξετε ότι β = (β 0) ν δείξετε ότι = β. 6. Αν + β =, ν δείξετε ότι ( β ) (β ) 0 y y
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη 7 7. Ν βρεθεί το εξγόμενο ( y)( y)( y )( 6 y ) B ΟΜΑΔΑΣ 8. Ν ποδείξετε ότι η πράστση 8 9 A είνι στθερή. 6 9. Ν ποδείξετε τις πρκάτω ισότητες: i) 0 0 0 5 9 75 5 5 ii) 0. Ν ποδείξετε ότι y = 0, ν κι μόνο ν οι, y είνι ντίθετοι. Πργοντοποίηση Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις. i) β δ ii) 8 iii) y + 6y y iv) κλ 0κ λ + κλ v) 9 y 5y + y vi) 5 β γ 5 β γ + 0 β γδ vii) y y + y. Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις i) ( - ) - ( - ) ii) ( ) ( ) ( ) iii) y 8y iv) 9y v) 6 vi) 5 vii) ( 7) ( ) viii) 6 β. Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις i) ii) 6y β βy iii) 5 5 5 5 β β iv) v) y y y vi) y y 6y. Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις i) ( ) 8 ii) y iii) iv) 8 v) 9 vi) ( ) ( ) vii) y ω ω viii) y 6 y y 5. Ν πργοντοποιηθούν οι πρστάσεις. i) 6 + y y ii) + yω + y ω iii) β + β γ + γ β βγ γ iv) β + β v) 5 + y 5 y y vi) (5 0)( ) (7 )( ) vii) + viii) + i) + + 6. Ν πλοποιήσετε τ κλάσμτ. 0 5 5 i) ii) iii) 50 5 5 6 9 iv) 8 5 y y v) y vi) 0 5 5 7. Ν πλοποιήσετε τ κλάσμτ y y y i) A ii) B iii) 5 5 ( y) y y y ( β) β Γ iv) β β Δ ( ) 8. Ν ποδείξετε ότι: y ( β ) β( y ) (y β )( β y ) 9. Αν + β + γ = 0 ν βρείτε την τιμή του κλάσμτος K β γ β β(γ ) γ
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη 8 H εξίσωση + β = 0 Α ΟΜΑΔΑΣ 50. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 5 ii) ( ) ( ) ( ) 5 iv) v) 5 viii) 5 8 vi) iii) 5 7 5 5 5 7 vii) 5 i) 7 5. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) iv) 0 ii) 0 8 v) 9 iii) 0 5. Γι τις διάφορες τιμές του πργμτικού ριθμού λ ν λυθούν οι εξισώσεις λ λ λ λ λ i) ii) iii) iv) λ λ 5. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) (λ ) = λ ii) (λ 9) = λ + λ iii) λ ( ) λ = + iv) λ ( ) = ( λ) v) (λ 6λ) = λ λ vi) λ ( ) = ( λ) vii) (λ + ) + = + 5(λ + ) 5. Γι τις διάφορες τιμές του πργμτικού ριθμού λ ν λυθούν οι εξισώσεις i) λ(λ ) + = 0 ii) λ(λ ) = λ + 6 iii) λ ( ) = λ(5 ) 6 λ λ λ λ + 5 λ λ iv) v) vii) = 6 5 5 λ λ 55. Γι τις διάφορες τιμές των λ κι μ ν λυθούν οι εξισώσεις i) λ( ) = + μ 7 ii) (λ μ) = λ (λ + μ) iii) (λ μ) = λ (μ + λ) 56. Ν προσδιοριστούν οι τιμές των πργμτικών ριθμών κι β, ώστε η εξίσωση β β : i) ν έχει κριβώς μι λύση ii) ν είνι δύντη iii) ν είνι τυτότητ iv) ν έχει τουλάχιστον μι λύση v) ν έχει το πολύ μι λύση 57. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) ( ) ( + ) = ii) + =, R iii) β β,,βr * 58. Ν βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση: i) (λ + ) λ = + (λ + ) ν είνι δύντη. ii) (λ + 7) + (λ ) = ( + ) + λ(λ + ) ν έχει ως μονδική λύση το μηδέν. 59. Αν η εξίσωση (λ ) = λ λ είνι τυτότητ, ν εξετάσετε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης λ( + ) = 60. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 0 ii) 0 0 8 iv) v) vi) vii) 0 viii) 6 6. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 0 ii) iii) 0 6 iii) 6 y y 0 6. Αν η περίμετρος ενός ορθογωνίου είνι 78m κι η μι πλευρά είνι διπλάσι πό την άλλη, ν βρεθεί το εμβδόν του.
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη 9 6. Ν βρεθεί το εμβδόν ισόπλευρου τριγώνου ν το ύψος του είνι ίσο με 5 6. i) Ν βρεθούν διδοχικοί ριθμοί με άθροισμ 8. ii) Ν βρεθούν διδοχικοί άρτιοι ριθμοί με άθροισμ 8. iii) Ν βρεθούν διδοχικοί περιττοί ριθμοί με άθροισμ 87. 65. Η ηλικί του Γιώργου είνι τριπλάσι της ηλικίς του γιου του, ενώ πριν 5 χρόνι ήτν τετρπλάσι. Ποι είνι η ηλικί του Γιώργου σήμερ; 66. Ν βρεθεί ένς ριθμός που σχημτίζετι πό δυο διδοχικά ψηφί κι είνι πεντπλάσιος του θροίσμτος των ψηφίων υτών. B ΟΜΑΔΑΣ 67. Ν βρεθούν οι προϋποθέσεις που πρέπει ν πληρούν οι πργμτικοί ριθμοί κι β, ώστε η εξίσωση ν είνι δύντη. β 68. Ν βρεθούν οι ριθμοί κ κι λ, ώστε η εξίσωση β 69. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση β λ 5 κλ κ ν έχει τουλάχιστον μι λύση. έχει λύση γι κάθε τιμή των ριθμών κι β. 70. Δίνοντι οι εξισώσεις: () (λ ) = λ () λ ( + ) ( ) = λ(λ + ) () λ ( + ) ( + ) = λ(λ + ) i) Ν ποδείξετε ότι ν η () ληθεύει γι κάθε (τυτότητ), τότε το ίδιο συμβίνει κι γι την () ii) Ν ποδείξετε ότι ν η () είνι δύντη, τότε η () είνι τυτότητ. Διάτξη Πργμτικών Αριθμών 7. Αν > y, ν ποδείξετε ότι: + 7 > y + 5 7. Αν > 0 ν δείξετε ότι i) Α ΟΜΑΔΑΣ ii) 7. Ν δείξετε ότι + γ β( β + γ) 7. Αν > β > γ τότε ν δείξετε ότι: ( β)(β γ)(γ ) < 0 75. Αν, β, γ είνι θετικοί ριθμοί,τότε ν δείξετε ότι: i) + ii) ( + )(β + )(γ + ) 8βγ 76. Αν + β γ( + β) + 5γ 0 ν ποδείξετε ότι: = β = γ β 77. Αν, β είνι ετερόσημοι ριθμοί τότε ν ποδείξετε ότι: 78. Αν > τότε > + 79. Aν > ν ποδείξετε ότι: > + 80. Aν ω ν ποδείξετε ότι: ω + 8 ω + ω 8. Αν 0< < κι < y < ν βρείτε μετξύ ποιων ριθμών περιέχοντι οι τιμές των πρστάσεων: β
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Οι Πργμτικοί Αριθμοί Εξισώσεις ου Βθμού Διάτξη 0 i) Α = + y ii) Β = y iii) Γ = + y iv) Δ = y v) Ε = y 8. Αν κι y 5 ν βρείτε μετξύ ποιων ριθμών περιέχοντι οι τιμές των πρστάσεων: i) Α = y ii) Β = + y iii) Γ = + y iv) Δ = y + v) Ε = y 8. Αν είνι > β > ν ποδείξετε ότι: β > ( β) 8. Ν ποδείξετε ότι γι τους θετικούς ριθμούς, β ισχύει: β 8 85. Γι τους θετικούς ριθμούς, β, γ, δ, ν ποδείξετε ότι: β β β β β 86. Aν + β γ( + β γ) ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο με πλευρές, β, γ είνι ισόπλευρο. 87. Αν < y <, ν ποδείξετε ότι: + y < + y B ΟΜΑΔΑΣ 88. Ν δείξετε ότι γι κάθε πργμτικό ριθμό ισχύει: i) + + > 0 ii) + + > 0 89. Αν + β = ν ποδείξετε ότι: i) β ii) 9 β y 90. Αν 0 < < y, ν ποδείξετε ότι y y Οι Ανισώσεις + β > 0 & + β < 0 Α ΟΜΑΔΑΣ 9. N λυθούν οι πρκάτω νισώσεις: ( )( ) i) ii) iv) v) vi) 5 9. N βρεθούν οι κοινές λύσεις των νισώσεων: i) ( ) + < + κι ( + ) ii) κι 5 ( ) ( ) iii) κι ( )( + ) < ( ) 5 8 8 iii) 9. Ν διερευνηθούν οι νισώσεις γι τις διάφορες τιμές του μ. i) (μ ) 5 ii) μ μ 9. Γι τις διάφορες τιμές του πργμτικού ριθμού λ ν λυθούν οι νισώσεις: i) λ( ) > λ λ λ λ( ) λ ii) λ > + iii) iv) 6 5 0 95. Αν < β, ν ποδείξετε ότι η λύση της εξίσωσης β = 0 νήκει στο διάστημ (, β) 5
