ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να β) Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: f fg, με g 0, όπου c πραγματική σταθερά. g Μονάδες 8 Μονάδες 4,5 Β.α) Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Α Στήλη Β συνάρτηση πρώτη παράγωγος α. 3. β.. 3 8 γ. 3. 3 3 δ. 4 4. 5. 6. 3 4 7. β) Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f e, 0 είναι:, A: e, B e e :, : e e : e e, E e e : Α.α) Σχολικό βιβλίο παρ..3, σελ. 3 cf cf β) fg f g fg f g Β.α) 5 f g g f g Μονάδες 8 Μονάδες 4,5

7 β) Το Δ. 000 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ ο A. Στη στήλη Ι του παρακάτω πίνακα υπάρχουν τα πρώτα μέλη των ισοτήτων οι οποίες εκφράζουν τους κανόνες παραγώγισης. Στη στήλη ΙΙ υπάρχουν τα δεύτερα μέλη των ισοτήτων αυτών. ΣΤΗΛΗ Ι Α. (c f() ) Β. (f() + g() ) Γ. (f() g()) Δ. g()0 f g Ε. [f(g() )] με ΣΤΗΛΗ ΙΙ. f()g() + f()g(). f g fg g f g 3. 4. f() + g() 5. f() f() 6. c f() 7. f(g() )g() Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της πρώτης στήλης του πίνακα και, ακριβώς δίπλα, τον αριθμό της δεύτερης στήλης έτσι ώστε να προκύψουν οι γνωστοί κανόνες παραγώγισης. Μονάδες,5

B. Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων:. f () = +. f () = e 3. f 3 () = + n, > 0 4. f 4 () =, - 5. f 5 () = ημ + 3 συν Μονάδες,5 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f() = 3-9 + 004. α. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο f της συνάρτησης f. Μονάδες 8 β. Να λύσετε την εξίσωση f () = 0. Μονάδες 8 γ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (-, 0) και ( 3, +) ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( 0, 3 ). Μονάδες 9 000 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f() ημ - 3 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να βρείτε την παράγωγο f της συνάρτησης f. γ) Να υπολογίσετε την τιμή f (0). Μονάδες 7 Μονάδες 9 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση f () = 3 + 5 + 3 α) Να βρείτε την πρώτη παράγωγο της f. Μονάδες β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. 3

00 Μονάδες 3 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f() = συν + ημ. A. Να αποδείξετε ότι f() + f () = 0. Μονάδες 8 Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (0,). Μονάδες 8 Γ. Να βρείτε την τιμή λir για την οποία ισχύει η σχέση: λ f π π f =. Μονάδες 9 A. f() = συν + ημ, f () = (συν + ημ) = (συν) + (ημ) = - ημ + συν f () = (f ()) = (- ημ + συν) = (- ημ) +(συν) = συν ημ Άρα f() + f () = συν + ημ+ ( συν ημ) = 0 Β. η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (0,) είναι ε: y = λ + β, όπου λ = f (0). Δηλαδή ε: y = f (0) + β Είναι f (0) = - ημ0 + συν0 =, Άρα ε: y = + β Για το β: αντικαθιστώ τις συντεταγμένες του σημείου Α (0,) που είναι το σημείο επαφής της γραφικής παράστασης της f και της εφαπτομένης της ε. = 0, y = = 0 + β β = τελικά ε: y = + Γ. αφού μας δίνει τη σχέση λ Έχω: f = - ημ συν f = ημ +συν Άρα λ f π f f π π f π =, θα βρώ το f = λ (-) - = - λ = 4 λ = - 4 π και το f π 00 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ ο 4

Α.. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, τότε να Α.. αποδείξετε ότι: c f() c f (), όπου c πραγματικός αριθμός. Μονάδες 6,5 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. f() g() f () g() f() g () β. fg() fg() g () γ. f() g() f() g() g () f() g() δ. ρ =ρ ρ -, ρ ρητός, >0 ε. ημ = συν, (g() 0) στ. συν = ημ Μονάδες 6 Β.. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης Β, που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Α Συνάρτηση f α. ln β., > 0 γ. ημ3. Στήλη Β Πρώτη παράγωγος της f ημ. 3συν3, 0 3. 4. 5. ημ συν συν 6. 3συν3 ημ Μονάδες 7,5 5

Β.. Αν f()= ( ) 4 και f(α) 7 4 να βρείτε την τιμή του α., όπου α πραγματικός αριθμός, τότε 00 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ 3o Δίνεται η συνάρτηση f()= ημ + +, όπου R. Να βρείτε: α) το lim f() 0 β) την παράγωγο της συνάρτησης f Μονάδες 8 Μονάδες 9 γ) το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) τέμνει το ν άξονα y y. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4ο Δίνεται η συνάρτηση f() = Να βρείτε:, όπου R. α) τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα Μονάδες 0 β) τα ακρότατα της συνάρτησης f γ) τoν ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f στο σημείο 0=0 δ) την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α(0,f(0)). 00 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο Α. α) Στη Στήλη Ι του παρακάτω πίνακα δίνονται συναρτήσεις f() και στη Στήλη ΙΙ οι παράγωγοί τους f ( ). Να γράψετε τα γράμματα της Στήλης Ι και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 6

