ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 7 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε απόδειξη θεωρήµατος σχολικού βιβλίου σελίδα 63. Α. Βλέπε ορισµό σχολικού βιβλίου σελίδα 8. Α3. Βλέπε ορισµό σχολικού βιβλίου σελίδα 33. Α4. α Λ. Το σωστό είναι: β Σ. γ Σ. δ Σ. ε Λ. βιβλίου. Βλέπε σελίδα 7 σχολικού βιβλίου. Βλέπε σελίδα 33 σχολικού βιβλίου. Βλέπε σελίδα 9 σχολικού βιβλίου. συν lim =. Βλέπε σελίδα 7 σχολικού Το σωστό είναι: τα εσωτερικά σηµεία του διαστήµατος στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση µε το µηδέν, λέγονται κρίσιµα σηµεία της f στο διάστηµα. Βλέπε σελίδα 6 σχολικού βιβλίου. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΘΕΜΑ Β B. Για να δείξουµε ότι η f είναι συνεχής αρκεί να δείξουµε ότι είναι συνεχής στο =, καθώς η f για κάθε είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Αρκεί να δείξουµε ότι lim f = f (). ος τρόπος u e e Έχουµε lim f = lim = lim = = f (). u u Θέτοντας u= ισχύει αν τότε u και έτσι το όριο γίνεται: u e e lim= = lim = το οποίο είναι η παράγωγος της συνάρτησης u u h = e, για =. u e lim = =. u u Άρα h = e, οπότε h ος τρόπος e DLH lim f = lim = ( e ) lim = lim e ( ) = lim e = e = = f( ). B. Αρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει το όριο lim αριθµός. e f f( ) Έχουµε lim = lim = e e DLH lim = lim = ( ) f f και είναι πραγµατικός ( ) e e lim = lim = lim f = f( ) = R. (( ) ) ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Άρα η f είναι παραγωγίσιµη στο =,µε f ( ) =. Η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (, f( ) ) Α είναι: ( ) = ( )( ), δηλαδή y ( ) y f f g e Β3. Η συνάρτηση = οπότε y=. = είναι συνεχής στο R ως πράξεις συνεχών στο R, παραγωγίσιµη στο R ως πράξεις παραγωγίσιµων συναρτήσεων στο g = e e = e = e. R, µε Έχουµε: g Οµοίως αν g, οπότε ισχύουν οι ισοδυναµίες: e > e. < προκύπτει <. Η µονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: g g min Επειδή η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για = g ( ) = ( ) e = =, ισχύει g g( ) ηλαδή ισχύει g,για κάθε R., για κάθε R. H f είναι παραγωγίσιµη στο R µε: e e e e e f = = = ( ) ( ) e g e e = = = > για κάθε. το ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Επειδή η f είναι συνεχής στο = έπεται ότι είναι γνησίως αύξουσα στο R. Β4. Ισχύει ότι: ΘΕΜΑ Γ Η g είναι συνεχής στο διάστηµα [ ] g( ) > για κάθε [ 5, 6] µόνο στο =. Οπότε από γνωστό Θεώρηµα έχουµε: Γ. Για κάθε R ισχύει ότι: 5,6 ως παραγωγίσιµη στο R. 6 5, καθώς η συνάρτηση g µηδενίζεται g d>. 3 3 f 3 f 3. () 3 3 Θεωρούµε τη συνάρτηση Παρατηρούµε ότι: g() = f 3= 3 3=. Άρα για κάθε R ισχύει ότι: () g g (). 3 g = f 3, µε R. 3 ηλαδή η g παρουσιάζει στο ολικό ελάχιστο. Επίσης το είναι εσωτερικό σηµείο του R και η g παραγωγίσιµη στο R µε: 3 3 g = f 3 = f ( ). 3 3 Σύµφωνα µε το θεώρηµα Fermat ισχύει ότι: 3 3 g () = f ( ) = f ( ) =. 3 3 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Γ. ος τρόπος Για κάθε R ισχύει ότι: f f f f f = f f f f f f = f f f f f f = ( f f ) f f e> = ( ) e f f e f f = e f f e f f = ( ) ( e f f ) = ος τρόπος Για κάθε R ισχύει ότι: f f f f f = = f f f f f f e f f e f f e f f ( e f f ) e> e f f e f f e f f = = = Με εφαρµογή των Συνεπειών του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής προκύπτει ότι υπάρχει σταθερά c R τέτοια ώστε να ισχύει: e f f = c. Για =, έχουµε: 3 3 e f () f () = c 3 = c c =. Άρα για κάθε R ισχύει ότι: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 e f f = f f = e f f = e f = e. Με εφαρµογή των Συνεπειών του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής προκύπτει ότι υπάρχει σταθερά c R τέτοια ώστε να ισχύει: f = e c. Για =, έχουµε: f () = e c 3 = c c =. Άρα για κάθε R ισχύει ότι: f = e. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και f ( ) για κάθε R, εποµένως η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο R. Επειδή f () = 3>, θα είναι f ( ) > για κάθε R. Εποµένως: f = e, R. Γ3. ος τρόπος Έστω, R µε f ( ) = f ( ). Έχουµε: f ( ) = f ( ) e = e e = e e = e e = e = =. Άρα η συνάρτηση f είναι - συνάρτηση, οπότε αντιστρέφεται. ος τρόπος Η f είναι παραγωγίσιµη στο R, µε: e f = e = e = <, για κάθε R. e e Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R, οπότε και - συνάρτηση, συνεπώς αντιστρέφεται. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Θέτουµε y= f( ) και έχουµε: y = f y = e () Θα πρέπει y. Με αυτόν τον περιορισµό έχουµε: y y = e y = e e = () y> y Θα πρέπει > y > y >. Με αυτόν τον επιπλέον περιορισµό έχουµε: y y y ln e = ln = ln = ln y = ln = ln f ( y) = ln, y> y y Άρα είναι: f = ln, >. Υποσηµείωση: Το σύνολο τιµών της f,το οποίο είναι το πεδίο ορισµού της f, µπορεί να βρεθεί από την συνέχεια και την µονοτονία της f. Γ4. Θέλουµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα Ι = ( e ) ln e f d. Έχουµε: e e e e e ( e ) Ι = d = ln( ) d = = = d d ln( ) ln( ) d f e e e e e e ln( e ) ln( e ) e e Θέτουµε e = u, οπότε e d= du. Επίσης e = u > και e = u >. ln( e ) Για = ln( e ) είναι u= e = e. Για = είναι u= e =. Εποµένως: u u Ι = du = = = du du u u u e e e [ u ] ln( u ) ( e ) ( ln 3 ln( e ) = = = e e = e ln 3 lne= 4 e ln 3. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 7 ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ΘΕΜΑ τέτοιο, ώστε g( ) =, ή. Αρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει µοναδικό (,) ότι η εξίσωση g( ) = έχει µοναδική ρίζα στο διάστηµα Η συνάρτηση = ln,. g είναι παραγωγίσιµη για κάθε > µε: g = ( ln ) = >, για κάθε >.,. Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο ος τρόπος Συνεπώς η g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (, ) και επειδή είναι συνεχής στο (, ), έχουµε: ((,) ) = ( lim, lim ) = (,) g g g, αφού lim g = lim( ln ) = και g ( ) g η εξίσωση = Επειδή ((,)) lim = lim ln = g έχει ρίζα στο διάστηµα αφού η είναι γνησίως αύξουσα σε αυτό η ρίζα θα είναι µοναδική. ος τρόπος Είναι lim lim( ln ) g = =. Οπότε υπάρχει α κοντά στο µε < α < τέτοιο, ώστε gα <. Επίσης g () = ln = >. Εποµένως g( α ) g() <. Επειδή η g είναι και συνεχής στο [,] (,) Bolzano η συνάρτηση α,,., και α σύµφωνα µε το Θεώρηµα g έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα Επιπλέον η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), οπότε η ρίζα θα είναι µοναδική. 3 ος τρόπος Ενδεικτικά, εφαρµόζουµε Θεώρηµα Bolzano για την g στο διάστηµα, e. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 8 ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Στη συνέχεια θα λύσουµε την εξίσωση e =. Επειδή > θα πρέπει και >, οπότε η εξίσωση ισοδύναµα γίνεται: = = = e lne ln ln ln ln = ln g = g( ). () Όµως η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα και -, οπότε έχουµε: g: () g = g( ) =.. i) Για < α<, το ζητούµενο εµβαδόν είναι: Ε = g ( ) d. α Έχουµε: lnր ln ln ln ln g g. Συνεπώς στο [,] Εποµένως είναι: α είναι g = g( ). a Ε = g d = ln d = ln d = lnd = α α α a a a a = ln [ ln ] ( ln ) d = = ln = d a a d ln a ln a [ ] ln = a a d= a a = a a a τ.