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Απόλυτη Τιμή Ρίζες Εξισώσεις ου Βθμού Απόλυτη Τιμή Ρίζες Εξισώσεις ου Βθμού Κεφάλιο ΕΝΟΤΗΤΑ : Απόλυτη Τιμή Πργμτικού Αριθμού Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Ν δώσετε τον ορισμό της πόλυτης τιμής πργμτικού ριθμού. Ν τον ερμηνεύσετε γεωμετρικά. [σ7].. Ν γράψετε τις ιδιότητες των πολύτων τιμών. [σ8]. Ν ποδείξετε ότι ν θ > 0, τότε: θ θ θ. Αν θ > 0 κι θ, τι συμπερίνουμε γι τον ;. Ν ποδείξετε ότι: β β κι β β 5. Ν εξηγήσετε την νισότητ: β β. Πότε ισχύει το ίσον; 6. Με τι είνι ίση η πόστση d(, β) δυο ριθμών κι β; 7. Πρτήρηση : Γενικά Η πόλυτη τιμή του δεν είνι πότε ρνητικός ριθμός. Η πόλυτη τιμή του είνι μεγλύτερη πό κάθε ρνητικό ριθμό. Οι ντίθετοι ριθμοί έχουν πάντ ίδι πόλυτη τιμή. 8. Πρτήρηση : Διάτξη κι 0 < 0 δύντη 0 = 0 > 0 ληθεύει γι κάθε 0 0 ληθεύει πάντ 9. Πρτήρηση : Πρστάσεις με πόλυτ Πολλές φορές ζητείτι ν γράψουμε μι πράστση που έχει πόλυτ χωρίς πόλυτ. Αν γνωρίζουμε το πρόσημο της πράστσης μέσ στο πόλυτο, τότε χρησιμοποιούμε τον ορισμό της πόλυτης τιμής κι έχουμε: Αν Α 0 Α = Α Αν Α < 0 Α = Α
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Απόλυτη Τιμή Ρίζες Εξισώσεις ου Βθμού Αν δεν γνωρίζουμε το πρόσημο της πράστσης που βρίσκετι μέσ στο πόλυτο τότε το μόνο που μς πομένει είνι ν πάρουμε περιπτώσεις ως προς το πρόσημο της πράστσης. Στην περίπτωση που οι πρστάσεις μέσ στ πόλυτ είνι περισσότερες πό μι κι διφορετικές, κτφεύγουμε στη βοήθει του άξον των πργμτικών ριθμών γι ν μελετήσουμε το πρόσημο των πρστάσεων μέσ στ πόλυτ. ( Πίνκς Προσήμων) 0. Πρτήρηση : Εξισώσεις & Ανισώσεις Σε πλές περιπτώσεις που η εξίσωση ή η νίσωση είνι της μορφής: = θ, =, θ, θ με θ > 0, χρησιμοποιούμε πευθείς τις ιδιότητες,, σχολ. βιβλίου. Υπάρχουν όμως πολλές φορές περιπτώσεις που δεν μπορούμε ν δουλέψουμε όπως πριν. Γι πράδειγμ, στην εξίσωση = 5, το δεύτερο μέλος δεν είνι πάντ θετικό κι έτσι δεν μπορούμε ν χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες. Σε υτές τις περιπτώσεις εξισώσεων ή νισώσεων δικρίνουμε περιπτώσεις γι το πρόσημο της πράστσης μέσ στο πόλυτο κι λύνουμε χωρίς πόλυτ σε κάθε περίπτωση.. Πρτήρηση 5: Απόστση δυο ριθμών: d(, β) = β Η πράστση γράφετι d(, ) κι πριστάνει την πόστση του πό το Η σχέση + = γράφετι d(, ) = κι εκφράζει ότι η πόστση του πό το είνι Η σχέση > γράφετι d(, ) > κι εκφράζει ότι η πόστση του πό το είνι μεγλύτερη πό Η σχέση = + γράφετι d(, ) = d(, ) κι εκφράζει ότι η πόστση του πό το είνι ίση με την πόστση του πό το. ΕΝΟΤΗΤΑ : Ρίζες Πργμτικών Αριθμών Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Τι ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός μη ρνητικού ριθμού ;. Ποιες ιδιότητες γνωρίζετι γι τις τετργωνικές ρίζες μη ρνητικών ριθμών; [σ]. Τι ονομάζουμε ν-οστή ρίζ ενός ρνητικού ριθμού ;. Ποιες ιδιότητες γνωρίζετι γι τις ν-οστές ρίζες μη ρνητικών ριθμών; [σ5] ν 5. Ν ποδείξετε ότι ν, β 0 τότε ν β ν β κι ν β ν ν. [σ5] β 6. Ν ποδείξετε ότι ν 0 τότε ν μ νμ. [σ6] 7. Ν ποδείξετε ότι ν 0 τότε νρ μρ ν μ. [σ6] 8. Πρτήρηση : Γενικά Η ποσότητ έχει νόημ μόνο ν 0. Στη πρόσθεση κι φίρεση ριζών, οι πράξεις ντιμετωπίζοντι όπως οι πράξεις μετξύ μονονύμων θεωρώντς ως όμοι μονώνυμ τις ρίζες που έχουν ίδι υπόρριζο ποσότητ. Έτσι, γι πράδειγμ στη πράστση δεν μπορούμε ν λλάξουμε τη μορφή της. Όμως, η πράστση γράφετι. Η ισότητ β β ισχύει μόνο ότν = 0 ή y = 0. Οι ποσότητες A y κι B y είνι ίσες μόνο ν οι ριθμοί, y είνι μη ρνητικοί. Αν οι ριθμοί είνι ετερόσημοι δεν ορίζετι κμί πό τις προηγούμενες πρστάσεις, ενώ ν είνι οι, y είνι ρνητικοί νόημ έχει μόνο η πράστση Β.
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Απόλυτη Τιμή Ρίζες Εξισώσεις ου Βθμού 9. Πρτήρηση : Η εξίσωση ν =. Α. Γι = 0 έχουμε: ν 0 0 Β. Γι > 0 έχουμε: ν ν, ν, ν ν ν ν άρτιος περιττός Γ. Γι < 0 έχουμε: ν δύντη, ν, ν ν ν ν άρτιος περιττός ΕΝΟΤΗΤΑ : Επίλυση της Εξίσωσης +β + γ = 0 Τύποι Vieta Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βθμού με ένν άγνωστο; Ποί η γενική της μορφή;. Πως λύνουμε μι δευτεροβάθμι εξίσωση της μορφής β γ 0;. Τι περιπτώσεις προκύπτουν γι τις λύσεις της εξίσωσης β γ 0 νάλογ με το ν η Δ > 0, Δ = 0 ή Δ < 0; [σ]. Πως λύνουμε μι δευτεροβάθμι εξίσωση, ότν έχει την ελλιπή μορφή β 0 ή γ 0 5. Ν ποδείξετε τους τύπους του θροίσμτος S κι γινομένου P των ριζών της εξίσωσης β γ 0. (τύποι Vieta) 6. Ν ποδείξετε το τύπο που μετσχημτίζετι η εξίσωση β γ 0 Vieta. με τη βοήθει των τύπων 7. Ποιες εξισώσεις ονομάζοντι διτετράγωνες; Ποι μέθοδο κολουθούμε γι την επίλυση τους;
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Απόλυτη Τιμή Ρίζες Εξισώσεις ου Βθμού Ασκήσεις & Προβλήμτ Απόλυτη Τιμή Πργμτικού Αριθμού Α ΟΜΑΔΑΣ. Αν < β < γ ν γρφτούν χωρίς πόλυτες τιμές οι πρστάσεις: i) Α = γ + β β γ ii) Α= - β γ - β γ - iii) B β - γ. Αν είνι > ν υπολογίσετε την πράστση 8 A. Ν λυθούν οι πρκάτω εξισώσεις: i) 5 7 ii) = 5 iii) 7 9 5 iv) v) + = 0 vi) 5 vii) 0 viii) 0. Ν λυθούν οι πρκάτω εξισώσεις: i) ii) 0 iii) iv) 0 v) vi) vii) 5 viii) i) d, ) i) d, 5 5. Ν λυθούν οι νισώσεις: i) 5 ii) 6 iii) iv) v) 0 vi) < < vii) > + viii) d, 7 i) d, ) 8 6. Ν λυθούν οι νισώσεις: i) 5 ii) 7. Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: i) A ii) B iii) Γ 8. Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: i) B ii) Γ iii) Z y y iv) H y 9. Αν, γράψτε χωρίς τις πόλυτες τιμές την πράστση Α = 6 0. Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: i) A ii) B. Αν 5 κι β < ν βρείτε που μετβάλλετι η πράστση + β. Ν ποδείξετε ότι: i) y y y ii) 0 iv) y y y iii) y y y y 0 v) y y vi) β β. Ν διτάξετε πό το μικρότερο προς το μεγλύτερο τους ριθμούς,,, κι.. Ν βρεθούν οι κέριες τιμές του γι τις οποίες συνληθεύουν οι νισώσεις κι 5. Αν y < κι y < ν δείξετε ότι <.