A. Στήλη Ι Συνάρτηση f() Β., > 0 Γ. ρ, > 0 και ρ ρητός Δ. ημ Ε. συν Στήλη ΙΙ Παράγωγος f ( ). -ημ. ρ- 3. συν 4. 5. 6. ρ ρ- 7. 8. ημ β) Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f() και g() στο R. Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: f() + g(), f() g() με g() 0, f(g()). Μονάδες 7,5 B. Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: α) f () = 3 + ημ + 3 συν β) f () = ( - ) γ) f3() δ) f4() 3 ΘΕΜΑ 4ο ε) f 5 () = συν( +3) Μονάδες,5 Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 + 5 +6, R. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα. Μονάδες 0 β) Να βρείτε σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης. 7

lim 5 γ) Να βρείτε το 3 6 Μονάδες 0 00 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f() =. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Μονάδες 4 β. Να υπολογίσετε το όριο lim f() 3. Μονάδες 4 γ. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της f. Μονάδες 7 δ. Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της καμπύλης της συνάρτησης f που είναι παράλληλες στην ευθεία y = + 5. Μονάδες 0 α) + 0 - άρα Df = (-, -) (-, + ) β) lim f() 3 = 6 3 lim 3 4 γ) η συνάρτηση f() = = ( ), όπου Df.είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο f () = ( ) = ( ) δ) Αν Α ( o, f( o ) ) το σημείο επαφής τότε: f ( ο ) = ( ) = o = - ή o = 0 ()( ) ( ) ( ) = Άρα τα σημεία επαφής είναι Α (0, f(0) ) δηλαδή Α (0, 0) ή Α (-, f(-) ) δηλαδή Α (-, 4) με αντίστοιχες εφαπτόμενες y = και y = + 8 00 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f()=α(-), αιr. Α. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Ο(0, f(0)) να σχηματίζει με τον άξονα γωνία 45. 8

Μονάδες 0 Β. Για α=/, να βρείτε: α. την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της (, f()). β. τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες 0 00 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ 3o Δίνεται η συνάρτηση f()=6 4 + 3 + 0, όπου ΙR.. Να βρείτε: α. το lim f(), β. την παράγωγο της συνάρτησης f και γ. τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες 5 00 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο α) Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f()= είναι f ()=. Μονάδες 9 β) Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη, θεωρώντας ότι υπάρχουν οι f () και g ().. f () g() f () g (). (ημ) = συν 3. f () g() f () g () 4. f() g() 5. f, >0 6. c f() c f () () g() f() g g() (), g() 0 7. συν ημ, ρ ρητός, >0 Μονάδες 6 ρ ρ 8. 9

ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 0 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(). β) Να βρείτε τα : lim f(), lim f() Μονάδες γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f() είναι γνησίως αύξουσα στο (,+ ). Μονάδες 8 003 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η συνάρτηση f() = Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο: α. R β. (-,) γ. R- {-,} δ. (, + ) Β. Να αποδείξετε ότι f () < 0 για κάθε του πεδίου ορισμού της. Μονάδες 7 Γ. Να υπολογίσετε το lim f() Μονάδες 6 Δ. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (0, f(0)) με τον άξονα. Μονάδες 7 AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 3 ο Α. γ Β. f () = ()( )( )( ) ( ) () 0 ( )( )( )( )( ) Γ. lim () f lim () lim f [ ] lim [ ] ( )( ) lim [ ] ( ) 0

Δ. Έστω ω η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (0, f(0)) με τον άξονα. Ισχύει λ = εφω όπου λ = f (0) = ω = 35 ο (0 ) (0 ). Αρα εφω = - δηλαδή ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 003 ΘΕΜΑ ο Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0 του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το: α. lim f(0 h) f(h) h0 h αριθμός, h R, h 0 και το όριο αυτό είναι πραγματικός β. γ. αριθμός lim f(0 h) f(0), h R, h 0 h0 h lim f(0 h) f(0) h0 h, h R, h 0 και το όριο αυτό είναι πραγματικός δ. lim f(0 h) f(h) h0 h, h R, h 0. ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f(). α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. β. Να δείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της f, όταν =3, ισούται με γ. Αν h() = f() 3 για, να υπολογίσετε το lim h() 3. 4. Μονάδες 0 Μονάδες 0 ΘΕΜΑ ο Β. γ

003 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ 3o Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε: 3 f() 4 5, όπου IR. α) το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα, β) το lim f(), 0 γ) την παράγωγο της συνάρτησης f, δ) τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα και ε) τα ακρότατα της συνάρτησης f. 003 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ 3o Δίνεται η συνάρτηση f()= 9,όπου IR.

Να βρείτε: α) το lim f() 0 και το lim f(), β) την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης f, και Μονάδες 6 Μονάδες 9 γ) τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 4ο Ένα χελιδόνι πετάει και το ύψος του h (σε μέτρα), από το έδαφος, δίνεται σε συνάρτηση με το χρόνο t (sec) από τον τύπο: Να βρείτε : h(t) = 3t - 6t + 5, 0 t 5 α) το ύψος στο οποίο το χελιδόνι βρίσκεται τη χρoνική στιγμή t = 0, β) το ρυθμό μεταβολής του ύψους h, ως προς t, τη χρονική στιγμή t =, Μονάδες 6 Μονάδες 7 γ) σε ποια χρονική στιγμή t το ύψος του χελιδονιού από το έδαφος γίνεται ελάχιστο και ποιο είναι τότε το ύψος αυτό; 004 ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης Μονάδες f() = c είναι ίση µε 0. Μονάδες 8 Β. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης f στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της. ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f ( ) 4 3 3 Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Μονάδες 0 lim f() 3 Μονάδες 5 Β. Να υπολογίσετε το 3

ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 8 Β. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 ΘΕΜΑ ο Α. αφού 4 3 f ( ) πρέπει και αρκεί 0 3 και 3 Άρα Df = [ 0, 3) (3, + ) και 3 0 0 και 3 0 Β. lim f()= lim 4 3( )( 3)( 3) 3 3 3 lim 3( 3)( 3) ( )( 3)( 3) lim lim[( )( 3)] 4 3 3 3 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 004 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f(). e α. Να βρείτε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης. Μονάδες 9 e β. Να αποδείξετε ότι f() f (). Μονάδες 8 γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (0, f(0)). Μονάδες 8 α.: Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, με παράγωγο f (), e e e e e f () = 0 + = 0 = - Το πρόσημο της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. 4

Από τον πίνακα μεταβολών βλέπουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,. Παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f ( ) e. β.: Είναι f ()() f. e e e e γ.: Στη γενική εξίσωση της εφαπτομένης y f ()()() 0 0 f 0, θέτουμε 0 0, f () 0 και f () 0 και βρίσκουμε y. 004 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις f() = 5 + 6 και g() = 3, όπου IR. α) Να βρείτε τα f ( ) lim, g( ). Μονάδες 8 lim β) Να βρείτε το f ( ) lim 3 g( ). Μονάδες 7 γ) Αν f () και g ( ) είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων f() και g() αντίστοιχα, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Κ = 3 f (00) + 89 g (-). Μονάδες 0 004 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ 4ο Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 ( -), IR. α. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο f (), της f(). β. Να αποδείξετε ότι: f () f () = 4. Μονάδες 6 γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης f στο σημείο µε τετμημένη 0 =. Μονάδες 7 δ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα. Μονάδες 7 5

005 ΘΕΜΑ ο Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Μονάδες f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) β. Ισχύει g( ) g( ) όπου f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Μονάδες ΘΕΜΑ 4o Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f ( ), (0, + ). α. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f στο σημείο Λ(,). Μονάδες 7 β. Από τυχαίο σημείο Μ(, y) της γραφικής παράστασης της f φέρνουμε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες και yy, οι οποίες σχηματίζουν με τους ημιάξονες Ο, Oy ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Μ, ώστε η περίμετρος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου να είναι ελάχιστη. Μονάδες 0 6

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 005 ΘΕΜΑ ο A.. Δίνονται οι συναρτήσεις F(), f() και g() με F() = f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι: F () = f () + g (). Μονάδες 9 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα, το οποίο αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. β. Αν >0, τότε ln στ. Μονάδες Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης αναφέρεται μόνο σε σημεία του πεδίου ορισμού της. ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f() = αln-β με α, βr. Μονάδες α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Μονάδες 3 β. Να βρείτε την παράγωγο της f για κάθε, το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισμού της. γ. Να βρείτε τα α και β, ώστε η εφαπτομένη στο σημείο Α(,) της γραφικής παράστασης της f να είναι y=3 -. Μονάδες 0 3 δ. Να βρείτε το lim f (). Μονάδες 7 7

ΑΠ ΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α.α) Σχολικό βιβλίο παρ..3, σελ. 3 Β. β. Σ γ. Σ ΘΕΜΑ ο α.: Πρέπει και αρκεί 0, άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το 0,.. β.: Είναι f () ln(ln)() a γ.: Το σημείο επαφής της εφαπτομένης είναι το, συντελεστή διεύθυνσης 3, αφού y = 3-, άρα f () 3., άρα είναι f (). Η εφαπτομένη έχει Είναι f () ln και f () 3 3 3. δ.: Έχουμε. 3 3 lim() f lim 4 8 4 3 005 ΕΣΠΕΡΙΝΑ Θ Ε Μ Α ο Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η f( ) = 5 6 α) Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς f( ). Μ ο ν ά δ ε ς 5 β) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο lim f ( ). 4 Μ ο ν ά δ ε ς 5 γ) Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο lim f ( ). Μ ο ν ά δ ε ς 7 δ) Ν α β ρ ε ί τ ε τ η ν π ρ ώ τ η π α ρ ά γ ω γ ο f ( ), τ η ς f( ). Μ ο ν ά δ ε ς 8 005 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Θ Ε Μ Α ο Δί νεται η συνάρτηση f( ) = 3 α) Ν α βρείτε το πεδίο ορισμού της συνά ρτησης f. Μ ο νά δ ε ς 5 8

β) Ν α β ρείτε την πρώτη παράγωγο f () κ αι να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) = 0 έχει ρίζες τους αριθμούς 3 και. γ) Ν α βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνά ρτησης f στο Μ ο νά δ ε ς 0 διάστημα (,+ ). Μ ο νά δ ε ς 0 006 ΘΕΜΑ o A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f()) =c f (), ΙR. B. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής; Μονάδες 0 Μονάδες 4 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 0 A, όταν f() f( 0 ) για κάθε σε μια περιοχή του 0. γ. Για κάθε 0 ισχύει: Μονάδες Μονάδες ΘΕΜΑ 4ο Έστω η συνάρτηση f()= - + k +4 +0, 0. α. Aν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο Α(,f()) είναι παράλληλη στον άξονα, να αποδείξετε ότι k= και να βρείτε την εξίσωσή της. Β. Σελ.6 Γ. α. Σ γ. Λ 9