µ. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 9 ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ii) Από υπόθεση έχουµε ότι α ( t) = cm/sec. Αυτό σηµαίνει ότι η τιµή του αριθµού α αυξάνει, δηλαδή κινείται αποµακρυνόµενος από το και προσεγγίζοντας το, αφού < α<. Επειδή η θέση του αριθµού α είναι συνάρτηση του χρόνου t έχουµε: Ε ( t) = α ( t) ln α( t) α ( t). O ρυθµός µεταβολής του είναι: E '( t) = a '( t) ln( a( t)) a( t) (ln( a( t)) ' a '( t) = a '( t) = a '( t) ln( a( t)) a( t) a '( t) = a( t) = a '( t) ln( a( t)) a '( t) a '( t) = a '( t) ln( a( t)). Την χρονική στιγµή t στην οποία είναι α ( t)= έχουµε: Ε ( t ) = α ( t ) ln α ( t ) = ln = ln. Όµως από. ερώτηµα ισχύει ότι: g( ) = ln = ln =. Συνεπώς Ε ( t) = cm²/sec. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 3. Από υπόθεση για κάθε > έχουµε: ( ) f g = f e ln. Εποµένως θα ισχύει: ( ( )) lim f g = lim f e ln. ( ) Για το f g( ) lim Στο ερώτηµα. δείξαµε ότι lim g( ) =. Θέτοντας u= g( ) έχουµε lim u =. ( ) Άρα u lim f g = lim f ( u ) που είναι και το ζητούµενο. ( ) lim f e ln. Για το Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R, άρα και συνεχής σε αυτό. Συνεπώς: lim f = lim f = f () (). Επίσης Άρα: lim = = ( ) e e και lim e χ =. () Επιπλέον γνωρίζουµε ότι lim = =. lim ln =. (3) Από (), (), (3) προκύπτει ότι: ( ) lim f e ln = f () =. Έτσι έχουµε: lim f ( u ) = ή lim f ( ) =. u 4. Για κάθε >, έχουµε: ( ) ( ) ln ( ) ln ( ) f g = f e ln f g f = e e ln f g f e e e f g f e e ln = = ln ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ( ) g f g f = e e ln. ιαιρούµε και τα δύο µέλη της τελευταίας ισότητας µε τον όρο g = ln >, για κάθε > και έχουµε: g ( ) f g f e e ln = g g g g ( ) f g f e e ln = g g ln g ( ) f g f e e =. () g g Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο R, εποµένως είναι συνεχής στο [, g ] και παραγωγίσιµη στο (, ) g, για κάθε >. Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής για την f στο [, g( )], εποµένως θα υπάρχει ( g ) τέτοιο, ώστε: ( ) f g f f ( ξ ) = g. () ξ, µε < < ξ < g Θεωρούµε τη συνάρτηση h= e η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο R, εποµένως είναι συνεχής στο [, g ] παραγωγίσιµη στο (, g( )), για κάθε >, µε h = e. Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής για την h στο [, g( )], εποµένως θα υπάρχει ξ (, g ) µε < < ξ < g τέτοιο, ώστε: g ξ e e h ( ξ ) = e =. (3) g e ξ Από τις () και (3) η () δίνει: Ενδεικτικά ένας ος τρόπος είναι: Για κάθε >, έχουµε: ( ) και f ξ =, µε ξ > και ξ >. f g = f e ln f g f = e e ln ln ( ) ln f g f e e e f g f e e ln = = ln ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 ( ) g f g f = e e ln. Οπότε: g f g e g f e =.() Έστω η συνάρτηση y f e, Τότε η () γίνεται: y g = >. y =, για κάθε >. () Εφαρµόζουµε το Θεώρηµα Rolle για την συνάρτηση y στο, g για κάθε >. H y είναι συνεχής στο, g, g για κάθε >, ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιµων συναρτήσεων στα διαστήµατα αυτά. Λόγω της () ισχύει y g y =. και παραγωγίσιµη στο Άρα υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθµός, g =. ώστε y ( ξ) Όµως y = f e, οπότε f ( ξ) e ξ = >. Οπότε έχουµε f ( ξ) e ξ, ξ Για ξ= ξ= ξ έπεται το ζητούµενο. ξ, άρα και ξ>, τέτοιος =. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ 3