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Απόλυτη Τιμή Ρίζες Εξισώσεις ου Βθμού 5 6. Αν ισχύει 5, ν ποδείξετε ότι. 7. Αν κι y, ν ποδείξετε ότι: y 9 8. Αν, β πργμτικοί ριθμοί διάφοροι του μηδενός ν ποδείξετε ότι: β β β 9. Ν δείξετε ότι ν y y y y, τότε y 0. Ν δείξετε ότι β β β. Αν ν δείξετε ότι: + 6. Αν, β πργμτικοί ριθμοί διάφοροι του μηδενός ν ποδείξετε ότι: β. Αν β β ν ποδείξετε ότι:. Ν ποδειχτεί η ισοδυνμί: y y y 5. Αν 0 ν δείξετε ότι: 6. Αν κ < λ < μ < ν κι λ < < μ ν δείξετε ότι η Α = κ - λ - μ - ν - είνι νεξάρτητη του. β β β β 7. Ν δείξετε ότι ο ριθμός ( β ) β νήκει στο διάστημ [, ] 8. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 0 ii) 9 5 6 0 9. Ν ποδείξετε γι ότι ή ισότητ ισχύει μόνο ότν > 0 0. Αν, β πργμτικοί ριθμοί ν δείξετε ότι β ( β ) B ΟΜΑΔΑΣ. Ν λυθούν οι πρκάτω εξισώσεις: i) 0 0 ii) 0 iii) 5 iv) v) vi) vii) 9 d(,) viii). Ν λυθούν οι πρκάτω νισώσεις: i) 6 7 ii) iii) iv) 5. Ν λυθούν οι νισώσεις: i) ii) iii) iv). Ν λυθεί η εξίσωση: 5 5. Αν ο ριθμός βρίσκετι εκτός του διστήμτος [, β], ν ποδείξετε ότι β β 6. Aν 6y ν ποδείξετε ότι: y y 5 7. Αν, β, γ μήκη πλευρών τριγώνου ν ποδείξετε ότι: + β γ < β
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Απόλυτη Τιμή Ρίζες Εξισώσεις ου Βθμού 6 8. Αν β, ν δείξετε ότι η πράστση A β είνι νεξάρτητη του κι 9. Αν ισχύει y y 0 με y 0 ν δείξετε ότι οι ριθμοί, y είνι ομόσημοι. 0. Ν ποδείξετε ότι i) y y y y ii) y y β A. Ρίζες Πργμτικών Αριθμών Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν υπολογιστούν οι πρστάσεις:i) 9 9 9 ii) 8 6 8 6 iii). Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: i). Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: i) y ii) y 6 iii) y ii) β β. Ν υπολογίσετε την πράστση Α= 6 9 iv) 8 9 β iii) 9 6 5. Ν υπολογιστούν οι πρστάσεις: i) 6 5 0 9 5 ii) 6 6 iii) 8 50 iv) 75 6 v) 8 9 7 6. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: i) 8 8 iv) 6 75 5 v) ( 50 8 00 7 50) : 0 ii) 8 75 iii) 8 0 80 500 vi) 50 8 7. Ν υπολογίσετε την ριθμητική τιμή της πράστσης + y + y ότν = κι y = 8. Αν κι y ν δειχθεί ότι οι πρστάσεις: Α = - 6 + κι Β = y - y + είνι ίσες. 9. Αν 6 6 ν υπολογίσετε τον. 50. Ν μεττρπούν οι πρστάσεις σε ισοδύνμες με ρητό προνομστή. 5 i) ii) iii) iv) 5 5 vii) viii) 5 i) 8 ) 6 v) i) 9 5. Ν πλοποιήσετε τ ριζικά: i) 6 ii) 5 iii) 9 5 iv) 6 v) 08 5 y 5 vi) ii) 6 9 5. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: i) 5. Αν = ii) iii) iv) 5 v) y y κι y =, τότε ν υπολογίσετε τις πρστάσεις + y κι + y 5. Γι ποί R η πράστση: A είνι στθερή; 55. Ν δείξετε ότι: i) 9 9 5 5 ii) 5
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Απόλυτη Τιμή Ρίζες Εξισώσεις ου Βθμού 7 56. Αν, β, γ θετικοί ριθμοί,τότε ν ποδείξετε ότι: + β + γ - β - γ - βγ = ( β γ)( β γ)( β γ)( β γ) 57. Ν γίνουν οι πράξεις: i) 5 5 5 5 iii) ii) 58. Ν υπολογίσετε την πράστση: 5 5 59. Ν πλοποιηθεί η πράστση: 5 5 7 5 6 5 60. Ν υπολογίσετε το γινόμενο: Γ = 7 6. Αν, y κι z ν δείξετε ότι yz =. 6. Αν 0 < < ν δείξετε ότι 6. Γι ποί R ορίζοντι οι πρστάσεις. i) 7 ii) iii) 6 iv) 6. Ν δείξετε ότι: i) 6 5 5 5 6 6 iii) 6 6 5 ii) 5 iv) 6 65. Ν πλοποιηθούν τ ριζικά: i) ii) 9 8 iii) 5 66. Ν γίνουν οι πράξεις: i) 5 6 0 7 6 0 ii) β β iii) 7 0 5 67. Ν βρεθεί η τιμή της πράστσης: A 5 8 8 0 68. Δείξτε ότι ο ριθμός = είνι κέριος. 69. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 8 ii) 8 iii) 5 8 iv) 6 70. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) 8 iii) 5 iv) 6 0 7 5 7. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 0 8 ii) 8 0 iii) iv) 0 6 v) 0 vi) 6 0 vii) 0 viii) 7 8 5 6 6 99 99 7. Αν β 99 99, β y γ κι 99 99 γ z δείξτε ότι: + y + z = yz. 7. Αν = 0,5 κι y = ( 0, 6 ) -6, τότε ν υπολογίσετε την πράστση A y y 7. Ν υπολογιστούν οι πρστάσεις: i) A 7 7 ii) Γ 5 5
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Απόλυτη Τιμή Ρίζες Εξισώσεις ου Βθμού 8 75. Αν < < ν πλοποιηθεί η πράστση: A 5 76. Ν πλοποιήσετε την πράστση: Π 7 7 77. Αν, β >0 ν ποδείξετε ότι: β β 78. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 5 ii) 6 0 iii) 8 6 0 B ΟΜΑΔΑΣ 79. Ν συγκριθούν οι ριθμοί: i) 5 κι 5 ii) κι 5 iii) κι 80. Ν δείξετε ότι: i) 0 5 5 ii) 5 0 9 8. Αν + β =, ν ποδείξετε ότι: β β 8. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: i) A 9 5 B 8. β β Αν κι β θετικοί, ν δείξετε ότι ο ντίστροφος του ριθμού ii) β 8. Ν ποδείξετε ότι γι θετικούς, β ισχύει η νισότητ: β β είνι ο. β β Επίλυση της Εξίσωσης + β + γ = 0 Α ΟΜΑΔΑΣ 85. Έστω η εξίσωση β γ 0 με 0. Ν δείξετε ότι ν οι κι γ είνι ετερόσημοι τότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες πργμτικές κι άνισες. 86. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 0 8 ii) 6 0 iii) 0 iv) 7 0 v) 8 0 vi) 6 vii) 5 viii) 9 6 0 87. Ν λυθούν οι εξισώσεις. i) 0 ii) 0 0 iii) 5 0 iv) 6 0 v) 6 0 vi) 6 0 vii) 0 viii) 0 8 0 88. Ν λυθούν οι εξισώσεις. i) 0 ii) ( 5)( -)( ) 0 iii) ( )( 6) 0 89. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) ii). 9 90. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) 0 9. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) + = ii) λ λ λ 0 9. Ν λυθεί η εξίσωση 0, ν έχει δικρίνουσ Δ =. 9. Δίνετι η εξίσωση β = 0. Αν η εξίσωση έχει δικρίνουσ Δ = 9 ν βρείτε τις ρίζες της. 9. Αν η εξίσωση (β ) = 0 έχει ως ρίζ τον ριθμό + β, τότε ν ποδείξετε ότι = β =.