006 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f() = e (α +β+9) με α,β IR. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της Α(,e ) είναι y = e +3e, τότε: α. Να αποδείξετε ότι α= και β= 6. Μονάδες β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. 006 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ 3o Έστω αιr.. Δίνεται η συνάρτηση f() = α 8 με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών ΙR.. Μονάδες 3 Ι. Να βρεθεί το αιr. αν γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο Α(, ). ΙΙ. Αν α = 4, α) να βρεθεί η παράγωγος f (). β) να βρεθεί το 0 ΙR. στο οποίο η συνάρτηση f() παρουσιάζει ακρότατο. Να βρεθεί αν το ακρότατο είναι μέγιστο ή ελάχιστο. Μονάδες 0 γ) να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() στο σημείο Α(, ). 0

007 ΘΕΜΑ o B. α. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. β. Αν f, g είναι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τό τε για την παράγωγο της σύνθετης συνάρτησης ισχύει: f(g() =f(g() g() Μονάδες γ. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f ( 0 )=0 για 0 (α,β), f ()>0 στο (α, 0 ) και f ()<0 στο ( 0,β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α,β) για = 0 ελάχιστο. Μονάδες Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: f () = ν, όπου ν φυσικός f () = ln, όπου >0 f 3 () =, όπου >0 f 4 () = συν, όπου πραγματικός. Μονάδες 4 ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f() = e +3, όπου πραγματικός αριθμός. α. Να αποδείξετε ότι f () = f() + e 3 Μονάδες 0 β. Να βρεθεί το f()-e lim 0 -. Μονάδες 5

Γ 007 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ ο Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους των π αρακάτ ω συνα ρτήσεων: f ( ) =e ό που πραγματικό ς. f ( ) = ό που 0. f 3 ( ) =ημ όπου πραγματικό ς. f 4 ( ) =c ό που πραγματικό ς και c σταθερά. Μ ο νά δ ε ς 4 ΘΕΜΑ ο Δί νεται η συνάρτηση με τύπο f (). α. Ν α βρεθεί το πεδ ί ο ορισμού της συνά ρτησης f( ). Μ ο νά δ ε ς 5 β. Ν α βρεθεί το όριο lim f(). Μ ο νάδες 8 γ. Ν α εξετασθεί η συνά ρτηση f( ) ως προς τη μονοτονί α και να βρεθούν τα ακρ ότατά της. Μ ο νά δ ε ς

007 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με + f()=, όπου IR. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και την παράγωγο της. Μονάδες 0 β) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες 0 γ) Να υπολογίσετε το όριο lim f f 007 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με f()= +, όπου IR. Να βρείτε: α) Το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f ως προς, όταν =. Μονάδες 0 β) Τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες 0 γ) Το σημείο Α( 0,f( 0 )) της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στην ευθεία y=3. 008 ΘΕΜΑ ο A. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f()=c (όπου πραγματικός αριθμός) είναι ίση με 0, δηλαδή (c) = 0. Μονάδες 8 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. γ. Αν >0, τότε. Μονάδες δ. Αν 0 είναι ένας πραγματικός αριθμός τότε lim ημ ημ 0 Μονάδες 0 3

ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση με τύπο α. Να υπολογίσετε το όριο f() e e f() lim, όπου πραγματικός αριθμός.. Μονάδες 7 β. Να αποδείξετε ότι e f ()=. Μονάδες 9 γ. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(). Μονάδες 9 4

008 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ 4ο Έχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 00 m μια ορθογώνια περιοχή από τις τρεις πλευρές της (Σχήμα ). Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος. Έστω ότι το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί είναι. Σχήμα α. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της περιοχής που περιφράξαμε δίνεται από τον τύπο f() = 00. Μονάδες 6 β. Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια που θα μπορούσαμε να περιφράξουμε με το συρματόπλεγμα των 00 m. Μονάδες 7 008 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο 3 3 Δίνεται η συνάρτηση f () k, με πεδίο ορισμού το IR και kr. Α) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Μ(3,8), να βρείτε τον k. Β) Για k= α) Να αποδείξετε ότι: f () f () ( ) για κάθε IR. Μονάδες 0 5

β) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες 0 009 ΘΕΜΑ 3o ίνεται η συνάρτηση f() = 3 6 + α 7, όπου α πραγματικός αριθμός, για την οποία ισχύει f( ) f( ) 5 3, R α. Να δείξετε ότι α=9 Μονάδες 7 β. Να υπολογίσετε το όριο f( ) lim Μονάδες 8 γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y= 3 Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η συνάρτηση f() = ln + λ 6λ +, > 0 όπου λ ένας πραγματικός αριθμός. Α. α. Να προσδιοριστεί το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα και το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα. Μονάδες 6 β. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 3o α. f() = 3 6 + α 7 f () = ( 3 6 + α 7) = 3 + α f () = (3 + α) = 6 - f( ) f( ) 5 3 (6 -)+ 3 + α +5= 3-4+ 3 + α +5= 3 α = 9 β. f( ) 3 ( 9 ) 3 4 3 lim lim lim ( )( ) 3( 4)( )( 3 )( ) 3 3 3 3 lim lim lim 3 ( )( )( )( )( ) γ. Αν Α ( o, f( o ) ) το σημείο επαφής τότε: f ( ο ) = -3 3 o 0 9 3 6

