Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Παράρτημα Νομού Εύβοιας ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: ΘΕΜΑ ο : Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α. Θεωρία, σχολικό βιβλίο σελίδα 9 Β. α) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Σ ΘΕΜΑ ο : α. Είναι ( ) i z 6 i z 6 z 6 z, οπότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος C με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ. β. Από την εξίσωση w ( i) w ( i ) προκύπτει σύμφωνα με τη θεωρία ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία Α(,-) και Β(,-). Το μέσο του ΑΒ είναι το Μ(,-) και επειδή η ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ΑΒ -, η μεσοκάθετος (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε. Είναι επομένως : (ε): y- (-)(-) y -4 y - 4. γ. Η ελάχιστη τιμή του w είναι η απόσταση του Ο(,) από την (ε), δηλ. 4 d O, ε ( ) ( ). Σελίδα από 7
δ. Αφού γίνει το σχήμα και σχεδιάσουμε τον κύκλο με την ευθεία, διαπιστώνουμε ότι η ελάχιστη τιμή του z-w Ο Α 5 Κ Μ Β -5 ε είναι η απόσταση του Ο(,) από την (ε) μείον την ακτίνα του κύκλου ( C ) δηλ. ΚΜΟΜ-ΟΚ ( ). Σχόλιο Η εύρεση της ελάχιστης τιμής αλγεβρικά, δηλαδή με τη σχέση z w z w z w, χωρίς την απαραίτητη επαλήθευση ότι η ακραία τιμή μπορεί να ληφθεί, είναι ελλιπής. Σελίδα από 7
ΘΕΜΑ ο : α. Έχουμε ln f ( ) ln Έτσι, από κανόνα του D l Hospital, παίρνουμε Επειδή λοιπόν ( ln ) ( ) f ( ) f ( ) f (), συμπεραίνουμε ότι η f είναι συνεχής στο o. β. Για κάθε > η f είναι παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγίσιμων με f ( ) ln. Επομένως : ( ) > ln > > και ( ) f και σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα f < ln< < < χ ( ) f f ( ) Δηλαδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ] και γνησίως αύξουσα στο [, ), οπότε παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο o, το f( )-. Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [, ] είναι f([, ] )[-,], ενώ επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, ) και f ( ) είναι f( (, ) )( -, ). Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησής μας είναι f ([, )) [ -, ). Σελίδα από 7
γ. Η εξίσωση για > γίνεται : a a ln ln a f ( ) a, α. Με τη βοήθεια του προηγουμένου ερωτήματος έχουμε : Αν α< - η εξίσωση είναι αδύνατη Αν α - η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα την Αν - <α< η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες(θετικές) Αν α η εξίσωση έχει μοναδική θετική ρίζα την χ. Αν α > η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα που είναι και θετική. δ. Για χ> έχουμε η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,), οπότε από Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ξ (,) τέτοιο, ώστε : f ( ) f ( ) f ( ξ ) f ( ) f ( ) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με f ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), οπότε ισχύει: για κάθε χ>. Μία άλλη λύση στο θέμα δ Θα δείξουμε ότι ( ) ( ) ( ) Έστω g() f ( ) -f ( ) f ( ), δηλ. f ( ) <χ<ξ<χ f (χ)<f (ξ)<f (χ) f() - f() < f () f -f f > για κάθε >. για κάθε >, δηλαδή g()ln()-()ln()ln g()ln-ln(), > Θα δείξω ότι η g παίρνει θετικές τιμές για κάθε >. Η g είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με g ( ) ln ln( ), > και η g είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με g ( )... > αύξουσα στο (, ). ( ) ( ) > για κάθε χ>.άρα η f για κάθε >, άρα η g είναι γνησίως Σελίδα 4 από 7
g Επειδή ( ) ( ) και g είναι g [(, )](-,) δηλαδή η g ()< για κάθε >, άρα η g γνησίως φθίνουσα στο (, ). Θα βρω το σύνολο τιμών της g. Είναι ( ), ln g ( ln ) και ln... g((, ))(,), άρα g()>. Άρα ισχύει η ζητούμενη. g, άρα το ( ), δηλαδή το ΘΕΜΑ 4ο : α. Αν θέσουμε () η συνάρτηση γίνεται f t dt a f()α α-45,. Άρα () ( 45) f t dt a at at dt a 4 t t a a 45 t a... a 4 Επομένως είναι f() 6-45, Επειδή πολλά παιδιά ξεκίνησαν μ αυτόν τον τρόπο,ας δούμε άλλη μια μακροσκελή μεν αλλά λύση για το θέμα 4 α. Ουσιαστικά πρόκειται για άλλον τρόπο προσέγγισης του ότι το ολοκλήρωμα αποτελεί πραγματικό αριθμό Για έχουμε: f() ( ) f ( t) dt - 45 ( ) f() 45 ( ) f ( t) dt f ( ) 45 f ( t) dt Παραγωγίζω στην () και τα μέλη και έχω: f ' () f ( t) dt ( ) f ( ) 45 (σύμφωνα με τη () γράφεται: f ' () ( ) f ' ()( ) f()( ) 45( ) () f ' ()( ) - f() ( )' 45( ) Σελίδα 5 από 7
f '( )( f ( ) ' ) f ( )( ( ) 45( ) άρα ( ) ) 45( ) ( ) f ( ) ( )' 45 ( ) d τότε f ( ) 45 c f() -45 c( ) για κάθε (). f ( ) 45 () f() 45 c( ) c και λόγω της () έχω c. f ( t) dt Ολοκληρώνω και τα μέλη της () και έχω: f ( ) d -45 d c ( ) d 4 c -9 c 4 c -9 c(4 6) c -9 c 46 c Αντικαθιστώ στην αρχική: f()( ) 45 f() 6 45,οπότε αποδείχθηκε, για. για η δοθείσα γράφεται f()-45,το ίδιο και η προηγούμενη, άρα η παραπάνω ισχύει για κάθε. R β. Στο ( ) ( ) g g θέτουμε y- και αφού ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) και παίρνουμε: g g g y g g ( ) για κάθε χ. y y γ. i) Το όριο L ( ) ( ) ( ) g g g μορφή, οπότε με τον κανόνα του D l Hospital βρίσκουμε : L ( ( ) ( ) ( )) ( ) έχει μεταβλητή το (και όχι το χ) και έχει τη g g g g ( ) g ( ) Σελίδα 6 από 7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g g g g g g g g ( ( ) ( )) ( ) g g g, Επομένως η δοσμένη σχέση γίνεται : ( ) ( ) ( ) g f 45 g 6, για κάθε χ. 4 Άρα g ( ) 5 k, χ. Επειδή g ( ) 4 5 ( ) 5, χ και ( ) g k, είναι g c, χ. Επειδή g() c, βρίσκουμε g() 5,. Σχόλιο( για το γ. i ) Δεν μπορούμε να πάρουμε και δεύτερη φορά τον κανόνα του d L Hospital, διότι δεν γνωρίζουμε τη συνέχεια της g, κάτι που είναι απαραίτητο για να βρούμε το τελικό όριο. g 5 > για κάθε χ, η g είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα και -. ii) Αφού ( ) 4 ΚΑΛΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Τις λύσεις των Θεμάτων επιμελήθηκαν οι μαθηματικοί: Μπεληγιάννης Αθανάσιος Δερβεντζή Κατερίνα Στεργίου Μπάμπης Παπαλουκάς Ιωάννης Σελίδα 7 από 7