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Απόλυτη Τιμή Ρίζες Εξισώσεις ου Βθμού 9 95. Αν η εξίσωση 6 5λ 0 λ έχει ρίζ τον =, ν βρεθεί ο λ. 96. Ν βρεθεί ο λr ώστε η εξίσωση: λ λ 0 λ : i) ν έχει δυο ρίζες πργμτικές κι άνισες. ii) ν έχει μι μόνο λύση iii) ν είνι δύντη iv) ν έχει λύση. 97. Δίνετι η εξίσωση λ + 5 + 0 = 0. i) Γι ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει ρίζες πργμτικές κι άνισες ii) Γι ποίες τιμές του λ η εξίσωση έχει μι διπλή ρίζ. iii) Ν βρεθεί η διπλή ρίζ. 98. Ν βρεθούν τ κ, λ R, ώστε η εξίσωση: 5 κ κ λ 0 99. Ν λυθούν: i) β β ν έχει ως διπλή ρίζ το μηδέν. ii) β β β 0 iii) β β β 0 00. Γι τη δικρίνουσ Δ της εξίσωσης β γ 0 ισχύει ότι Δ Δ =. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πάντ δυο λύσεις. 0. Η εξίσωση 0 έχει δυο ρίζες. Ν δείξετε ότι η 0 είνι δύντη. 0. Ν βρεθεί ο ριθμός μ ώστε η εξίσωση μ μ μ 0 ν έχει κριβώς μι ρίζ. 0. Ν ποδείξετε ότι ν η εξίσωση ( β) + β = 0 έχει διπλή ρίζ, τότε η εξίσωση ( + β ) + ( β) = 0 έχει δύο ρίζες άνισες. B ΟΜΑΔΑΣ 0. Αν ο = είνι μι ρίζ της εξίσωσης μ μ 0, ν βρεθεί κι η άλλη ρίζ της. 05. Αν δι τους κι β ισχύει ότι β, ν λυθεί η εξίσωση β 0. 06. Η εξίσωση β 0, έχει διπλή ρίζ. Αν υτή η ρίζ είνι κι ρίζ της εξίσωσης β β 0, υπολογίστε τ, β κι στη συνέχει ν βρείτε τις ρίζες της δεύτερης εξίσωσης. 07. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) (+) + = 0. ii) = 0 08. Ν δειχθεί ότι η εξίσωση + ( + β + γ) + (β + γ + βγ) = 0 έχει μι ρίζ ν κι μόνο ν = β = γ Άθροισμ κι Γινόμενο Ριζών Α ΟΜΑΔΑΣ 09. Δίνετι η εξίσωση 5 0. Αν ρ, ρ είνι οι ρίζες της, ν υπολογιστούν οι πρκάτω ρ ρ πρστάσεις: i) ρ ρ ii) ρ ρ iii) ρ ρ iv) ρ ρ 0. Έστω η εξίσωση 0. Αν, ρ με ρ, ρ ρίζες. Ν βρεθεί η εξίσωση με ρίζες τους ρ + κι ρ +. ρ ρίζες της κ κ 0δείξτε ότι: ρ ρ ρ ρ 0.. Δίνετι η εξίσωση + + λ = 0 με ρίζες,.ν βρεθεί ο λ ώστε: + + + 5 = 0. Ν βρείτε το κ ώστε η εξίσωση 5κ 0 7 ν έχει ρίζες ντίθετες.
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Απόλυτη Τιμή Ρίζες Εξισώσεις ου Βθμού 0. Ν βρεθούν οι τιμές του πργμτικού λ γι ν είνι οι ρίζες της εξίσωσης = + (λ 7) = 0 i) θετικές ii) ετερόσημες iii) ίσες. 5. Δίνετι η εξίσωση + 9 = 0 με ρίζες,. i) N υπολογίσετε τις πρστάσεις +,, χωρίς ν λύσετε την εξίσωση. ii) Ν κτσκευάσετε εξίσωση με ρίζες κ,κ όπου κr *. 6. Δίνετι η εξίσωση λ 0. Ν βρεθεί ο λr ώστε: i) η εξίσωση ν έχει δυο ρίζες διφορετικές. ii) η εξίσωση ν έχει μι διπλή λύση. iii) λ όπου, οι ρίζες της εξίσωσης. 7. Ν βρεθεί ο πργμτικός ριθμός ώστε οι ρίζες της εξίσωσης 5 0 i) ντίθετες ii) ντίστροφες B ΟΜΑΔΑΣ 8. Δίνετι η εξίσωση μ μ 0. Αν, ρ ν είνι ρ οι ρίζες της πρπάνω εξίσωσης ν ρ ρ υπολογιστεί το μ R ώστε ν ισχύει. ρ ρ 9. Αν, είνι οι ρίζες της εξίσωσης + λ = 0 ν βρεθεί ο πργμτικός ριθμός λ, έτσι ώστε ν ισχύει: 8 8 9 0. Αν ρ, ρ είνι οι ρίζες της εξίσωσης +β+γ=0 με 0 ν βρεθεί εξίσωση που ν έχει ως λύσεις τις: ρ ρ i) =ρ + ρ κι = ρ + ρ ii) = ρ κι = ρ. Αν, είνι ρίζες της εξίσωσης κ λ 0ν βρεθεί η εξίσωση της οποίς οι ρίζες είνι ρ κι ρ Εξισώσεις & Προβλήμτ που νάγοντι σε επίλυση Εξισώσεων ου βθμού. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 0 ii) 0 00 00. Ν λυθεί η εξίσωση: 5. Ν λυθεί η εξίσωση: 0 5. Ν λυθεί η εξίσωση: 8 5 0 6. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 7. 8 5 Ν λυθεί η εξίσωση: 0 5 8. Ν λυθεί η εξίσωση: 0 9 0 9. Ν λυθεί η εξίσωση: ii)
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Συνρτήσεις Κεφάλιο Συνρτήσεις ΕΝΟΤΗΤΑ : Σύνολ Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Τι ονομάζετι σύνολο; Τι ονομάζοντι στοιχεί ή μέλη ενός συνόλου;. Με ποιους τρόπους γίνετι η πράστση συνόλων;. Πότε δυο σύνολ είνι ίσ;. Τι ονομάζουμε υποσύνολο ενός συνόλου; Ποιο σύμβολο χρησιμοποιείτι γι τ υποσύνολ; 5. Πρτήρηση : Σύνολ Αριθμών Σύνολο των φυσικών ριθμών: N = {0,,,,.... } Σύνολο των κερίων ριθμών: Ζ = {....,,, 0,,,... } Σύνολο των ρητών ριθμών: Q = { / = β, με, β Ζ, β0 } Σύνολο των πργμτικών ριθμών: R = { / Q ή : άρρητος } Ισχύει: Ν Ζ Q R 6. Ποιο είνι το κενό σύνολο; Πως συμβολίζετι; 7. Τι είνι τ διγράμμτ Venn; Ποι η χρησιμότητ τους; 8. Ν περιγράψετε τις πρκάτω πράξεις συνόλων κάνοντς κτάλληλο διάγρμμ Venn: ένωση δυο συνόλων Α κι Β τομή δυο συνόλων Α κι Β συμπλήρωμ συνόλου Α
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Συνρτήσεις ΕΝΟΤΗΤΑ : Συνρτήσεις Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Τι ονομάζετι συνάρτηση;. Τι ονομάζετι νεξάρτητη κι τι εξρτημένη μετβλητή σε μι συνάρτηση y = f();. Πρτήρηση : Συνάρτηση f Κάθε συνάρτηση γι ν οριστεί χρειάζετι τρί στοιχεί: Τύπος της συνάρτησης: Είνι μι πράστση του [ y = f() ] σύμφων με την οποί γίνετι η ντιστοίχηση των στοιχείων A στ στοιχεί yb. Πεδίο Ορισμού Α: ονομάζετι το σύνολο π το οποίο πίρνει τιμές η νεξάρτητη μετβλητή. Σύνολο Τιμών f(a): ονομάζετι το σύνολο των τιμών που μπορεί ν πάρει η f γι όλ τ Α. Πρτήρηση : Πεδίο Ορισμού Α Αν το πεδίο ορισμού της f (Α f ) δεν δίνετι, τότε θεωρούμε ότι είνι το ευρύτερο δυντό υποσύνολο του R, γι τ στοιχεί του οποίου έχει νόημ ο τύπος της συνάρτησης. Στην πράξη γι ν βρούμε το πεδίο ορισμού, εξιρούμε εκείν τ γι τ οποί μηδενίζοντι οι πρνομστές στον τύπο(ν υπάρχουν) εξιρούμε εκείν τ γι τ οποί γίνοντι ρνητικά τ υπόριζ κάποιων ριζικών (ν υπάρχουν) Πριν κάνουμε την οποιδήποτε μελέτη στη συνάρτηση θ πρέπει ν βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της (ότν δεν θ δίνετι). Το πεδίο ορισμού θ πρέπει ν βρίσκετι πό τον ρχικά δοσμένο τύπο, πριν πό τις τυχόν πλοποιήσεις του. 5. Τι ονομάζετι τιμή της συνάρτησης σε κάποιο 0 ; 6. Τι ονομάζετι κρτεσινό σύστημ συντετγμένων; 7. Τι ονομάζοντι κι ποιες είνι οι συντετγμένες ενός σημείου Μ(, y); [σ69] 8. Πότε δυο σημεί είνι: i) συμμετρικά ως προς τον άξον ; ii) συμμετρικά ως προς τον άξον yy iii) συμμετρικά ως προς την ρχή των ξόνων. iv) είνι συμμετρικά ως προς τη ευθεί y =. [σ69 70] 9. Πρτήρηση : Απόστση Δύο Σημείων Η πόστση δύο σημείων Α(, y ) κι B(, y ) δίνετι πό τον τύπο: (A, B) = 0. Τι ονομάζετι γρφική πράστση συνάρτησης; [σ7]. Πρτήρηση : Σημεί τομής γρφικής πράστσης συνάρτησης με άξονες y y Γι ν βρούμε τ κοινά σημεί της γρφικής πράστσης μις συνάρτησης f με τον άξον λύνουμε την εξίσωση y = 0 βρίσκοντς έτσι τις τετμημένες των σημείων υτών. Γι ν βρούμε το σημείο που η γρφική πράστση μις συνάρτησης τέμνει τον yy θέτουμε στον τύπο της όπου = 0, βρίσκοντς την τετγμένη του.. Πρτήρηση 5: Γενικά σχόλι Η προβολή της γρφικής πράστσης της f στον δείχνει το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Η προβολή της γρφικής πράστσης της f στον yy δείχνει το σύνολο τιμών f(a) της f. Κάθε κάθετη ευθεί στον άξον τέμνει τη γρφική πράστση συνάρτησης το πολύ σε έν σημείο.
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Συνρτήσεις ΕΝΟΤΗΤΑ : Η Συνάρτηση y = + β Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Τι ονομάζουμε γωνί ευθείς με τον άξον ; Ποιες τιμές μπορεί ν πάρει η γωνί υτή; [σ7]. Τι πριστάνει η γρφική πράστση της συνάρτησης y β ;. Τι ονομάζετι συντελεστής διεύθυνσης ευθείς κι με τι είνι ίσος;. Πρτήρηση : Γενικά σχόλι γι την f() = + β Αν = 0 η συνάρτηση πίρνει τη μορφή f() = β, κι ονομάζετι στθερή συνάρτηση κι είνι μι ευθεί (y = β) πράλληλη στον. Αν β = 0 τότε f()= κι η γρφική πράστσή της είνι μι ευθεί που διέρχετι πό την ρχή των ξόνων O(0, 0). Αν =, τότε f() =, (y = ) κι η γρφική της πράστση είνι η ευθεί που διχοτομεί το ο κι ο τετρτημόριο. (εφω = & ω = 5 ) Αν =, τότε f() =, (y = )κι η γρφική της πράστση είνι η ευθεί που διχοτομεί το ο κι ο τετρτημόριο. (εφω = & ω = 5 ) 5. Ν ποδείξετε τη συνθήκη πρλληλίς δυο ευθειών δηλδή ότι ε // ε. [σ75]
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Συνρτήσεις Ασκήσεις & Προβλήμτ Σύνολ Α ΟΜΑΔΑΣ. Γράψτε με νγρφή των στοιχείων τ σύνολ i)α = {N / = 5} ii) B {Z / = 00} iii) Γ={ N / + 5 = 0} iv) Δ={(, y) R / + y=8 κι + y = 5} v) E ={Z / : πολλπλάσιο του με 5}. Ν γρφούν με περιγρφή τ σύνολ: i) Α={0,,, } ii) B={,,, 0,,, }. Ποίο πό τ πρκάτω σύνολ είνι το κενό: Α={R / ( + ) 0}, B={ R / > 0 κι 0 }. Αν Ω = {,,,, 5} είνι το σύνολο νφοράς κι Α={,, } κι Β={, } ν βρείτε τ σύνολ: A B, A B, A ', B ', A B', A B', A' B. 5. Αν Α={0,,,,, 5, 6, 7, 8}, Β={, 5, 7, 9} κι Γ={0,, 7, } δείξτε ότι: (AB)Γ = (ΑΓ) (ΒΓ) 6. Αν Ω = {0,,,,, 5} Α={, } Β = {, } ν δείξετε ότι: i) (ΑΒ) = Α Β ii) (ΑΒ) = Α Β 7. Αν Ω = R κι Α={ R / < } κι Β={ R / > } ν βρεθούν τ σύνολ Α Β, Α Β, Α, Β 8. Αν Α={λ, } κι Β={λ, } ν προσδιορίσετε τον λr ώστε: Α = Β. Συνρτήσεις 9. Δίνετι η συνάρτηση f με f() = +. i) Ν υπολογίσετε την συνάρτηση g με g Α ΟΜΑΔΑΣ 0. Ν υπολογίσετε το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων: 5 i) f ii) f 6. Ν υπολογίσετε το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων f () f () ii) ν υπολογίσετε τ g(0), g(). 6 iii) f 5 i) f 9 ii) f iii) f. Ν υπολογίσετε το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων: i) f ( ) ii) f 5 6. Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού: i) g 5 ii) f () iii) f. Aν f 5 6 ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης κι ν πλοποιηθεί ο τύπος της. ( )( )
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Συνρτήσεις 5 5. Δίνετι η συνάρτηση f() =. Ν δείξετε ότι: i) f( + β + γ) = f() + f(β) + f(γ) ii) f( + ) + f( + ) + f( + ) = f() + 8 iii) f(κ) + f(λβ) + f(μγ) = κf() + λf(β) + μf(γ) 6. Αν είνι f() = 6, ν βρεθεί ο πργμτικός ριθμός γι τον οποίο ισχύει: i) f() = 8 ii) f(8) =. 7. Δίνετι η συνάρτηση f ( ) i) Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ii) Ν πλοποιηθεί ο τύπος της iii) Ν λυθεί η εξίσωση f() = 0 β 8. Aν f ν υπολογίσετε τ, β ώστε ν ισχύει f() = κι f() =. β 9. Έστω η συνάρτηση f() =. N λυθεί η εξίσωση f() f( ) = f() + 8. 0. Αν f() =, ν ποδείξετε ότι f() + f = 0.. Αν γι την f ισχύει f f γι κάθε R, ν δείξετε ότι: f(0) = f().. Αν γι την f ισχύει f γι κάθε R, ν βρείτε τις τιμές: f(), f(0), f().. Έστω η συνάρτηση f, N βρεθούν: 5, 9 i) το πεδίο ορισμού της ii) οι ριθμοί f( ) κι f(6) iii) η τιμή του πργμτικού ριθμού λ γι την οποί ισχύει: f( ) + λf(0) = 57 B ΟΜΑΔΑΣ. Αν f() = γι κάθε R, ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: f 0 f ii) i) f iii) f iv) f f 5. Αν f() = β, γι κάθε R, ν δείξετε ότι γι κάθε,βr ισχύει : f() + f(β) f 6. Έστω η συνάρτηση: f, k λ, λ k, 0 0. Ν βρεθούν οι k, λ ώστε f( ) = f(/) κι f() = f() 5 7. Aν γι την συνάρτηση f() = β ισχύουν f() = κι f() = 0 ν υπολογίσετε το f(). 8. Δίνετι η συνάρτηση f()= i) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της κι ii) Ν πλοποιήσετε τον τύπο της. 9. Aν γι την συνάρτηση f ισχύει f() + f( ) = τότε ν βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης κι το πεδίο ορισμού της. 0. Δίνετι η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο των πργμτικών ριθμών γι την οποί ισχύει: f( ) = 6 f(000) γι κάθε. i) Ν βρείτε τον ριθμό f(000) ii) Ν βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Συνρτήσεις 6 Γρφική Πράστση Συνάρτησης Α ΟΜΑΔΑΣ. Δείξτε ότι τ σημεί: Α(, ), Β(, ), Γ(, ), Δ(, ) είνι κορυφές τετργώνου.. Δίνετι τρίγωνο με κορυφές τ σημεί Α(0,), Β(,0), Γ(+,+ ). Ν δείξετε ότι είνι ισόπλευρο.. Αν τ σημεί Α(, λ ) κι Β(, ) είνι συμμετρικά ως τον άξον yy ν υπολογίσετε την τιμή του πργμτικού ριθμού λ.. Ν βρεθεί ο λ ώστε η γρφική πράστση της f() = + λ ν διέρχετι πό το σημείο Α(, ). 5. Δίνοντι τ σημεί Α(, +) Β(, ) Γ(, β 6) Δ(γ+, ) Ε(, ) κι Ζ(δ, ). Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς, β, γ, δ ν γνωρίζετε ότι: Τ σημεί Α κι Β είνι συμμετρικά ως προς τον άξον, τ Ε κι Ζ είνι συμμετρικά ως προς την ρχή των ξόνων, το σημείο Γ βρίσκετι πάνω στον άξον κι το σημείο Δ βρίσκετι πάνω στον άξον yy. 6. Ν βρεθεί η τιμή του λ ώστε τ σημεί: i) Α ( λ, λ +), Β (, 5λ) ν είνι συμμετρικά ως προς το σημείο O(0, 0). ii) Α (λ, λ), Β (λ +, λ) ν είνι συμμετρικά ως προς την ευθεί y = iii) Α (, ), Β (, λ ) ν είνι συμμετρικά ως προς τον άξον. 7. Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο: f() =. Ν βρείτε τ σημεί τομής του γρφήμτος της f με: i) τον άξον yy ii) τον άξον iii) την ευθεί y = 8. Ν βρείτε τ σημεί στ οποί η γρφική πράστση της f() = τέμνει τους άξονες. 8 9. Ν βρεθεί το ώστε η πόστση των σημείων Α(, ) κι Β(, ) ν είνι 0. 0. Ν βρεθεί το μέσον του ευθύγρμμου τμήμτος ΑΒ, ότν τ σημεί Α κι Β έχουν συντετγμένες Α(, ) κι Β(, ).. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τ σημεί Α(,), Β(0,) κι Γ(,) είνι ορθογώνιο κι ισοσκελές.. Ν βρεθεί ο πργμτικός ριθμός κ, ώστε τ σημεί Α(, ), Β(, ) κι Γ(0, κ) ν είνι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου με ΑΒ = ΑΓ.. Δίνοντι τ σημεί Α(, ), Β(, ). Ν προσδιορίσετε σημείο Μ της ευθείς y = ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ ν είνι ισοσκελές με ίσες πλευρές τις ΜΑ κι ΜΒ.. Ν εξετάσετε ν οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων περνούν πό την ρχή των ξόνων: i) f 5 ii) f iii) f 5. Ν βρεθούν οι τιμές του γι τις οποίες η γρφική πράστση της συνάρτησης f 6 βρίσκετι κάτω πό τον άξον. B ΟΜΑΔΑΣ 6. Δίνετι σημείο Α (, ). Θεωρούμε το συμμετρικό του σημείο Α, ως προς την ρχή των ξόνων Ο. Στη συνέχει θεωρούμε το συμμετρικό Α, του Α ως προς τη διχοτόμο της γωνίς Οˆ y κι στη συνέχει το συμμετρικό του Α ως προς τον άξον. Ν βρείτε τον ριθμό ώστε: (AA ) = 0.
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Συνρτήσεις 7 7. Ν υπολογιστεί το εμβδόν του τριγώνου που σχημτίζετι πό τ σημεί: Α(, ), Β(, ), Γ(0, 0) 8. Ν βρεθούν τ σημεί τομής των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων f κι g. 6 9. Ν προσδιορίσετε τ κοινά σημεί των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων f() = + κι g() = 6 50. Ν βρεθούν οι τιμές του γι τις οποίες η γρφική πράστση της συνάρτησης βρίσκετι πάνω πό τον άξον. f Η Συνάρτηση y = + β Α ΟΜΑΔΑΣ 5. Ν βρεθεί η εξίσωση της ευθείς που διέρχετι πό την ρχή των ξόνων κι είνι πράλληλη στην ευθεί: y = + 5. Γι ποιες τιμές του λ οι ευθείες y = λ + κι y = λ είνι πράλληλες; 5. Γι ποιες τιμές του λ οι ευθείες y = (λ ) + κι y = (λ 5) + λ είνι πράλληλες; 5. Ν βρεθεί το εμβδόν του τριγώνου που σχημτίζετι πό την ευθεί: y = κι τους άξονες συντετγμένων. 55. Ν βρεθεί η εξίσωση της ευθείς που διέρχετι πό το σημείο Α(, ) κι είνι πράλληλη στην ευθεί y =. 56. Ν βρείτε την εξίσωση της ευθείς που περνάει πό το σημείο Α(, ) κι είνι πράλληλη στην ευθεί + y + 5 = 0. 57. Ν βρείτε την εξίσωση της ευθείς που περνάει πό τ σημεί Κ(, ) κι Λ(, ). 58. Ν βρεθεί η εξίσωση της ευθείς που διέρχετι πό τ σημεί: Α (, ) κι Β (0, ) 59. Ν βρεθεί η εξίσωση της ευθείς που διέρχετι πό το σημείο Α(, ) κι σχημτίζει με τον άξον γωνί 5. 60. Γι ποι τιμή του λ η ευθεί με εξίσωση y = (λ ) 7 είνι πράλληλη στον άξον. 6. Γι ποιες τιμές του κ οι ευθείες y = κ + κ κι κ + y + = 0 είνι πράλληλες; λ λ 6. Δίνετι η ευθεί ε: y λ λ. Ν προσδιοριστεί ο λ ώστε η ε ν είνι: i) πράλληλη στην ευθεί y = ii) πράλληλη στην ευθεί y = / + 5 iii) ν διέρχετι πό το σημείο (, ) iv) κάθετη στην ευθεί y = + 6. Έστω οι ευθείες y = (λ 8) + κι y = (λ λ) +. Ν βρεθεί ο λ ώστε οι ευθείες υτές ν είνι πράλληλες. 6. Ν γίνει η γρφική πράστση της συνάρτησης f 6,, 6, ν ν ν
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Συνρτήσεις 8 65. Ν γίνει η γρφική πράστση της συνάρτησης f, 0,, 66. Ν γίνει η γρφική πράστση της συνάρτησης f() = 5 ν ν ν 67. Ν γίνει η γρφική πράστση της συνάρτησης f() = + 68. Ν βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f της οποίς τη γρφική πράστση φίνετι στο διπλνό σχήμ. 69. Δίνοντι οι συνρτήσεις f() = κι g() = + i) Ν βρείτε τ σημεί τομής των γρφικών πρστάσεων των δυο συνρτήσεων με τους άξονες. ii) Ν βρείτε τ σημεί τομής των δυο γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων. 70. Η ευθεί y = + β διέρχετι πό το σημείο (, ). Αν τέμνει τους άξονες Ο, Οy στ σημεί Α κι Β ν βρεθεί η πόστση ΑΒ κι το εμβδόν του τριγώνου που ορίζετι πό τους άξονες, y y κι την ευθεί. B ΟΜΑΔΑΣ 7. Ν δείξετε ότι τ σημεί: Α(, ), Β(, ), Γ(, ) είνι συνευθεικά. 7. Ν δείξετε ότι τ σημεί: Α(0, 0), Β(, ), Γ(, ) δεν είνι συνευθεικά. 7. Ν βρεθούν οι τιμές του λ ώστε οι ευθείες y = λ κι y = λ + 5 ν είνι πράλληλες. 7. Ν βρεθούν οι τιμές των λ κι μ γι τις οποίες οι ευθείες y = λ + μ κι y = μ + λ τέμνοντι στο σημείο Α(, ). 75. Ν βρεθεί β ώστε η ευθεί y = + β ν σχημτίζει με τους άξονες συντετγμένων τρίγωνο με εμβδόν 9 τ.μ. 76. Δίνετι η συνάρτηση : f() = (μ ) + με μ<0. Ν βρεθεί το μ ώστε η γρφική πράστση της f ν τέμνει τους άξονες σε σημεί που πέχουν πόστση ίση με 5. 77. Δίνοντι οι ευθείες ε : y = + κι ε : y = + 7. i) Ν εξετάσετε ν οι ευθείες τέμνοντι κι νι ν βρείτε το σημείο τομής τους. ii) Ν βρείτε την εξίσωση της ευθείς που διέρχετι πό το πρπάνω σημείο κι είνι πράλληλη στην ευθεί ψ = + 5. iii) Ν υπολογίσετε το εμβδόν του τριγώνου που ορίζει η πρπάνω ευθεί με τους άξονες. 78. Δίνετι η συνάρτηση f() =. i) Ν εξετστεί ν η γρφική πράστση της συνάρτησης (C f ) περνάει πό την ρχή των ξόνων. ii) Ν βρεθούν οι τιμές του γι τις οποίες η C f βρίσκετι κάτω πό τον άξον. iii) Ν βρεθούν τ σημεί τομής της C f με την ευθεί y =. iv) Ν βρεθούν οι τιμές του γι τις οποίες η C f βρίσκετι πάνω πό την ευθεί y =.