-Να υπολογίσετε την τιμή του πραγματικού αριθμού α. Α) o 0 o 0 3 0 4 4 0 o = Άρα τα σημεία επαφής είναι Α (, f() ) δηλαδή Α (, -5) με αντίστοιχη εφαπτόμενη y = - 3 + ΘΕΜΑ 4ο α. f() = ln + λ 6λ+, με > 0 f () = = f () = 0 0 από τον πίνακα μεταβολών προκύπτει ότι η f είναι γ. αύξουσα στο (0,] και γ. φθίνουσα στο [,+ ) β. από τον πίνακα μεταβολών προκύπτει ότι η f παρουσιάζει ολ. μέγιστο το f() = λ 6λ++ln. 009 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f() = α 3 8, όπου α ένας πραγματικός αριθμός. α. Αν lim f( ) 7, να βρεθεί η τιμή του α β. Έστω α= f( ) i. Να βρεθεί το όριο lim Μονάδες 0 ii. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη = 0 009 Ε.Π. Α.Λ. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η συνάρτηση f: με τύπο f() = 3 + 4 + αe, όπου α = lim +3 + + Β) Για α = α) Nα υπολογίσετε την f () β) Nα αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο 7

009 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ 3 ο ίνεται η συνάρτηση f() =, R. + α. Να βρείτε την πρώτη παράγωγο f (). β. Να προσδιορίσετε το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα και το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα. Μονάδες 8 γ. Να βρείτε τα ακρότατα της f. δ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της (-, f(- )). Μονάδες 7 00 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. ΘΕΜΑ B α) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν στο 0 όρια πραγματικούς αριθμούς, τότε lim()() f lim() g lim() f g 0 0 0 β) Για κάθε >0 ισχύει γ) Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση =f(t), τη χρονική στιγμή t 0 είναι υ(t 0 )=f (t 0 ) δ) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία, με < ισχύει f( ) < f( ) Δίνεται η συνάρτηση Β. Να υπολογίσετε το lim f()- f (), R Μονάδες 0 Β. Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη 0 =0 Μονάδες 0 B3. Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει η παραπάνω εφαπτομένη με τον άξονα 8

00 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και cr, να αποδείξετε ότι (cf()) = cf (),. Μονάδες 9 Α. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το Α, τότε η συνάρτηση f g έχει πάντα πεδίο ορισμού το Α β) Ισχύει lim (συν) = συν 0 Μονάδες 0 o 9

A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 30 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 3 Α4. α. Λάθος, β. Σωστό 00 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση 3 f () 9, όπου α,β πραγματικοί αριθμοί. Γ. Αν η εφαπτομένη στο σημείο Μ(,5) της γραφικής παράστασης της f έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με 5, να αποδείξετε ότι α = β = 3. Μονάδες 0 lim Γ. Για α=β=3, να βρείτε το όριο f () 9 4 Γ3. Για α=β=3, να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης g()() 0 f Μονάδες 0 ΑΠ ΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ Γ. Αφού Μ(,5) θα είναι f() = 5. () Επίσης, αφού η εφαπτομένη στο σημείο Μ(,5) της γραφικής παράστασης της f έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με 5, θα ισχύει f () = 5 (), όπου 3 f ()( 9) 3 9 a και f a a () 3 9 4 3 Από σύστημα Οπότε α = β = 3. Γ. f() = 5 και f () = 5 προκύπτει 4α+β=5 και 4α+3 = 5 () 9 3 6 3( ) f lim lim lim 4 4( )( ) 3 3 lim ( ) Γ3. g()() 0 f g()() 0() f 3 6 g 9 0() 3 6 g g () 6 6 g () 0 6 6 0 Από πίνακα μεταβολών προκύπτει ότι η g έχει ολ. ελάχιστο το g(-) = - 30

00 ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ. Δίνεται η συνάρτηση 3 5 f (), με,. 3 Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο 0 = και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(0,), τότε:. Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών α και β. Μονάδες 8. Για α=6 και β=, να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 6 3. Για α=6 και β=, να βρεί τε τις θέσεις, το είδος και τις τιμές των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f. Μονάδες 6 00 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f() = α, Ι) Αν f () =, να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό α. ΙΙ) Για α =, να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 0 0 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f()=e - 3 0 5, Β. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. Μονάδες 8 3 - - 5 3 B. Δίνεται η συνάρτηση h()=e, α) Να λυθεί η εξίσωση f() = h(). Μονάδες 3 3

Β. =[e - 3 0 5 f()= e Η f() είναι παραγωγίσιμη με f () = - - 3 0 3 0 5 5 ] = e - - 3 0 5 3 3 0 5 (( ) = ) ( - ) 3 0 5 e e 3 30 5 5 5 f () = 0 = 0 5 5 με Δ =.. = 5 ή = 3 Από πίνακα μεταβολών προκύπτει η f() είναι γν. αύξουσα στο (-, /3] [/5, + ) και γνησίως φθίνουσα στο [/3, /5]. B. f() = h() - 3 0 5 e = e 3 - - 5 3 3 0 5 - = 3 5 3 - - 3 5 + 6 = 0 ( 5 + 6) = 0 = 0 ή = ή = 3 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Β Υποθέτουμε ότι οι θερμοκρασίες (σε ο C) σε μια περιοχή κατά τη διάρκεια ενός 4ώρου προσεγγίζονται από τις τιμές της συνάρτησης θ(t) = t 4 t α, όπου α και t (0,4] ο χρόνος σε ώρες. Β. Να αποδείξετε ότι για t (0,4] η θερμοκρασία μειώνεται και για t (4,4] η θερμοκρασία αυξάνεται. Μονάδες 7 B. Να υπολογίσετε την τιμή του α, αν γνωρίζετε ότι η ελάχιστη θερμοκρασία της περιοχής εντός του 4ώρου είναι ο C. Μονάδες 6 B3. Για α=3 να βρείτε τις ώρες που η θερμοκρασία της περιοχής είναι 0 ο C. B4. Να υπολογίσετε το lim θ(t) t 4 t 6 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Β Β.: Μελετούμε τη μονοτονία της συνάρτησης ()t. t Έχουμε () t t 4 t 4, t 0, 4 t t 3

t Επειδή () t 0 0 t 0 t t 4, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα t στο διάστημα 0, 4, επομένως η θερμοκρασία μειώνεται σε αυτό το διάστημα. Επειδή () t 0 t 4, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 4, 4, άρα η θερμοκρασία αυξάνεται σε αυτό το διάστημα. Β.: Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο t 0 4, με τιμή ()(4) t0 4. Δίνεται ότι η ελάχιστη τιμή είναι -, άρα 4 3. Β3.: Έχουμε () t 0 t 4 t 3 0 t 4 t 3 0 t ή t 3. Άρα η ελάχιστη θερμοκρασία παρουσιάζεται για t και για t 9, δηλαδή τις ώρες 0 και 09. () t t t 4 Β4.: Είναι lim lim lim lim t4 4 t 6 t t t 6 t4 t4 t t 4 t 4 t t t 4 t 64 0 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f()= 3 3+4, Β. Να δείξετε ότι η f() είναι γνησίως φθίνουσα στο. Μονάδες 6 Β. Να δείξετε ότι η παράγωγος f () έχει ολικό μέγιστο και να το υπολογίσετε. Μονάδες 7 B3. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α(,f()). Μονάδες 6 f() -4 Β4. Να υπολογίσετε το όριο lim 0 Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f() = κ +5, κ Γ. Να βρεθεί το κ αν γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (-, ). Γ. Για κ = 6 να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στα σημεία με τετμημένες = και = 4. Μονάδες 0 Γ3. Να αποδειχθεί ότι το σημείο τομής των εφαπτομένων βρίσκεται πάνω στην ευθεία = 3. Γ4. Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώνου ανάμεσα στις εφαπτόμενες και τον άξονα. ΘΕΜΑ Β Β. Η f()= 3 3+4 είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο f () = - 3 3 = -3( +) < 0 για κάθε R. Άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο R Β. Αφού αναζητάμε ακρότατο της f (), θα βρώ το πρόσημο της f () f () = - 6 f () = 0 = 0 μέσω του πίνακα μεταβολών η f () έχει ολικό μέγιστο το f (0) = -3 B3. Η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α(,f()) είναι ε: y = λ + β, όπου λ = f () = -6. Δηλαδή ε: y = f () + β Άρα ε: y = -6 + β Για το β: αντικαθιστώ τις συντεταγμένες του σημείου Α (,0) που είναι το σημείο επαφής της γραφικής παράστασης της f και της εφαπτομένης της ε. 33

=, y = 0 0 = -6 + β β = 6 τελικά ε: y = - 6 + 6 3 f() -4 - -3 -( +3) Β4. lim lim lim lim [-( +3)]=3 0 0 0 0 ΘΕΜΑ Γ Γ. αν γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (-, ) ισχύει f(-) = Τελικά μετά από πράξεις κ = 6. Γ. οι εξισώσεις των εφαπτομένων στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στα σημεία μετετμημένες = και = 4 είναι y = - + και = αντίστοιχα. Γ3. Λύνουμε σύστημα y = - + και y = και προκύπτει ότι τέμνονται στο σημείο (3, -5). Γ4. Οι ευθείες y = - + και y = τέμνoυν τον στα σημεία (,0) Ε = 55 5 τ.μ. και (,0) αντίστοιχα. 0 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f με f() = κ, κ, 0. B. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g με g() = f ()f() είναι σταθερή. Μονάδες 6 B. Να υπολογισθεί η τιμή του κ, αν γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(3,). Μονάδες 7 Για κ = 3: B3. Nα βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Β(,f()) της γραφικής παράστασης της f. Μονάδες 6 B4.Να υπολογισθεί το εμβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές: την αρχή των αξόνων και τα σημεία στα οποία η εφαπτομένη του ερωτήματος Β3, τέμνει τους άξονες και y y. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Β κ Β. g() = (f ()f()) = +( ) =, άρα σταθερή. Β. Από δεδομένα f(3) =, άρα κ =. Β3. y = Β4. Ε = Αφού τα σημεία τομής της εφαπτομένης y = με τους άξονες είναι (0,-) και (,0). 0 ΕΠΑΛ ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ Δ 34