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Συστήμτ Γρμμικών Εξισώσεων 9 Συστήμτ Γρμμικών Εξισώσεων Κεφάλιο ΕΝΟΤΗΤΑ : Συστήμτ δυο Γρμμικών Εξισώσεων με δυο Αγνώστους Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Τι ονομάζετι γρμμική εξίσωση με δυο γνώστους κι τι πριστάνει στο επίπεδο; [σ97]. Τι πριστάνουν οι εξισώσεις y = κ κι = κ στο επίπεδο;. Τι ονομάζουμε γρμμικό σύστημ δύο εξισώσεων με δύο άγνωστους; Ποι η γενική μορφή του; [σ99]. Τι ονομάζουμε επίλυση ενός συστήμτος; Τι ονομάζουμε λύση του συστήμτος; 5. Πώς επιλύουμε γρφικά έν σύστημ; 6. Πώς επιλύουμε έν σύστημ με τη μέθοδο της ντικτάστσης; [σ99] 7. Πώς επιλύουμε έν σύστημ με τη μέθοδο των ντίθετων συντελεστών; [σ99] 8. Πότε έν γρμμικό σύστημ είνι δύντο; Ποι είνι η γεωμετρική ερμηνεί; [σ00] 9. Πότε έν γρμμικό σύστημ είνι όριστο; Ποι είνι η γεωμετρική ερμηνεί; [σ0] 0. Ποι συστήμτ ονομάζοντι ισοδύνμ; [σ0] ΕΝΟΤΗΤΑ : Επίλυση Διερεύνηση Γρμμικού Συστήμτος Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Πως ονομάζετι η πράστση γ β δ κι με τι ισούτι;
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Συστήμτ Γρμμικών Εξισώσεων 0. Στο σύστημ βy γ ν ορίσετε τις ορίζουσες D, D, D y. βy γ. Ν λυθεί διερευνηθεί το σύστημ βy γ με τη μέθοδο των οριζουσών. βy γ Πρτήρηση : Λύση Διερεύνηση συστήμτος Σύστημ βy γ βy γ Αν D 0 τότε: το (Σ) έχει μονδική λύση την: D D κι Dy y D Αν D 0 κι D y 0 τότε το (Σ) είνι δύντο Αν D = 0 τότε: Αν D = D y = 0 τότε το (Σ) είνι όριστο ή δύντο. Πρτήρηση : Γενικές πρτηρήσεις γι το σύστημ Η περίπτωση όπου D = D = D y = 0 δίνει δύντο σύστημ μόνο ότν υπάρχει εξίσωση της μορφής 0 + 0y = γ με γ0. Αν το σύστημ ποτελείτι πό δυο ίδιες εξισώσεις, τότε έχει άπειρες λύσεις, εκτός ν μι πό τις εξισώσεις είνι δύντη. Αν το σύστημ ποτελείτι πό δυο εξισώσεις με ίδιος συντελεστές των κι y, κι άνισους στθερούς όρους τότε είνι δύντο. ΕΝΟΤΗΤΑ : Γρμμικά Συστήμτ με περισσότερους Αγνώστους Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Πρτήρηση: Γρμμικά Συστήμτ με περισσότερους γνώστους Η μέθοδος της πλοιφής που χρησιμοποιήθηκε γι τη λύση συστήμτος δυο γρμμικών εξισώσεων με δυο γνώστους, μπορεί ν χρησιμοποιηθεί κι γι τη λύση γρμμικών εξισώσεων με περισσότερους γνώστους. Γι ν λύσουμε έν σύστημ τριών εξισώσεων με τρεις γνώστους το μετσχημτίζουμε διδοχικά έν ισοδύνμο κλιμκωτό όπως λέμε σύστημ κολουθώντς τ εξής βήμτ: ης ης ης ης o Απλείφουμε το μετξύ κι εξίσωσης κθώς κι μετξύ κι. o o Απλείφουμε το y μετξύ των εξισώσεων που προκύπτουν. Βρίσκουμε το z κι μετά το y κι το.. Ποιο σύστημ ονομάζετι ομογενές; Πως γίνετι η επίλυση; σε
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Συστήμτ Γρμμικών Εξισώσεων Ασκήσεις & Προβλήμτ Γρμμικά Συστήμτ Α ΟΜΑΔΑΣ. i) Πως διπιστώνουμε λγεβρικά ν μι ευθεί με εξίσωση: βy γ διέρχετι πό έν σημείο με συντετγμένες ( 0, y 0 ); ii) Η ευθεί με εξίσωση y διέρχετι πό το σημείο με συντετγμένες (, ); iii) Σχεδιάστε σε ορθοκνονικό σύστημ ξόνων την ευθεί με εξίσωση y κι επληθεύστε γρφικά την πάντηση σς στο πρπάνω ερώτημ.. Ν επιλυθούν γρφικά τ πρκάτω συστήμτ. y y i) ii) iii) iv) y y 6 y 6 y y 7. Ν λυθούν τ συστήμτ. y y 5y 6 y i) ii) iii) iv) y 5 5 9y 8 5 y. Ν λυθούν τ συστήμτ. 7y y κ λ i) ii) iii) iv) 6 0y y 6κ λ 5. Ν λυθούν τ συστήμτ. μ 5ν 6 β β i) ii) iii) iv) μ 0ν 0 5 β 7β β 8β ω φ 8 5ω 7φ 5 6. Ν λυθούν τ συστήμτ. y i) y ii) y y iii) y 0 0 y 0 7. Ν λυθούν τ συστήμτ. 0,y,6 5 i) y y 6 ii) y 8 5y 9 6 y iii) y 8. Ν βρεθούν οι πργμτικοί ριθμοί κ κι λ ώστε οι ευθείες με εξισώσεις y = κ κι λy = ν τέμνοντι στο σημείο Α(, ). 9. Ν βρεθούν οι πργμτικοί ριθμοί κι β ώστε οι ευθείες με εξισώσεις βy = κι ( ) + (β )y = ν τέμνοντι στο σημείο Α(, ). 0. Ν βρείτε δυο ριθμούς που έχουν άθροισμ 6 κι διφορά.