Δίνεται η συνάρτηση f: με τύπο: f() = α 5, όπου α = lim 5 6 Δ. Να υπολογίσετε την τιμή του πραγματικού αριθμού α. Δ. Αν α = 4, να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Δ3. Αν α = 4, να αποδείξετε ότι f()>0 για κάθε. Μονάδες 6 Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Δ ( )( )( ) Δ. α = lim lim lim 4 56 ( 3)()( 3) Δ. f() = 5 f () = 4 f () = 0 = Aπό πίνακα μεταβολών η f είναι γν. φθίνουσα στο (-, ] και γν. αύξουσα στο [,+ ), ενώ παρουσιάζει ολ. ελάχιστο το f() = Δ3. Από ορισμό ολικού ελαχίστου προκύπτει ότι για κάθε R, f() f() f() > 0. 0 ΘΕΜΑ Α A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι (f () + g()) = f ()+ g (), Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ +ln Δίνεται η συνάρτηση f() =, > 0 Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Δ. Έστω Μ(,f()), >0 σημείο της γραφικής παράστασης της f. Η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα y y τέμνει τον ημιάξονα O στο σημείο Κ(,0) και η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα τέμνει τον ημιάξονα Oy στο σημείο Λ(0,f ()). Αν O είναι η αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου παραλληλόγραμμου ΟΚΜΛ γίνεται ελάχιστο, όταν αυτό γίνει τετράγωνο. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Α Δ.: Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0,, με παράγωγο ln ln ln ln ln f () 0 Δηλαδή ισχύει f () 0, για κάθε 0, e e, είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,. και επειδή η f είναι συνεχής στο 0,, Δ.: Το εμβαδόν του περιγραφόμενου ορθογωνίου είναι ln Επομένως έχουμε : E() E()() fln, 0 35

Επειδή E() 0 ln 0 και E() 0 ln 0, έχουμε ότι η συνάρτηση του εμβαδού είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, και γνησίως αύξουσα στο 0,. Επομένως το εμβαδόν παρουσιάζει ελάχιστη τιμή για. Επειδή E(), είναι και y, άρα το ορθογώνιο είναι τετράγωνο. 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α B. Έστω f() = c, και c σταθερός πραγματικός αριθμός. Να αποδείξετε ότι (c) = 0 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Από ένα φύλλο λαμαρίνας σχήματος τετραγώνου πλευράς 6 μέτρων κατασκευάζεται μια δεξαμενή σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, ανοικτή από πάνω. Από τις γωνίες του φύλλου λαμαρίνας κόβονται τέσσερα ίσα τετράγωνα πλευράς μέτρων, 0<<3 και στη συνέχεια οι πλευρές της διπλώνονται προς τα επάνω, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. Να αποδείξετε ότι ο όγκος της δεξαμενής ως συνάρτηση του είναι f()=4(3 ), 0<<3 (Δίνεται ότι ο όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεων α, β, γ είναι V= αβγ). Μονάδες 4 Β. Να βρείτε για ποια τιμή του η δεξαμενή έχει μέγιστο όγκο. Μονάδες 6 f(+) 8 Γ. Να βρείτε το lim 0 Μονάδες 4 AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ Δ.: Σύμφωνα με τα δεδομένα οι διαστάσεις του παραλληλεπιπέδου είναι: και 6. Επομένως ο όγκος της δεξαμενής είναι f () 6 4 3, 0 3. Δ.: Μελετάμε τη συνάρτηση f, ως προς τα ακρότατα. Έχουμε f () 4 3 4 3 4 3 3 3 3 είναι f () 0, για κάθε 0, και f () 0, για κάθε, 3 μέγιστο στο 0. Επειδή, η συνάρτηση f παρουσιάζει 36

Επομένως η δεξαμενή έχει μέγιστο όγκο για 0. Ο μέγιστος όγκος ισούται με Δ3.: Έχουμε f ( ) 8( )() f h f lim lim() f 0 h0 h f () 6 m. 0 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ Α A. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι [cf()] = cf (),, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f() = +α+β με και α, β. B. Να βρεθεί το α, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο που η γραφική παράσταση τέμνει τον y y, σχηματίζει με τον γωνία 45 ο Μονάδες 8 B. Αν α = και f()+β lim =6 + να βρεθεί το β. Μονάδες 9 B3. Αν α =, β = 7 και g() = f() 3 με, να μελετηθεί η g ως προς την μονοτονία. Μονάδες 8 AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β. Αφού η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο που η γραφική παράσταση τέμνει τον y y, σχηματίζει με τον γωνία 45 ο, θα ισχύει f (0) = εφ45 ο = Οπότε μετά από πράξεις προκύπτει α = Β. Αν α =, τότε f() = f()+β ++β και lim =6 + +β (( +) )(+) lim =6 lim =6 lim =6 7 Άρα προκύπτει + + + Β3. g() = f() 3 = ++7 3 Άρα g () = -3 + + Από πίνακα μεταβολών προκύπτει η g είναι γν. φθίνουσα στο (-, -/3] και στο [, + ) και γν. αύξουσα στο [-/3, ]. 0 ΕΠΑΛ ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f: με f () = + λ-6 όπου Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο 0 =3, να δείξετε ότι λ = - Μονάδες 8 Δ. Αν λ = -, να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε το είδος των ακροτάτων. Μονάδες 0 37

f'() Δ3. Αν λ = -, να υπολογίσετε το όριο lim 3 3 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δ. f (3) = 0, Άρα λ = - Δ. Για λ = -, f () = - - 6 f () = 0 = - ή = 3 H f είναι γν. αύξουσα στο (-, -] και στο [3, + ) και γν. φθίνουσα στο [-, 3], ενώ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f(-) και τοπικό ελάχιστο το f(3). f'() 6( )( 3)( 3) lim lim lim 3 3 3 3( 3 3)( 3) Δ3. ( )( 3)( 3) lim lim( )( 3) 0 3 3 ( 3) 3 03 ΘΕΜΑ Α A. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f() = είναι f () =, για κάθε. Μονάδες 7 A. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 Α; Μονάδες 4 ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ln + κ, > 0, όπου κ ακέραιος με κ > και την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (,f()), η οποία σχηματίζει με τους άξονες, τρίγωνο εμβαδού E, με E < Δ. Να αποδείξετε ότι κ =. ΘΕΜΑ Δ Δ.: Είναι f () ln και f () ln, άρα f () και f () Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι y f ()()( f ) y. Η ευθεία με εξίσωση αυτή, τέμνει τον άξονα χ χ στο σημείο (, 0) και τον άξονα ψ ψ στο (0, ). 38

Επομένως το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει αυτή η ευθεία με τους άξονες είναι. 4 3. Είναι Επειδή το είναι ακέραιος μεγαλύτερος του, θα είναι. 03 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f: με τύπο: f() = 3 α β γ α, β, γ Β. Να υπολογίσετε το γ, αν είναι γνωστό ότι 9 γ = 3 Μονάδες 7 Β. Να υπολογίσετε τα α, β αν οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της f, στα σημεία με τετμημένες και 3 Μονάδες 8 Β3. Για α =, β = και γ = 36, να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = κ,, όπου κ ακέραιος με κ > και την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (,f()), η οποία σχηματίζει με τους άξονες, τρίγωνο εμβαδού E, με E< 4. Δ. Να αποδείξετε ότι κ = 3. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Β 39

ΘΕΜΑ Δ 03 ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι: (f() + g()) = f () + g (), Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Β 40

Δίνεται η συνάρτηση f() = α 3 β + 5, και α, β, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(-, 9) και ισχύει ότι: +7 lim = 4 α Β. Να αποδείξετε ότι α = και β = 6 Μονάδες 9 Β. Για α = και β = 6 να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα οποία η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα. Μονάδες 8 Β3. Να βρείτε την τιμή του για την οποία ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f γίνεται ελάχιστος. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Β Β.Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(-, 9), άρα f(-) = 9 -α + β + 5 = 9(). +7 Από lim =... = 4 α 4 α Από () β = 6. Β. Έχω f() = 3 6 + 5 με f () = 6 6. Έστω ( o,f( o )) τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα οποία η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα. Ισχύει f ( o ) = 0. Άρα μετά από πράξεις: o = - ή o =. άρα τα σημεία είναι (-, f(-)) και (,f()) δηλαδή (-, 9) και (, ) αντίστοιχα. Β3. ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f είναι η f () και για να ελέγξω πότε γίνεται ελάχιστος θα πρέπει να βρω την f (). f () = 0 = 0. Άρα, από πίνακα μεταβολών, ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f γίνεται ελάχιστος όταν = 0. 03 ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση f a,,. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f είναι f = 3 + α,. Να βρείτε τον αριθμό α, αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο 0 4. Μονάδες 8 3. Για α = - 5, να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το είδος και τις τιμές των ακροτάτων. ΘΕΜΑ Δ. Παράγωγος γινομένου και πράξεις: f = 3 + α. Αφού η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο 0 4, θα ισχύει f (4) = 0 α = - 5. f = 3 + α ( )(3 ) 3. Για α = - 5, Μέσω f () = 0 προκύπτει = ή = 4. Από πίνακα μεταβολών η f είναι γν. αύξουσα στο (-, ] και στο [ 4, + ) και γν. φθίνουσα στο [, 4], ενώ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f() = 0 και τ. ελάχιστο το f(4) = - 4. 03 ΕΠΑΛ ΕΣΠΕΡΙΝΑ 4

ΘΕΜΑ Δ 3 Δίνεται η συνάρτηση f: με τύπο: f() 3,. i. Να βρεθεί το κ, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να διέρχεται από το σημείο Α(-,5). ii. Αν κ = 3, να μελετήσετε τη μονοτονία και να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f Μονάδες 8 iii. Να βρεθεί το όριο f'() lim Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ i. f(-) = 5.. κ = 3 3 f() 3 3, ii. 3 f ()( 3 3) 3 3 f () = 0 = - ή = H f είναι γν. αύξουσα στο (-, -] και στο [, + ) και γν. φθίνουσα στο [-, ]. Παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f(-) = 5 και τ. ελάχιστο το f() = 04 f'() 3 3 3( )( ) lim lim lim lim 3( ) 6 ( ) iii. Δ.: Αν y είναι η τρίτη διάσταση του κουτιού, τότε έχουμε y 0 y 0. Συνεπώς η συνολική επιφάνεια του κουτιού, σε συνάρτηση του, είναι () y 5 y5 0 0 0(0) 0 00, 0,0 4

Μελετάμε τη συνάρτηση (), ως προς τα ακρότατα: Έχουμε () 0, έχει ρίζα το 0 5 και είναι () 0 5 και () 0 5. Μετά από τον πίνακα μεταβολών προκύπτει: η () είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0, 5 και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Άρα παρουσιάζει μέγιστο στο 0 5. 5, 0. 04 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα AB με μήκος 00 m. Θεωρούμε εσωτερικό σημείο του AB τέτοιο, ώστε το μήκος του τμήματος A να είναι m. Δ. Κατασκευάζουμε τα τετράγωνα και, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. i) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο τετραγώνων, ως συνάρτηση του, είναι () 00 0000, (0,00). μονάδες 3 ii) Να βρείτε για ποια τιμή του το εμβαδόν E() γίνεται ελάχιστο. μονάδες 5 43