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Συστήμτ Γρμμικών Εξισώσεων. Ν λυθούν τ συστήμτ: i) y y ii) 8y 0 0y y 5. Ν λυθούν τ συστήμτ: i) y y 8 ii) y. Ν λυθούν τ συστήμτ: i). Ν λυθούν τ συστήμτ: i) 5. Ν λυθούν τ συστήμτ: i) y y y 5 y 5 y y 0 0 y ii) 5y 9 y ii) y ii) 6 y 7 y 0 6. Σε έν parking βρίσκοντι συνολικά 60 υτοκίνητ κι μοτοσικλέτες. Αν έχουν συνολικά 00 τροχούς πόσ είνι τ υτοκίνητ κι πόσες οι μοτοσικλέτες; B ΟΜΑΔΑΣ 7. Το άθροισμ των ψηφίων ενός διψήφιου ριθμού είνι 0. Αν λλάξουμε τη θέση των δυο ψηφίων, προκύπτει ριθμός κτά 8 μεγλύτερος. Ν βρεθεί ο διψήφιος ριθμός. 8. Η περίμετρος ενός ορθογωνίου είνι cm. Αν υξήσουμε συγχρόνως τη μι πλευρά κτά cm κι την άλλη κτά cm, τότε το εμβδόν του υξάνει κτά cm. Ποιες είνι οι διστάσεις του ορθογωνίου; βy 9. Ν ποδείξετε ότι το σύστημ δεν μπορεί ν έχει ως λύση το ζεύγος (, β). βy y 0. Ν λυθεί το σύστημ β με β 0, ν γνωρίζετε ότι το ζεύγος (, β) είνι λύση του. y 0 Επίλυση Διερεύνηση Γρμμικού Συστήμτος Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 0 ii). Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 6. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 9 0 0 0 0 ii) 0 0 0 0 ii) 0 0. Ν δείξετε ότι : γ β δ z y βz ω γ δz y βω γy δω
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Συστήμτ Γρμμικών Εξισώσεων 5. Ν λύσετε με τη μέθοδο των οριζουσών τ συστήμτ των σκήσεων,,, 5, 6, 7 6. Ν λυθούν τ συστήμτ: i) 5 y y 5 5 ii) y 6y y 8 κ 7. Ν βρεθεί η τιμή της πρμέτρου κ, ώστε το σύστημ ν έχει κ κ y κ κ μονδική λύση τη (, y) = (5, ). λ y 8. Γι ποι τιμή του πργμτικού ριθμού λ το σύστημ έχει άπειρες λύσεις; y y λ 9. Γι ποι τιμή του πργμτικού ριθμού λ το σύστημ είνι δύντο; y κ y 0. Ν εξετάσετε ν υπάρχουν τιμές του κr, ώστε το σύστημ έχει μονδική λύση. κ y κ y (5 )y. Ν λυθούν τ συστήμτ γι τις διάφορες τιμές του λr: i) ii) 6 y y 0. Ν λυθεί το σύστημ γι τις διάφορες τιμές του λr: (λ ) y λ λ λy. Ν λυθεί το σύστημ γι τις διάφορες τιμές του λr: ( ) y y λ y κy. Ν βρείτε τις τιμές των λ κι μ, ν γνωρίζετε ότι τ συστήμτ κι είνι y λy κι τ δυο δύντ. B ΟΜΑΔΑΣ 5. Ν λυθεί η εξίσωση: κ κ κ κ βy y 6. Ν βρείτε τις τιμές των κι β, ν γνωρίζετε ότι τ συστήμτ κι y β y είνι ντίστοιχ δύντο κι όριστο; (λ ) 8y λ 7. Γι ποιες τιμές του λ το σύστημ: έχει: λ (λ )y λ i) μονδική λύση ii) μονδική λύση ( 0, y 0 ) που ικνοποιεί τη σχέση 0 +y 0 = iii) κμί λύση iv) άπειρες λύσεις 8. Σε έν γρμμικό σύστημ ισχύει ότι D D μ D y (, y) = (, -) ν βρείτε τη τιμή του μ. 9. Σε έν γρμμικό σύστημ ισχύει ότι D D D D D ( y. Αν το σύστημ έχει μονδική λύση τη. i) Ν ποδείξετε ότι D ) D (D ) 0. ii) Ν βρείτε τ, y. y y
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο : Συστήμτ Γρμμικών Εξισώσεων 0. Σε έν γρμμικό σύστημ ισχύει ότι D D D. Αν το σύστημ δεν έχει μονδική λύση, ν ποδείξετε ότι είνι δύντο.. Δίνετι το γρμμικό σύστημ που έχει ορίζο υσες D, D, D y. Αν το σύστημ έχει μονδική λύση την ( o,y o ) κι επί πλέον ισχύει: D D = D(D D y 5D) τότε ν βρείτε την λύση υτή. y. Σε έν γρμμικό σύστημ ισχύει πάντ ότι D D y D DD y. Ν βρείτε τ, y.. Σε έν γρμμικό σύστημ δυο εξισώσεων με γνώστους τ κι y ισχύει ότι D D D κι D D y D. Αν το σύστημ έχει μονδική λύση ν βρείτε την λύση υτή. y y Γρμμικά συστήμτ με περισσότερους πό δυο γνώστους y z y ω 7 y. Ν λυθούν τ συστήμτ: i) y z 0 ii) y ω 9 iii) y z z y ω z 5. Ν λυθούν τ συστήμτ: i ) y ω y ω y z y 6ω ii) y ω 7 iii) 6y z y ω y ω y z 8 y ω 0 y 5 0 y ω 6. Ν λυθούν τ συστήμτ: i) y ω 0 ii) 5y 9 0 iii) 5 y ω 0 5 9y 7 0 y ω Συστήμτ ου Βθμού 7. Ν λυθεί το σύστημ: y y y 9 8. Ν λυθεί το σύστημ: y y y y 9. Ν λυθεί το σύστημ: 50. Ν λυθεί το σύστημ: 5. Ν λυθεί το σύστημ: 5. Ν λυθεί το σύστημ: y y y y 6 y y 5 y y 6 y y
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο 5: Μελέτη Συνάρτησης Η f() = + β + γ, 0 5 Μελέτη Συνάρτησης Η Συνάρτηση f() = + β + γ, 0 Κεφάλιο 5 ΕΝΟΤΗΤΑ : Μελέτη Συνάρτησης Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Πρτήρηση : Μελέτη Συνάρτησης Η διδικσί που κολουθούμε γι τη μελέτη μις συνάρτησης είνι:. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της f. Ανζητούμε συμμετρίες Μι συνάρτηση f λέγετι άρτι ν γι κάθε Α ισχύει: Α & f f Μι συνάρτηση λέγετι περιττή ν γι κάθε Α ισχύει: Α & f f. Εξετάζουμε τη μονοτονί της συνάρτησης Μι συνάρτηση f λέγετι γνησίως ύξουσ σε έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ ισχύει: ν τότε f f Μι συνάρτηση f λέγετι γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότν γι οποιδήποτε, Δ ισχύει: ν τότε f f. Ανζητούμε τ κρόττ Μι συνάρτηση f προυσιάζει ελάχιστο στο o A ότν: Μι συνάρτηση f προυσιάζει μέγιστο στο o A ότν: f f f f 0 γι κάθε A γι κάθε A 5. Εξετάζουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης f γι μεγάλες - μικρές τιμές του. 6. Κάνουμε πίνκ τιμών κι σχεδιάζουμε τη γρφική πράστση της συνάρτησης. 0
Άλγεβρ Α Λυκείου Κεφάλιο 5: Μελέτη Συνάρτησης Η f() = + β + γ, 0 6. Πρτήρηση : Γενικά Σχόλι Aν μι συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη στ διστήμτ Δ κι Δ υτό δεν σημίνει ότι είνι οπωσδήποτε μονότονη κι στην ένωσή Δ Δ Γι ν μελετήσουμε τη μονοτονί μι συνάρτηση f της στο Α μπορούμε ν εργστούμε ως εξής: Ν υποθέσουμε ότι < (, A) κι συνθετικά ν δημιουργήσουμε μι διάτξη γι τ f( ) κι f( ). Ν θεωρήσουμε τυχί, A με < κι ν ελέγξουμε το πρόσημο της διφοράς: f( ) f( ). Μι συνάρτηση δεν έχει πάντ κρόττ. Μι συνάρτηση f που είνι γνησίως μονότονη δεν έχει κρόττ Ο άξονς yy είνι ο άξονς συμμετρίς μις άρτις συνάρτησης. Η ρχή των ξόνων Ο είνι το κέντρο συμμετρίς μις περιττής συνάρτησης.. Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f β. Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f 5. Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f., 0., 0. ΕΝΟΤΗΤΑ : Η Συνάρτηση f() = + β + γ με 0 Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισμοί Πρτηρήσεις. Τι ονομάζετι πολυωνυμική συνάρτηση ου βθμού, ποιες είνι οι ρίζες της κι τι δηλώνουν;. Πρτήρηση : Πργοντοποίηση Τριωνύμου Αν Δ > 0 Η συνάρτηση f β γ, 0 β γ όπου, οι ρίζες του τριωνύμου Αν Δ = 0 Αν Δ < 0 β γ δεν πργοντοποιείτι 0 όπου 0 η ρίζ του τριωνύμου. Πως προκύπτει η γρφική πράστση της συνάρτησης f φ c. Πως προκύπτει η γρφική πράστση της συνάρτησης f φ c δεδομένης συνάρτησης φ(); δεδομένης συνάρτησης φ(); 5. Ν μελετηθεί η f β γ, 0. Σε ποι τιμή του προυσιάζει μέγιστη ελάχιστη τιμή; 6. Πρτήρηση : Γρφική πράστση της f β γ, 0 Η ευθεί = β/ είνι άξονς συμμετρίς της πρβολής y β γ Η πρβολή y β γ εφάπτετι στον ν κι μόνο ν Δ = 0.